12代数结构-同态与同构12-8
线性空间的同构与同态
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
离散数学-同态和同构
离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法， 如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
在二次方程中，同态和同构的概念主要应用于方程的变形 和等价分类。
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的拓扑性质，即如果映射$f: X rightarrow Y$是 拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$U subseteq X$，有$f(U)$是 $Y$中的开集当且仅当$U$是$X$中的开集。
保持连通性
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的连通性，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓 扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$A subseteq X, B subseteq Y$， 有$(A subseteq B) Leftrightarrow (f(A) subseteq f(B))$。
逻辑同构的性质
保持逻辑关系
逻辑同构映射保持了原逻辑系统中的逻辑关系，即如果映射$f: L_1 rightarrow L_2$是逻辑系统$L_1, L_2$之间的同构映射，那么对于任意命题$varphi in L_1, psi in L_2$，有$(L_1 models varphi) Leftrightarrow (L_2 models psi)$。
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射 的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。
同态和同构
定义 5-22 设 G1, 和 G2 , 是两个群，映射 : G1 G2 ， 如果对 a,b G1 ，有
(a b) (a) (b)
则称 是群 G1 到 G2 的同态映射，简称同态。 例 5-23 设 G1 Z, 是整数加群，G2 {Zn, }是模 n 整数加
循环群和置换群
循环群和置换群是两类重要的群，在计算机密码学中都有 着重用的应用。
定义 5-25 设 G, 为群，如果存在一个元素 a G ，使 G {ak | k Z}，则称 G 为循环群，记作 G a ，称 a 是 G 的生成 元。
例 5-28 (1) Z, 是一个循环群，1 或-1 是生成元，1 与-1 互为逆元。
群。令 : Z Zn ，( x) (x) mod n
则 是 G1 到 G2 y) mod n ( x) mod n ( y) mod n (x) ( y)
例 5-24 设 G1 R, 是实数加群， G2 R {0}, 是非零实数 乘法群。令
证明 首先根据同态的定义，易证 是满足结合律的。其次，由定理 1 的性质(1)，知
G2 , 中存在单位元 e2 (e1) ，其中 e1 为 G1 的单位元。 对于任意的 t G2 ，由于 是 G1 , 到 G2 , 的满射，于是存在 g G1 ，使
( g) t 。令( g1 ) t ' ，于是( g1 g) (e1) e2 。 另一方面，( g1 g) ( g1 ) ( g) t ' t ，所以t ' t e2 。同理可证 t t' e2 。因
定理 5-13 设 是 G1, 到 G2 , 的同态映射， H G1 ，则 (H ) G2 。
证明 任取 x, y (H ) ，则存在 a,b H ，使得 x (a) ， y (b) ； x y (a)(b) (a b)(H ) ，所以 (H ) 对于运算 封闭。又 (e) 是 G2 的 单 位 元 ， x (H) 存 在 a G1 ， 使 得 x (a) ， 从 而 x1 (a1) ( H) 。综上， (H ) 是 G2 的子群。
代数系统间的同构与同态
例3 < I, ＋,×> 和< 2X,∩,∪>是两个同类型的代数系统，因为 这两个代数系统都具有两个运算，且＋和∩都是二元运算， ×和∪也都是二元运算。
定义2 设< X，f >和< Y，g >是两个代数系统，f 和 g 分别是 X 和 Y 上的 n 元运算。若存在一个函数 h：X→Y，使得 ( x1,x2,…,x n ) X n ，有 h (f(x1,x2,…,x n ))=g(h(x1),h(x2),…,h(x n)) ①
则称函数 h 对 f 和 g 保持运算，同时称①式为同态公式。
❖ h对 f 和 g保持运算的含义是指在 h 的作用下，元素运算结 果的象等于元素象的运算结果。
❖ 当 h 对 f 和 g 保持运算时，也称 h 满足同态公式。
2.2 代数系统间的同构关系
定义3 设 A= < X,f1,f2,···,fm > 和 B= < Y,g1,g2, ···,g m > 是两个 同类型的代数系统。若存在一双射函数 h：X→Y，对于A 和B 中的每一对相应的运算fi和gi(i=1,2,…,m)满足同态公式， 则称 h 是从 A 到 B 的同构函数，同时称 A 和 B 同构。
定理1 代数系统间的同构关系R是X上的等价关系, 其中 X=｛A | A是代数系统}。 由等价关系的定义知要证R是 1）自反的； 2定义4 设A1= < X,f1,f2,···,fm> 和A2= < Y,g1,g2, ···,gm> 是两个同 类型的代数系统。若存在函数h：XY，对A1 和A2 中每一对 相应的运算满足同态公式，则称 h 是从 A1到 A2的同态函数， 并称< h(X),g1,g2, ···,gm> 是A1的同态象。
