高中数学人教A版选修2-1人教版高中数学选修2-1综合测试卷A(含答案)
a b=
。
12． 以 (1, 1) 为中点的抛物线 y2 8x 的弦所在直线方程为：
。
13． 在△ ABC 中， BC 边长为 24 ， AC 、 AB 边上的中线长之和等于 39 ．若以 BC 边中
4．在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M为 AC与 BD的交点，若 A1B1 a , A1D 1 b ，A1A c ，
则下列向量中与 B1 M 相等的向量是
A ． 1 a 1 b c B ．1 a 1 b c C ．1 a 1 b c D ． 1 a 1 b c
22
22
22
22
5．空间直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A（ 3， 1，0）， B（-1 ， 3，0），若点 C
值；若不存在，写出理由。
21． （本题满分 15 分）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面△ ABC中，
CA=CB=，1 ∠ BCA=90°，棱 AA1=2M， N 分别是 A1B1， A1A 的中点。
（ 1）求 BN 的长度； （ 2）求 cos （ BA1 ， CB1 ）的值；
（ 3）求证： A1B⊥ C1M。
11 ,
1 ,
9
15 ．②
169 25
4 42
⑤ 三、解答题（共六小题，满分
74 分）
16． （本题满分 14 分）解 : 若方程有一正根和一负根，等价于
1
x1 x2
0
a
a ＜0
③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假。
④在 ABC 中，“ B 60 ”是 A, B, C 三个角成等差数列的充要条件
⑤ ABC 中 , 若 sin A cos B , 则 ABC 为直角三角形
判断错误的有 ___________ 。
三、解答题（共五小题，满分 74 分）
16． （本题满分 14 分）求 ax2+2x+1=0（ a≠0）至少有一负根的充要条件。
满足 OC =α OA +β OB ，其中 α， β R， α +β=1，则点 C 的轨迹为
A．平面 6．已知 a =(1,2,3),
B．直线
C
b = （3， 0， -1 ）， c =
．圆
D
．线段
1 ,1,
3
给出下列等式：
55
① ∣ a b c ∣=∣ a b c ∣
② ( a b) c = a (b c) ③
点为原点， BC 边所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则△ ABC 的重心 G 的轨迹方程
为：
。
14．已知 M1（ 2，5，-3 ），M2（ 3，-2 ，-5 ），设在线段 M1M2 的一点 M满足 M 1M 2 = 4MM 2 ，
则向量 OM 的坐标为
。
15． 下列命题
①命题“事件 A 与 B 互斥”是“事件 A 与 B 对立”的必要不充分条件。 ② “ am2<bm2”是“ a<b”的充分必要条件。
(a
b
c)2
=
2
a
2
b
2
c
④ (a b) c = a (b c)
其中正确的个数是
A．1 个
B
．2 个
C
．3 个
D
．4 个
7．设
0, ，则方程 x2 sin y2 cos 1 不能表示的曲线为
A．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
8．已知条件 p： x 1 <2，条件 q： x 2 -5 x-6<0 ，则 p 是 q 的
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数学选修 2-1 综合测试卷 A（含答案）
一、选择题（每小题 5 分，共 10 小题，满分 50 分）
1．对抛物线 y 4x2 ，下列描述正确的是
A．开口向上，焦点为 (0,1) C．开口向右，焦点为 (1,0)
B．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
1 (0, )
19． （本题满分 15 分）如图，在平行六面体
是 B1D1 的中点，求证： B1C∥面 ODC1。
ABCD-A1BC1D1 中， O
20．（本题满分 15 分）直线 l ：y kx 1 与双曲线 C ：3x2 y2 1 相交于不同的 A 、 B 两点。
（ 1）求 AB的长度；
（ 2）是否存在实数 k ，使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标第原点？若存在， 求出 k 的
16 1 (0, ) 16
2．已知 A 和 B 是两个命题，如果 A 是 B 的充分条件，那么 A 是 B 的
A．充分条件 B ．必要条件 C ． 充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．椭圆 5x2 ky2 5 的一个焦点是 (0, 2) ，那么实数 k 的值为
A． 25
B． 25
C． 1
D． 1
答案
一、选择题（每小题 5 分，共 10 小题，满分 50 分）
1．B 2 ． C 3 ．D 4 ．A 5 ． B 6 ．D 7 ．C 8 ．B 9 ．A 10 ．C
二、填空题（每小题 6 分，共 6 小题，满分 36 分）
11．- 65 12 ．4x y 3 0 13 ． x2
y2
1（ y
0 ） 14 ．
D ．圆
A．充分必要条件
B
．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D
．既不充分又不必要条件
9．已知函数 f(x)=
kx 7 kx 2 4kx
，若
3
x
R ，则 k 的取值范围是
A．0≤ k< 3 4
B ．0<k< 3 4
C ． k<0 或 k> 3 4
D ．0<k≤ 3 15 分）已知命题 p：不等式 |x － 1|>m－ 1 的解集为 R，命题 q： f(x)= － (5
－2m)x 是减函数，若 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求实数 m的取值范围
18. （本题满分 12 分）已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1 -2 2,0 、F2 2 2,0 ，长轴长为 6， ⑴求椭圆 C 的标准方程 ; ⑵已知过点（ 0， 2）且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、 B 两点 , 求线段 AB的长度。 .
