第一节 空间解析几何的基本知识.
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点在数学中，解析几何是研究几何图形与代数表达式之间关系的分支学科。
解析几何广泛应用于物理、工程学和计算机图形学等领域。
而在解析几何中，空间解析几何是其中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形状和位置关系。
本文将就空间解析几何的一些重要知识点进行探讨。
一、平面与直线的表示在空间解析几何中，平面和直线是两个基本的几何概念。
我们可以通过向量和点坐标来表示平面和直线。
对于平面来说，如果已知平面上的一个点A和两个不共线的向量AB和AC，那么平面上的任意一点P都可以表示成向量AP的线性组合，即P=A+x(AB)+y(AC)，其中x、y为实数。
而对于直线来说，如果已知直线上的一个点A和一个不为零的向量u，那么直线上的任意一点P都可以表示成P=A+tu，其中t 为实数。
二、平面与平面的位置关系在空间解析几何中，平面与平面的位置关系有三种情况：相交、平行和重合。
我们可以通过向量来判断平面与平面的位置关系。
如果两个平面的法向量不平行，那么它们一定相交于一条直线；如果两个平面的法向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两个平面的法向量相等，那么它们重合。
三、直线与直线的位置关系在空间解析几何中，直线与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和重合。
我们同样可以通过向量来判断直线与直线的位置关系。
如果两条直线的方向向量不平行，那么它们一定相交于一个点；如果两条直线的方向向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两条直线的方向向量相等，并且经过它们的一点也相等，那么它们重合。
四、平面与直线的位置关系在空间解析几何中，平面与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和包含。
对于平面与直线的相交关系，我们可以通过求解平面与直线的交点来判断。
如果平面与直线有且只有一个交点，那么它们相交；如果平面与直线没有交点，那么它们平行；如果平面包含直线，那么它们重合。
五、球面与直线的位置关系在空间解析几何中，球面与直线的位置关系也有三种情况：相交、不相交和切线。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它通过坐标系和向量的概念来研究空间中的几何关系和性质。
本文将会介绍空间解析几何的基本概念、特点以及应用，以便读者对此有更深入的了解。
一、坐标系的建立在研究空间解析几何之前，我们首先需要建立合适的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
直角坐标系是最常见的坐标系，可以通过三个相互垂直的坐标轴来描述空间中的点。
柱坐标系和球坐标系较为常用于对称性较强的问题。
通过建立坐标系，我们可以将空间中的点与数值进行对应，进而进行进一步的分析与计算。
二、向量的表示和运算向量是空间解析几何中非常重要的一个概念，它可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
向量具有长度和方向两个特点，可以用有向线段或坐标表示。
在解析几何中，我们常常使用坐标表示向量。
例如，在直角坐标系中，向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别表示在x、y、z轴上的分量。
在解析几何中，向量的运算有加法、减法、数量乘法和点乘法等。
向量的加法与减法可以通过对应分量相加或相减来进行，数量乘法可以将向量的每个分量与一个实数相乘，而点乘法可以通过两个向量的对应分量相乘再相加得到。
三、直线和平面的方程在空间解析几何中，直线和平面是重要的几何基本要素。
直线可以通过一点和一个方向向量来表示，方程通常为(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) +t(a, b, c)，其中(x₁, y₁, z₁)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
平面可以通过一个点和两个不共线的向量来表示，方程通常为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面法向量的分量，D为常数项。
四、空间曲线和曲面除了直线和平面，空间解析几何还研究了各种曲线和曲面的性质。
空间曲线可以通过参数方程、一般方程或者向量函数来表示，例如，圆柱面的参数方程可以表示为x = a cosθ，y = a sinθ，z = hθ，其中a为圆柱的半径，h为圆柱的高度，θ为参数。
大一空间解析几何知识点总结