400浅谈代数系统上的同态与同构
400浅谈代数系统上的同态与同构何东东(陕西理工学院数学与计算机科学学院数教专业11级1班，陕西 汉中 723000)指导教师:郑红梅[摘要] 同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.[关键词] 半群;群;环;格;同态;同构1 预备知识同态、同构是代数学中的重要概念,它们是研究群、环等代数系统的重要手段.同态是保持代数系统结构的映射,同态是同构的推广.同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.下面首先对同态与同构的相关概念进行简单介绍.定义1.1]1[设集合A 到A 各有代数运算 和 ,且ϕ是A 到A 的一个映射.如果ϕ保持运算，即对A 中任意元素a ,b ,在ϕ之下由a a →,b b →总可得b a b a →,亦即b a b a =或)()()(b a b a ϕϕϕ =,则称ϕ为代数系统A 到A 的一个同态映射,若ϕ又是满射,则称ϕ为同态满射.如果A 到A 存在同态满射,则简称A 与A 同态,记为A A ~.定义 1.2]1[设ϕ是A 到A 的一个(关于代数运算 及 )同态满射.如果ϕ又是单射(即ϕ是双射),则称ϕ是A 到A 的一个同构映射.如果A 到A 存在同构映射,就说A 与A 同构,记为A A ≅.否则,即若A 到A 不存在任何同构映射,则称A 与A 不同构.A 到自身的同态映射,称为A 的自同态映射,简称A 的自同态.同样,A 到自身的同构映射,叫做A 的自同构映射,简称A 的自同构.定义1.3]2[设(S ,≤)是序列集,S T ⊆.如果存在S u ∈,使得)(T t u t ∈∀≤,则称u 为T 的一个上界.如果T 的一个上界u 具有如下的性质:对于T 的任一上界u ',都有u u '≤,则称u 为T 的一个最小上界,记为lub T .如果存在S l ∈使得)(T t T l ∈∀≤,则称l 为T 的一个下界.如果T 的一个下界l 具有以下性质：对于T 的任一个下界l ',都有l l ≤',则称l 为T 的一个最大下界,记为glb T .S 的上界和下界(如果存在,显然唯一)分别称为幺元和零元,记为1和0.由偏序的反对称性可知:偏序集中任意指定的两个元素的最小上界和最大下界有唯一性(如果它们存在).设），（≤L 是一个偏序集,如果L 中的任意两个元素都有最小上界和最大下界,则称），（≤L 是一个格.只含有有限多个元素的格称为有限格,否则称为无限格.定义 1.4]2[设R 是幺环,M 是一个交换群,如果映射(称R 在M 上的作用)M M R →⨯,ax x a ),(.满足下列条件:(1);,,,)(M y x R a ay ax y x a ∈∈∀+=+(2);,,,)(M x R b a bx ax x b a ∈∈∀+=+(3);,,),()(M x R b a bx a x ab ∈∈∀=(4),,1M x x x ∈∀=则称M 为环R 上的一个左模,或左R 模.如果将(3)改为;,,),()(R b a M x ax b x ab ∈∈∀=其余条件不变,则称M 为环R 上的一个右模,或右R 模.理论上讲,右模和左模没有本质的区别.如果M 为环R 上的一个右模,令R '为R 的反同构的环,则M 构成R '上的左模,当然,若R 是交换环,则R 上的左模和右模没有区别.定理1.1]3[设代数系统),( A 和)( ，A 同态，则（1）若 适合结合律, 也适合结合律;（2）若 适合交换律, 也适合交换律.定理 1.2]3[设⊗,⊕为集合A 的代数运算,⊗,⊕为集合A 的代数运算,且存在A 到A 的满射φ,使得A 与A 对于代数运算⊗,⊗来说同态,对于代数运算⊕,⊕来说也同态,那么（1）若⊗,⊕适合第一分配律,⊗,⊕也适合左分配律;（2）若⊗,⊕适合右分配律,⊗,⊕也适合右分配律. 2 主要内容下面将分别讨论群,环,格,模上同态同构在其中的应用以及比较它们在同态同构中的不同.2.1 群同态与同构定义2.1.1]4[设G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算,如果满足以下条件:(1)结合律成立,即对G 中任意元素c b a ,,都有)()(c b a c b a =;(2)G 中有元素e ,叫做G 的左单位元,它对G 中每一个元素a 都有a a e = ;(3)对G 中每一个元素a ,在G 中都有元素1-a ,叫做a 的左逆元,使e a a =- 1;则称G 对代数运算 为一个群.定义 2.1.2]4[设G 和1G 是群,映射1:G G →ϕ称为由G 到1G 的群同态,如果ϕ保持群运算,即∀G b a ∈,,都有)()()(b a ab ϕϕϕ=.如果ϕ为单(满)射,则称ϕ为单(满)同态.定义 2.1.3]4[既单又满的同态称为同构.如果存在由G 到1G 的一个同构,则称G 同构于1G ,也说G 和1G 是同构的,记为1G G ≅.群G 到自身的同态及同构具有重要的意义,称之为群G 的自同态和自同构.)(End G 表示G 的全体自同态构成的集合,)(Aut G 表示G 的全体自同构构成的集合.对于映射的乘法,)(End G 构成一个有幺元的半群,而)(Aut G 构成一个群,称为G 的自同构群.定义2.1.4]4[像通常的映射一样,)(G ϕ称为ϕ的像,记为ϕim .又将1e 的原像称为ϕ的核,记为ϕker ,即})(|{ker 1e a G a =∈=ϕϕ.定理2.1.1]4[设1:G G →ϕ是群同态.则ϕϕim G ≅ker /.证明 记H =ϕker ,定义映射,im /:ϕψ→H G ).(a aH ϕ验证ψ是良定义的,即)(aH ψ与陪集代表a 的选取无关.如果bH aH =,即aH b ∈,则存在H h ∈使得ah b =.