①一个命题的逆命题为真， 它的否命题也一定为真； ②若一个命题的否命题为假， 则它本
x1 x y 3
身一定为真；③
是
的充要条件；④ a b 与 a b 是等价的；⑤
y 2 xy 2
“ x 3”是“ x 3”成立的充分条件。
A ．2
B． 3
C． 4
D． 5
二、填空题（每小题 6 分，共 6 小题，满分 36 分）
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套含答案解析
18.(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0<m<；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根.
【解】(1)因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，
所以{x|x>－2或x<3}{x|－2<x<3}，
而{x|－2<x<3}⇒{x|x>－2或x<3}.
所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为a，b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件.
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根⇔⇔⇔⇔.
【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0,即点P(2，－1)在直线l上.点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分不必要条件.
【答案】A
5.“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()
A.∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立
【答案】B
3.已知抛物线C1：y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是()
A.x＝－B.x＝
C.x＝D.x＝－
【解析】抛物线C1：y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2(－y)2，即y2＝－x，其准线方程为x＝.
【答案】C
4.已知点F，A分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为()
高中数学选修2-1综合测试卷带答案
高中数学选修2-1综合测试卷带答案解析：p是q的必要不充分条件，即p成立时q一定成立，但q成立时p不一定成立。
根据题目中的条件，当a＝3，b＝2，c＝5，d＝4时，q成立但p不成立。
因此选项A不成立，选项B、C、D均成立。
答案：BCD8．若f(x)＝x3－3x2－9x＋19，则f(x)的最小值为()A．－5B．－6C．4D．5解析：f(x)＝x3－3x2－9x＋19＝(x－1)3－9(x－1)＋10，令x－1＝t，则f(x)＝t3－9t＋10，f'(x)＝3t2－9＝0，解得t＝±1，代入f(x)得f(0)＝10，f(2)＝－5，所以f(x)的最小值为－5.答案：B9．已知等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2＋a3＋a4＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝20，则d的值为()A．2B．4C．6D．8解析：将等式a1＋a2＋a3＋a4＝10两边同时加上a5－a1，得a5＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－2a1＝20－2a1.因为a2＋a3＋a4＋a5＝20，所以a5＋a2＋a3＋a4＝20－a1.联立以上两式，得2a1＝10，所以a1＝5.又因为a1＋a2＋a3＋a4＝10，所以2a1＋3d＝10，解得d＝2.答案：A10．已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1，则必存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)＝ξ。
()A．正确B．错误解析：考虑函数g(x)＝f(x)－x，g(0)＝0，g(1)＝0，因此在区间[0,1]上必存在一点ξ，使得g'(ξ)＝0，即f'(ξ)－1＝0，即f(ξ)＝ξ。
答案：A11．已知圆锥的底半径为R，高为H，若圆锥的体积为底面积的三倍，则圆锥的母线长为()A．3RB．4RC．5RD．6R解析：设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面积为πR2，体积为(1/3)πR2H，根据题意得(1/3)πR2H＝3πR2，解得H＝9R/π，根据勾股定理得l2＝H2＋R2，代入H的值，得l＝(82+π2)R/π，约等于5R。
高中数学人教A版选修2-1(新课标人教A版)高中数学选修2-1【综合测评】(A)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）综合测评(A)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出两个命题:p:|x|=x的充要条件是x为正实数,q:不等式|x-y|≤|x|+|y|取等号的条件是xy<0,则下列命题是真命题的是( ).A.p∧qB.p∨qC.(┐p)∧qD.(┐p)∨q答案:D解析:命题p为假,∵x=0时,也有|x|=x成立;命题q也为假,∵当x=0或y=0时,|x-y|≤|x|+|y|也成立,∴(┐p)∨q为真命题.故选D.2.下列命题的逆否命题中,真命题的个数为( ).①若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根②若x2+y2=0,则x,y全为零③如果两圆相切,那么圆心距等于两圆半径之和④奇数不能被2整除A.1B.2C.3D.4答案:C3.命题“存在x0∈R,≤0”的否定是( ).A.不存在x∈R,>0B.存在x∈R,≥0C.对任意的x∈R,2x≤0D.对任意的x∈R,2x>0答案:D4.已知菱形ABCD边长为1,∠DAB=60°,将这个菱形沿AC折成60°的二面角,则B,D两点间的距离为( ).A. B. C. D.答案:B5.已知向量=(1,2,3),=(4,5,6),则平面ABC的一个单位法向量是( ).A. B.C. D.答案:A6.设α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不重合的直线,则α∥β的充分条件是( ).A.l⊂α,m⊂β且l∥β,m∥αB.l⊂α,m⊂β且l∥mC.l⊥α,m⊥β且l∥mD.l∥α,m∥β且l∥m答案:C7.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°,则AC1的长为( ).A.2B.C.D.答案:D8.设P为椭圆上一点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,若∠PF1F2=60°,∠PF2F1=30°,则此椭圆的离心率为( ).A. B.-1 C. D.答案:B9.设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过其焦点的直线交于A,B两点,则=( ).A. B.- C.3 D.-3答案:B10.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,焦距为8,它的一条渐近线为y=-x,则此双曲线方程为( ).A.x2-y2=96B.y2-x2=160C.x2-y2=80D.y2-x2=24答案:D11.已知F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( ).A.4+2B.-1C. D.+1答案:D12.已知命题p:存在x∈(-∞,0),2x<3x;命题q:△ABC中,若sin A>sin B,则A>B,则下列命题中为真命题的是( ).A.p且qB.p或(┐q)C.(┐p)且qD.p且(┐q)答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.命题:“若ab不为零,则a,b都不为零”的逆否命题是.答案:若a,b至少有一个为零,则ab=014.已知点P在曲线(y-2)2=16(2-x)上运动,点Q与点P关于点(1,1)对称,则点Q的轨迹方程为.答案:y2=16x15.已知F1,F2为双曲线=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足|PF1||PF2|=32,则∠F 1PF2=.答案:90°16.有下列命题:①双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点;②“-<x<0”是“2x2-5x-3<0”必要不充分条件;③若a,b共线,则a,b所在的直线平行;④若a,b,c三向量两两共面,则a,b,c三向量一定也共面;⑤∀x∈R,x2-3x+3≠0.其中是真命题的有:.(填正确命题的序号)答案:①⑤三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知a>0,且a≠1,设命题p:函数y=log a(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,如果p和q有且只有一个为真命题,求a 的取值范围.解:当0<a<1时,函数y=log a(x+1)在(0,+∞)内单调递减;当a>1时,y=log a(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减;曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,等价于(2a-3)2-4>0,即a<或a>.(1)若p真且q假,即y=log a(x+1)在(0,+∞)内单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x 轴不交于不同的两点,因此a∈(0,1),且≤a<1或1<a≤,即≤a<1.(2)若p假且q真,则y=log a(x+1)在(0,+∞)上不是单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,因此a∈(1,+∞)且a∈,∴a>.综上所述,a的取值范围为.18.(12分)如图,椭圆C0:=1(a>b>0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=,b<t1<a.点A1,A2分别为C 0的左,右顶点,C1与C相交于A,B,C,D四点.(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;(2)设动圆C2:x2+y2=与C相交于A',B',C',D'四点,其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等,解:为定值.(1)解:设A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y=(x+a),①直线A2B的方程为y=(x-a).②由①②得y2=(x2-a2).③由点A(x1,y1)在椭圆C上,故=1.从而=b2,代入③得=1(x<-a,y<0).(2)解:设A'(x2,y2),由矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等,得4|x1||y1|=4|x2||y2|,故.因为点A,A'均在椭圆上, 所以b2=b2.由t1≠t2,知x1≠x2,所以=a2.从而=b2,因此=a2+b2为定值.19.(12分)在三棱柱ABC - A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.(1)解:连结AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,得OE⊥BB1,因为A 1O ⊥平面ABC,所以A 1O ⊥BC. 因为AB=AC,OB=OC,得AO ⊥BC, 所以BC ⊥平面AA 1O,所以BC ⊥OE, 所以OE ⊥平面BB 1C 1C. 又AO==1,AA 1=, 得AE=.