03三铰拱受力分析
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第3章静定结构受力分析三铰拱
将以上两式代入上方程得 :
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy
1 [q R 2R
R 2
FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy
1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy
1 [q R 2R
R 2
FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy
1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
三铰拱
H
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 在竖向荷载作用下， 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。 图的竖标成正比。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线 MC0=ql2/8 H=ql2/8f /8f M0=qlx/2-qx2 /2 qlx/2=qx(l-x)/2 qx( y=4fx(l-x)/l2 =4fx( )/l 抛物线
二、三铰拱的数解法 ----支反力计算 支反力计算 三铰拱的竖向反 P1 P2 C 力与其等代梁的 XB 反力相等 水平反 f 反力相等;水平反 H A B 力与拱轴线形状0 XA Mc YA 荷载与跨度 l/2 l/2 无关.荷载与跨度 无关 YB YA l 一定时， 一定时，水平推 YA0 等代梁 P1 P2 力与矢高成反比. 力与矢高成反比 A 请问:有水平荷载 有水平荷载,或 请问 有水平荷载 或 B C 不在顶部,或 铰C不在顶部 或 不在顶部 1 l l a1 b1 H = [Y A × P1 ( a1 )] f 2 2 不是平拱,右边的结 不是平拱2右边的结2 Y 0 0 b a YA B l l 0 0 论还是正确的吗? 论还是正确的吗 M c = [Y A × P1 ( a1 )]
YB=YB0 XA=XB =H
YA二、三铰拱的数解法 ----内力计算 内力计算 y P QK M K 1 K C P2 P 1 NK 三铰拱的内力不但与荷 y f 载及三个铰的位置有关， 载及三个铰的位置有关，而 XB X A 0 x A B P 1 MK YA 且与拱轴线的形状有关。 且与拱轴线的形状有关。 x XA l/2 l/2 0 0 QK YA 由于推力的存在，拱的 YA 由于推力的存在， YB l 弯矩比相应简支梁的弯矩要 0 M K = M K Hy P2 P1 小。 K
03-讲义：4.1 概述及三铰拱的受力分析
第四章静定拱和悬索结构拱结构是一种主要承受轴向压力并由两端推力维持平衡的曲线或折线形构件。
拱结构的主要内力为压力，使构件摆脱了弯曲变形。
如采用抗压性能较好的材料（如砖石或混凝土），则能充分发挥材料性能。
悬索结构是由柔性受拉索及其边缘构件所形成的承重结构，它能充分利用高强材料的抗拉性能，可以做到跨度大、自重小、省材料、易施工。
本章主要针对这两种受力性能截然不同的结构，讲述其内力分析方法，并对受力特性进行讨论。
第一节概述和三铰拱的计算拱式结构是应用较广泛的工程结构形式之一，我国远在古代就在桥梁和房屋建筑中采用了拱式结构。
图4-1（a）所示为修建于公元606年前的河北赵州桥，跨径37.02m，桥高7.23m，宽9.6m，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，经历了多次水灾、战乱和地震，却安然屹于清水河上，被称为中国工程界一绝。
在近代土木工程中，拱式结构是桥梁、隧道及屋盖中的重要结构型式之一。
图4-1(b)为2003年建成的主跨跨径达550m的上海芦浦大桥，是当今世界跨度第二长的钢结构拱桥，也是世界上首座完全采用焊接工艺连接的大型拱桥。
（a）（b）图4-1 拱式结构工程实例(a)赵州桥(b) 上海芦浦大桥为了说明拱式结构和梁式结构的受力特点，可将图4-2(a)、图4-2(b)及图4-2(c) 所示三种情况做一对比，这三种情况下结构所受的荷载及跨度均相同。
图4-2(a)所示为简支梁，在竖向荷载作用下，梁内有弯矩和剪力。
图4-2(b)所示结构，其杆轴虽为曲线，但在竖向荷载作用下支座并不产生水平支反力，它的弯矩图与图4-2(a)所示简支梁相同（剪力和轴力发生变化），故称为曲梁。
曲梁在竖向荷载作用下将在支座B处产生水平位移。
若用支承链杆约束该处的位移则变为图4-2(c)所示的情况，这种结构在竖向荷载作用下会产生水平推力，故属于拱式结构。
由此可见，水平推力的存在是拱式结构区别于梁式结构的一个重要标志，因此通常又将拱式结构称为有推力结构。
第2章3静定结构受力分析-三铰拱
3m FBy =10kN
（a）
解:（1）反力计算 由式（2-1）知
FAy
FA0y
6 8 3 1 6 3 4 kN 12
FBy
FB0y
1 6 9 8 9 6 10 kN 12
FH
M
0 C
f
4 6 6 4.5 kN 4
（2）内力计算：沿x轴方向分拱跨为12等份，以x=3m
截面为例
FH
M
0 C
f
反比。
2. 4 三铰拱受力分析
例题 2-8 试求图示等高三铰拱的支座反力。
解：
MA 0
FBy 10 m 80 kN 2.25 m 40 kN 2.5 m 10 kN 7.5 m 30 kN/m 5 m 2.5 m 20 kN m 0
Fy 0
FBy 75 kN FAy 125 kN
FH yK
FQ K FAy cosK FPi cosK FH sinK
FAy FPi cosK FH sinK