故)()()()()()()(aH a h a ah b bH ψϕϕϕϕϕψ=====,即ψ良定义.下面证明ψ是群同构，也就是证明ψ是单射,并且ψ也是满射. )()()()()()()))(((bH aH b a ab abH bH aH ψψϕϕϕψψ====,所以ψ是群同态.又设1)(e aH =ψ(1G 的幺元),即1)(e a =ϕ,故H a ∈,即)/(的幺元H G H aH =,所以ψ是单射.最后设ϕim g ∈,则存在G a ∈使得g a =)(ϕ.于是g a aH ==)()(ϕψ,这说明ψ必是满射.所以ψ同构.定理 2.1.2]3[设G 是一个群,G 是一个代数运算(也称为乘法)的集合.如果G G ~,那么G 也是一个群. 证明 因为G G ~,G 是群,其乘法满足结合律,故由定理1.1得,G 的乘法也满足结合律.设e 是群G 的单位元,a 是G 的任一元素,又设ϕ是G 到G 的满同态,且在ϕ之下e e →，a a → 于是a a e =,但是a ea =,故a a e = ,即e 是G 的单位元.又设1-a →1-a,则a a a a 11--→.但是e a a =-1,故e a a =-1,即1-a 是a 的逆元.因此,G 也是一个群. 本定理的意义在于,要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群时,可找到一个已知群,并通过同态来实现.定理 2.1.3]4[设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射(不一定是满射),则群G 的单位元的像是群G 的单位元,G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元,即11--=a a 或11)()(--=a a ϕϕ.应该注意,如果集合G 与G 各有一个代数运算,且G G ~,则当G 为群时,G 却不一定是群.例 1 令G ={全体正负奇数},代数运算为数的普通乘法;又}1,1{-=G 关于数的普通乘法作成群,令ϕ:正奇数1→,负奇数-1→.则易知ϕ是G 到G 的一个同态满射,故G G ~.G 是群,但G 却不是群.当然,若G 与G 为各有一个代数运算的代数系统,且G G ≅,则当G 与G 中有一个是群时,另一个必然是群.例2 设G 是一个群,N 是G 的正规子群.令G a aN a f ∈∀=,)(.显然f 是群G 到商群N G 的满同态,这个满同态称为群G 到商群N G 的自然同态.定理2.1.4]4[设是G 到G 的同态映射(不一定是满映射),则1）当G H ≤时,有G H ≤)(ϕ且H ～)(H ϕ;2）当G H ≤时,有ϕG H ≤)(-1ϕ,且在ϕ之下诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.证明 1）任取a ,b ）（H ϕ∈且在ϕ之下令a a →,b b →.其中H b a ∈,.由于G H ≤,故H ab ∈,且b a ab →. 从而)(H b a ϕ∈,即）（H ϕ对G 的乘法封闭,且 )(~H H ϕ.但H 是子群,从而)(H ϕ也是群且是G 的子群.2）当G H ≤时,由于)(-1H ϕ显然非空,任取)(,1H b a -∈ϕ,且在ϕ之下令a a →,b b →则11--→b a ab ,其中,H b a ∈，.而G H ≤,故H b a ∈-1,从而1-b a )(-1H ϕ→,即G H ≤)(-1ϕ且显然ϕ诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.定理2.1.5]3[群G 到群G 的同态映射ϕ是单射的充要条件,群G 的单位元e 的逆象只有e .证明 必要性显然,下证充分性.设ϕ是群G 到群G 的任一同态映射,且在ϕ之下e 的逆象只有e .又设在ϕ之下a a →,b b →,当b a ≠时,必有b a ≠:又若b a =,则由于e b a ab =→--11,故b a e ab ==-,1,矛盾.因此,ϕ是单射.定理 2.1.6]3[设f 是群G 到G '的一个满同态.若N 是G 的正规子群,则)(N f 是G '的正规子群.证明 设N 是G 的正规子群,可得,)(N f 是G '的子群.对于任意的)(N f n ∈'和任意的G a '∈',去N n ∈和G a ∈,使得n n f '=)(,a a f '=)(. 于是,有 )()())()(()()(111N f ana f a f n f a f a n a ∈=='''---,所以)(N f 是G '的正规子群.性质1]4[任何群G 与自身同构;证明 首先,对于任何群G ,单位变换G I 就是G 到自身的一个同构,因此G G ≅.所以性质成立.性质2]4[若群1G 与群2G 同构,则群2G 与群1G 同构;证明 1G 和2G 是两个群,并且1G 2G ≅,我们有b a b a f f ''=''-))((1,b a b f f a f f b fa f f ''=''=''----))(())(())()((1111,从而)()()(111b f a f b a f''=''---.因此1-f 是群2G 到群1G 的同构,从而12G G ≅,所以性质成立. 性质3]4[若群1G 与群2G 同构,群2G 与群3G 同构,则群1G 与群3G 同构;证明 假设1G ,2G 和3G 都是群,并且21G G ≅,32G G ≅,不妨设f 是群1G 到2G 的同构,g 是群2G 到3G 的同构.容易验证,gf 是群1G 到3G 的同构,因此31G G ≅,所以性质成立.定理2.1.7]2[设G 是一个群,N 是G 的正规子群.（1） 若H 是G 的子群,则 N HN N H H )()(≅ .（2） 若H 是G 的正规子群且H N ⊆,则H G N H H G ≅)()(.