大一空间解析几何知识点总结大一空间解析几何是大一数学课程中的一部分，涵盖了三维空间中的点、直线和平面的相关知识。
以下是一些大一空间解析几何的知识点总结。
1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，通常用x、y和z表示。
在该坐标系中，每个点都可以表示为一个有序三元组(x, y, z)，称为点的坐标。
2. 点和向量：点表示空间中的位置，而向量表示从一个点到另一个点的方向和长度。
向量可以表示为两点之间的位移。
3. 向量的加法和减法：向量的加法是将两个向量的对应分量相加，而向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
4. 向量的数量积和向量积：向量的数量积（点积）是两个向量的对应分量相乘再求和，而向量的向量积（叉积）是两个向量的乘积向量的模长等于原来两个向量的模长乘积与这两个向量夹角的正弦积。
5. 直线的方程：直线可以由点和方向向量来表示。
给定一点P和平行于向量v 的直线L，直线L可以表示为L：r = P + tv，其中r是直线上的任意一点，t 是实数。
6. 平面的方程：平面可以由一个点和一个法向量来表示。
给定一点P和法向量n，平面可以表示为n·(r - P) = 0，其中r是平面上的任意一点。
7. 平面与直线的位置关系：平面和直线有三种可能的位置关系：平行、相交和重合。
平面和直线平行意味着它们没有公共点；平面和直线相交意味着它们有一个公共点；平面和直线重合意味着它们有无数个公共点。
8. 平面与平面的位置关系：平面和平面也有三种可能的位置关系：平行、相交和重合。
平面和平面平行意味着它们没有公共点；平面和平面相交意味着它们有一条公共直线；平面和平面重合意味着它们完全重合。
这些知识点是大一空间解析几何的基础，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决三维空间中的几何问题。
在学习过程中，还可以进一步学习曲面、二次曲线、空间几何体等更高级的知识。
空间解析几何基本原理
空间解析几何基本原理空间解析几何是研究空间中点、直线、面等几何概念之间的关系和性质的一门学科。
在数学中，空间解析几何基于坐标系的方法，通过将几何问题转化为代数问题，利用代数方法进行求解。
本文将介绍空间解析几何的基本原理，包括直线的方程、平面的方程和空间中点、直线、面之间的距离和夹角计算方法。
一、空间中的点和坐标在空间解析几何中，我们通常使用三维笛卡尔坐标系来描述空间中的点。
坐标系由原点和三个坐标轴（x、y、z）组成，分别表示水平方向、垂直方向和纵深方向。
空间中的点可以使用有序三元组(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标，z表示点在z轴上的坐标。
二、直线的方程在空间解析几何中，直线可以使用向量形式方程、参数形式方程和对称式方程来表示。
1. 向量形式方程向量形式方程表示直线上的任意一点P可以由向量a和过点P的某一向量b来表示：r = a + tb，其中t为参数。
2. 参数形式方程参数形式方程表示直线上的点可以由某一点P0和方向向量v以及参数t来表示：x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct。
3. 对称式方程对称式方程表示直线上的点满足两个平面的交线，可以用平面的方程来表示。
三、平面的方程在空间解析几何中，平面可以使用法向量和过该平面上一点的坐标来表示。
平面的方程有点法式方程、一般式方程和三点式方程等形式。
1. 点法式方程点法式方程表示平面的法向量为n，平面上一点为P0，则平面上的点P满足向量P0P与法向量n垂直：n · (P - P0) = 0。
2. 一般式方程一般式方程表示平面的法向量为(A, B, C)，平面上一点为P(x, y, z)，则平面的方程可以表示为Ax + By + Cz + D = 0。
3. 三点式方程三点式方程表示平面通过三个非共线点P1(x1, y1, z1)、P2(x2, y2, z2)和P3(x3, y3, z3)：| x-x1 y-y1 z-z1 || x2-x1 y2-y1 z2-z1 | = 0| x3-x1 y3-y1 z3-z1 |四、距离和夹角的计算方法在空间解析几何中，我们经常需要计算点与点之间的距离、点与直线之间的距离、直线与直线之间的距离和夹角。
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
空间解析几何
M 3 M1
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2,3) 的距离为
到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
2 2
x
d M1 P PN NM 2 ,
2
2
这六个平面围成一个以 M1M 2 为对角线的长方体; (如图) 向 xy面投影,并设点 M1, M 2 在xy面的垂足各为 m1 , m3 .
