应用数理统计复习题(2014)

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应用数理统计作业题及参考答案（第一章）

应⽤数理统计作业题及参考答案（第⼀章）第⼀章数理统计的基本概念P261.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的⼦样，求最⼤顺序统计量()n X 与最⼩顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。

解：(){}{}()12nn i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤= ，，，.()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=??=.(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>> ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>>{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-?-≤??-≤??-≤()11nF x =-?-()()()()1111n f x F x n F x f x -'=??=?-.1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，，今抽取容量为5的⼦样1X ，2X ，…，5X ，试问：（i ）⼦样的平均值X ⼤于13的概率为多少？（ii ）⼦样的极⼩值（最⼩顺序统计量）⼩于10的概率为多少？（iii ）⼦样的极⼤值（最⼤顺序统计量）⼤于15的概率为多少？解：()~124X N ，，5n =，4~125X N ??∴ ??，. （i ）{}{}()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>> ，，，{}{}{}5551111011101110i i i i P X P X P X ===->=-?-()12~012X Y N -=，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---∴<=<=<-=<-{}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=.{}[]5min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.（iii ）{}{}{}{}{}55max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-? {}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.1.4 试证：（i ）()()()22211nni i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成⽴。

应用数理统计试题库

一填空题 1设621,,,X X X 是总体)1,0(~N X 的一个样本，26542321)()(X X X X X X Y +++++=。

当常数C = 1/3 时，CY 服从2χ分布。

2 设统计量)(~n t X ，则~2X F(1,n) ，~12X F(n,1) 。

3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2σu N X 的一个样本，当常数C = 1/2（n-1）时，∑-=+-=11212)(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。

4 设)),0(~(2σεεβαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。

对于固定的0x ，则0x βα+~ ()20201,x x N x n Lxx αβσ⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥++ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭。

5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，，2，2，，为样本，则λ的矩估计值为ˆλ＝。

6．设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 ()()()()222212211,11n S n S n n ααχχ-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦。

7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8221,10μ令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛202121，则Y 的分布为 ()12,02TN A A A A μ⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 。

8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：表2 极差分析数据表则（1）较好工艺条件应为22121A B C D E 。

（2）方差分析中总离差平方和的自由度为 7 。

（3）上表中的第三列表示 A B ⨯交互作用。

9．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。

则y 关于x 的线性回归模型为 ()ˆ 2.356 1.813~0,1.611yx N εε=++ 10设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 12x - ，极大似然估计量为 max{X 1,X 2,…,X n } 。

中国农业大学《应用数理统计》期末考试-2014

1
这个负责人的看法？（ α = 0.05 ）将此问题转化成统计问题，利用所学知识给出合理的、令人信服的推断，推断过程的每一步要给出理由或公式。对涉及到的数据运算作合理的近似计算或估算则可。可能用到的标准正态分布的分位点有： u 0.90 = 1.28, u 0.95 = 1.65, u 0.975 = 1.96, u 0.995 = 2.58 。六、（20 分）某医院用光色比色计检验尿贡时，得尿贡含量与肖光系数读数的结果如下：尿贡含量 x 肖光系数 y 2 64 4 138 6 205 8 285 10 360
已知它们之间有下述关系式： yi = β 0 + β1 xi + ε i i = 1, 2,3, 4,5 各 ε i 相互独立，均服从 N (0,σ 2 ) 分布，试求 β 0 , β1 的最小二乘估计，并给出检验（ α = 0.05, F0.95 (1,3) = 10.1 ）假设 H 0 : β1 = 0 的拒绝域。
2
三、（20 分）有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果
如下：实验号甲乙 1 4.3 3.7 2 3.2 4.1 3 8 3.8 4 3.5 3.8 5 3.5 4.6 6 4.8 3.9 7 3.3 2.8 8 3.9 4.4
试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？（ α = 0.05 ） t0.975 (7) = 2.3646, t0.975 (14) = 2.1448
中国农业大学研究生《应用数理统计》期末考试试题（2014.12.21）学院：学号：姓名：
（说明：把答案写在答题册上，可以使用简易计算器，考试时间 120 分钟）
一、（10 分）设 X 1 , X 2 ,L , X n 是来自正态总体 N (0, σ 2 ) 的简单样本，