推论2.1.8]4[设1:G G →ϕ是群同态,则ϕϕim G ≅ker /. 定理2.1.9]4[(Cayley 定理)任何一个群都与某个变换群同构.证明 设G 是群.对与每一个G a ∈,定义G 的变换a σ如下： G x ax x a ∈∀=,)(σ.显而易见,a σ是G 的一一变换. 令{}G a G a ∈='σ.下面我们来阐明G '是G 上的一个变换群. 事实上,显然,我们有G I e G '∈=σ.此外对于任意的a σ,G b '∈σ,我们有)())((x abx x ab b a σσσ==,)())((11x I x x aa x G a a ===--σσ, )())((11x I x ax a x G a a ===--σσ,G x ∈∀,从而,G ab b a '∈=σσσ,G a a a a I ==--σσσσ11,所以,G '是G 上的一个变换群.现在考察由下式定义的G 到G '的映射fa a f σ=)(,G a ∈∀.显而易见,f 是满射.对于任意的G b a ∈,我们有b a b f a f σσ=⇒=)()( b a e e b a =⇒=⇒)()(σσ.因此f 是单射,从而,f 是双射.此外,我们有)()()(b f a f ab f b a ab ===σσσ,G b a ∈∀,.所以f 是G 到G '的同构,从而G G '≅.推论2.1.10]4[任何一个有限群都与某个置换群同构.2.2 环同态与同构由于环是有加,乘两种运算的代数系统,因此,定义同态映射时必须同时保持加,乘的同态性.定义2.2.1]5[设R 是一个环,S 是有加法和乘法的两种运算的代数系统,称R 到S 中的一个映射σ是环R 到S 中的一个同态映射,如果 )()()(b a b a σσσ+=+,)()()(b a ab σσσ=.若R 到R '上有一个同态映射,则称R 到R '同态,记为R ～R '.定义 2.2.2]5[如果σ是环R 到R '的一个同态映射,并且σ又是双射时,则称σ为环R 到R '的一个同构映射,当R 与R '之间存在同构映射时,称环R 与R '同构,记为R R ≅,特别的,当R R =时,称σ为环的一个自同构.定理2.2.1]5[设R 是一个环，S 是一个有加法和乘法的运算系统,若σ是R 到S 中的同态映射,则)(R R σ='也是一个环;)0(σ为R '的零元0';)()(a a σσ-=-;若R 有幺元而R '不止有一个元素,则R '有幺元且,σ（1）就是R '的壹1'；若R a ∈可逆,则)(a σ在R '中可逆而且)(1-a σ就是1)(-a σ.设σ是R 到R '上的同态映射,R '的零0'的逆映像)0(1'-σ叫σ的核. 定理2.2.2]5[(环同态基本定理)设R 和R 是两个环,且R R ~.则1）这个同态的核N ,即零元的全体逆像,是R 的一个理想;2）R N R ≅/证明 设ϕ是环R 到环R 的一个同态满射.1)易知,核N 首先是环R 的一个子加群;其次,设R r N a ∈∈,,则r r a →→,0.于是在ϕ之下有00,00=→=→r ar r ra ,故N ar ra ∈,,即N 是R 的理想.2)令)(:a N a ϕσ→+,则由群同态基本定理知,作为加群,σ是N R /到R 的一个同构映射.又由于N ab N b N a +=++))((,而)()()(b a ab ϕϕϕ=,因此σ是N R /到环R 的一个同构映射,从而R N R ≅/.此定理表明,在同构意义下,每个环能而且只能与商环同态.推论2.2.3]6[设1:R R →ϕ是环同态,则1ker /R R ≅ϕ.定理 2.2.4]6[同态映射σ的核N 是R 的理想,设a '是R '的任意元素,则a '的逆映像})({)(1a a R a a '=∈='-σσ是N 的一个剩余类. 证明 因为σ是R 的加法群到R '的加法群上面的一个同态映射,所以σ的核)0(1'=-σN 是R的一个子群,且a '的逆映象)(1a '-σ是模N 的一个剩余类.现在再证N 做成理想.即证：若N a ∈，R x ∈,则N ax ∈,N xa ∈,事实上,0)()()('==x a ax σσσ,故N ax ∈,同样可证N xa ∈.对于R 的任意理想N ,是否有一个环R '而且有R 到R '的一个同态映射σ使N 刚好就是σ的核呢?答案也是肯定的.由群中已证的结果,模N 的所有剩余类按照剩余类的加法作成一个加法群,就是R 对于N 的商群N R ,规定N a a +=)(σ,即N a a +→:σ这样规定的σ便是群R 到群N R 上的一个同态映射,其核为N .规定剩余类的乘法,以使σ成为环R 到系统N R 上的同态映射.设A ,B 是N 的两个剩余类,任取A a ∈，B b ∈,规定包含ab 的剩余类N ab C +=为A 与B 的积,而AB C =,))((N b N a N ab ++=+.若另取A a ∈',B b ∈',则包含a 'b '的剩余类和包含ab 的剩余类是一样的,可见上面的乘法规定由A ，B 完全确定,与b a ,的选择无关.由σ的定义,N a a +=)(σ,N b b +=)(σ,N ab ab +=)(σ.但由上面的剩余类乘法的定义,))((N b N a N ab ++=+,故)()()(b a ab σσσ=.所以,σ是环R 到运算系统N R 上的一个同态映射.因此,N R 是一个环,于是有：定理 2.2.5]7[按照上述剩余类的加法和乘法,R 对于理想N 的所有剩余类的集合N R 是一个环,规定N a a +=)(σ,则σ是R 到N R 上的一个同态映射,其核为N .N R 叫做R 对于N 的剩余环,前面定理所说的加法和乘法的同态性,其实是说剩余环N R 中的加法和乘法运算可由剩余类中的任意元素来确定,剩余类的运算与其中元素的特殊选择无关.剩余环N R 有了这加法和乘法两种运算,就与环R 同态.定理 2.2.6]7[(第一同构定理)设R 是环,是R 的理想,则在自然同态I R R /:→π,I r r + .