人教版简单的线性规划_1
人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题
钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格 张数
析： 第一种钢板
2
1
1
x
列 第二种钢板
1
2
3
y
表 成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,
x x
2y 3y
18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC
5
, kl
a
ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
高中数学第三章不等式3二元一次不等式组与简单的线性规划问题第1课时练习含解析人教版必修
第1课时一、选择题1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)[答案] D[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x ＋2y ＜6.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜x x ＋y ≤1y ≥3，表示的区域为D ，点P 1(0，－2)，点P 2(0,0)，则( )A ．P 1∉D ，P 2∉DB ．P 1∉D ，P 2∈DC ．P 1∈D ，P 2∉D D ．P 1∈D ，P 2∈D[答案] A[解析] P 1点不满足y ≥3.P 2点不满足y ＜x .和y ≥3 ∴选A ．3．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0>0 B ．3x 0＋2y 0<0 C ．3x 0＋2y 0<8 D ．3x 0＋2y 0>8[答案] D[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8>0. 4．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0[答案] A[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ．O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ．∴选A ．5．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )[答案] B[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B ．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5x ＋y ≥00≤x ≤3表示的平面区域是一个( ) A ．三角形 B ．直角梯形 C ．梯形 D ．矩形[答案] C[解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y )＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．二、填空题7．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个． [答案] 6[解析] 符合条件的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共6个． 8．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜3三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域．[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域为如图阴影部分．10．经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A (1，－2)、B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析]由题意知直线l 斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题知：A 、B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有： (k ＋1)(2k －2)≤0 ∴－1≤k ≤1.一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点A (－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)[答案] B[解析] 在直线方程x －2y ＋4＝0中，令x ＝－2，则y ＝1，则点P (－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上，又点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，如图知，t 的取值范围是t >1，故选B ．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y ＋1≥0－1≤x ≤4表示的平面区域是( )A ．两个三角形B ．一个三角形C ．梯形D ．等腰梯形[答案] B [解析] 如图∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图(2)．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域的面积是( )A ．18B ．36C ．72D ．144[解析] 作出平面区域如图．交点A (－3,3)、B (3、9)、C (3，－3)， ∴S △ABC ＝12[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.4．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的平面区域如图，直线l ：y ＝ax ＋1过定点(0,1)，由于ax －y ＋1≥0与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0围成平面区域的面积为2，∴a >0，令x ＝1得y ＝a ＋1，∴12×(a ＋1)×1＝2，∴a ＝3.5．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝________.[答案] 3[解析] 由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3.6．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x －y ＋1≥02x ＋y ＋2≥0表示的平面区域的面积是________．[答案] 6[解析] 作出平面区域如图△ABC ，A (－1,0)、B (1,2)、C (1，－4)，S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×6×2＝6. (d 表示A 到直线BC 的距离．)三、解答题7．求由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤52x ＋y ≤6x ≥0y ≥0确定的平面区域的面积S 和周长C ．[解析] 可行域如图所示，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4)．过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则AC ＝1，PC ＝1，OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2，PB ＝4－02＋1－32＝25，得周长C ＝AO ＋BO ＋AP ＋PB ＝8＋2＋2 5.∵S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8，∴面积S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172.8．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域．[解析] (x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示x ＋2y ＋1与x －y ＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0，x －y ＋4＜0，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0，x －y ＋4＞0，在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．在直角坐标系中画出直线x ＋2y ＋1＝0与x －y ＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断． 不等式x ＋2y ＋1＞0表示直线x ＋2y ＋1＝0的右上方区域，x ＋2y ＋1＜0表示直线x ＋2y ＋1＝0的左下方区域；x －y ＋4＜0表示直线x －y ＋4＝0的左上方区域，x －y ＋4＞0表示直线x －y ＋4＝0的右下方区域．所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．。
高一数学§3.3.2简单的线性规划(1)
所以 zmax=2× 2-1=3.
（ 2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的 x、 y 满足约束条件
5x 3y 15, y x 1, x 5y 3.
教师课时教案
3
学生活动
学生完成 学生板演
问题与情境及教师活动
解：不等式组所表示的平面区
域如图所示：
从图示可知，直线 3x+5y=t
在经过不等式组所表示的公共区
及
3
因 此，问 题可以转 化为当 直线
方 y
2z x 与不等式组（ 1）确
33
法 定的平面区域有公共点时， 在区域
内找一个点 P，使直线经过点 P 时
截距 z 最大。 3
（ 5）获得结果：
由 上图 可以看 出， 当实 现
2z
y
x
3 3 金国直线 x=4 与直
z
14
线 x+2y-8=0 的交点 M（ 4， 2）时，截距 3 的值最大，最大值为 3 ，这
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
3、 变换条件，加深理解
教 探究：课本第 100 页的探究活动
（ 1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利
3 万元，每生产一件
学
乙产品获利 2 万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？
在换几组数据试试。
过 （ 2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
上.