应用数理统计复习题Word版

应用数理统计复习题一、填空题1.设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，样本均值及样本方差分别为，221111,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，设112,,...n n X X X X +与独立同分布，则统计量~Y =。

2.设21~(),~T t n T 则。

3.设总体X 的均值为μ，12,,...,n X X X 为样本，当a = 时，E 21()nii Xa =-∑达到最小值。

4. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1||,()nii D XE D μ==-=∑则5.设总体X 的均值和方差分别为a , b , 样本均值及样本方差分别为221111,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，则 E (S 2 )= 。

6.在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值 X 落在4与6之间的概率 =6. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则λ的矩估计值为ˆλ＝。

7. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，12211ˆ()n i i i c XX σ-+==-∑，若2ˆσ为2σ的无偏估计，则 c = 。

8. 设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为，极大似然估计量为。

9. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ未知，σ2已知，为使μ的置信度为1－α的置信区间长度不超过L ，则需抽取的样本的容量n 至少为。

10. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为。

11设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8221,10μ令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛202121，则Y 的分布为 (要求写出分布的参数) 12. 设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θˆ ；=)ˆ(θD 。

北航2014级硕士研究生应用数理统计答案(B卷)Word版

2014－2015 学年第一学期期末试卷答案学号姓名成绩考试日期： 2015年1月13日考试科目：《应用数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设122,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，则c =n mm- 时，统计量2221122211()()mkk k nk k k m xx cx x η-=-=+-=-∑∑服从F -分布。

2. 设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，用22211ˆ()ni i nx x n σ===∑估计2σ，则均方误差2222ˆ()E σσσ- 42σ 。

3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则2()q θθ=的矩估计ˆq = 294x 或212n i i x n =∑ 。

4．在双因素方差分析中，总离差平方和T S 的分解式为T A B A B e S S S S S ⨯=+++其中2111()p q re ijk ij i j k S x x ⋅====-∑∑∑，11rij ijk k x x r ⋅==∑，则e S 的自由度是 (1)pq r - 或n pq -，其中n pqr = 。

二、（本题12分）设总体X 的密度函数为111,(0,1)(;)0,(0,1)x x f x x θθθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 的简单样本。

（1）求θ的极大似然估计ˆθ；（2）求θ的一致最小方差无偏估计；（3）问θ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。

解（1）似然函数为(1)()11{01}1211()()(,,,)n ni x x n ni L x I x x x θθθ-<≤<==∏对数似然函数为(1)(){01}1211ln ()ln (1)ln ln (,,,)n ni x x n i L n x I x x x θθθ<≤<==-+-+∑求导，有21ln ()1ln nii L n x θθθθ=∂=--∂∑令ln ()0L θθ∂=∂，可得θ的极大似然估计为11ˆln n i i x n θ==-∑。