(2)解:如图,分别以OA,OB,OA 1所在直线为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A 1(0,0,2), 由得点E 的坐标是,由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是, 设平面A 1B 1C 的法向量n =(x ,y ,z ), 由令y=1,得x=2,z=-1,即n =(2,1,-1),所以cos <,n >=,即平面BB 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角的余弦值是.20.(12分)正方形ABCD 的顶点A ,C 在抛物线y 2=4x 上,一条对角线BD 在直线y=-x+2上. (1)求AC 所在直线的方程; (2)求正方形ABCD 的面积. 解:(1)由题意,可知AC ⊥BD.设AC 所在的直线方程为:y=2x+b, 由得4x 2+4(b-1)x+b 2=0. 设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2), ∴x 1+x 2=1-b,. ∴AC 的中点M.又M ∈BD,∴=1.∴b=-3. 经检验符合题意.∴AC 所在的直线方程为y=2x-3. (2)设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2), 由(1),得x 1+x 2=4,x 1x 2=.∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=7. ∴|x 1-x 2|=.∴|AC|=|x 1-x 2|=. ∴S 正方形ABCD =|AC|2=.∴正方形ABCD 的面积为.21.(12分)如图,矩形ABCD 所在的平面和正方形ADD 1A 1所在的平面互相垂直,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动.(1)当E 为AB 的中点时,求点E 到平面ACD 1的距离; (2)AE 等于何值时,二面角D-EC-D 1的大小为?解:(1)由题意得AD 1=,D 1C=,AC=,. h=h.S △AEC =×1×1=S △AEC ·DD 1=. 又,∴h=,h=.点E 到平面ACD 1的距离为.(2)以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AA 1为z 轴建立空间直角坐标系,设E(x,0,0),则C(2,1,0),D 1(0,1,1),=(2-x,1,0),=(-2,0,1). 设平面D 1EC 的法向量为n =(1,t 1,t 2), 则n ⊥,n ⊥, 则解得∴n =(1,x-2,2).又平面DEC 的一个法向量为(0,0,1), ∵二面角D-EC-D 1的大小为, ∴cos ,解得x=2±. 又x ≤2,∴当AE=2-时,二面角D-EC-D 1的大小为.22.(14分)平面内与两定点A 1(-a,0),A 2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上A 1,A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. (1)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值的关系.(2)当m=-1时,对应的曲线为C 1;对给定的m ∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C 2,设F 1,F 2是C 2的两个焦点.试问:在C 1上,是否存在点N ,使得△F 1NF 2的面积S=|m|a 2.若存在,求tan ∠F 1NF 2的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设动点为M,其坐标为(x,y).当x ≠±a 时,由条件可得··=m. 即mx 2-y 2=ma 2(x ≠±a).又A 1(-a,0),A 2(a,0)的坐标满足mx 2-y 2=ma 2, 故依题意,曲线C 的方程为mx 2-y 2=ma 2.当m<-1时,曲线C 的方程为=1,C 是焦点在y 轴上的椭圆;当m=-1时,曲线C 的方程为x 2+y 2=a 2,C 是圆心在原点的圆; 当-1<m<0时,曲线C 的方程为=1,C 是焦点在x 轴上的椭圆; 当m>0时,曲线C 的方程为=1,C 是焦点在x 轴上的双曲线. (2)由(1)知,当m=-1时,C 1的方程为x 2+y 2=a 2;当m∈(-1,0)∪(0,+∞)时, C2的两个焦点分别为F 1(-a,0),F2(a,0).对于给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),C1上存在点N(x,y)(y≠0)使得S=|m|a2的充要条件是由①得0<|y0|≤a,由②得|y|= .当0<≤a,即≤m<0,或0<m≤时,存在点N,使S=|m|a2; 当>a,即-1<m<,或m>时,不存在满足条件的点N.当m∈时,由=(-a-x0,-y),=(a-x,-y),可得·-(1+m)a2+=-ma2.令||=r1,||=r2,∠F1NF2=θ.则由·=r1r2cosθ=-ma2,可得r1r2=-,从而S=r1r2sinθ=-=-ma2tanθ,于是由S=|m|a2,可得-ma2tanθ=|m|a2,即tanθ=-.综上可得:当m∈时,在C1上存在点N,使得S=|m|a2,且tan∠F1NF2=2;当m∈时,在C1上存在点N,使得S=|m|a2,且tan∠F1NF2=-2;当m∈时,在C1上不存在满足条件的点N.。
人教a版高中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案
⼈教a版⾼中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～1 全册章节同步检测试题⽬录1.1.1课时同步练习1.2课时同步练习1.3课时同步练习1.4.1、2课时同步练习1.4.3课时同步练习第1章单元过关试卷同步练习2.1.1课时同步练习2.1.2课时同步练习2.2.1课时同步练习2.2.2（第1课时）同步练习2.2.2（第2课时）同步练习2.3.1课时同步练习2.3.2（第1课时）同步练习2.3.2（第2课时）同步练习2.4.1课时同步练习2.4.2（第1课时）同步练习2.4.2（第2课时）同步练习第2章单元过关试卷同步练习3.1.1课时同步练习3.1.2课时同步练习3.1.3课时同步练习3.1.4课时同步练习3.1.5课时同步练习3.2第3课时同步练习3.2第4课时同步练习3.2（第1课时）同步练习3.2（第2课时）同步练习第3章单元过关试卷同步练习模块质量检测A卷同步练习模块质量检测B卷同步练习第1章 1.1.1⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③⼤边所对的⾓⼤于⼩边所对的⾓；④2是⽆理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直⾓相等”的条件和结论分别是“直⾓”和“相等”B．语句“最⾼⽓温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对⾓线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，⽅程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个⾓是直⾓，则这两个⾓相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“⽤边长为3的等边三⾓形与底边为3，腰为2的等腰三⾓形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正⽅形}是{x|x是平⾏四边形}的⼦集吗？④3⼩于2；⑤矩形的对⾓线相等；⑥9的平⽅根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是⾃然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选⼀个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数⼜是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ⾄多有⼀个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ?2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析：①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ?2x ＋π2的图象．答案：①②③6．命题“⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此⽅程有两个不相等的实数根假三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题的条件p 和结论q ：(1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果⼀个函数的图象是⼀条直线，那么这个函数为⼀次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数．(2)条件p ：⼀个函数的图象是⼀条直线，结论q ：这个函数为⼀次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1，∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4.∴x ≥4或x ≤－1.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满⾜的条件．⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1ax 2，求a 满⾜的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，⽅程有解x ＝－1b . 当a ≠0时，⽅程为⼀元⼆次⽅程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)∵命题当x 1a x 2为假命题，∴应有当x 1即a x 2－x 1x 1x 2≤0. ∵x 1∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴a ≤0.第1章 1.2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |?x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ?|x |＝|y |.故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成⽴的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，⽽tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成⽴的充分不必要条件．故选A. 答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；⽽x 2＋y 2≥4不⼀定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成⽴，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分⼜不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号)(1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件(2)A ∩B ≠?是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形解析： (1)因x >2且y >3?x ＋y >5， x ＋y >5?/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件．(2)因A ∩B ≠??/ A B, A B ?A ∩B ≠?.故A ∩B ≠?是A B 的必要不充分条件．(3)因b 2－4ac <0?/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ， ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ?a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件．