n阶行列式
n阶行列式
当n=2，3时，这样定义的二阶和三阶行列式与之前用对角线 法则定义的结果是一致的．当n=1时，一阶行列式为|a11|=a11， 注意不要与绝对值符号混淆．
根据二阶、三阶行列式的定义，我们发现式（1-10）还可以 写成如下形式：
n阶行列式
n阶行列式
n阶行列式
上式表明，一个三阶行列式等于它的第1行 各个元素与其相应的代数余子式（都是二阶行 列式）的乘积之和，这就意味着三阶行列式可 化为二阶行列式来计算．利用这个特点可以类 似定义四阶行列式、五阶行列式……以此类推， 可以给出n阶行列式的另一种定义．
n阶行列式
定义1-7 由排成n行n列的n2个数组成的n阶行列式记作
（1-9）
当n=1时，D=|a11|=a11 . 当n≥2时，假设n-1阶行列式已经定义，那么n阶行列式（1-9） 所表达的算式为
（1-10）
n阶行列式
其中A1j为元素a1j的代数余子式，j=1，2，…，
n．式（1-10
1
若记n阶矩阵
n阶行列式
作为二阶、三阶行列式的推广，我们类似地给出n阶行列式 的定义．
定义1-6 由排成n行n列的n2个元素aij（i，j=1，2，…，n） 组成的记号
（1-7
称为n阶行列式，其中j1j2…jn为n级排列， 有的n级排列求和．
表示对所
n阶行列式
容易看出，n阶行列式表示一 个数值，这个数值是n！项的代数 和，每一项是取自行列式中不同行 不同列的n个元素的乘积 a1j1a2j2…anjn，该项的符号在 j1j2…jn 为奇排列时取负号，为偶排 列时取正号．
n阶行列式
n阶行列式
注意观察二阶行列式（1-5）与三阶行列式（1-6）， 可以看出：
（1）二阶行列式的展开式是2！项乘积的代数和；三 阶行列式的展开式是3！项乘积的代数和.
（2）二阶和三阶行列式展开式中每一个乘积项中的 元素都取自不同的行和不同的列.
（3）当行列式展开式中乘积项元素的行标按自然数 列排列时，若元素的列标为奇排列，则该乘积项取负号； 元素的列标为偶排列时，该乘积项取正号．
则n阶行列式（1-9）又称为n阶矩阵A的行列式， 记作|A|或detA．
【例1-4】
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n 阶行列式的定义与性质
是标准排列。故
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
综上, 我们有
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
2_1 n阶行列式
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
Page 30
1 1
例4 解
1 x 0. x2
求解方程 2 3 4 9
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
Page 31
2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
Page 28
(2)对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
Page 29
1
例3 解
2 -4
计算三阶行列式 D - 2 2 1 -3 4 -2
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
n阶行列式计算方法
n阶行列式计算方法
在线计算n阶行列式的方法是一种重要的数学运算方法，可以用于解决线性方
程组、矩阵求逆和矩阵计算等问题。
本文将介绍几种常见的计算n阶行列式的方法。
1. 代数余子式法：该方法通过利用代数余子式的性质来计算行列式。
首先选择
第一行或第一列的元素，利用它们构成代数余子式，并对代数余子式进行计算，最后将代数余子式乘以对应元素的符号，并相加得到最终的行列式值。
2. 二阶、三阶行列式法：对于二阶行列式，可以直接利用相应元素的乘积进行
计算。
而对于三阶行列式，可以利用Sarrus定理进行计算。
Sarrus定理是通过构造
辅助矩阵，以及利用矩阵元素之间的关系进行计算的方法。
3. 初等变换法：该方法通过对行列式进行初等行变换来将行列式化为上三角行
列式或下三角行列式，并通过对角线元素的乘积来计算行列式的值。
4. Laplace展开法：Laplace展开法是一种递归的方法，通过逐步将n阶行列式
分解为n-1阶行列式，再进一步分解为n-2阶行列式，直到最后分解为1阶行列式。
每一步的分解都利用代数余子式的计算方法，最后将每一步的行列式值相加，即可得到n阶行列式的值。
需要注意的是，由于行列式的计算规模较大，当n超过一定的阶数时，上述方
法可能会出现计算速度较慢的情况。
因此，在实际应用中，可以使用计算机编程来实现行列式的计算，以提高计算效率。
综上所述，以上是几种计算n阶行列式的常见方法。
在实际应用中，可以根据
具体情况选择适合的方法进行计算。
行列式的计算对于数学和工程领域都具有重要的意义，它在解决线性方程组和矩阵运算等问题中发挥着重要作用。
§12n阶行列式
n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
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举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.
n阶行列式定义的举例
n阶行列式定义的举例n阶行列式是一种线性代数中重要的概念，它可以用于求解线性方程组、计算向量叉积等。
下面我们将通过几个简单的例子来说明n 阶行列式的定义。
首先，n阶行列式是由n行n列的矩阵所定义的，例如下面的3阶矩阵：$$begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2 ,3}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{pmatrix}$$该矩阵的行列式可以表示为：$$begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2 ,3}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{vmatrix}$$其中，$a_{i,j}$表示该矩阵中第i行、第j列的元素。
接下来，我们可以通过以下方法来计算该行列式的值：1. 对角线法则对角线法则是计算行列式的一种简单方法，它通过对角线上的元素进行乘积和求和来计算行列式的值。
例如，对于上述矩阵，我们可以按照对角线法则计算行列式的值：$$begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2 ,3}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{vmatrix} =a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} +a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} -a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}$$2. 行列式展开法则行列式展开法则是计算行列式的另一种方法，它通过将行列式展开成一系列小的行列式来计算行列式的值。
n阶行列式的定义
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
1-3 n阶行列式的定义
解
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
线性代数 n阶行列式
t 01 0 01 3 4 4 5
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
t n 1 n 2 2 1
a11 a12 a22 a1 n
0 0
a2 n 1 12n a a a 11 22 nn a11a22 ann . 0 ann
1 2 3 4
例5
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 4 0 0 3 2 5 0 4 1 1 4 5 8 160. 6 8
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
5、 a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1 j1 j2 jn
其中 j1 j2 jn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列.
D
a11 a21 an1
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 设排列为 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm a1 al ab b1 bm 除 a,b 外，其它元素的反序数不改变. 当a b 时
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
t n 1 n 2 2 1
a11 a12 a22 a1 n
0 0
a2 n 1 12n a a a 11 22 nn a11a22 ann . 0 ann
1 2 3 4
例5
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 4 0 0 3 2 5 0 4 1 1 4 5 8 160. 6 8
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
5、 a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1 j1 j2 jn
其中 j1 j2 jn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列.
D
a11 a21 an1
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 设排列为 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm a1 al ab b1 bm 除 a,b 外，其它元素的反序数不改变. 当a b 时
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，