FPn B
FQ0K FAy FPi
FQK FQ0K cosK FH sinK
（d）
FP1 FP2
FNK FAy FPi sinK FH cosK FQ0K sinK FH cosK
图2-26 三铰拱内力计算
2. 4 三铰拱受力分析
竖向荷载下拱K 截面内力的计算公式为
MK FN K
0 K
FQ0K
FH yK
cosK
FH
sin K
FN K
FQ0K
sin K
FH
cos
K
弯矩以拱内侧纤维 受拉为正；剪力以 使隔离体顺时针转 动为正；轴力以压 为正、拉为负。
第4章三铰拱和悬索结构的受力分析
用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如 表4-1所示。
(4)作内力图
5 67 60.6 60 60.6
58.1 D A C E B
D A
C
76
E
15
20
15
5
B
78 91.9
78 77.8
20
M图(kN· m)
FN图(kN)
FP=40kN C E f=4m E yE
C 4.9
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线， 是最合理的拱轴线。
四、带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算 【例4-2】试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用 F F F I l 下的支座反力和内力。
(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）
(2) 由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项）， 拱与相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。 弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为 正、压力为负）。
FH=60kN
A
x
4m 4m 4m l=16m 4m
FVA=70kN
FVB=50kN
将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值 1）弯矩计算
0 ME ME FH y E 200 60 3 20 kN m
2）剪力计算
0 FQ E左 FQE 左 cos E FH sin E (10)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN F 0 F Q E右 QE 右 cos E FH sin E (50)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN
第三章_静定结构的受力分析(第3课)
例
y= 4f x (l - x ) l2
0 M C 16? 6 3创 9 6 H= = = 10.5kN f 4 2 计算内力
3kN/m
y
10kN
D B
D截面的几何参数
4f 4´ 4 x(l - x) = ? 9(12 9) = 3m 2 2 l 12 dy 4 f 4´ 4 tgj D = = 2 (l - 2 x) = (12 - 2? 9) dx l 122 y=
31
结点A
å
Fy = 0
FyAD
FNAD FxAD
FyAD = - 30kN FxAD = FyAD (lx l y ) = - 30(2 1) = - 60kN FNAD = FyAD (l l y ) = - 30( 5 1) = - 67.08kN （压）
A
FNAE
30kN
5
2
1
å
结点E
Fx = 0
2) 截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余 各杆都交于同一点(或都彼此平行)，则此杆也是 单杆。
合理拱轴线
均匀水压力
q
圆弧
A
B
土压力
qc q(x) x C
y=
qc (cosh k x - 1) g
悬链线
A y B
总结
要点:
三铰拱的主要特征：由曲杆组成；竖向荷载下产生水平支座反力;
支座反力和内力的计算公式; 拱截面上的应力比梁的均匀.，因此拱形结构比梁能跨越更大的跨度， 承担更大的荷载; 合理拱轴线.
解
M 0 ( x) =
B
y
A
l 2
f
x
ql 1 qx x - qx 2 = (l - x) 2 2 2
y= 4f x (l - x ) l2
0 M C 16? 6 3创 9 6 H= = = 10.5kN f 4 2 计算内力
3kN/m
y
10kN
D B
D截面的几何参数
4f 4´ 4 x(l - x) = ? 9(12 9) = 3m 2 2 l 12 dy 4 f 4´ 4 tgj D = = 2 (l - 2 x) = (12 - 2? 9) dx l 122 y=
31
结点A
å
Fy = 0
FyAD
FNAD FxAD
FyAD = - 30kN FxAD = FyAD (lx l y ) = - 30(2 1) = - 60kN FNAD = FyAD (l l y ) = - 30( 5 1) = - 67.08kN （压）
A
FNAE
30kN
5
2
1
å
结点E
Fx = 0
2) 截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余 各杆都交于同一点(或都彼此平行)，则此杆也是 单杆。
合理拱轴线
均匀水压力
q
圆弧
A
B
土压力
qc q(x) x C
y=
qc (cosh k x - 1) g
悬链线
A y B
总结
要点:
三铰拱的主要特征：由曲杆组成；竖向荷载下产生水平支座反力;
支座反力和内力的计算公式; 拱截面上的应力比梁的均匀.，因此拱形结构比梁能跨越更大的跨度， 承担更大的荷载; 合理拱轴线.
