级数的收敛性讲解
级数收敛发散的判断方法总结
级数收敛发散的判断方法总结
级数是一种由数列构成的无限求和，是数学中的一个重要概念。
在学习级数时，我们需要掌握判断级数是否收敛或发散的方法。
一、正项级数判别法
正项级数是指所有项都是非负的级数。
如果正项级数的部分和有上界，则该级数收敛；如果正项级数的部分和无上界，则该级数发散。
二、比较判别法
比较判别法是指将待判断的级数与已知的收敛或发散的级数进行比较，从而判断待判断的级数的收敛性。
1. 比较法一：若0≤a_n≤b_n，则若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n
必收敛；若级数∑a_n发散，则级数∑b_n必发散。
2. 比较法二：若a_n≥0，b_n≥0，则若存在正整数N，使得对于n
≥N，a_n≤kb_n，则级数∑b_n收敛，则级数∑a_n必收敛；若级数
∑a_n发散，则级数∑b_n必发散。
三、极限判别法
极限判别法是指将待判断的级数的通项公式中的n变为无穷大，然后求其极限值，从而判断级数的收敛性。
1. 当极限lim(a_n) = 0时，级数∑a_n可能收敛也可能发散。
2. 当极限lim(a_n) ≠ 0时，级数∑a_n必发散。
四、积分判别法
积分判别法是将待判断的级数的通项公式中的n替换为变量x，然后将其转化为函数f(x)的形式，然后对函数f(x)在正实数区间[a,∞)上求不定积分∫f(x)dx，若积分∫f(x)dx收敛，则级数∑a_n收敛；若积分∫f(x)dx发散，则级数∑a_n发散。
以上就是关于级数收敛发散的判断方法的总结，掌握这些方法可以帮助我们更好地判断级数的收敛性，加深对级数概念的理解。
级数收敛的概念和判别法则
级数收敛的概念和判别法则级数是数学中重要的概念之一，它是由无穷多个数相加而成的一种数列。
级数的收敛性与数列的求和有着密切的关系，它在分析学、数学物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍级数收敛的概念及其判别法则。
一、级数收敛的概念级数是指由无穷多个数按照一定次序相加而成的表达式。
设a₁，a₂，a₃，……，aₙ，……是一个数列，则级数可以表示为S = a₁ +a₂ + a₃ + …… + aₙ + ……当数列{Sₙ}存在有限的极限值S时，称级数S收敛，记作∑aₙ = S。
反之，若数列{Sₙ}不存在有限的极限值，则称级数S发散。
二、级数收敛的判别法则为了判断一个级数是否收敛，数学家们提出了多种判别法则，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 初等判别法初等判别法适用于一些简单级数的判断。
对于级数∑aₙ，如果当n趋于无穷大时，aₙ趋于零，即lim(aₙ) = 0，那么级数必收敛。
2. 比较判别法比较判别法适用于正项级数的判定。
设有两个级数∑aₙ和∑bₙ，且对于所有n，都有0 ≤ aₙ ≤ bₙ成立。
若级数∑bₙ收敛，则级数∑aₙ也收敛；若级数∑aₙ发散，则级数∑bₙ也发散。
3. 极限判别法极限判别法适用于形式为aₙ = f(n)的级数。
若存在正整数N和常数p，使得当n > N时，有aₙ ≤ (n^p)成立，那么根据级数∑(n^p)的收敛性来判断∑aₙ的收敛性。
4. 比值判别法比值判别法适用于正项级数的判定。
设有级数∑aₙ，若存在正实数q，使得当n足够大时，有(aₙ₊₁/aₙ) ≤ q成立，那么如果q < 1，级数∑aₙ收敛，如果q > 1，级数∑aₙ发散，若q = 1，则该方法不适用。
5. 根值判别法根值判别法适用于正项级数的判定。
设有级数∑aₙ，若存在正实数r，使得当n足够大时，有(n√aₙ) ≤ r成立，那么如果r < 1，级数∑aₙ收敛，如果r > 1，级数∑aₙ发散，若r = 1，则该方法不适用。
序列与级数的收敛性
序列与级数的收敛性序列和级数是数学中重要的概念，它们在各个领域应用广泛。
了解序列与级数的收敛性对于深入理解数学问题至关重要。
本文将介绍序列与级数的定义以及它们的收敛性判定方法，并通过实例说明其应用。
一、序列的收敛性序列是按一定顺序排列的一组数。
若对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，序列的第n项到一个确定的数L的距离小于ε，则称序列收敛于L，记作lim(aa)=a。
反之，若不存在这样的L，则称序列发散。
判断序列收敛的方法有多种，其中常用的有极限定义、夹逼准则和单调有界性定理。
1. 极限定义：对于给定的数L，若对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|aa−a|<ε，则称lim(aa)=a。
