动态介电常数

D u ( )E(u)
另一部分则由于极化的惯性而在时间 tu+du是继续存在。如果在不同的时间有 几个脉冲电场，则总的电位移为各脉冲电 场产生的电位移的叠加。如果施加的是一 起始于u=0的连续变化的电场，则求和应该 为积分
D(t) 0 r ( )E(t) 0 E(u) (t u)du
介质损耗 dielectric loss
如果交变电场的频率足够低，取向极化能 跟得上外加电场的变化，这时电介质的极 化过程与静电场作用下的极化过程没有多 大的区别。如果交变电场的频率足够高， 电介质中的极化强度就会跟不上外电场的 变化而出现滞后，从而引起介质损耗。
动态介电常数也不同于静态介电常数。所 谓介质损耗，就是在某一频率下供给介质 的电能，其中有一部分因强迫固有偶极矩 的转动而使介质变热，即一部分电能以热 的形式而消耗。可见，介质损耗可反映微 观极化的弛豫过程。
r () r () ( x) exp( ix)dx, (6.3)
0

为了使（6.3）成为无量纲的量，我们将衰 减函数写成
(t ) 0 exp(t / 2) sin 1t 1 (0 2 / 4)1/ 2 ，将（6.8）代如 式中
（6.3）既得到谐振型的介电色散方程
动态介电常数
极化弛豫和介电损耗，介电频谱 德拜弛豫和共振弛豫，
动态介电常数
在静电场下测得的介电常数称为静态介 电常数，在交变电场下测得的介电常数 称为动态介电常数，动态介电常数与测 量频率有关。前面主要介绍了在静电场 作用下的介电性质，下面介绍一下在交 变电场作用下的介电性质。
弛豫时间 relaxation time
W I Edt [D1 sin(t ) D 2 cos(t )]E 0 cos(t )dt 2 0 2 0
2 2
1 1 1 2 D 2 E 0 E 0 0 () D 0 E 0 sin() 2 2 2
可见，能量损失与sin()成正比。
0
由此得到
( ) r () ( x) cosxdx,(6.2a )
' r 0

( ) ( x) sin xdx, (6.2b)
'' r 0

式中r()时光频电容的实部。此时可统一 写为下边( x) exp( ix)dx, (6.3)
上式表明，如果在足够宽的频率范围内已 知r’，则可以计算出r”，反之亦然。 频率范围足够宽的含义就是在该范围以外， r’ 和r” 无明显的色散现象。 前边的统一式子表明，不同系统的特性表 现在衰减函数（x）上。
对电场的响应
铁电体大致可以分为两种类型：
有序无序型： 可描写为可转动的偶极子的集合， 位移型： 可描写为有阻尼的准谐振子的系统。
2 r () r () 2 0 2 i
其中2= 01，分别写出实部和虚部，则 得出
2 2 (0 2 ) r' ( ) r () 2 , 2 2 2 2 (0 )
2 r'' ( ) 2 , 2 2 2 2 (0 )
0

上式还表明，r’和r”都可以由同一个函数导 出，所以它们不可能是独立的。现在求他们 的关系。
对上边两个式子作傅里叶变换，可得到衰 减函数为
2 ( x ) 2 ( x )