解
M 0 ( x) =
B
y
A
l 2
f
x
ql 1 qx x - qx 2 = (l - x) 2 2 2
第3章 三铰拱
（二） 对称三铰拱的数解法
1. 计算支座反力
图示三铰拱中，共有 四个反力： VA、HA、VB、HB。 根据整体的平衡 条件可建立三个 平衡方程： ∑MA=0 ∑MB=0 ∑X=0 再取中间铰一侧隔离 体， ∑ MC=0， 由这四个方程可 解出四个反力。
由∑MB= 0，得： VAl－P1b1－ P2b2－…= 0 VA= (P1b1 ＋ P2b2 ＋ …)/ l V0A 由∑MA= 0，得： VB= (P1a1＋ P2a2＋…)/ l V0B 把两个竖向反力VA 、VB与相应简支梁支座反力V0A 、 V0B 相比，可知竖向荷载作用下，对称三铰拱的竖向反力与 其相应简支梁的反力完全相同。
两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线t为 投影轴。
∑n = 0 ，得： QD = VA cosφD －P1 cosφD －P2 cosφD －H sinφD = (V0A－P1－P2) cosφD －H sinφD
= Q0D cosφD －H sinφD
∑t = 0 ，得： ND = VA sinφD - P1 sinφD -P2 sinφD +H cosφD = (V0A－P1－P2) sinφD +H cosφD
由∑X= 0，得： HA= HB = H 中间铰左侧隔离体 ∑MC=0 得：
∑ MC =
VAl1－P1(l1 － a1) － P2(l1 － a2) － P3(l1 － a3)－ H f = 0 得： H=[VAl1－P1(l1 － a1)－ P2(l1 － a2)－ P3(l1 － a3)] / f 因 VA = V0A ，得：H= M0C / f M0C为相应简支梁截面C的弯矩。
最后根据本例的已知条件，进行具体计算。
VA=VB= V0A = q l / 2= 4× 16 / 2 = 32kN H = (q l 2 / 8) / f = (4× 162 / 8) / 4 = 32kN
第3章 三铰拱
1 1 2 1 M qlx qx ql x x 2 ql x x 8f l 2
M = M0 －Hy = 0 可见，拱内无弯矩。
(3) 任一截面的剪力
dy 4 f 8 f 4f 2 x 由于 y 2 l x x dx l l l dy 4f 8f sin tg cos cos 2 x cos dx l l Q Q 0 cos H sin
1 ql 2 ql x x y 2 8f
令 M＝ 0，
1 ql 2 ql x x y0 2 8f
得合理拱轴方程： 4f y 2 l x x l
可见，合理拱轴方程是二次抛物线，与前 例所给的拱轴方程完全一致。 要使拱处于无弯矩状态，只有在恒载作用 情况下才有可能做到。工程实际中的结构，往 往同时受恒载和活载的共同作用，而活载是时 而出现，时而消失的(如人群、风雪荷载等)， 或是移动的(如吊车、车辆荷载等)，这就很难 使拱内完全不出现弯矩。 设计中以正常使用情况下经常出现的荷载 为依据，选择一个拱轴，使之弯矩尽量减少。
例中，已知二次抛物线拱在全跨受竖向均布 荷载作用下，各截面均无弯矩。现假设拱轴方程y 为未知，但三个铰的位置已定，铰C在拱顶处， 如图示。 现按照上述方法，求其合理拱轴方程。
由平衡条件可求出三铰拱的反力。 任一截面的弯矩为：
2 1 1 ql M M 0 Hy ( qlx qx2 ) y 2 2 8f
两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线t为 投影轴。
∑n = 0 ，得： QD = VA cosφD －P1 cosφD －P2 cosφD －H sinφD = (V0A－P1－P2) cosφD －H sinφD
= Q0D cosφD －H sinφD
M = M0 －Hy = 0 可见，拱内无弯矩。
(3) 任一截面的剪力
dy 4 f 8 f 4f 2 x 由于 y 2 l x x dx l l l dy 4f 8f sin tg cos cos 2 x cos dx l l Q Q 0 cos H sin
1 ql 2 ql x x y 2 8f
令 M＝ 0，
1 ql 2 ql x x y0 2 8f
得合理拱轴方程： 4f y 2 l x x l
可见，合理拱轴方程是二次抛物线，与前 例所给的拱轴方程完全一致。 要使拱处于无弯矩状态，只有在恒载作用 情况下才有可能做到。工程实际中的结构，往 往同时受恒载和活载的共同作用，而活载是时 而出现，时而消失的(如人群、风雪荷载等)， 或是移动的(如吊车、车辆荷载等)，这就很难 使拱内完全不出现弯矩。 设计中以正常使用情况下经常出现的荷载 为依据，选择一个拱轴，使之弯矩尽量减少。