这是序列收敛的一种等价定义。
2. 夹逼准则：若存在序列{aa}、{aa}、{aa}，满足对于所有n，aa≤aa≤aa，并且lim(aa)=lim(aa)=a，则lim(aa)=a。
3. 单调有界性定理：若序列是单调递增且有上界，则该序列收敛；若序列是单调递减且有下界，则该序列收敛。
二、级数的收敛性级数是由序列的项之和构成的无穷数列。
对于级数∑aa，如果部分和数列aa=a1+a2+⋯+aa收敛，则称该级数收敛。
级数收敛的和称为级数的和。
级数的判定方法有很多，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
这些判定方法旨在找到可以与已知级数比较的级数，以确定级数的收敛性。
1. 比较判别法：如果存在一个收敛的级数∑aa，使得对于所有n，aa≤aa，则级数∑aa也收敛；如果存在一个发散的级数∑aa，使得对于所有n，aa≥aa，则级数∑aa也发散。
2. 比值判别法：计算级数∑(a+1)的绝对值与级数∑a绝对值的比值的极限lim(│aa+1│/│aa│)，如果该极限存在且小于1，则级数收敛；如果该极限大于1或无穷大，则级数发散；如果该极限等于1，则判定不出结论。
3. 根值判别法：计算级数∑√│aa│的极限lim(√│aa│)，如果该极限存在且小于1，则级数收敛；如果该极限大于1或无穷大，则级数发散；如果该极限等于1，则判定不出结论。
级数收敛的判别方法
级数收敛的判别方法1. 比较判别法：若级数的通项与一个已知的收敛级数或发散级数之间存在比较关系，通过比较它们的大小可以判断级数的收敛性。
2. 极限判别法：对于正项级数，若其通项在n趋于无穷大时的极限存在且非零，那么级数收敛；若极限为零或不存在，则级数发散。
3. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值的极限，若极限小于1，则级数收敛；大于1，则级数发散；等于1，则判别不出结果，可能为发散也可能为收敛。
4. 高斯判别法：对于形如an = f(n)g(n)的级数，若函数f(n)和g(n)满足一定的条件，那么级数收敛。
5. 绝对收敛和条件收敛：若级数的绝对值级数收敛，则原级数也收敛，否则原级数发散。
条件收敛是指原级数在绝对收敛的前提下仍然收敛。
6. 积分判别法：对于正项级数，将通项进行积分，若积分级数收敛，则原级数收敛；若积分级数发散，则原级数发散。
7. Ratio Test：For a series with positive terms, if the ratio of consecutive terms has a limit less than 1, then the series converges. If the limit is greater than 1 or does not exist, the series diverges.8. Root Test：For a series with positive terms, if the nth root of the absolute value of each term has a limit less than 1, then the series converges. If the limit is greater than 1 or does not exist, the series diverges.9. Alternating Series Test：For an alternating series with decreasing terms, if the absolute value of the terms tends to zero as n approaches infinity, then the series converges.10. Power Series Convergence Test：For a power series of the form ∑(an(x-c)^n), if there exists a number R such that the series converges for |x-c| < R and diverges for |x-c| > R, then the series converges for the interval (c-R, c+R) and diverges elsewhere.。
级数的收敛性判定与计算
级数的收敛性判定与计算级数是数学中一种特殊的数列求和形式。
在数学分析中，我们通常关心的是级数的收敛性判定与计算。
本文将介绍几种常见的级数收敛性判定方法，并以例子详细说明其计算过程。
一、级数的收敛性判定在讨论级数的收敛性之前，先来了解一下级数的定义。
