第二章数字电路

A 2π 1+ cos t f (t) = 2 τ 0
t≤
τ
2
其它
F( f ) =
∫
∞
−∞
f (t)e
− j2πft
经计算化简得到
A 2π −j2πft dt dt = 1+ cos t e −τ / 2 2 τ
∫
τ /2
Aτ 1 F( f ) = Sa(πfτ ) 2 1− f 2τ 2
τ
τ
由（2-6）式求出其频谱函数： ）式求出其频谱函数：
F( f ) =
∫
∞
Байду номын сангаас−∞
f (t)e
− j2πft
dt =
∫τ
τ /2
− /2
Ae−j2πftdt = Aτ
sin(πfτ ) = Aτ Sa(πfτ ) πfτ
图2.3 单个矩形脉冲波形及其频谱
矩形脉冲的波形及频谱如图2.3所示。其频谱有如下几个主要 特点： (1) 频谱连续且无限扩展； (2) 频谱形状为取样函数，频率为零处幅度值最大，等于矩 形脉冲的面积； (3) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/τ(n=±1，±2，…)处。 信号90%以上的能量集中在第一个零点以内，通常将第一个零点 的宽度(正频率部分的宽度)定义为信号的带宽，所以矩形脉冲信 号的带宽为1/τ； (4) 当矩形脉冲宽度变窄时，带宽增大； 反之，当脉冲宽度 增大时，信号的带宽变窄。即：信号在时域中的宽度越窄，则在 频域中的宽度就越宽； 信号在时域中的宽度越宽，则在频域中的 宽度就越窄。
第二章
信号的分类
信号、 信号、信道及噪声
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析 卷积定理及其应用 信号通过线性系统不失真传输条件 谱密度和帕塞瓦尔定理 信道容量
2.1.1
信号的分类
1. 周期信号和非周期信号
2. 确知信号和随机信号 3. 能量信号和功率信号
2.1.2
周期信号的频谱分析
频谱分析：找出信号包含的频率成分， 频谱分析：找出信号包含的频率成分，包括其幅 度、相位和分布。 相位和分布。
1 称为周期信号的基波频率。 f0 = T0
式(2-1)的物理意义：一个周期为T0的信号可以分解成一个直 流分量A0，以及无穷多个频率为nf0幅度分别为An、 Bn的余弦波及 正弦波。 An、 Bn的值与周期信号本身有关，即频率nf0的余弦波 及正弦波的幅度由周期信号决定。式(2-1)存在的缺点：同一频率 成分，要用相互正交的两项表示，应用起来不方便。
频谱分析的目的： (1) 信号f(t)有哪些频率成分。 (2) 各频率成分幅度、相位大小。 (3) 主要分量占据的频带宽度(包括频域中的位置)。
周期信号的三种傅氏级数表示法 1. 基本表示式
f (t) = A0 +
在式(2-1)中：
∑[A cos2πnf t + B sin 2πnf t]
n 0 n 0 n=1
∑
∞
j2πnf0t e
(2-5)
式中， (x) = sin x 称为取样函数或取样信号。Vn与f(t)的关系 Sa x 曲线如图2.2所示。图中画出了τ不变，而T0分别为5τ、10τ时的 频谱图。谱线的包络按照Sa(πfτ)的曲线(图示中虚线)变化。第 一个零点出现在
1 处。 f =
∫
∞
−∞
F( f )e
j2πft
df =
∫
B/ 2
−B/ 2
Aej2πftdf = ABSa(πtB)
矩形频谱及它的时间波形如图2.4所示。
图2.4 矩形频谱及其时间波形
2． 冲激信号的傅氏变换及冲击频谱的傅氏反变换 ． 冲激信号的定义为
∞, t = 0 δ (t) = 0, t ≠ 0
∞
(2-1)
1 T0 2 A0 = f (t)dt是周期信号f(t)的平均值(直流分量)； T0 −T0 2 2 T0 2 An = f (t) cos2πnf0tdt是周期信号f(t)的第n次余弦波 T0 −T0 2
∫
∫
的振幅；
2 Bn = T0 振幅；
∫
T0 2
−T0 2
f (t)sin 2πnf0tdt 是周期信号f(t)的第n次正弦波的
经常还会碰到另一种情况，信号的频谱函数具有矩形特性， 如图2.4所示，那么它的时间波形又是什么样的呢？即当
B B A － ≤ f ≤ F( f ) = 2 2 0 其它
时，求时间函数f (T)。 用傅氏反变换式(2-7)可求得时间函数为
f (t) =
τ
Ae−j2πnf0t dt
