最新数列概念及其表示
数列的基本概念与简单表示法
(2)(1 ),4,9,16,25,(36 ),49
⑵ an=n2
(3) - 1, 1 ,(- 1 ), 1 ,- 1 , 1 ,(- 1 )
2
3
(3)an
4
56
(1)n 1 n
7
(4)1, 2,( 3 ),2, 5,( 6 ), 7
(4)an n
目标3：数列是特殊的函数
显也然就,是有说了每通个项序公号式也,只都要 依对次应用着一1,2个,3,数…（代项替）公式
本节课学习的主要内容有： 1.数列的有关概念;
2.数列的通项公式； 3.数列的实质；
4.本节课的能力要求是：
(1) 会由通项公式 求数列的任一项； (2) 会用观察法由数列的前几项求
数列的通项公式. (3)检验某数是否是该数列中的一项.
课后作业：
1、学习反馈训练（时间：15---20分钟）
2、思考题： ①为什么课本练习4中要求写出数列的“一个”
an
1 n1 n n 1
(2) 0 ，2 ，0 ，2
分析： 1
2
3
4
1 11
1 12
1 13
1 14
0
2
0
2
解： 这个数列的奇数项是0，偶数项是2，所以它的一个通 项公式是
an 1 1n
2、根据数列{ a n }的通项公式，写出它的
前5项：
a (1) n n2 n
a (2) n 5 2n1
(n N* , n 64)
a 2n1 n
1 ，2 ，3 ，，n ， 2
n (nN* )
a n n
2 ，4 ，6 ，…，2n ，… 3
a 2n
n
新教材2023版高中数学第一章数列1数列的概念及其函数特性1
方法归纳
正确理解数列及相关概念，注意以下几点： (1)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以 相同，但与顺序有关； (2)数列a1，a2，…，an，…可以记为{an}，但不能记作{a1，a2，…， an，…}.
跟踪训练1 (多选题)下列说法正确的是( )
A．数列{2n＋1}的第5项是10
2．在数列－1，0，19 ， 18，…，nn−22，…中0.08是它的(
)
A．第100项 B．第12项
C．第1nn−22. 令an＝0.08，即nn−22＝1080， 所以n＝10或n＝52(舍去)，故选C.
3 ． 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an ＝ n2 － n ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，12，－13
，
1；
4
(2) 3，3， 15， 21；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；
(4)3，5，3，5.
方法归纳
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以 下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间 的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数 列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－ 1)n＋1来调整．
变式探究 本例中，数列{an}中有多少个负数项？
解析：an＝3n2－28n＝n(3n－28)， 令an<0，则0<n<238， 又n∈N＋，所以n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9. 即数列{an}中共有9个负数项．
数列的概念及其表示
数列的概念及其表示 【考纲解读】考点内容解读 1.数列的有关概念，规律及应用了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表，图形，通项公式），了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2.数列的通项公式及前n 项和 了解递推公式的概念及数量前n 项和的定义【分析解读】了解数列的概念和相关的表示方法，了解数列的通项公式和递推公式，了解数列的通项公式与前n 项和之间的关系，了解数列是自变量为正整数的一类函数。
考查数列的相关概念和性质，培养创新能力和抽象概括能力。
【知识清单】考点一 数列的概念与通项公式1数列的概念按照一定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排列在第一位的数称为这个数列的第一项，通常也叫做首项，往后各项依次叫做数列的第2项，……，第n 项……数列的一般形式可以写成123,,,n a a a a ，其中n a 数列的第n 项，我们把上面的数列简单的记为{}n a 数列的简单表示方法：列表法、图像法、通项公式法（解析法）。
2数列的分类(1) 根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列----项数有限的数列无穷数列----项数无限的数列（2）按照数列的每一项随序号的变化情况分类：递增数列----从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；递减数列----从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；常数列----各项相当的数列；摆动数列----从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项都小于它的前一项的数列。
3数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看成是*N （或者它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的一列函数值。
反之，对于函数()y f x =，如果()(1,2,3)f i i = 有意义那么我们可以得到一个数列(1),(2),(3)()f f f f n4如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子表示出来，那么这个公式叫做这个数列的通项公式考点二 递推公式如果已知数列{}n a 的首项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任何一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。