3
2
x-y=0
1
11
O B(2, 2)
-2 -1
12
x
C(-1,-1) -1 A(2,-1)
x+y-1=0
2x+y=0
高中数学人教A版必修53.简单的线性规划优精品PPT课件
应用2－有关二元一次代数式取值范围
问题2
若实数x,y满足24
x x
y y
6 4
① ②
求 2x+y的取值范围。
高中数学人教A版必修5 3.简单的线性规划优 课件-精品课件ppt(实用版)
高中数学人教A版必修5 3.简单的线性规划优 课件-精品课件ppt(实用版)
首先：我们画出
4 x y 6 2 x y 4
线性规划
目标函数
问题： （线性目标函数） 约束条件
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件： 最优解
3xx45yy235 x 1
任何一个满足不 等式组的（x,y）
求z的最大值与最小值。
线性规划问题
可行域 所有的 可行解
高中数学人教A版必修5 3.简单的线性规划优 课件-精品课件ppt(实用版)
高中数学人教A版必修5 3.简单的线性规划优 课件-精品课件ppt(实用版)
4 4
x y
16 12
x
0
y 0
y
4 3
4
0
8x
将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内
所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y
都是有意义的.
问题：求利润2x+3y的最大值.
高中数学人教A版必修5 3.简单的线性规划优 课件-精品课件ppt(实用版)
高中数学人教A版必修5 3.简单的线性规划优 课件-精品课件ppt(实用版)
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
高中数学人教A版必修5 3.简单的线性规划优 课件-精品课件ppt(实用版)
高中数学人教A版必修5 3.简单的线性规划优 课件-精品课件ppt(实用版)
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。
2. 理解线性规划问题的求解过程。
3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。
所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。
2. 多个线性规划问题的案例。
教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。
探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。
4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。
5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。
实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。
7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。
8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。
9. 学生分享并讨论解决过程和结果。
巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。
11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。
拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。
13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。
评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。
2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。
教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。
高二数学简单的线性规划知识精讲 人教版
高二数学简单的线性规划知识精讲 人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：简单的线性规划二. 重点、难点：1. 二元一次不等式的区域（1）在平面直角坐标系中，所有的点被直线x ＋y －1＝0分成三类，即点在直线上，点在直线的上方区域，点在直线的下方区域。
{}（）集合表示的图形是直线右上方的所有点。
210(,)|x y x y +-> {}（）集合表示的图形是直线左下方的所有点。
310(,)|x y x y +-<一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。
注意：在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时画成实线。
（4）区域判断方法是：特殊点法。
2. 线性规划：（1）约束条件、线性约束条件：变量x 、y 满足的一组条件叫做对变量x 、y 的约束条件，如果约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。
（2）目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做目标函数。
如果解析式是x 、y 的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。
（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
（4）可行域：满足线性约束条件的解（x 、y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
（5）最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。
3. 解线性规划应用问题的一般方法和步骤： （1）理清题意，列出表格。
（2）设好变元并列出不等式组和目标函数、约束条件。
（3）准确作图，准确计算。
【典型例题】例1. 画出不等式表示的平面区域。
-+-<x y 240 解：先画直线（画成虚线）-+-=x y 240 取原点（，），代入O x y 0024-+-因为，所以原点在表示的平面区域内。
简单的线性规划课件
5y
25
x 1
7)若 z=ax+y取得最小值的最优解有无数个, 求实数a的值
y
C (1, 22 ) 5
A(1,1)
0
x 1
x4y3
B(5,2)
x
3x5y25
例4：满足线性约束条件 多少个整数解。
的可行域中共有
3x +２y≤10 x+4y≤11
x>0
y>0
解：由题意得可行域如图:
由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 (1,2)、(2,1)、(2,2)
0
x 1
3x5y25
1
l0 : y 2 x
例3 ：
若x, y满足下列条件: x - 4y -3
3x
5y
25
3)求z=3x+5y的最值
x 1
y
C (1, 22 ) 5
x4y3
B(5,2)
x
A(1,1)
0
x 1
3x5y25
3
l0 : y 5 x
例3 ：
若x, y满足下列条件: x - 4y -3
其中x,
y满足下列条件:
3x
5y
25
z2xy y2xz
平行 l0:y于 2x
x 1
y
C (1, 22 ) 5
x4y3
平移l0
B(5,2)
经A （ 过 1， 1 ）时 zmi n ， 3 A(1,1)
x
0
经B 过 （ 5， 2 ）时 zma ， x12
x 1
l :y2x
3x5y25
例3：
若x, y满足下列条件: x - 4y -3