例中，已知二次抛物线拱在全跨受竖向均布 荷载作用下，各截面均无弯矩。现假设拱轴方程y 为未知，但三个铰的位置已定，铰C在拱顶处， 如图示。 现按照上述方法，求其合理拱轴方程。
由平衡条件可求出三铰拱的反力。 任一截面的弯矩为：
2 1 1 ql M M 0 Hy ( qlx qx2 ) y 2 2 8f
两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线t为 投影轴。
∑n = 0 ，得： QD = VA cosφD －P1 cosφD －P2 cosφD －H sinφD = (V0A－P1－P2) cosφD －H sinφD
= Q0D cosφD －H sinφD
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如何根据弯矩图勾画挠曲线大致形状？ 根据几何组成情况刚架可分成哪些类型？
试说明单体刚架求解的一般步骤？
试说明三铰刚架求解的一般步骤？ 试说明有基本-附属部分刚架的求解步骤？ 何谓反问题？一般来说反问题能否得到唯一解？ 何谓静定组合结构？他的求解应注意什么？ 各类静定结构受力各有什么特点？结构方案设 计时应该如何考虑？ 静定结构的基本性质是什么？由他派生出那些 性质？
H
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线 MC0=ql2/8 H=ql2/8f
M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 y=4fx(l-x)/l2
抛物线Βιβλιοθήκη 第二章应能回答的问题YB=YB0
YA=YA0
2
2
XA=XB =H
H= MC0 / f
二、三铰拱的数解法 ----内力计算 MK y P Q K 1 K C P2 P1 NK 三铰拱的内力不但与荷 y XA f 载及三个铰的位置有关，而 x A B XB P1 M 0 K Y 且与拱轴线的形状有关。 A x XA l/2 l/2 0 0 Q YB YA 由于推力的存在，拱的 YA K l 弯矩比相应简支梁的弯矩要 0 M M Hy K K P 2 小。 P1 K
一、概述
3.拱的分类
超静定拱
静定拱
两铰拱
三铰拱 拉杆 拉杆拱
高差h
超静定拱
无铰拱
斜拱
拱 (arch)
一、概述
4.拱的有关名称 顶铰 拱肋 拱趾铰 跨度 拱肋 拱趾铰 矢高
二、三铰拱的数解法 ----支反力计算 三铰拱的竖向反 P1 P2 C 力与其等代梁的 XB 反力相等 f ;水平反 H A B 力与拱轴线形状 0 XA M c Y l/2 l/2 A 无关.荷载与跨度 Y YA B l 一定时，水平推 YA0 等代梁 P1 P2 力与矢高成反比. A 请问 :有水平荷载 ,或 B C 铰C 不再顶部 ,或 1 l l a b 1 1 H [YA P a1 )] 1( f 2 2 不是平拱 , 右边的结 0 0 b a YA 2 YB 2 l l 0 0 M c [YA P a1 )] 论还是正确的吗? 1(
第二章 静定结构受力分析
§2-3 三铰拱受力分析
拱 (arch)
一、概述
1.拱的定义
这是拱结构吗?
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
曲梁
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。 拱
拱 (arch)
一、概述
2.拱的受力特点
拱
曲梁
P
拱比梁中的弯矩小
拱 (arch)
梁式杆件内力有几个？ 杆端内力如何标记？习惯上杆端轴力、剪力正、 负号如何规定？杆端弯矩正、负如何规定？作弯 矩图有何规定？ 如何求指定截面的内力？轴力图和轴向荷载， 弯矩图、剪力图和横向荷载间有何关系？ 何谓区段叠加法？进行区段叠加时应注意什么？ 静定结构内力分析应该遵循什么基本原则？ 静定结构内力分析的基本方法是什么？试说明 受弯结构内力分析的一般步骤。
A C
三铰拱在竖向荷载作用 a1 b1 下轴向受压。 0 0
YA a2 b2 Y B
B
QK Q cos H sin
0 K
NK Q sin H cos
0 K
三、三铰拱的合理拱轴线
(reasonable axis of arch)
使拱在给定荷载下只 0 M M H y 0 产生轴力的拱轴线，被 称为与该荷载对应的合 0 M 理拱轴 y
从组成方式来分类，平面桁架有哪些类型？ 从竖向荷载下反力的性质来分类，平面桁架有 哪些类型？ 何谓结点法？何谓截面法？结点法、截面法求 桁架杆内力时应注意什么？ 何谓“单杆”？那些情况下单杆是零杆？除单 杆外还有哪些情况杆件内力为零（零杆）？ 三铰拱有何特点？一般来说应如何求反力和指 定截面内力？ 何谓合理拱轴？竖向荷载下合理拱轴与什么有 关？ 何谓基本部分、附属部分？如何将多跨静定梁 变成带外伸的单跨梁并作出叠层关系图？
作业：