数列的概念与简单表示法 课件
探究点二
根据数列的前几项写出通项公式
给出数列{an}的前n项求数列的通项公式时，常用观 察分析法，观察各项与对应的项数之间的联系，如果关 系不明显，应该将项作适当的变形或分解，让规律显现 出来，便于找到通项公式．同时，还必须熟练地掌握一 些基本数列的通项公式，如：
探究点一
数列的有关概念
理解数列的概念应注意以下几个方面： (1)数列中项与项之间用“，”隔开． (2)数列中的项通常用an表示，其中右下角标表示项的位
置序号，即an为第n项．
(3)“顺序”的重要性：顺序对于数列来讲是十分重要的， 几个不同的数，它们按照不同的顺序排列所得到的数列 是不同的，这是数列与集合的不同之处．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增 数列是________，递减数列是________，常数列是 ________，摆动数列是________，.(将合理的序号填在横 线上) [提示] 紧扣数列的有关概念判断．
[解析] (1)是有穷递增数列； (2)是无穷递增数列(因为n－n 1＝1－n1)； (3)是无穷递减数列； (4)是摆动数列，也是无穷数列； (5)是摆动数列，是无穷数列； (6)是常数列，是有穷数列．
1．数列及其有关概念 (1)数列：按照一定 顺序 排列着的一列数称为数列． (2)项：数列中的 每个数 叫做这个数列的项，第1项通常
也叫做 首项 ，若是有穷数列，最后一项也叫做末项．
2．数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简 记为 {an} ，这里n是序号．
{an}与an有什么区别？
提示：{an}与an是两个不同的概念，{an}表示数列a1， a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数 列{an}的第n项．
数列的概念和简单表示优秀课件2
a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ . 3_ 4_ 6_ 2_ 5_ 1 2 3 4 5
(2 )
n a ( 1 ) n n
- 3_ -_ 5_ a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ . 2_ - 1_ 4_ 1 2 3 4 5
数列的概念和简单表示
一.复习:
确定性
互异性
无序性
集合元素的性质 函数的概念
函数就是特 殊的映射
二.引入:
看下面一组实例： (1) 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10 (2) 正整数1,2,34,…的倒 数1，1/2，1/3，1/4… (3)某种细胞分裂问题：1， 2，4，8，16，… (4)1的正整数次幂： 1,1,1,1,… (5) 无穷多个1数排成一列 数：1，1，1，…
(4)实质：
不一样。
从映射、函数的观点看，数列可以看作是一 个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1， 2 ，…， n} ）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，通项公式即相 应的函数解析式，即数列是特殊的函数。
(4)数列的分类:
数列
有穷数列
无穷数列
项 数 有 限 的 数 列
项 数 无 限 的 数 列
2 an 例： 4 已 知 数 列 { an} 满 足 a 1 ， an+ 1= 1 2 + an (n N) . 写 出 它 的 前项 5 ,归 纳 其 通 项 公 式 ,
*
并 验 证 是 否 满 足 递 推 公 式 .
2 1 2 a2 , 分 析 ： 它 的 前 5 项 为 : a = 1 ， 1 2+1 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 5 , a5 a3 , a4 . 1 5 2 2 2 3 2+ 2+ 2+ 2 3 5 2 猜想: an . 经 验 证 它 满 足 递 推 公 式 . n+1
数列的概念与简单表示法
课题 数列的概念与简单表示法1、概括数列的概念：(1)按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….(2)数列的一般形式：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⑴数列的数是按一定顺序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2、数列的分类：（1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…（2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 4、递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.(2)对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1, 2, 3, 4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可依次求出其他项.3. 用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.则项之和为的前若记数列, }{ n n S n a ⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-1)( 2)( 11n S n S S a n n n 题型一、已知通项，求数列的每一项例1 、 根据下面数列 {a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)1n na n =+ ()(2)1n n a n =-⋅解：1）在通项公式中依次取 n =1，2，3，4，5，得到数列{a n } 的前5项为.65,54,43,32,21（2）数列 {a n } 的前5项为－1，2， － 3，4， － 5.变式1、根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：⑶a n =5×(-1)n+1 5,-5,5,-5,5∴ n n n a a 2211=⋅=-变式5、 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.1111(1)0,(21)(2)1,2n n nn n a a a n a a a a ++==+-==+题型五、根据数列和求通项公式例6. 已知数列{a n }的前n 项和为1322++=n n s n ,求n a 。
