2019-2020学年辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题

大连市2019~2020学年第一学期期末考试试卷高一数学注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}3B x N x =∈<则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3,4C ．{}1,2D ．{}1,2,3 2．已知命题:1p x ∀>，lg 0x >，则p ⌝为（ ） A ．1x ∀>，lg 0x ≤ B ．1x ∃>，lg 0x > C ．1x ∃≤，lg 0x ≤ D ．1x ∃>，lg 0x ≤ 3．下列幂函数为偶函数的是（ ）A ．13y x = B ．12y x = C ．23y x = D ．32y x = 4．如果12,,,n x x x 的平均数2x =，方差21s =，则1221,21,,21n x x x +++的平均数和方差分别为（ ）A ．5，5B ．5，4C ．4，3D ．4，25．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，3a b =+，则a b -=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．根据天气预报，某一天A 城市和B 城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（ ） A ．0.16 B ．0.48 C ．0.52 D ．0.847．函数()2121x x f x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为23； ②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005； ③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽； ④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次． A ．②④ B ．①④ C ．①② D ．②③ 9．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c 则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；③若23xa yb a b +=+，则2x =，3y =；④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=． A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④10．已知定义在R 上的函数()f x ，下列说法中正确的个数是（ ）①()()f x f x +-是偶函数；②()()f x f x --是奇函数；③()()f x f x -是偶函数；④()f x 是偶函数；⑤()f x 是偶函数．A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数()xf x e =与函数()g x 的图像关于y x =对称，若()()()g a b g b a =<，则4a b +的取值范围是（ ）A ．[)4,+∞B ．()4,+∞C ．[)5,+∞D ．()5,+∞ 12．函数()()211lg 111xf x gx x x+=++++-，则关于x 的不等式()()212f x f x +-<的解集为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知()1,3AB =，()2,1AC =-，则CB =________．14．现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）： 甲：86，79，82，91，83，89，94，89 乙：90，92，，80，84，95，94，90已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为________，的值为________．（本题第一空3分，第二空2分）15．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF x AB y AC =+，则xy 的最大值为________．16．设0a >且1a ≠，函数()2log a f x x ax =-在[]2,3上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）关于x 的不等式1x a -<的解集为A ，关于x 的不等式2320x x -+≤的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分） 已知正数a ，b ，c ，求证：4a b +，9b c +，1c a+这三个数中，至少有一个不小于4． 19．（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，已知2AE EB =，3BF FC =，设AB a =，AD b =，（Ⅰ）用向量a 和b 表示向量DE ，AF ；（Ⅱ）若DO xDE =，AO y AF =，求实数x 和y 的值． 20．（本小题满分12分）某电子产品厂商新推出一款产品，邀请了男女各1000名消费者进行试用，并评分（满分为5分），得到了评分的频数分布表如下： 男性： 评分结果 [)0,1 [)1,2 [)2,3 [)3,4 []4,5频数 50200350300100女性： 评分结果 [)0,1 [)1,2 [)2,3 [)3,4 []4,5频数250300150100200（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别比较男女消费者评分的中位数的相对大小，以及方差的相对大小（其中方差的相对大小给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）现从男女各1000名消费者中，分别按评分运用分层抽样的方法各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从评分不小于4分的人中任取2人，求这2人性别恰好不同的概率． 21．（本小题满分12分） 已知函数()()22log 2log 8a xf x x =（常数a R ∈）． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x ≤的解集； （Ⅱ）当1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值．22．（本小题满分12分） 已知函数()()22x xaR f x x =+∈为偶函数． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）证明()f x 在[)0,+∞上为增函数；（Ⅲ）若关于x 的方程()()230f x f x λ+-=有两个不等的实根，求实数λ的取值范围．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、选择题和填空题每题均5分，其中（14）题第一空3分，第二空2分． 一、选择题：1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A 9．B 10．C 11．D 12．A 二、填空题：13．()3,2 14．89，87 15．11616．()(]0,13,4三、解答题：17．