2014应用统计试题

山东科技大学2014—2015学年第一学期硕士研究生《应用统计》考试试卷班级姓名学号一、填空题（每空3分，共36分）1．设某样本观测值为-1，1，2，2，-1，2，2，1，则对应的经验分布函数观测值为 .2．设总体X 的均值0EX =，方差2DX =，1210,,,X X X L 为其简单随机样本，5115i i X X ==∑，则DX = ；51016i j i j E X X ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑ ； 521()i i E X X =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑ .3．设122,,,(0,1)n X X X iid N L ，则21nii X=∑服从分布；22211nniji j n XX==+∑∑服从分布.4．设1,,n X X L 为某总体X 的样本，X 为样本均值，若总体X 方差2σ的一个枢轴量221()nii XX σ-=-∑服从2(1)n χ-分布，则2σ的一个等尾双侧1α-置信区间为；2σ的一个单侧1α-置信下限为 .5．设μ为总体X 的均值，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，检验00:0,:0H H μμ=≠的拒绝域形式为1C >；检验00:0,:0H H μμ≤>的拒绝域形式为2C >，已知0H(1)t n - ，则取显著性水平为α时，临界值1C = ；2C = .6．在样本量为29n =、水平数为5a =的单因子方差分析模型中，若总离差平方和231SS =，误差平方和126e SS =，则因素平方和A SS = ；F 检验统计量的值= .二、计算与证明（1、4小题每题18分，2、3小题每题14分，共64分）1．设总体X 服从参数为0λ>的泊松分布，即其概率分布为!(),1,2,kk P X k e k λλ-===L .（1）证明λ的矩估计量和极大似然估计量均为样本均值X ；（2）证明1ni ii a X=∑是λ的无偏估计，其中1,,n a a 为满足11nii a==∑的任意常实数；（3）证明在所有形如1ni ii a X=∑的线性无偏估计中，（1）中给出的估计X 最有效.2．对某市区2013年7月份地下水位进行调查，检测到20个采样点的地下水位数据如下：25.05, 25.30, 25.35, 25.81, 25.30, 25.16, 25.85, 25.10, 25.90, 25.18, 25.88, 25.22, 25.28, 25.35, 25.62, 25.28, 25.30, 25.22, 25.55, 25.30已知该市区2012年7月的地下水位平均为25.2米左右(指从地面到地下含水层的距离)，假设数据服从正态分布，在显著性水平0.05α=下，能否认为该市区2013年7月份的地下水位比往年同月份明显下降了?(已知0.95(19) 1.3277t =)3．为考察某种疾病是否与年龄有关，调查了200个对象，得列联表如下：(1) 给出该问题的假设和检验的拒绝域；(2) 对该问题做检验，并得出你的结论. (0.05α=,20.95(4)9.488χ=)4．为研究地层深度x 与某矿物元素含量y 的关系，采样数据如下：求 (1) y 关于x 的经验回归直线；(2) 检验回归方程的显著性（0.05α=）； (3) 求y 在200x =处的预测值和0.95的预测区间.(已知0.95(1,5) 6.61F =,0.975(5) 2.5706t =)。

应用数理统计复习题Word版

2.设21~(),~T t n T 则。

3.设总体X 的均值为μ，12,,...,n X X X 为样本，当a = 时，E 21()nii Xa =-∑达到最小值。

7. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，12211ˆ()n i i i c XX σ-+==-∑，若2ˆσ为2σ的无偏估计，则 c = 。

8. 设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为，极大似然估计量为。

9. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ未知，σ2已知，为使μ的置信度为1－α的置信区间长度不超过L ，则需抽取的样本的容量n 至少为。

10. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为。

中国农业大学研究生《应用数理统计》期末考试-2014

2
四、（20 分）设 X 1 , X 2 , , X n 为来自服从指数分布总体 X 的一个简单样本，总体
密度函数如下：
x 1 − θ e , f ( x;θ ) = θ 0,
x>0 x≤0
， (θ > 0) 。
证明：样本均值 X 是 θ 的 UMVUE，相合估计量。五、（20 分）一会计部门的负责人发现开出去的发票中有笔误，而且认为在这些开出去的发票中，至少有一个错误的发票占 5%以上，在一个由 400 张发票构成的随机样本中，发现至少有一个错误的发票共有 28 张，这些发票数据是否支持
1 。 F1−α (n, m)
三、（20 分）有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果
如下：实验号甲乙 1 4.3 3.7 2 3.2 4.1 3 8 3.8 4 3.5 3.8 5 3.5 4.6 6 4.8 3.9 7 3.3 2.8 8 3.9 4.4
试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？（ α = 0.05 ） = t0.975 (7) 2.3646, = t0.975 (14) 2.1448
1
这个负责人的看法？（ α = 0.05 ）将此问题转化成统计问题，利用所学知识给出合理的、令人信服的推断，推断过程的每一步要给出理由或公式。对涉及到的数据运算作合理的近似计算或估算则可。可能用到的标准正态分布的分位点有： u 0.90 = 1.28, u 0.95 = 1.65, u 0.975 = 1.96, u 0.995 = 2.58 。六、（20 分）某医院用光色比色计检验尿贡时，得尿贡含量与肖光系数读数的结果如下：尿贡含量 x 肖光系数 y 2 64 4 138 6 205 8 285 10 360

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应用数理统计复习题（2014）一填空题 1设621,,,X X X 是总体)1,0(~N X 的一个样本，26542321)()(X X X X X X Y +++++=。