设有数列{an}，则数列{an}的和称为级数，用Σan表示。
1.正项级数收敛判定如果对于数列{an}的每一项都有an≥0且数列{an}的部分和序列{s1, s2, s3, ...}有上界，则称Σan为正项级数。
关于正项级数的收敛性，有以下判定定理：（1）Cauchy准则：正项级数Σan收敛当且仅当对任意ε>0，存在N∈N，当n>N时，对任意的m>n，有|sm-sn|<ε。
（2）比较判别法：若存在正数c，当n>N时，对任意的m>n，有an≤cn，则正项级数Σan收敛。
（3）极限判别法：如果lim(n→∞)(an+1/an)=l，其中l>0或l=+∞，则正项级数Σan与Σan收敛或发散。
2.交错级数收敛判定若级数Σ(-1)^(n-1)an的一般项是由正项和负项构成的交错形式，则称之为交错级数。
关于交错级数的收敛性，有以下判定定理：（1）莱布尼茨判别法：对于交错级数Σ(-1)^(n-1)an，若满足an≥0、an递减（即an+1≤an）且lim(n→∞)an=0，则交错级数Σ(-1)^(n-1)an收敛。
3.绝对收敛和条件收敛对于级数Σan，若级数Σ|an|收敛，则称Σan为绝对收敛级数；若Σan收敛而Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛级数。
二、级数的计算在判断级数的收敛性后，有时我们还需要计算级数的和。
以下是几种常见的级数计算方法。
1.等差级数等差级数是指数列项的差值为常数的级数。
对于等差级数Σa+(n-1)d，其求和公式为Sn=(n/2)[2a+(n-1)d]，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2.几何级数几何级数是指数列项的比值为常数的级数。
级数的收敛与发散判定
级数的收敛与发散判定级数是由一系列数相加得到的数列求和，它在数学中起到重要的作用。
在研究级数时，我们通常需要确定级数是收敛还是发散。
本文将介绍判断级数收敛与发散的常用方法。
一、级数收敛定义首先，我们需要明确级数收敛的定义。
若级数的部分和数列{s_n}存在有限极限L，即lim_{n->∞} s_n = L，则称该级数收敛，L为该级数的和。
若级数的部分和数列{s_n}不存在有限极限，则称该级数发散。
二、正项级数的收敛判定对于正项级数来说，它的每一项都是非负数。
关于正项级数的收敛判定，我们有下面的几个重要定理：1. 比较判别法：若对于正项级数∑a_n和∑b_n，存在正整数N，使得当n≥N时，有a_n≤b_n，则若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛；若∑a_n发散，则∑b_n也发散。
2. 极限判别法：若对于正项级数∑a_n，存在正整数N，使得当n≥N时有 lim_{n->∞}(a_{n+1}/a_n) = L，其中0≤L<1，则∑a_n收敛；若L>1，则∑a_n发散。
3. 积分判别法：若对于正项级数∑a_n，存在正整数N，使得当n≥N时有 a_n = f(n)，且f(x)在区间[N，+∞)上单调递减，则∑a_n与∫^{+∞}_{N}f(x)dx同时收敛或同时发散。
三、任意项级数的收敛判定对于任意项级数，即包含正项和负项的级数，我们有以下两个重要定理：1. 绝对收敛与条件收敛：对于级数∑a_n，若∑|a_n|收敛，则称∑a_n 绝对收敛；若∑a_n收敛而∑|a_n|发散，则称∑a_n条件收敛。
2. 判别法：若对于级数∑a_n，存在正整数N，使得当n≥N时，有判别式D = lim_{n->∞}(|a_{n+1}/a_n|)存在，则：a) 若D<1，则∑a_n绝对收敛；b) 若D>1，则∑a_n发散；c) 若D=1，则判别不出级数的敛散性，需进一步研究。
四、收敛级数的性质在判断级数收敛与发散的过程中，我们还需要了解一些收敛级数的性质：1. 收敛级数的子级数也收敛，并且和不超过原级数的和。
级数的条件收敛和绝对收敛
级数的条件收敛和绝对收敛以级数的条件收敛和绝对收敛为标题，我们将探讨级数的收敛性质。
级数是由一系列项相加而得的无穷和，它在数学中占据重要地位。
在分析级数的收敛性质时，我们关注的是级数在无限项相加之后是否会趋于一个有限的值或者无穷大。
其中，条件收敛和绝对收敛是两种重要的收敛性质。
我们来介绍条件收敛。
一个级数在条件收敛的情况下，指的是当且仅当级数的项满足一定的条件时，级数才会收敛。
具体来说，如果一个级数在去除掉某些项之后变成一个收敛的级数，那么我们称原级数是条件收敛的。
条件收敛的级数在去除掉某些项之后会发散，也就是说，这些项对于级数的收敛性至关重要。
一个经典的例子是调和级数，它是由倒数构成的级数：1+1/2+1/3+1/4+...。