(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形．答案： (1)(2)(3)6．设集合A ＝x |x x －1<0，B ＝{x |0x |x x －1<0＝{x |0∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ?q 但q ?/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1. ∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满⾜条件的a 的取值范围为0，12. 8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．证明：充分性：∵0，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．⽽当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴，∴a ＝0或 a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45. 故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ?B ，从⽽有 a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3.或 a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )A ．p 为真命题，p 且q 为假命题B ．p 为假命题，q 为假命题C ．q 为假命题，p 或q 为真命题D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析：∵p 为真命题，q 为假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题；③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：∵綈p ∨綈q 是假命题∴綈(綈p ∨綈q )是真命题即p ∧q 是真命题答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是() A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝? ????12x在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－? ????12x在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D，q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.故选C.答案： C⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．“a≥5且b≥3”的否定是____________；“a≥5或b≤3”的否定是____________．答案：a＜5或b＜3 a＜5且b＞36．在下列命题中：①不等式|x＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A?A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“⾮p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的⼀个解，所以p是真命题，所以⾮p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“⾮p”的形式，其中p：A?A∪B.因为p为真命题，所以“⾮p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8?{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：⽅程x2－x＋1＝0有实根；(2)p ：函数y ＝tan x 是周期函数；(3)p ：??A ；(4)p ：不等式x 2＋3x ＋5<0的解集是?.解析：题号判断p 的真假綈p 的形式判断綈p 的真假 (1)假⽅程x 2－x ＋1＝0⽆实数根真 (2)真函数y ＝tan x 不是周期函数假 (3)真 ? A 假 (4)真不等式x 2＋3x ＋5<0的解集不是? 假尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满⾜x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满⾜ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.⼜a >0，所以a当a ＝1时，1即p 为真命题时实数x 的取值范围是1由 x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2所以q 为真时实数x 的取值范围是2若p ∧q 为真，则 1所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ?綈q 且綈q ?/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以03，即1所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章 1.4.1、2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列命题中的假命题是( )A ．?x ∈R ，lg x ＝0B ．?x ∈R ，tan x ＝1C ．?x ∈R ，x 2>0D ．?x ∈R,2x>0 解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题． C 中当x ＝0时，x 2＝0不⼤于0，是假命题．D 中?x ∈R,2x>0是真命题．答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )．∴f (x )是偶函数⼜∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.答案： A3．下列4个命题： p 1：?x ∈(0，＋∞)，? ????12xx ； p 2：?x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：?x ∈(0，＋∞)，? ????12x >log 12x ； p 4：?x ∈? ????0，13，? ????12xx . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有? ????12x >? ??13x 成⽴．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平⾯直⾓坐标系中作出函数y ＝? ??12x 与函数 y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝? ????12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x 图象的上⽅，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：?x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3或a >2B ．a ≥2C ．a >－2D ．－2即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成⽴，所以有： a ＋2>0，16－4a ＋2a －1≤0 a >－2，a 2＋a －6≥0?a ≥2.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题“有些负数满⾜不等式(1＋x )(1－9x )>0”⽤“?”或“?”可表述为________．答案： ?x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：?x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题； x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34>0恒成⽴，∴命题q 为真命题，∴“p 且q ”为真命题．答案：真三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)?x0∈R，使x20＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成⽴，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的⼀个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(?、?)，加在p(x)的前⾯，使其成为⼀个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是⽆理数，则x2是⽆理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表⽰)解析：(1)?x∈R，x>2.(2)?x∈R，x2≥0；?x∈R，x2≥0都是真命题．(3)?x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是⽆理数，则x2是⽆理数．(如42)(5)?a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，⼆次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成⽴，即4m2＋4am＋1≥0恒成⽴．⼜4m2＋4am＋1≥0是⼀个关于m的⼆次不等式，恒成⽴的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章 1.4.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．命题：对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p ：?m 0∈R ，使⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．?m 0∈R ，使得⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0⽆实根B ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根C ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．⾄多有⼀个实数m ，使得⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根”．故选B.答案： B3．“?x 0?M ，p (x 0)”的否定是( )A ．?x ∈M ，綈p (x )B ．?x ?M ，p (x )C ．?x ?M ，綈p (x )D ．?x ∈M ，p (x )答案： C 4．已知命题p ：?x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧?q ”是假命题；③命题“?p ∨q ”是真命题；④命题“?p ∨?q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1∴p ∧q 为真，p ∧?q 为假，?p ∨q 为真，?p ∨?q 为假．答案： D⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题p ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成⽴，所以命题p是假命题．答案：特称命题假?x∈R，x2＋2x＋5≥0真6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案：(1)?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3(2)?x∈R，x2＋2x＋5≠0三、解答题(每⼩题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正⽅形都是矩形；(2)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)?θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正⽅形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：?θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在⼀个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，并说明理由．(2)若存在⼀个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成⽴，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成⽴，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)?a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a·c＝b·c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等⽐数列．。