下,(1)R 的包含I 的子环与I R /的子环一一对应.(2)在此对应下,理想对应理想.(3)若J 是R 的理想且I J ⊇,则)/)(/(/I J I R J R ≅.定理 2.2.7]7[(第二同构定理)设R 是环,I 是R 的理想,S 是R 的子环,则(1)I S ⋂是S 的理想.(2))(/)(I S S I S I ⋂≅+.定理 2.2.8]8[若σ是环R 到R '上的一个同态映射,其核为N ,则R '与N R 同构：R '≅N R . 证明 设a '是R '的任意元素,则)(-1a 'σ是N 的一个剩余类A .规定R '的a '和这个N R 的A 对应.这样,我们规定了R '到N R 上的一个一对一映射τ,τ：N R R /→',a ' A .下面证明τ是同构,即证明：若R b a '∈'',,则)()()(b a b a '+'='+'τττ,)()()(b a b a ''=''τττ.事实上,若A a =')(σ,B b =')(τ,即N a A a +=='-)(1τ,N b B b +=='-)(1σ,其中,A a ∈B b ∈,则因b a b a '+'=+)(σ,b a ab ''=)(σ,故N b a b a ++='+'-)(1σ,N ab b a +=''-)(1σ,B A b a +='+'-)(1σ,AB b a =''-)(1σ.于是)()()(b a B A b a '+'=+=''ττσ,)()()(b a AB b a ''==''τττ.故τ是R '到N R 上的一个同构对应.定理 2.2.9]8[设环R 同态于R '：R R '~于是R 与N 间的子环与R '的子环一一对应,大环对应大环,小环对应小环,理想对应理想.2.3 其他代数系统上的同态与同构定义 2.3.1]9[(模同态与同构)设M 和T 都是R 模,T M →:ϕ是映射.如果ϕ满足下述两个条件:(1)M y x y x y x ∈∀+=+,),()()(ϕϕϕ.(2)M x R a x a ax ∈∈∀=,),()(ϕϕ.则称ϕ为M 到T 的一个R 模同态.如果ϕ又是单(满)射,则称ϕ为R 模的单(满)同态.定义 2.3.2]9[如果,ϕ既单又满,则称ϕ为模同构.此时,也称为M 和T 是同构的,记作T M ≅,由M 到T 的所有R 模同态构成的集合记为),(Hom T M R ;如果M T =,记),(Hom T M R 为)(End M R ,其元素称为M 的自同态.定义 2.3.3]10[(格同态与同构)设21:L L f →,1,L y x ∈∀有)()()(y f x f y x f ∧=∧，)()()(y f x f y x f ∨=∨则称f 为1L 到2L 的同态.如果f 是双射的,就称f 是1L <，1∨，>∧1到>∧∨<222,,L 的格同构,也称格>≤<11,L 和>≤<22,L 同构. 定理2.3.4]9[(同态基本定理)设T M →:ϕ是模同态.ϕϕim ker /→M ,)(x x ϕ是模同构,其中ϕker +=x x 是x 所代表的陪集.定理2.3.5]9[(第一同构定理)设N 为M 的子模,N M M /:→π是典范同态,则在π下的包含N 的子模与N M /一一对应,对于M 的包含N 的子模H ,有同构 )//()/(/N H N M H M →,)/()(N H x H x ++π .定理2.3.6]9[(第二同构定理)设H 和N 为M 的子模,则有同构)(/)(N H H N N H ⋂→+,)()(N H h N n h ⋂+++ ),(N n H h ∈∈∀.可以想象:环上的模的性质依赖与环的性质.环的性质越丰富,其上的模的结构就越简单.定理2.3.7]10[f 是格1L 到2L 的同态,则1,L b a ∈,)()(b f a f b a ≤⇒≤.证明 b a ≤)()()()()()()(b f a f a f b f a f a f b a f a b a ≤⇒=∧⇒=∧⇒=∧⇒.注意 )()(b f a f ≤不一定推出b a ≤.定理3.2.8]10[f 为双射.f 为格1L 到2L 的同构当且仅当)()(,,1b f a f b a L b a ≤⇔≤∈∀. 证明 必要性:)()(b f a f b a ≤⇒≤显然成立,若)()(b f a f ≤成立,则)()()(a f b f a f =∧,因为f 是同构,有)()(a f b a f =∧,由单射性a b a =∧,所以b a ≤.充分性:只须证明f 是同态映射,即：)()()(b a f b f a f ∧=∧,)()()(b a f b f a f ∨=∨.b a b b a a ∨≤∨≤,)()(),()(a f b f b a f a f ≤∨≤⇒)()()(b a f b f a f ∨≤∨⇒,2)()(L b f a f ∈∨))()()((1b f a f d f L d ∨=∈∃⇒,d b d a d f b f d f a f ≤≤⇒≤≤,)()(),()()()()(b f a f b a f d b a ∨≤∨⇒≤∨⇒)()()(b a f b f a f ∨=∨∴同理)()()(b a f b f a f ∧=∧.3 小结同态只保持两个代数系统的部分性质,而同构却能使两个代数系统的结构完全相同.但同态关系比同构易建立.虽然同态比起同构有其不足，但它的确是比同构应用更广泛也更灵活的一种研究代数系统的有效方法.在我们学习的过程中应该加强它们之间的联系与区别，这对于技术人员,工程人员,高等理工科院校本科生,研究生是必不可少的基础数学知识,有着重要的学习意义以及应用价值.参考文献[1].杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社.2011.21-107.[2].赵春来,徐明曜.抽象代数Ⅰ[M].北京:北京大学出版社.2008.143-153.[3].张禾瑞.