0
' r (' )
r () cos ' xd ' ,



0
'' r (' ) sin ' xd '
损耗因子 loss factor
因此，sin()称为损耗因子；因为当很小时， sin()tan()，所以有时也称tan()为损 耗因子。 因为介质损耗与电场强度的频率、温度以及 极化机制等都有关系，是一个比较复杂的问 题。介质损耗大的材料，做成元件质量也差， 有时甚至不能使用。所以介质损耗的大小， 是判断材料性能的重要参数之一。
对于可转动的偶极子系统，电场撤除后，偶 极子由有序到无序的过程是一个驰豫过程， 可用exp(-t/)来描写，是弛豫时间。因此衰 减函数可以写为：
r (0) r () ( t ) exp(t / )
其中r(0)和r()分别为静态和光频介电常 数的实部。
r () r () ( x) exp( ix)dx, (6.3)
0 t
式中（t-u)为衰减函数，它描写电场撤 除后D随时间的衰减。显然当t时， （t-u) 0. 现在考虑施加周期性电场E(t)=E0cos t， 并将变量u改为x=t-u.如果电场保持足够 长的时间，致使t大于衰减函数趋于零的 特征时间，则积分上限x可取为无穷大。 在此情况下，D也必然随时间周期性变化
介电性质
极化机制（3） 有效场计算(Lorenz) 介电常数（Clausius-Mossotti） 定性（OK）, 定量（？） 各向异性介质+对称性（点群）介电常数 张量（独立数目） 动态介电常数：弛豫+损耗，德拜弛豫和阻 尼谐振子弛豫
注意:在某一频率范围的介质损耗小，并不 等于在所有频率范围内的介质损耗都小。 例如，铌酸锂LiNbO3 晶体在室温（20C）时 的损耗因子tan()与频率的关系如图2-18所 示。从图中可以看出，在频率为107Hz附近 损耗很大，因此设计器件时就应考虑避开此 频率附近。如选用LiNbO3晶片做纵向振动时 就不应选择大小约为7.67.625.4的晶片。
若作用在电介质上的交变电场为：
E E 0 cos(t )
由于极化弛豫，P与D都将有一个相角落后于 电场E，设此角为，则D可写为：
D D 0 cos(t ) D1 cos(t ) D 2 sin(t )
其中D1=D0cos(), D2=D0sin()。
对于大多数电介质材料，D0与E0成正比，不过 比例系数不是常数，而是与频率有关。为了 反映这个情况，引入两个与频率有关的介电 常数： D1 D 0 1 () cos() E0 E0
谐振型介电响应中电容率实部和虚部与频率的关系
summary
Dynamic dielectric constant, real and
imaginary part, dielectric loss Frequency spectrum of dielectric constant, Kramers-Kronig relation Debye relaxation, damped resonantor relaxation.
D2 D0 2 () sin() E0 E0
并有：
2 () tan() 1 ()
因1和2与频率有关，所以相角也与频率 有关。当频率趋近于零时，极化不出现滞 后，这时相角=0。
1 () 0 2 () 0
D0 D0 cos() E0 E0 0 D0 sin() 0 E0 0
可写为 D (t ) D0 cos(t )
0 E0 ( cost sin t )
' r '' r
于是可将（6.1）式写成
() ( x ) cosxdx D (t ) 0 E0 cost r 0 0 E0 sin t ( x ) sin xdx
' r ()
德拜介电弛豫中电容率实部和虚部与频率的关系
由此图可以看出，等于-1时，‘r 急剧 下降，此时
r' r (0) r () / 2
同时 “r呈现极大值：
r (0) r () / 2
'' r
对于阻尼谐振子系统，电场撤除后振子作 衰减振动，其频率1低于固有频率0，振 幅随时间指数衰减。 这可用exp(- t/2)sin(1t)来描写，其 中是阻尼系数，其大小等于阻尼力与动量 之比。
因为电介质的极化强度是电子位移极化、 离子位移极化和固有偶极矩取向极化三种 极化机制的贡献。当电介质开始受静电场 作用时，要经过一段时间后，极化强度才 能达到相应的数值，这个现象称为极化弛 豫，所经过的这段时间称为弛豫时间。
电子位移极化和离子位移极化的弛豫时间 很短（电子位移极化的弛豫时间比离子位 移极化的还要短），取向极化的弛豫时间 较长，所以极化弛豫主要是取向极化造成 的。当电介质受到交变电场的作用时，由 于电场不断在变化，所以电介质中的极化 强度也要跟着不断变化，即极化强度和电 位移均将随时间作周期性的变化。
0

将这一衰减函数代入上边的（6.3）式， 即可得到下边的介电色散方程：
r (0) r () r ( ) r () , (6.7a) 1 i
这就是德拜针对无相互作用的转向偶极子 的介电弛豫方程。
令上式两边实部和虚部分别相等，得出：
r (0) r () r ( ) 2 1 () r (0) r () '' r () 1 () 2
图2-18
铌酸锂晶体的损耗因子与频率的关系（25C）
两种类型的介电频谱
电介质的极化主要来自三个方面： 电子位移极化； 离子位移极化； 固有偶极子的取向极化； 不同频率下，各种极化机制贡献不同，使 各种材料有其特有的介电频谱。
设在时间间隔u到u+du之间，对介质施加 强度为E(u)的脉冲电场。产生的电位移可 以分为两部分：一部分是它随电场瞬时变 化，用光频电容（）表示。
由此可见，当频率接近于零时，1就等于静 态介电常数。
下面证明在介质中以热的形式所消耗的能 量与2（）有关。 因为电容器中的电流强度为：
d dD I [D1 sin(t ) D 2 cos(t )] dt dt