当常数C = 时，CY 服从2χ分布。

2 设统计量)(~n t X ，则~2X，~12X。

3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2σu N X 的一个样本，当常数C = 时，∑-=+-=11212)(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。

4 设)),0(~(2σεεβαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。

对于固定的0x ，则0x βα+~ 。

5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则λ的矩估计值为ˆλ＝。

6．设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为。

7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8221,10μ 令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛202121，则Y 的分布为 (要求写出分布的参数) 8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：表1 因素水平表表2 极差分析数据表则（1）较好工艺条件应为。

（2）方差分析中总离差平方和的自由度为。

（3）上表中的第三列表示。

9．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。

表3 最大积雪深度与灌溉面积的10年观测数据则y 关于x 的线性回归模型为 x y813.1356.2ˆ+= 10设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为，极大似然估计量为。

11设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为。

12设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θˆ ；=)ˆ(θD 。

13设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的样本，2,σμ均未知，05.0=α. 则μ的置信度为α-1的置信区间为；若μ为已知常数，则检验假设,::20212020σσσσ<↔≥H H （2σ已知），的拒绝域为。

14设X 服从p 维正态),(∑μp N 分布，是来自n X X X ,,,21 X 的样本，则∑的最小方差无偏估计量=∑ˆ ；μ-X 服从分布。

15设（X 1，…，X n ）为来自正态总体),(~∑μp N X 的一个样本,∑已知。

对给定的检验水平为α，检验假设0100::μμμμ≠↔=H H ，（0μ已知）的统计量为拒绝域为。

二计算及证明题1 设21,X X 是来自总体),(~2σu N X 的一个样本。

（1）证明21X X +，21X X - 相互独立（2）假设0=u ，求221221)()(X X X X -+的分布 2设n X X X ,,,21 是总体)1,0(~N X 的一个样本，求统计量2121)(1)(1∑∑+==-+=nm i i m i i X m n X m Y 的抽样分布。

3 设总体)(~λE X （指数分布），n X X X ,,,21 是总体的一个样本，证明)2(~221n X ni i χλ∑=4 设总体)(~λP X （泊淞分布），n X X X ,,,21 是总体的一个样本，2S X 和为样本均值和样本方差，试求（1）n X X X ,,,21 的联合分布律（2）)(),(),(2S E X D X E5设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，试求下列总体的矩估计量和极大似然估计量。

（1）总体X 的分布律是),3,2,1()1()(1 =-==-k k X P k θθ，其中10<<θ未知参数。

（2）X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-其他10)(1x x x f θθ（0>θ为待估计参数）6 设总体),(~2σu N X （方差已知），问需抽取容量n 多大时，才能使得总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度不大于L ？7 为了检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机取50L ，化验每升水中大肠杆菌的个数（一升水中大肠杆菌的个数服从Poisson 分布），化验结果如下：试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使得上述情况发生的概率最大？8设男生的身高服从正态分布，某系中喜欢参加体育运动的60名男生平均身高为172.6cm ，标准差为6.04cm ，而对运动不感兴趣的55名男生的平均身高为171.1cm ，标准差为7.10cm 。

试检验该系中喜欢参加运动的男生平均身高是否比其他男生高些。

（05.0=α）9 设有线性模型⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+=3213221211122εββy εββy εβy ，其中)3,2,1)(,0(~2=i N i σε且相互独立，试求（1）21ββ和的最小二乘估计（2）给出21ββ和的分布并证明他们的独立性（3）导出检验210:ββ=H 的检验统计量10 若总体X 服从正态分布()22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？11有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α=12设总体X 的概率密度为1,0(,)00x x e x f x x αλαλλ--⎧>=⎨≤⎩，其中λ>0是未知参数，α>0是已知常数，12,,...,n X X X 为样本，求λ的矩估计和极大似然估计。

13 设总体X 的概率密度为22(),0(,)0x x f x θθθθ-⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，其中θ>0是未知参数，12,,...,n X X X 为样本，求1）θ极大似然估计，2）总体均值μ的极大似然估计。

14 设总体X 的概率密度为233,0(,)0x x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，其中θ>0是未知参数， 12,X X 为样本。