近世代数基础（修订本)[M].高等教育出版社.1978.31-48.[4] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.[5].杨子胥.近世代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003.81-105.[6].张禾瑞,郝炳新.近世代数基础[M].高等教育出版社.1988.30-42.[7].刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社.1999.45-52.[8] 杨树生.代数系统的同态与同构[J].内蒙古民族大学学报,2004,6(19):1-2.[9] J.M.Howie:An Introduction to semigroup theory[M].London:Published for the London Mathematical Society by Academic prees Inc,1975.1-156.[10] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.A Tentative Discussion on the Homomorphism and Isomorphism of the Algebraic SystemDongdong He(Grade11,Class1, Major in Mathematics Education Speciality, School of Mathematics and ComputerScience, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor: Hongmei ZhengAbstract : One of the most important and elementary concept in algebra is homomorphism and isomorphism.The application of the homomorphism and isomorphism on several algebraic systems is summarized in this paper,which shows the importance on the algebra.Key words: Semigroup; Group; Ring; Lattic; Homomorphism; Isomorphism。
同态和同构的关系
同态和同构的关系
在数学中，同态和同构是两个重要的概念，它们描述了两个代数结构之间的关系。
1.同态（Homomorphism）：同态是指将一个代数结构映射到另一个代数结构的映射，保持运算结构的性质。
如果存在两个代数结构A 和B，以及一个映射f：A→B，对于A中的任意元素a和b，满足f(a*b)=f(a)*f(b)，其中"*"表示A和B上的运算，而"="表示两个代数结构中的相等关系。
简而言之，同态保持了代数结构中的运算规则。
2.同构（Isomorphism）：同构是指两个代数结构之间存在一种双射关系，使得双射保持了运算结构和元素之间的关系。
如果存在两个代数结构A和B，以及一个映射f：A→B，满足以下条件：-f是一个双射，即对于A中的每个元素a，都存在唯一的元素b 在B中与之对应；
-对于A中的任意两个元素a1和a2，满足a1*a2=a3，则f(a1)*f(a2)=f(a3)；
-对于B中的任意元素b1和b2，满足b1*b2=b3，则存在A中的元素a1和a2，使得f(a1)=b1，f(a2)=b2，f(a1*a2)=b3。
简而言之，同构保持了代数结构中的运算规则和元素之间的一一对应关系。
因此，可以将同构看作是一种更严格的同态关系。
如果两个代数结构之间存在一个同构映射，那么它们在结构和性质上是完全相同的，只是元素的表示不同而已。
需要注意的是，在数学中，同态和同构的概念不仅仅适用于代数结构，还可以应用于其他领域，如拓扑学、图论等。
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4.2 代数系统的同构与同态
4
第四章 例 设V1=<S1,o>,V2=<S2,*>,其中S1={a,b,c,d}, S2={0,1,2,3},二 元运算o和*的运算表如下
o a b c d a a b c d b c d d d d d * 0 1 2 3 0 0 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 3 0 1 2 3
2
第四章 定义3 设h是V1=<S1,o>,V2=<S2,*>的同态，如果 h是满射的,单射的，双射的，则称h是V1到V2的满同 态，单同态，同构. 例 设V=<Z,+>,给定a∈Z,令 h:Z →Z, h(x)=ax, 任意x∈Z 则h是否是V到自身的同态?如果是，称为自同态.
3
二.同态，同构定理
b c b d d c d d
定义同态h:S1→S2,且 h(a)=0,h(b)=1,h(c)=0,h(d)=1 则h是满，单，双同态？V1在h下的同态像为？ 非单非满同态，<{0,1},*>
5
第四章
作业： P129 1(6,8) P130 7,12,15
6
第四章
定理1 设V1=<S1,f1,f2,..,fm>和V2=<S2,g1,g2,..,gm>是两个同 类型的代数系统，h是从V1到V2的同态函数，那么V1的同态 像<h(S1),g1,g2,..,gm>是V2的子代数系统. 定理2 设V1=<S1,o>和V2=<S2,*>是两个代数系统，o和*是二 元运算，h是从V1到V2的满同态函数，那么 (1) e, θ，x-1分别是o的单位元，零元和x的逆元，则 h(e), h(θ)，h(x-1)分别是关于*的单位元，零元和h(x)的逆元.