解：因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集 2分 解不等式1x a -<，得11a x a -+<<+，所以{}11A x a x a =-+<<+， 4分 解不等式2320x x -+≤，得12x ≤≤， 所以{}12B x x =≤≤， 6分因为集合B 是集合A 的真子集，所以1112a a -+<⎧⎨+>⎩， 8分即12a << 10分18．证明：假设这三个数都小于4，即44a b +<，94b c +<，14c a+<， 所以49112a b c b c a+++++< 2分 因为a ，b ，c 均大于0，根据均值不等式有，49114912a b c a b c b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分 当且仅当1a =，2b =，3c =时，等号成立． 10分 这与49112a b c b c a+++++<矛盾，因此假设不成立，从而这三个数中，至少有一个不小于4． 12分19．解：（Ⅰ）2233DE AE AD AB AD a b =-=-=- 3分 3344AF AB BF AB BC a b =+=+=+ 6分（Ⅱ）因为3243AD AO OD AO DO y AF xDE y a b x a b ⎛⎫⎛⎫=+=-=-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2334y x a y x b b ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 9分即231034y x a y x b ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为a 与b 不共线，从而2033104y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得2349x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12分20．解：（Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，4分由频率分布直方图可以看出，男性消费者评分的中位数在区间[)2,3内，女性消费者评分的中位数在区间[)1,2内，所以男性消费者评分的中位数大．由图估计男性消费者评分的方差小． 6分（Ⅱ）运用分层抽样的方法从1000名男消费者中抽出20人，打分不小于4的人数为2人，记作a ，b ；运用分层抽样的方法从1000名女消费者中抽出20人，打分不小于4的人数为4人，记作A ，B ，C ，D ． 在这6人中任意抽取两人，所得样本空间为：{},,,,,,,,,,,,,,ab aA aB aC aD bA bB bC bD AB AC AD BC BD CD Ω=，共包含15个样本点． 9分把两人性别恰好不同这个事件记作M ，则{},,,,,,,M aA aB aC aD bA bB bC bD =，共包含8个样本点．()815P M ∴=． 12分 21．解：（Ⅰ）由题意可得()()2222log 2log log log 80x x +-≤()()22log 1log 30x x +-≤1log 23x -≤≤2221log log log 82x ≤≤ 182x ≤≤ 解集为182xx ⎧≤≤⎫⎨⎬⎩⎭． 4分 （Ⅱ）()()22log 2log 8a xf x x = ()()2222log 2log log log 8a x x =+-()()22log log 3x a x =+-()()222log 3log 3x a x a =+-- 6分令2log u x =，因为1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]2,3u ∈-求()f x 在1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值即求函数()()233g u u a u a =+--在[]2,3u ∈-上的最小值，()()22233()3324a a g u u a u a u +-⎛⎫=+--=--⎪⎝⎭时，[]2,3u ∈- 8分 当332a-≥时，即3a ≤-时， 易知函数()g u 在[]2,3-为减函数，所以()()min 30g u g ==；当3232a--<<时，即37a -<<时， 易知函数()g u 在32,2a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，在3,32a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，所以 ()()22min3324a a g u g +-⎛⎫==- ⎪⎝⎭； 当322a-≤-即7a ≥时， 易知函数()g u 在[]2,3-为增函数，()()min 2105g u g a =-=- 11分综上，当3a ≤-时，()f x 的最小值为0； 当37a -<<时，()f x 的最小值为()234a +-；当7a ≥时，()f x 的最小值为105a - 12分 22．解：（Ⅰ）因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，有2222x xx x a a --+=+，即()11202x xa ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 因为对任意的实数x ，上式恒成立，所以1a = 3分 （Ⅱ）任取1x ，[)20,x ∈+∞，且12x x <，()()()1212121212111122222222x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭()12121221222x x x x x x ++-=-又由210x x >≥，得1222x x <，1221x x +>，即12220x x +<，12210x x+->，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[)0,+∞上为增函数． 6分（Ⅲ）因为()()230f x f x λ+-=，()122x xf x =+，所以 2211223022x x xxλ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2112232022x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于函数122x x y =+为偶函数，在[)0,+∞上为增函数，易知[)2,y ∈+∞， 当1222x x+=时，即0x =，代入原方程 2112232022x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得12λ=，此时方程21112240222x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭仅有一个根0x =，所以不符合题意；令122x xu =+，()2,u ∈+∞， 则任取()02,u ∈+∞，关于x 的方程0122x x u +=均有两个不同的实数根， 因此若原方程有两个不同的实数根，只需关于u 的方程2320u u λλ+--=在()2,+∞上满足：①当0λ≠时，有两个相等实数根，或者一个实数根（且另一个实数根小于2）()2214328121λλλλ∆=---=++设函数()232g u u u λλ=+--，()2,u ∈+∞所以281210122k λλ⎧++=⎪⎨->⎪⎩或者()20g λ⋅<，解得：102λ<<或34λ-= 11分②当0λ=时，2320u u λλ+--=解得3u =，此时原方程有两个不等的实数根，符合题意． 综上：102λ≤<或34λ-= 12分。