πnτ 2πnf0τ sin sin T Aτ 2 Aτ 0 = × = × 2πnf0τ πnτ T0 T0 T0 2 Aτ πnτ = Sa T T0 0
Aτ f (t) = T0 nπ τ Sa T 0 n=−∞
∑C cos(2πnf t −ϕ )
n 0 n n=1
∞
(2-2)
式(2-2)的物理意义：一个周期为T0的信号可以分解成一个 直流分量C0及无穷多个频率为nf0的余弦波，这些余弦波的幅度 及相位分别为Cn和φn。由此可见， 式(2-2)的物理概念更加清楚， 直流与各次谐波分量的振幅和相位一目了然。 式(2-2-2)存在的缺点：振幅和相位的计算复杂。
τ
图2.2 周期矩形脉冲频谱图
例 2.1 周期为T0的冲激脉冲信号如下图 (a)所示。 (1) 求其指数型傅氏级数展开式。 (2) 画出Vn-f关系图。
2.2 非周期信号的频谱分析
傅氏变换与频谱函数 前面介绍了将一个周期信号展开成傅氏级数的方法。对 于非周期信号，不能用傅氏级数直接表示，其频谱分析是通 过傅氏变换进行的。傅氏变换公式为
3. 指数函数表示式 周期为T0的信号f(t)还可用如下所示的指数形式表示：
f (t) =
其中，
n=−∞
∑
∞
Vne j 2πnf0t
f (t)e−j2πnf0t dt
(2-3)
1 Vn = T0
∫
T0 2
−T0 2
式(2-3)是由余弦表示式经数学推导得来的，这种表示式没有什 么物理意义，纯属数学上的表示式，但它能给分析带来方便， 是傅氏变换的基础，也是本课程最常用的一种表示式。由于n 的取值是离散的，所以式(2-1)、(2-2)和(2-3)表示的频谱也是离 散的。
图2.7 升余弦脉冲信号的波形及频谱
升余弦脉冲信号频谱的特点： (1) 频谱在频率为零处有最大幅度值Aτ/2，此值等于升余弦脉冲的面积； (2) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/τ(n=±2, ±3, …)处； (3) 频谱第一个零点的位置是2/τ，和矩形脉冲的频谱相比，升余弦脉冲的 频谱在第一个零点内集中了更多的能量。如果用第一个零点的频率值作为带宽 的话，显然，在τ相同时，升余弦脉冲信号的带宽是矩形脉冲信号带宽的2倍； (4) 和矩形脉冲相比，此频谱幅度随频率衰减的速度更快。
典型周期信号的频谱分析 周期矩形脉冲
A, f (t) = 0,
kT − 0 其 它
τ
2
≤ t ≤ kT + 0
τ
2
图2.1 周期矩形脉冲
把式(2-4)展开成指数函数表示的傅氏级数：
1 Vn = T0
∫
T0 2 T − 0 2
f (t)e
− j2πnf0t
1 dt = T0
∫τ
2 − 2
2． 余弦函数表示式 ． 由三角公式可知：
An cos2πnf0t + Bn sin 2πnf0t = Cn cos(2πnf0t −ϕn )
其中，
Cn = An + Bn
2
2
Bn ϕn = arctan An
由此可得，周期信号f(t)的余弦表示式为
f (t) = C0 +
其中，C0=A0。
F( f ) =
∫
∞
−∞
f (t)e−j2πftdt
称为傅氏变换
(2-6)
f (t) =
∫
∞
−∞
F( f )ej2πftdf
称为傅氏反 逆)变换 (2-7) (
通信中常用信号的频谱函数 1. 矩形脉冲信号的傅氏变换及矩形频谱的傅氏反变换
A f (t) = 0
− ≤t ≤ 2 2 其它
例2.2
求周期冲激脉冲信号的频谱函数(设周期为T0，冲激
脉冲的幅度为1)。
例2.3 求f (T)=Acos2πf0t信号的频谱函数。
f (t) =

∫
∞
−∞
δ ( f )e j2πftdf = e j2πf 0 =1
频谱函数及波形如图2.6所示。
图2.6 冲激频谱及其时间波形
3． 升余弦脉冲信号的傅氏变换及升余弦频谱函数的傅氏反 ． 变换 在通信中，升余弦脉冲信号常用来取代矩形脉冲信号作为数 字脉冲信号。图2.7是升余弦脉冲信号的波形及频谱示意图。其 数学表达式及频谱函数如下
∞
且
∫
∞
−∞
δ (t)dt =1
根据傅氏变换的公式，得到δ(T)的频谱函数为 δ(T)
F( f ) =
∫
−∞
δ (t)e−j2πftdt = e−j2πf 0 =1
图2.5是冲激信号δ(T)的波形及频谱。
图2.5 冲激函数及其频谱
反过来，当信号的频谱为冲激函数，即F (f )=δ(f )时，其时 间波形为