同态与同构
离散结构同态与同构教学目标基本要求（1）掌握同态映射与同构映射的定义（2）掌握同态映射与同构映射的判定方法重点难点（1）同态映射的证明同态映射定义：设V1=<A,∘>和V2=<B,∗>是同类型的代数系统，f:A→B，且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)∗f(y), 则称f 是V1到V2的同态映射，简称同态.同态分类：(1) 如果f是单射，则称为单同态(2) 如果f是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1∼ V2(3) 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1 ≅ V2(4) 如果V1 = V2，则称作自同态实例例：设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统，判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由. 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.(1) f(x) = |x| +1(2) f(x) = |x|(3) f(x) = 0(4) f(x) = 2解：(1) 不是同态, 因为f(2×2)=f(4)=5, f(2)×f(2)=3×3=9(2) 是同态，不是单同态，也不是满同态，因为f(1)= f(−1), 且 ran f中没有负数.(3) 不是G 的自同态，因为f不是 G 到 G 的函数实例例：(1) 设V1=<Z,+>, V2=<Z n,⊕>．其中Z为整数集，+为普通加法；Z n={0,1,…,n−1}，⊕为模n，f (x)=(x)mod n加. 令f: Z→Znf 是V1到V2的满同态．【f满射，f(x1+x2)=(x1+x2)mod n=(x1 mod n )⊕(x2 mod n)=f(x1)⊕f(x2)】(2) 设V1=<R,+>, V2=<R*,· >，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+ 和 · 分别表示普通加法与乘法．令f: R→R*，f (x)= e xf是V1到V2的单同态. 【f单射，f(x1+x2)=e(x1+x2)=e x1· e x2=f(x1) · f(x2)】(3) 设V=<Z,+>，其中Z为整数集，+为普通加法. ∀a∈Z，令f a : Z→Z，f a (x)=ax，f a 是V的自同态. 【f(x1+x2)=a(x1+x2)=ax1+ax2=f(x1)+f(x2)】当a=0时称f为零同态；为自同构；当a=±1时，称fa例. 证明<Z4,+4>与<X, >同构。
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对于任何整数j∈I 和任何正整数m∈I+，函数 (i )(mod m)的值是i被m 除后所得之非负余数， 即有 0≤(i)(mod m)＜m 设从U 到V 存在一个映射f∶I→Nm 定义是：对于任何i∈I 都有f(i)=(i)(mod m) 映射f∶I→Nm 是一个从U 到V 的同态 即对于所有的<i1，i2>∈I 有 (i1 i 2 )(mod m) (i1 )(mod m) m (i 2 )(mod m)
只要将典型的V ＝ < S ， * >代数系统的性质分析清楚了， 那么就可将其性质应用的所有与之结构相同（同种类）的代数系 统中去。 这种方法就是抽象代数的基本方法，也是代数结构课程的主要内容 如何判断两种代数系统是同种类的呢？ 9. 3 代数系统的同态与同构 定义9-3．1 设U =<X，△>和V = <Y，*>是两个同一类型的代数系 统，也就是说△和*都是二元运算。 再设从U 到V 存在着一个函数f∶X→Y 对于任何元素x1,x2 ∈X 如果有f (x1△x2) = f(x1) * f(x2) （运算的象等于象的运算，该性质可将运算性质进行保持） 则称函数f∶X →Y 是从代数系统U 到V 的同态 有时也说函数f 运载△到* 如果f 是从U 到V 的单射，称f是U 到V单一同态 如果f 是从U 到V 的满同态（f是满射） 则称U 和V 同态，记为U～V 如果f是个一对一映满的映射(双射函数)，则称f是从U到V的同构 记为 U ≌ V （此时两个代数系统可看成是相同的，仅仅是符号不同）
上次课主要内容
一、二元运算的一般性质（运算律-公理） １、交换律： 设＊为S上的二元运算． 如果对于任意的x，y∈S都有 x＊y = y＊x （ 或f(<x，y>) = f(<y，x>)) 则称运算＊在S上是可交换的，或者说运算＊在S上适合交换律。 2、结合律 设＊为S上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈S都有: (x＊y) ＊z = x＊(y ＊z) （ f(<f(<x，y>,z>)=f(<x,f(<y,z>)>) 则称运算 ＊在S上是可结合的，或者说运算 ＊在S上适合结合律． 3、等幂律 设 ＊为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S都有 x＊x＝x 则称该运算 ＊适合幂等律． 如果S上的二元运算＊适合幂等律，则S中的所有元素都是幂等元． 4、分配律（一种运算对另一种运算而言） 设 ＊和 o 是S上的两个二元运算， 如果对任意的x，y，z∈S有 x＊(y o z)＝(x＊y) o(x＊z) (左分配律) (y o z) ＊ x = (y＊x) o(z＊x) (右分配律) 则称运算＊对 o 是可分配的，也称＊对 o 适合分配律．
x1 m x 2 ( x1 x 2 )(mod m)
例如，设m=3， 有 (4+8)(mod 3 )= (12)(mod 3)=0 (4)(mod3)+3(8)(mod 3)=1+32=0 (4×8)(mod3)= (32)(mod3)=2 (4)(mod3)×3(8)(mo d3)=1×32=2
3）代数系统 V ＝ < G ，Δ > 其中运算Δ是可结合的，存在单位元e,且G中的每个元素 均为可逆元------代表代数系统---群
<Z,+>, <Q,+>, <P(S), +> 对称差, <M(R),+> 但<M(R),*>不是群