调和级数在去除掉部分项之后可以变成一个收敛的级数，但原级数本身是发散的。
接下来，我们来探讨绝对收敛。
一个级数在绝对收敛的情况下，指的是当且仅当级数的每一项都满足一定的条件时，级数才会收敛。
具体来说，如果一个级数的每一项的绝对值都是收敛的，那么我们称该级数是绝对收敛的。
绝对收敛的级数在去除掉某些项之后仍然会收敛，也就是说，这些项对于级数的收敛性并不重要。
一个经典的例子是幂级数，它是由一系列幂函数的项相加而得的级数。
幂级数在其收敛半径内绝对收敛，而在收敛半径外则发散。
条件收敛和绝对收敛是两种不同的收敛性质，它们之间存在一定的关系。
事实上，绝对收敛的级数一定是条件收敛的，但条件收敛的级数不一定是绝对收敛的。
这是因为绝对收敛要求每一项的绝对值都满足收敛的条件，所以绝对收敛的级数更加严格。
而对于条件收敛的级数，它只要求去除掉某些项之后变成一个收敛的级数，所以条件收敛的级数的收敛性较弱。
在实际应用中，条件收敛和绝对收敛的性质都有其重要意义。
对于条件收敛的级数，我们可以通过去除掉某些项来使其变成一个收敛的级数，从而得到有限的结果。
这在一些实际问题中具有应用价值。
而对于绝对收敛的级数，它的性质更加稳定，不受部分项的影响，更容易进行计算和分析。
函数的级数和收敛性
函数的级数和收敛性函数的级数是数学中的重要概念之一，它在分析学中具有广泛的应用。
级数是由一系列函数项按照一定的规律相加而得到的，而级数的收敛性则是指级数是否能够趋向于一个有限的值。
在本文中，我们将探讨函数的级数以及它的收敛性。
一、级数的定义函数的级数可以表示为：S = f(1) + f(2) + f(3) + ...其中，f(n)是一个函数项，n是一个自然数。
二、级数的收敛性级数的收敛性与函数项的和是否有限有关。
如果函数项的和有限，那么级数是收敛的；如果函数项的和是无限的，那么级数是发散的。
三、级数的收敛判别法有多种方法可以判断一个级数的收敛性，下面介绍其中几种常见的方法。
1. 比较判别法比较判别法是通过将给定级数与一个已知的级数进行比较来判断级数的收敛性。
如果已知级数收敛且比较级数的函数项的绝对值小于等于已知级数的函数项的绝对值，那么该级数也是收敛的。
2. 比值判别法比值判别法使用级数的函数项的绝对值之间的比值来判断级数的收敛性。
如果函数项的绝对值之间的比值随着n的增大而趋于0，那么该级数是收敛的。
3. 根值判别法根值判别法使用级数的函数项的绝对值的n次方根来判断级数的收敛性。
如果函数项的绝对值的n次方根随着n的增大而趋于0，那么该级数是收敛的。
四、级数的应用级数在数学中具有广泛的应用，其中一些常见的应用包括：1. 泰勒级数泰勒级数是一种将一个函数表示为无限项的级数的方法。
通过泰勒级数，我们可以将复杂的函数表示为简单的级数，从而更容易进行计算和近似。
2. 无穷级数无穷级数是一个有无限个项的级数。
无穷级数的研究对于了解数列和函数的性质以及数学分析的发展具有重要意义。
3. 特殊函数许多特殊函数，如正弦函数、余弦函数和指数函数，都可以通过级数展开来表示。
这些特殊函数在数学和物理学中广泛应用。
结论函数的级数和收敛性是数学中重要的概念，对于数学分析和应用领域具有重要作用。
通过对级数的研究，我们可以更好地理解各种函数的性质和行为，为数学和科学领域的进一步发展提供基础。
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级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具. 级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用.
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对于有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数，
这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是:
称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和.
定义2 若数项级数(1)的部分和数列 {Sn }收敛于 S
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(即
lim
n
Sn
S
),
则称数项级数(1)收敛,
S 称为数
项级数(1)的和,记作
S u1 u2 L un L , 或 S un . n1
若 {Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散.