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章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D.()2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3，2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1. 【答案】 C2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD→)，则( ) A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝1，y ＝13 C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→ ＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)， ∴x ＝1，y ＝14.应选D. 【答案】 D3．已知A (2，－4，－1)，B (－1，5，1)，C (3，－4，1)，D (0，0，0)，令a ＝CA→，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9，2)B ．(－5，9，－2)C ．(5，9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1，0，－2)，b ＝CB →＝(－4，9，0)， ∴a ＋b ＝(－5，9，－2)． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc 的值等于( ) 【导学号：18490123】A.16 B.56 C.76D ．－16【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →－AA 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13.∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( )A.AB →＝－C 1D 1→B.AB→·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D.AC 1→·A 1C →＝0【解析】 如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是l⊥α的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若l⊥α，则l垂直于α内的所有直线，从而有c·a＝0，c·b＝0.反之，由于a，b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B7．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2B．3C．4D．5【解析】设BC的中点为D，则D(2，1，4)，∴AD→＝(－1，－2，2)，∴|AD→|＝（－1）2＋（－2）2＋22＝3，即BC边上的中线长为3.【答案】 B8．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为26，则x＝()A．3 B．－3C．－11 D．3或－11【解析】因为a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为26，所以26＝x＋2x2＋42＋52×1＋4＋4，解得x＝3或－11(舍去)，故选A.【答案】 A9.如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63B.255C.155D.105【解析】 以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(－2，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝45·8＝105.∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105， ∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105. 【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13【解析】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( ) A.12，－12 B ．－12，－12 C ．－12，12D.12，12【解析】 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫3，0，－453， BD→＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0，n ·BD →＝0，得⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，（x ，y ，z ）·（－3，4，0）＝0.即⎩⎨⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32.∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 【导学号：18490124】【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0，0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，2，C (－1，0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1，0，0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°. 【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，3)，B (2，1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】 设点C 的坐标为(x ，0，z )，则AC→＝(x －1，2，z －3)，AB →＝(1，3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，1316.如图2，在四棱锥S -ABCD中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA→＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA→－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】 容易推出：SA→－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA→·SB →＝2×2cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，则DQ →＝(1，1，0)，DC→＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA→＝(1，0，0)，AB →＝(0，0，1)，AQ →＝(0，1，0)，故有DA→·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量． 又因为PC→＝(0，－2，1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ .18. (本题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →， 且BA →·BC →＝BB 1→·BA → ＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →) ＝BA →·BC →－BA →2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA → ＝－1.又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝3，所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA 1→||AC →| ＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.19. (本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值． 【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为P A ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB→＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)． 因为AP→＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1, 3，0)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64. 20. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥P A ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面P AB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面P AC; 【导学号：18490125】(2)若直线PE 与平面P AC 所成的角的正弦值为55，求二面角A -PC D 的余弦值．【解】 (1)∵平面P AB ⊥平面ABCD ， 平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥P A ， ∴P A ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示， 不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0，2，0)，E (2，1，0)，C (2，4，0)，P (0，0，λ)， ∴AC→＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，λ)，DE →＝(2，－1，0)， ∴DE→·AC →＝4－4＋0＝0，DE →·AP →＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面P AC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面P AC .(2)由(1)知，平面P AC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2，1，－λ)，设直线PE 与平面P AC 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2.