数列的概念与性质
数列的概念与性质数学作为一门精确的科学，涉及到各种各样的概念与性质。
其中，数列是数学中一个重要的概念，它在许多数学问题的研究中起着重要的作用。
本文将探讨数列的概念与性质，以及与数列相关的一些定理和推论。
一、数列的概念和表示方法数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合。
数列通常用{an}表示，其中an表示数列中的第n个数。
例如，数列{1，2，3，4，5，……}是一个从1开始的自然数数列。
数列可以分为有限数列和无限数列。
有限数列是指在数列中存在最后一个数，而无限数列则没有最后一个数。
二、数列的常见性质1. 数列的有界性数列可以是有界的，也可以是无界的。
如果一个数列存在上界和下界，我们称它是有界的；如果一个数列没有上界或下界，我们称它是无界的。
例如，数列{1，2，3，4，5，……}是无界的，而数列{1，1/2，1/3，1/4，……}是有界的，因为它的上界是1，下界是0。
2. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等。
我们用an = a1 + (n-1)d来表示等差数列的一般项公式，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
例如，数列{1，3，5，7，9，……}就是一个公差为2的等差数列。
3. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等。
我们用an = a1 * r^(n-1)来表示等比数列的一般项公式，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
例如，数列{2，4，8，16，32，……}就是一个公比为2的等比数列。
三、数列的定理和推论1. 首项和公差确定等差数列如果一个数列的首项和公差确定了，那么这个数列就确定了。
换句话说，如果两个等差数列的首项和公差相同，那么它们的所有项都相等。
2. 等差数列的前n项和对于等差数列{an}，它的前n项和Sn可以表示为Sn = (n/2) * (a1 + an)。
这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的和。
3. 等比数列的前n项和对于等比数列{an}，如果公比r不等于1，那么它的前n项和Sn可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
数列的概念与常见类型
数列的概念与常见类型数列是数学中的重要概念，它是按照一定规律排列的一组数。
数列的类型多种多样，常见的有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
本文将介绍数列的基本概念，并详细阐述常见的数列类型及其特点。
一、数列的概念与性质数列是指按照一定次序排列的一组数，其中每一个数被称为数列的项。
数列可以表示为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁、a₂、a₃等分别表示第1项、第2项、第3项，以此类推。
数列的每一项都有自己的位置，也即项的序号。
数列可以有有限项，也可以有无限项。
有限项的数列在一个特定的位置停止，而无限项的数列则继续向后延伸。
数列的常见性质有首项、公差（对于等差数列）、公比（对于等比数列）、通项公式等。
二、等差数列等差数列是指数列中的任意两项之间的差值始终相等的数列。
等差数列的通项公式可表示为an = a₁ + (n-1)d，其中an表示第n项，a₁表示首项，d表示公差。
等差数列的公差决定了数列中每一项与前一项的差值。
等差数列常见的应用包括数学、物理、经济等领域。
例如，当我们计算等差数列中某一位置的值时，可以直接利用通项公式进行计算，而不需要一个个遍历数列的每一项。
此外，等差数列还可以用来表示一些增长或减少规律明显的现象。
三、等比数列等比数列是指数列中的任意两项之间的比值始终相等的数列。
等比数列的通项公式可表示为an = a₁ * r^(n-1)，其中an表示第n项，a₁表示首项，r表示公比。
等比数列的公比决定了数列中每一项与前一项的比值。
等比数列在很多领域中都有重要的应用。
例如，当物体的速度以一定比例递减时，可以用等比数列来表示每个时间点上的速度。
此外，等比数列还可以用来表示一些指数增长或衰减的现象，如人口增长、细菌繁殖等。
四、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的前两项通常为1，1或0，1，后续每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列可以表示为{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}。
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解：(1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现， “ ”下面的数值后一项比前一项大 3，故通项公式可写为 n－1 × 3＝ 3n－1，即 an＝ 3n－1.
an＝ 2＋
a20＝ 3× 20－1＝ 59.