定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要
条件是:任给正数 , 总存在正整数 N ,使得当 m N
以及对任意的正整数 p 都有
um1 um2 L um p .
(6)
根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻
写出级数(1)发散的充要条件是: 存在某正数 0 , 对
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n
nnnn
lim
n
1
1 n2
1
n2
n
nn
10
所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.
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例5
运用级数收敛的柯西准则证明级数
1 n2
收敛.
证 由于
um1 um2 L um p
1
1
1
(m1)2 (m2)2 L (m p)2
1
1
L
1
m(m1) (m1)(m2)
(m p1)(m p)
u2m
1 1 L m1 m2
1 2m
1 1 L 1 1 ,
2m 2m
2m 2
故取
0
1 2
,
对任何正整数
N
只要
m
>
N
和
p
=
m
就有(7)式成立，因此调和级数发散.
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例4 判断级数
n
1 n
n
n1
nn
1 n
的敛散性.
解 因为
1
lim
n
1 n
n
n
nn
1 n
lim
n
n
1
n
1
1,
因此级数 (4) 收敛,且其和为 1.
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注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它
的部分和数列 {Sn } 来确定, 因而也可把级数(1)作为
数列 {Sn } 的另一种表现形式. 反之, 任给一个数列
{an }, 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则
这个数项级数就是
例1 讨论等比级数(也称几何级数)
a aq aq2 L aqn L
(3)
的收敛性(a≠0).
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解 q≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为
Sn
a aq L
aqn1
a1 qn 1q
.
因此
(i) 当
q
1 时,
lim
n
Sn
lim a1 qn n 1 q
a. 1q
此时级
数(3)收敛,其和为
1
a
q
.
(ii) 当
q
1
时,
lim
n
Sn
, 此时级数(3)发散.
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(iii) 当 q 1时, Sn na, 级数发散. 当q 1 时, S2k 0, S2k1 a, k 0,1,2,L , 级数发散. 综合起来得到: q 1时, 级数(3)收敛; q 1时, 级
数(3)发散.
例2 讨论数项级数
1 1 L 1 L
(4)
12 23
n(n 1)
的收敛性.
解 级数(4)的第n个部分和为
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Sn
1 1 L 12 23
1 n(n 1)
由于
1
1 2
1 2
1 3
L
1 n
1 n 1
1 1 . n1
lim
n
n a1 (a2 a1 ) (a3 a2 ) L (an an1 ) L . (5)
n1
这时数列{an }与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当
{an }收敛时,其极限值就是级数(5)的和.
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基于级数与数列的这种关系,读者不难根据数列极
限的性质得出下面有关级数的定理.
1 [(1) 1] [(1) 1] L 1 0 0 0 L ,
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则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本
问题:“无限个数相加”是否存在“和”;如果存在,
“和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能
简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新
的理论.
定义1 给定一个数列{un}, 将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式
任何正整数N,总存在正整数m0(>N)和p0，有
um0 1 um0 2 L um0 p0 0 .
(7)
由定理12.1立即可得如下推论.
推论(级数收敛的必要条件) 若级数(1)收敛,则
lim
n
un
0.
注 推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于
零, 级数一定发散, 但一般项趋于零, 则级数未必
1 2
1 22
1 23
L
1 2n
L
,
前页 后页 返回
由于前 n 项相加的和是
1
1 2n
，可以推测这“无限
个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数
相加”的表达式
1 (1) 1 (1) L
中，如果将其写作
(1 1) (1 1) (1 1) L 0 0 0 L ,
结果肯定是0，而写作
1 m
1 m
1
1 m
1
1 m
2
L
m
1 p
1
1 m
p
前页 后页 返回
1 1 1. m m p m
因此,
对任意
0,
可取N
1
,
当m>N及任意正
整数 p,由上式可得
收敛，因此用来判断级数发散很有效. 如级数
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1 (1) 1 (1) L
因为一般项un=(1)n-1不趋于零，所以发散.
例3 讨论调和级数
的敛散性.
1 1 1 L 1 L
23
n
解
这里一般项
un
1 n
0
,不能利用推论判断级数
的敛散性.
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若令 p = m, 则有
um1 um2 L
u1 u2 L un L
(1)
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称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 un
称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也
常记为 un . 在不致误解时可简记为 un . n1
数项级数(1)的前n项之和记为
n
Sn uk u1 u2 L un ,
(2)
k 1