M1
z
M2
d
M3
y1
y2
m3
y
x2
O
x1
x
2 2 2
m1
2 2
则 M 1M 2 M 1M 3 M 2 M 3 m1m3 M 2 M 3
o
(1) z z1
（2） M 到 z 轴的距离 点
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
z z1 , y1 x 2 y 2 代入 f ( y1 , z1 ) 0 将
而 m1m3 x2 x1 y2 y1
2 2
2
且 M 2 M 3 z2 z1 ；
2 2
z
M2
d M 1M 2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形和其性质。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常见图形以及解析方法，帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、基本概念在空间解析几何中，我们使用坐标系来描述点、直线、平面等几何对象。
一般常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
直角坐标系中，我们使用三个坐标轴x、y、z来确定一个点的位置。
柱面坐标系中，我们使用极坐标和一个垂直轴来确定一个点的位置。
通过坐标系，我们可以得到点的坐标、距离和角度等信息。
二、常见图形1. 点：空间中的一个点可以通过其坐标表示。
例如，点A(2,3,4)表示空间中的一个点，它的x坐标为2，y坐标为3，z坐标为4。
2. 直线：空间中两个不重合的点可以确定一条直线。
直线可以用参数方程、对称式、一般式等形式表示。
3. 平面：平面是由三个不共线的点所确定的。
平面可以用一般式、点法式等形式表示。
4. 球：由空间中的一个固定点和到该点距离等于定值的所有点构成的集合称为球。
5. 圆柱体：由一个闭合的曲线和平行于该曲线的直线段所围成的曲面称为圆柱体。
圆柱体可以通过其底面半径、高和母线方程等参数表示。
三、解析方法在空间解析几何中，我们可以使用向量、点法式、平面截距式等方法来求解各种几何问题。
1. 向量：向量是空间解析几何中一个重要的工具。
它可以用来表示线段、直线的方向和长度等信息。
通过向量，我们可以进行向量加法、减法、内积、外积等运算，用来求解直线的夹角、垂直平分线等问题。
2. 点法式：点法式是求解平面方程的一种方法。
它通过平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
利用点法式，我们可以求解平面的交点、两平面的夹角等问题。
3. 平面截距式：平面截距式可以用来表示平面上与坐标轴相交的三个截距，通过截距可以确定平面的位置和方程。
我们可以利用平面截距式来求解平面的方程、直线与平面的交点等问题。
通过以上的解析方法，我们可以将空间解析几何中的各种问题转化为代数方程或方程组求解，从而得到几何图形的性质和关系。
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曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
3.空间平面
方程:
Ax By Cz D 0
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
y z l2
x z l3
x
y y
2、二次曲面
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面
定义 平行定直线并沿定曲线 C 移 动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
C
•
表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
z
o
x
y
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
返回
2.空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
d M1M2 ?
2.空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
二、几种特殊的曲面 1.柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
(2)与坐标面的交线：椭圆
z
x2 a2
y2 b2
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
x
o
y 0
yபைடு நூலகம்
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
z
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c) 的交线为：椭圆
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
也为椭圆.
的截痕
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
z
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面;
(5)当a＝b＝c 时为球面.
2.椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
(1)范围：仅讨论 p 0, q情 0况
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考虑其交 线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的 全貌．这种方法叫做截痕法。
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
第一节 空间解析几何的基本知识
１、空间直角坐标系 ２、几种特殊的曲面 ３、空间曲线
一、空间直角坐标系
1.建立坐标系
三个坐标轴的正方向 符合右手规则.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
截距式方程:
xyz
1
abc
x
z
平面
. R(0,0,c)
Q(0,b,0)
. o . P(a,0,0)
y
其中:a、b、c分别被称为平面x、y、z轴上 的截距
4.空间曲面
曲面方程的概念
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．