(2)令 4 2＝ 3n－1，即 32＝3n－1，解得 n＝11， ∴4 2是数列的第 11 项． 101 * 再令 10＝ 3n－1，即 3n－1＝100，解得 n＝ ∉ N ， 3 ∴10 不是该数列的项．
2.1 数列概念和表示
新课讲解
1.数列的概念 数列是指按一定顺序排列的一列数，数列中的数与顺序 有关系，每一项都对应着一个序号即项数，一般可表示为 a1， a2，…或记为{an}． 注意 判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和
项是否相同．
2．数列的分类 按数列中项数的多少，可分为有穷数列和无穷数列，其 中项数是有限项的数列为有穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n}；项数为无限项的数列为无穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n，…}． 按数列中相邻两项间的大小关系可分为递增数列，递减 数列，常数列，摆动数列． 注意 判断一个数列属哪一类型的数列，要搞清概念，
跟踪练习
1.已知数列{an}的通项公式 an＝2n2－n. (1)写出这个数列的第 4 项和第 6 项； (2)试问 45 是否是{an}中的项，3 是否是{an}中的项？
解：(1)a4＝2× 42－4＝28， a6＝2× 62－6＝66. (2)令 2n2－n＝45，得 2n2－n－45＝0，得 n＝5， 9 n＝－ (舍)，故 45 是此数列中的第 5 项． 2 令 2n2－n＝3，得 2n2－n－3＝0，此方程不存在正整数 解，故 3 不是此数列中的项．
利用各类数列的要求判断．
3．通项公式 如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中 的 n 就可以求出数列中的指定项， 如果给出数列中的前几项， 也可发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归 纳出的通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立， 并不知道． 注意 一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数
解: (1)该数列第 1,2,3,4 项的分母分别为 2,3,4,5，恰比项 数多 1. 分子中的 22,32,42,52 恰是分母之平方，－1 不变，故它的 一个通项公式为 an ＝ n＋1 2－1 . n＋1
(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号 因子 ( － 1)n ，分子均为 1 不变，分母 2,6,12,20 可分解为 1× 2,2× 3,3× 4,4× 5，则它的一个通项公式为 an＝(－1)
例题讲解
题型三 数列递归公式的应用 例 3. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由公式 an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； an (2)通过公式 bn＝ 构造一个新数列{bn}，写出数列{bn} an＋1 的前 4 项．
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)且 a1＝1，a2＝2. ∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3， a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. ∴数列{an}的前 5 项依次为 1,2,3,5,8.
1 1 (3)－ ， ，( 2× 1 2× 2 1 1 3 (4) ，－ ， ，( 2 2 8 2 1 (5)1， ， ，( 2 2
答案 (1)16 (2) 1 5
1 (3)－ 2× 3 1 (4)－ 4 2 (5) 4 － 3 32
例题讲解
题型二 数列通项公式的应用 例 2. 已知数列 2， 5，2 2， 11，… (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第 20 项； (2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
an (2)∵bn＝ ，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5， an＋1 a5＝8， a1 1 a2 2 ∴b1＝ ＝ ，b2＝ ＝ ， a2 2 a3 3 a3 3 a4 5 b3 ＝ ＝ ， b4 ＝ ＝ . a4 5 a5 8 1 2 3 5 即数列{bn}的前 4 项依次为 ， ， ， . 2 3 5 8
n
n
1 n＋
.
(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001,0.9999＝1 －0.0001，而 0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.0001＝10－4，
2 ∴它的一个通项公式为 an＝ 3 (1－10－n)
(4)这个数列前 4 项构成一个摆动数列，奇数项是 5， 偶数项是 4. 所以，它的一个通项公式为
在递推公式，递推公式也不一定唯一．特别是依据数列前几 项寻求递推关系，递推公式可能不止一个.
5．求和公式
S n a1 a2 ... an
S (n 1) 1 an S n S n 1 (n 2)
例题讲解
题型一 探求数列的通项公式 例 1. 分别写出下列数列的一个通项公式， 数列的前 4 项 已给出． 22－1 32－1 42－1 52－1 (1) ， ， ， ，…； 2 3 4 5 1 1 1 1 (2)－ ， ，－ ， ，…； 2 6பைடு நூலகம்12 20 (3)0.6, 0.66, 0.666, 0.6666，…； (4)5,4,5,4，….
1 (1) n 1 an 4 2
9 (1) n1 5，n为奇数， 或an＝ . 2 4，n为偶数
跟踪练习
1. 观察下面数列的特点，用适当的数填空： (1)1,4,9，( 1 (2)1， ，( 3 )，25,36； 1 1 )， ， ； 7 9 1 1 )， ，－ ； 2× 4 2× 5 5 )， ，( 32 1 )， . 4 )；
列不存在通项公式．
4．递推公式 递推公式是给出数列的一种重要方法， 是指已知数列{an} 的第一项 ( 或前几项 ) 及相邻两项 ( 或几项 ) 间关系可以用一个 公式来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出 a1 或 a2，然后用递推关系逐一写出数列中的各项． 注意 并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存