∵λ>0，∴λ＝2，即P (0，0，2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC →＝(2，2，0)，DP →＝(0，－2，2)，由n ⊥DC→，n ⊥DP →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)． ∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155， 显然二面角A -PC -D 的平面角是锐角， ∴二面角A -PC -D 的余弦值为155.21. (本小题满分12分)如图7，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面P AD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E -BD -C 的余弦值．【解】 设AB ＝a ，P A ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (a ，0，0)，P (0，0，b )，C (2a ，2a ，0)，D (0，2a ，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0，2a ，0)，AP →＝(0，0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面P AD ，所以BE ∥平面P AD . (2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ， 即BE→·PC →＝0，PC →＝(2a ，2a ，－b )， 所以BE →·PC →＝2a 2－b 22＝0，则b ＝2a . ①PD →＝(0，2a ，－2a )，BC →＝(a ，2a ，0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a 222a ·5a＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105.②在平面BDE 和平面BDC 中，BE→＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a ，0)，BC →＝(a ，2a ，0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2，1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E -BD -C 的余弦值为66.22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE→＝(1，1，0)．(1)当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)， 因为BC 1→＝(－2，0，2)． 所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ， 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧FE →·n ＝0，FP→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ与平面PQMN所在的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±2 2，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角．。
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模块综合测评 选修2－1(A 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真． 答案：B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π3＝cos π3＝12. 反之当cos2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，故应选A.答案：A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 选项正确． 答案：D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：B6．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)． 设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案：D7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案：B8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－2×2×cos60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.∴以a 、b 、m 为边长的三角形为直角三角形．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4,2c ＝8.答案：812．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有__________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．答案：“p ∨q ” “綈p ”13．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线x 2＝y 上的点到直线AB 的最短距离为__________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)， d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.答案：35 5.14．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：建立空间直角坐标系如图，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 答案：25三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：若p 真，则有9－m ＞2m ＞0， 即0＜m ＜3.若q 真，则有m ＞0， 且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52＜m ＜5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题， 则p 、q 一真一假．(4分) ①若p 真、q 假，则0＜m ＜3，且m ≥5或m ≤52，即0＜m ≤52；(6分) ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52＜m ＜5， 即3≤m ＜5.(8分)故所求m 的范围为：0＜m ≤52或3≤m ＜5.(12分)16．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，与另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上一动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时， |MP |－|FP |取得最大值|MF |， 且|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255.(12分)17．(12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的标准方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：(1)方法一：由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .故直线PF 2的斜率为 kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac .∵PF 2⊥F 2Q .∴直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2.故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1. 则b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)方法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1F 2∽△F 2MQ ，∴|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |. 即b 2a a 2c －c＝2c |MQ |，解得|MQ |＝2a .∴⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4.解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝c a x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a .∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．(12分)18．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12. (1)BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(4分)(2)证明：由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令z ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u |·|v |＝0＋0＋13×1＝33. ∵二面角A -CD -E 为锐角，∴其余弦值为33.(14分)。
高中数学人教A版选修2-1模块综合测评-含答案解析
人教A 版选修2-1模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.544．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．45．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1AB C 为( )A.π3B.2π3C.3π4D.π47．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤58．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－110．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±1211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155 D.1520二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．14．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______.16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}， 由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}． 则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12.18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →²QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)易知M (2，0)，N (－2，0)，Q (1，3)， 2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2.