例：如果代数系统存在二个运算，在满足一定的运算性质就称为环 与域 1、设代数系统 V＝< R ，+ ，* >，其中 +和* 是二元运算， 并满足1) < R ，+ >构成交换群 2） < R ,* >构成半群 3）* 运算关于 + 运算适合分配律 则称代数系统< R ，+ ，* >是一个环。 2、设代数系统 V＝< R ，+ ，* >是环 1)若环中乘法*适合交换律，则称R是交换环 2）若环中乘法*存在单位元，则称R是含幺环 3）若∀a,bR,ab=0 a=0 ∨ b=0,则称R是无零因子环 4）若R是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环 5）设R是整环，且R中至少含有二个元素，若∀aR* =R-{0}, 都有a-1 R 则称代数系统< R ，+ ，* >是一个域。 群、环、域是近世代数（抽象代数）研究的主要内容
2）代数系统 V＝< S ，o ，* >，其中 o和* 是二元运算，并 满足 交换律、结合律、幂等律和吸收律， 那么V 代表了另一类特殊的代数系统——格．
实际中的代数系统 < Z＋ ，1cm，gcd>， < P(B)，∪，∩> 等都是格． 这里的1cm和gcd分别表示求两个正整数的最小公倍数和最大公约数
例1：对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性 质，并求出它的单位元，零元和所有可逆元素的逆元． (1) Z＋（非负整数），∀x，y∈Z＋，x ＊y =lcm(x，y)， 即*为求x和y的最小公倍数． 解：＊可交换、可结合、幺元为1、任何元素是等幂元 例2：设A＝｛ a , b, c ｝, A上的二元运算 * o • 如表所示 * a b c o a b c • a b c a a b c a a b c a a b c b b c a b b b b b a b c c c a b c c b c c a b c (1)说明 ＊ o 和•运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等 律 (2)求出关于＊ o 和· 运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元
3、可逆元 设ㅇ为S上的二元运算，e∈S为ㅇ运算的单位元 对于∀x∈S，如果存在yl∈S (或yr∈S) 使得 ylㅇx = e ( 或xㅇyr = e) 则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元)．若y∈S既是又的左逆元又是x的右逆 元，则称y是x的逆元．如果x的逆元存在，则称x是可逆的． 性质：可逆元的不唯一性 逆元和单位元、零元不同．如果单位元或零元存在，一定是惟一的．换句话 说，整个集合只有一个． 而逆元能否存在，还与元素有关．有的元素有逆元，有的元素没有逆元，不 同的元素对应着不同的逆元 4、消去律 设＊为S上的二元运算， 如果对于任意的x，y，z∈S满足以下条件： (1) 若x * y = x * z 且x ≠ 0，则 y = z ； (2) 若y * x =z * x 且x ≠ 0 ，则 y = z ； 那么称 * 运算满足消去律， 其中(1)称作左消去律，(2)称作右消去律． 例：整数集合上的加法和乘法都满足消去律． 幂集P(S)上的并和交运算是否满足消去律？ ∀A，B，C∈P(S)，由A ∪B＝A ∪ C 能否能得到 B＝C 对称差运算 ⊕ ： 运算不存在零元 A ⊕ B＝A ⊕ C ＝> B＝C
注：同类型的代数系统并不是说它们的代数性质相同， 仅说明它们的代数成分相同。 通常我们不去研究单个具体的代数，而是一个种类一个种类地去研究代数
什么样的两个代数算是同一种类的？ 1：要有相同的构成成分 如果两个代数包含有同样个数的运算和常数且对应运算的元 数相同，则称两个代数有相同的构成成分 两个代数有相同的构成成分，还不一定有本质的联系 2：要有一组相同的称为公理的性质(运算律） 每一公理是用载体元素和代数运算的符号写成的方程（前面关 于运算律的表示方法） 具有相同构成成分和服从相同公理集合的代数称为同种类的 对同一种类的代数，根据它的公理集合推出的一切定理对该种 类的一切代数都成立
3、相同代数性质(同种类）的代数系统 引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将
相同代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。
例： 1）代数系统 V ＝ < S ， * > 其中 * 是一个可结合的二元运算 就代表了一类特殊的代数系统——半群．
许多具体的代数系统，如<Z，十，0>，<R，+，0>， <M(R)，*，E> ， <P(B)，∪，Φ>等都是与V同类型代数系统（半群）
5、吸收律 （一种运算对另一种运算而言） 设 o 和＊是S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x，y∈S都有 x＊(x o y)＝ x x o(x＊y )= x 则称o和＊满足吸收律． 二、二元运算中的特殊元素 1、单位元（幺元） 设＊为S上的二元运算，如果存在el(或er)∈S使得 对任何x∈S都有: el ＊ x = x ( 或 x ＊ er = x ) 则称el(或er)是S中关于＊运算的一个左单位元(或右单位元)． 若e∈S关于运算＊既是左单位元又是右单位元则称e为S上关于＊运算的单位元 性质：单位元的唯一性 2、零元 设 o 为S上的二元运算， 若存在元素θl(或θr)∈S使得对于任意的x∈S有： θl o x = θl ( 或x o θr ＝θr) 则称θl(或θr)是S上关于 o 运算的左零元(或右零元)． 若θ∈S关于 o 运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于 o 运算的零元． 性质: 零元的唯一性
＊：满足交换律、结合律、消去律、幺元为a、无零元、每个元素可逆。
o ：满足交换律、结合律、等幂律、幺元为a、零元b、 a可逆 • ：满足结合律、等幂律、无零元、每个元素不可逆
代数系统通常由三部分组成； 1． 一个集合，叫做代数的载体。 载体是我们将要处理的数学目标的集合，诸如整数，实数或符号中集合等。 代数载体一般是非空集合，我们不讨论载体是空集的代数。 2． 定义在载体上的运算
2、同类型的代数系统
定义9．13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代 数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它 们是同类型的代数系统． 如：代数系统 V2 ＝ < P(S)，∪，∩，～，ø ，S > V1 ＝ < R ，＋ ，＊，一，0 ，1 > V3 ＝ < 命题公式集合，∧，∨，┓，F ，T > 均为同类型的代数系统 VI与V2的代数性质是不相同的，而V2与V3的代数性质是相同的。