1）证明：11221227(),(,)36T X X T max X X =+=都是θ的无偏估计。

2）比较12,T T 的有效性。

15 设总体X 服从参数为λ的泊松分布,对于假设01:0.5,:2H H λλ==，0H 的拒绝域为12{3}D X X =+≥，试求此检验问题犯第一类错误（弃真）及犯第二类错误（取伪）的概率。

16考虑一元线性回归模型： 01,1,2,..i i i Y X i n ββε=++=，其中i ε相互独立且服从2(0,)N σ分布，求参数01,ββ的极大似然估计，并证明它们是无偏估计。

17 考虑一元线性回归模型：01,1,2,..i i i Y X i n ββε=++=，其中i ε相互独立且服从2(0,)N σ分布，记11122121ˆˆ{...,,...,}/n nn A c Y c Y c Y c c c E βββ==+++=为常数，且，求A 中使得1ˆ()D β最小的1ˆβ 18 某种产品在生产时产生的有害物质的重量（单位：克）Y 与它的燃料消耗量（单位：千克）x 之间存在某种相关关系.由以往的生产记录得到如下数据.① 求经验线性回归方程；② 试进行线性回归的显著性检验（01.0=α）； ③ 试求x 0=340时Y 0的预测区间（05.0=α）. ④若要求有害物质的重量在250～280um 之间，问燃料消耗量应如何控制？（05.0=α） 19在某锌矿的南北两支矿脉中，各抽取样本容量分别为10与9的样本分析后，算得其样本含锌（%）平均值及方差如下：南支：1x =0.252，21S =0.140，1n =10北支：2x =0.281，22S =0.182，2n =9若南北两支锌含量均服从正态分布，且两样本相互独立，在α=0.05的条件下，问南北两支矿脉含锌量的平均值是否有显著差异？已知：2439.0)8,9(975.0=F ，3572.4)8,9(025.0=F ，1098.2)17(025.0=t20设总体X 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,00,5)(54θθx x x f ，θ的先验分布为⎩⎨⎧<<=其他,010,4)(3θθθπ， n X X ,,1 为来自总体X 的样本。

在平方损失下求θ的贝叶斯估计。

21设有三台机器A 、B 、C 制造同一种产品。

对每台机器观察5天的日产量。

记录如下（单位：件） A ： 41，48， 41， 57， 49 B ： 65，57， 54 ，72， 64 C ： 45，51， 48， 56， 48 试问：在日产量上各台机器之间是否有显著差异？（05.0=α），已知：79.3)12,2(05.0=F22设),(i i x Y 满足线性模型 i i i x x Y εββ+-+=)(10，),0(~2σεN i ，n i ,2,1=，∑==ni i X n x 11，诸i ε相互独立。

试求（1）参数T ),(10βββ=的最小二乘估计T )ˆ,ˆ(ˆ10βββ=；（2）10ˆ,ˆββ的方差；（3）2σ的无偏估计。

23单因素方差分析的数学模型为i j i j i i j i n j r i N X ,...,2,1;,...,2,1),,0(~,2==+=σεεμ，n n i ni =∑=1。

诸j i ε相互独立。

（1）试导出检验假设r r H H μμμμμμ,...,,::211210↔=== 中至少由两个不相等的统计量。

（2）求2σ的一个无偏估计量。

（3）设μμμμ====r 21，∑==i n j j i i i X n X 11，求常数C 使统计量∑=-=ri i X C 1||ˆμσ为σ的无偏估计.24车间里有5名工人，3台不同型号的机器生产同一种产品，现在让每个工人轮流在3台机器上操作，记录其日产量结果如下：试问这5位工人技术之间和不同型号机器之间对产量有无显著影响？)84.3)8,4(,46.4)8,2(,05.0(05.005.0===F F α25设有线性模型77665544332211332εεεεεεε+-=++=+-=++=+-=+-=++=b a Y b a Y b a Y b a Y b a Y b a Y b a Y其中7654321,,,,,,εεεεεεε相互独立且同服从正态),0(2σN 分布，（1）试求的最小二b a ,乘估计量b a ˆ,ˆ；（2）试求b a Yˆ5ˆˆ+=的概率分布。