∴c ＝2，a ＝3＋1，b 2＝a 2－c 2＝2 3. ∴椭圆的方程为x 24＋23＋y 223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .图3(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值．【解】 (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM .∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，M (0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33. 故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值． 【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→²n ＝0，AB 1→²n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0. 取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→²n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→²OB →＝－3，求这个抛物线的方程． 【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2， 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c ，0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c ＝b 33a 2c ＋c 3，又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55.人教A 版选修2-1模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“非p 且非q ”，D 正确． 【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件． 【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】 由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1AB C 为( )A.π3B.2π3C.3π4D.π4【解析】 以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1AB C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】 过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】 由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C.【答案】 C12．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】 由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎨⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞16．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______.【解析】 如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b2a 2＋b2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】 如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】 31717。
高中数学人教A版选修2-1 章末综合测评2 Word版含答案.doc
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．26 C ．23D ．4 3【解析】 方程化为标准方程为x 23－y 29＝1， ∴a 2＝3，b 2＝9.∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 【答案】 D2．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0，1) B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1，0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 【解析】 抛物线可化为x 2＝14y ，故开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B3．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( ) 【导学号：18490079】A.12B.32 C ．1D. 3【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|（3）2＋12＝32，故选B. 【答案】 B4．已知抛物线C 1：y ＝2x 2的图象与抛物线C 2的图象关于直线y ＝－x 对称，则抛物线C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18 B ．x ＝12 C ．x ＝18D ．x ＝－12【解析】 抛物线C 1：y ＝2x 2关于直线y ＝－x 对称的C 2的表达式为－x ＝2(－y )2，即y 2＝－12x ，其准线方程为x ＝18.【答案】 C5．已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB→·AB →＝0，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋32D.1＋52【解析】 ∵FB→·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－1－e ＝0，∴e ＝1＋52.【答案】 D6．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12xD ．y ＝±x【解析】 由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x . 【答案】 C7.如图1，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是( )图1A.22B.24C.12D.32【解析】 因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac ，即b ＝c . 于是b 2＝c 2，即a 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 【答案】 A8．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP→的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F (－2，0)， 所以c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋1， 即4＝a 2＋1，解得a ＝ 3.设P (x ，y )，则OP→·FP →＝x (x ＋2)＋y 2， 因为点P 在双曲线x 23－y 2＝1上，所以OP →·FP →＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－34－1.又因为点P 在双曲线的右支上，所以x ≥ 3. 所以当x ＝3时，OP→·FP →最小，且为3＋23，即OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)． 【答案】 B9．已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( )A.12B.32C.72D ．5【解析】 已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则点P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的双曲线的右支，且a ＝32，c ＝2.所以|P A |的最小值是点A 到右顶点的距离，即为a ＋c ＝2＋32＝72，选C.【答案】 C10．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2n ＝1的离心率为12，则n ＝( ) A. 3 B.32 C.23D.83【解析】 依题意知，a ＝2，b ＝n ， ∴c 2＝a 2－b 2＝2－n ， 又e ＝12，∴c 2a 2＝2－n 2＝14，∴n ＝32.【答案】 B11．已知直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 2m －y 28＝1，有如下信息：联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x 2m －y 28＝1，消去y 后得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，分类讨论：(1)当A ＝0时，该方程恒有一解；(2)当A ≠0时，Δ＝B 2－4AC ≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1, 3]B ．[3，＋∞)C ．(1，2]D ．[2，＋∞)【解析】 依题意可知直线恒过定点(－2，0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2，0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－m ，即0<m ≤4，又e ＝1＋b 2a 2＝1＋8m ，所以e ≥ 3.【答案】 B12．已知点P 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，直线l 过点P 且与x 轴平行，若同时与直线l 、直线PF 、x 轴相切且位于直线PF 左侧的圆与x 轴切于点Q ，则点Q ( )A ．位于原点的左侧B ．与原点重合C ．位于原点的右侧D ．以上均有可能【解析】 设抛物线的准线与x 轴、直线l 分别交于点D ，C ，圆与直线l 、直线PF 分别切于点A ，B .如图，由抛物线的定义知|PC |＝|PF |，由切线性质知|P A |＝|PB |，于是|AC |＝|BF |.又|AC |＝|DO |，|BF |＝|FQ |，所以|DO |＝|FQ |，而|DO |＝|FO |，所以O ，Q 重合，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3， 所以两条渐近线方程为y ＝±34x . 【答案】 y ＝±34x14．(2016·东城高二检测)已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．【解析】 由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.【答案】 815.如图2所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________. 【导学号：18490080】图2【解析】 由题意知抛物线的焦点为F (2，0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2，0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2，4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8. 【答案】 816．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|PQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x ＋1），联立得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2， ∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2， y 1＋y 22＝2k ，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2，2k .