和圆一样的三角形
2020届中考数学总复习课件：微专题十三 以圆为背景的相似三角形的计算与证明 (共28张PPT)
(1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)求证：BD2＝AC·BF.
图 Z13－3
证明：(1)∵AC＝BC，CD 是圆的直径， ∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD， ∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°， ∵OD 是圆的半径，∴EF 是⊙O 的切线； (2)∵∠BDF＋∠CDB＝∠CDB＋∠DCB＝90°， ∴∠BDF＝∠DCB，∴△BCD∽△BDF， ∴BBDF＝BBDC，∴BD2＝BC·BF， ∵BC＝AC，∴BD2＝AC·BF.
图 Z13－7
解：(1)如答图①，连结 BC，AC，AD， ∵CD⊥AB，AB 是直径， ∴A︵C＝A︵D，CE＝DE＝12CD＝3， ∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB， ∴△ACE∽△CBE，∴ACEE＝CBEE，∴13＝B3E， ∴BE＝9，∴AB＝AE＋BE＝10， ∴⊙O 的半径为 5；
图 Z13－5
解：(1)证明：如答图，连结 OC. ∵PE 是⊙O 的切线，∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE，∴OC∥AE， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC 平分∠BAD；
中考变形4答图
(2)线段 PB，AB 之间的数量关系为 AB＝3PB.理由： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC， ∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC， ∵∠P 是公共角，∴△PCB∽△PAC， ∴PPAC＝PPBC，∴PC2＝PB·PA， ∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB， ∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.
图 Z13－8
解：(1)如答图，连结 OC， ∵CD 与⊙O 相切于点 C，∴∠OCD＝90°. ∴∠OCB＋∠DCF＝90°. ∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B， ∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；
相似三角形与圆的关系
相似三角形与圆的关系相似三角形与圆的关系是几何学中十分重要的一个概念。
在这篇文章里，我们将探讨相似三角形与圆之间的关联以及应用。
一、相似三角形的基本概念相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形。
其特点是对应角相等，对应边成比例。
我们用符号"∼"表示相似关系。
例如，三角形ABC与三角形DEF在形状上相似可以表示为：△ABC∼△DEF。
二、相似三角形与圆的内切关系当一个圆完全内切于一个三角形时，这个三角形与圆的关系是非常特殊的。
我们把这个圆称为三角形的内切圆。
内切圆与三角形的三边都相切，且各切点处的切线互相垂直。
三、相似三角形与圆的外切关系与内切圆相反，当一个三角形完全外切于一个圆时，这个圆称为三角形的外切圆。
外切圆与三角形的三边都有公切线，且切线相交于圆的圆心。
四、相似三角形与圆的面积关系利用相似三角形的性质，我们可以推导出相似三角形与圆的面积关系。
假设有两个相似的三角形，它们的对应边长比为k，那么它们的面积比就是k的平方。
同样地，如果一个小三角形与一个大三角形相似，那么它们的面积比就是两个三角形对应边长的比的平方。
五、相似三角形与圆的应用相似三角形与圆的关系在实际生活中有许多应用。
例如，通过利用相似三角形的特性，我们可以测量无法直接获取的高度，如高楼或者山脉。
通过测量一个影子与其高度的比例，利用相似三角形原理可以得到物体的实际高度。
此外，在工程设计中，相似三角形与圆的关系也有实际应用。
例如，在建筑设计中，我们可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的比例。
圆的外切或内切关系也可以用于定位和绘图。
总结：相似三角形与圆的关系是几何学中重要的一个主题。
通过了解相似三角形的基本概念、内切关系和外切关系，我们可以更好地理解相似三角形与圆的联系。
此外，相似三角形与圆的面积关系以及实际应用也是我们需要探索和学习的内容。
相似三角形的研究对于几何学的发展具有重要的意义，并在实际中有广泛的应用。
第20讲圆与相似三角形的结合复习课件(共38张PPT)
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圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明 直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
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2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连 结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
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(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°， 当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
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判定圆中的类似三角形 例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径， 弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.