又|FQ |＝2，F (1，0)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4，解得k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆C 的方程．【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意， 得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．【解】 (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， ∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2. ②由①②得c ＝6，∴b ＝8.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．【解】 (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0)． ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16. (2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45， ∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9. ∴c ＝a 2－b 2＝4，∴F 1(－4，0)，F 2(4，0)， ∴F 2(4，0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意；(ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4， 连接CP 3，CP 4，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F ＝90°，符合题意． 综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形． 20．(本小题满分12分)(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． 【解】 (1)∵e ＝2， ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)法一 由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二 ∵MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.21．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．【解】 (1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2，0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是 12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k .因为k ·⎝⎛⎭⎪⎫－14k≠－1， 所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程； 【导学号：18490081】(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB＝－b 2a 2.求证：△AOB 的面积为定值．【解】 (1)由题意得，b ＝|0－0＋6|2＝3，c a ＝12，又a 2＋b 2＝c 2，联立解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标满足⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 化简得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，由Δ>0得4k 2－m 2＋3>0， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. ∵k OA ·k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2，∴3m 2－12k 23＋4k2＝－34·4m 2－123＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3， ∵|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋k 2）·48（4k 2－m 2＋3）（3＋4k 2）2＝48（1＋k 2）（3＋4k 2）2·3＋4k 22＝24（1＋k 2）3＋4k 2.又O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2. ∴S △AOB ＝12d |AB |＝12|m |1＋k 224（1＋k 2）3＋4k 2＝12m 21＋k 2·24（1＋k 2）3＋4k 2 ＝123＋4k 22·243＋4k 2＝3，为定值．。
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模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”，D 正确． 【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件． 【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】 由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1AB C 为( )A.π3B.2π3C.3π4D.π4【解析】 以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1AB C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )【导学号：18490126】 A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/ q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】 过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】 由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C. 【答案】 C12．(2016·上海杨浦模考)若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】 由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎨⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______. 【导学号：18490127】【解析】 如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b2a 2＋b2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】 如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}， 由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}． 则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12. 18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)易知M(2，0)，N(－2，0)，Q(1，3)，2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2.∴c＝2，a＝3＋1，b2＝a2－c2＝2 3.∴椭圆的方程为x24＋23＋y223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.图3(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．【解】(1)证明：∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩P A＝A，∴AB⊥平面P AD.∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，M(0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33. 故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值． 【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0. 取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→·OB →＝－3，求这个抛物线的方程． 【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；【导学号：18490128】(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2， ∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2， 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F1为(－c，0)，kF1C＝b3a2＋c22a2ca2＋c2＋c＝b33a2c＋c3，又k AB＝－bc，由F1C⊥AB，得b33a2c＋c3·⎝⎛⎭⎪⎫－bc＝－1，即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝ca＝5 5.。
人教版选修2-1综合测试卷及答案
人教版选修2-1综合测试卷及答案已知命题p：“对于任意正整数n，都存在一个正整数m，使得m>n”，命题q：“存在一个正整数k，使得对于任意正整数m，都有m<k”，则下列说法正确的是（。
）。
A。
命题p是真命题，命题q是假命题B。
命题p是假命题，命题q是真命题C。
命题p和命题q都是真命题D。
命题p和命题q都是假命题答案：A解析：命题p中的“存在”可以换成“对于任意”，即“对于任意正整数n，都有一个正整数m，使得m>n”。
这是显然成立的，因为可以取m=n+1.所以命题p是真命题。
命题q中的“存在”不能换成“对于任意”，因为这样的话就是命题p了。
所以命题q是“存在一个k，使得对于任意m，都有m<k”的形式，即“存在一个正整数k，使得k是正整数中的最小值”。
这是显然不成立的，因为正整数中是没有最小值的。
所以命题q是假命题。
因此选A。
1、双曲线的离心率为$\sqrt{3}$。
2、抛物线方程为$y=ax^2$。
3、直线AE与平面AED所成角的大小为45°。
4、y轴与平面$\alpha$所成的角的大小为$\frac{\pi}{4}$。
5、k的值为$\frac{2}{\sqrt{5}}$。
6、2a-b的最大值为$5$。
7、椭圆的离心率为$\frac{1}{\sqrt{2}}$。
8、正确命题的序号为①、②、③、④。
9、解：由题意得$$\begin{cases}2x-1\frac{1}{2a}-1.\end{cases}$$ 因为$p\lor q$为真命题，所以$p$和$q$至少有一个为真命题。
若$p$为真命题，则$\frac{1}{2a}-10$。
综上可得，$a\in(0,\frac{1}{4})$。
10、解：由题意得$$\begin{cases}b=k\lambda a,\\ka\cdot b+kb\cdot a=18,\\(ka+b)\cdot(ka-b)=0.\end{cases}$$ 将第一条式子代入第二条式子，得$k\lambda a^2+kb^2=18$，即$k\lambda+k\frac{b^2}{a^2}=18$。