相似三角形四点共圆条件
相似三角形四点共圆条件哎呀，今天咱们聊聊一个有趣的话题，叫做“相似三角形四点共圆条件”。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们就把它简单化，轻松聊聊。
想象一下，你和朋友在公园里玩三角形拼图，突然你发现这三角形不仅好看，而且有个神奇的特性，那就是如果这三个三角形是相似的，那么它们的四个顶点竟然可以在同一个圆上，这可是个了不起的事情呢！先说说什么叫相似三角形。
其实就是那些形状一样但大小不同的三角形，比如你把一块比萨饼切得小一点，再切得小一点，这不就是相似三角形吗？无论你怎么缩放，这些小三角形和原来的大三角形都是“心有灵犀”的，形状上绝对不打架。
你知道吗？数学界可是很喜欢这种“心有灵犀”的关系，没事就爱研究。
然后啊，咱们再说说四点共圆条件。
这听起来就像是个数学的魔法。
想象一下，在一个圆圈里，有四个小朋友，他们拉着手，围成一个大圈，哈哈，是不是感觉特别温馨？四点共圆的意思就是，四个点能够同时在一个圆上，形成一种神奇的联系。
这个时候，你可能会想，这些点是怎么凑到一起的呢？关键就在于这些点之间的角度关系。
咱们进入核心。
你想啊，如果四个点都可以在一个圆上，那么它们之间的角度就得有个特殊的关系，才能让它们手拉手不散架。
这就需要满足一种条件：那就是如果一个三角形的内角和另一个三角形的内角相等，那么这四个点就可以共圆了。
简单说，就是这几个三角形之间的比例关系得好，才能齐心协力，找到同一个圆圈。
就像好朋友一起去旅游，得有个统一的计划，才能玩的开心！数学里还有个有趣的现象，就是这些相似三角形如果在一起聚会，它们的边长比也是一致的。
就像一群身高不一的朋友，只要他们之间的比例相同，不管个子高矮，都能一起玩得不亦乐乎！这种感觉太赞了，几何也变得生动有趣起来。
咱们可以用这个条件来推导出各种各样的结果，就像解谜一样，越解越上瘾。
你可能会好奇，这有什么实际应用呢？很多设计、建筑都离不开这个原理。
就像设计师在画图的时候，常常用相似三角形来确保结构的稳固。
直角三角形和圆的关系
直角三角形和圆的关系稿子一嘿，亲爱的朋友！今天咱们来聊聊直角三角形和圆这俩家伙的关系，可有趣啦！你知道不，直角三角形和圆有时候就像一对默契的小伙伴。
比如说，把一个直角三角形放在圆里，这三角形的斜边可能就是圆的直径。
想象一下，圆就像个大舞台，直角三角形在上面尽情表演。
还有哦，那个直角三角形内切圆也很神奇。
内切圆就像藏在三角形心里的小秘密，它和三角形的三条边都相切。
这个内切圆的半径，还能通过三角形的边长算出来呢。
而且呀，在解决数学问题的时候，直角三角形和圆常常一起出现帮忙。
有时候，圆能给直角三角形提供一些关键的线索，让解题变得轻松不少。
你看，直角三角形和圆，它们相互配合，就像舞台上的最佳搭档，给咱们带来了好多惊喜和乐趣。
是不是很有意思呀？稿子二亲，咱们来唠唠直角三角形和圆的那些事儿！先说直角三角形，它那三个角，有一个是直角，看着就特别有个性。
而圆呢，圆圆的，完美得没有一点棱角。
可别觉得它们没啥关系，关系大着呢！你想想，如果以直角三角形的斜边为直径画个圆，这直角三角形就乖乖地待在圆里啦。
还有那个直角三角形的外接圆，外接圆的圆心就在斜边的中点上，这是不是很神奇？就好像圆心是直角三角形的大管家，照顾着它。
另外，从面积角度看，圆的面积公式和直角三角形的面积公式虽然不同，但有时候能通过它们的关系求出一些难题的答案。
再说，如果把直角三角形的三个顶点都放在圆上，那这个圆就叫这个直角三角形的外接圆。
是不是感觉圆就像个温暖的怀抱，把直角三角形紧紧抱住。
直角三角形和圆，看似不同，其实关系密切得很，它们一起在数学的世界里创造了好多精彩！怎么样，是不是觉得很有趣呀？。
圆中的等边三角形
圆中的等边三角形说到圆中的等边三角形，嘿，真是个有趣的话题。
想象一下，你在草地上随意躺着，阳光洒在你身上，四周一片宁静，突然，你的脑海中闪过一个想法，咱们来聊聊那个神奇的等边三角形，听起来是不是很有趣？让我们想象一下，一个完美的圆圈，圆润得像个大气球。
这个圆里头，藏着一只神秘的等边三角形。
哇，等边三角形可不是普通的三角形哦，它的三条边都是一样长，简直像是一家人，和和美美，团团圆圆。
那这个三角形为什么会跑到圆里呢？哈哈，这可真是个好问题。
其实在几何的世界里，等边三角形和圆之间有着不解之缘，像老朋友一样亲密无间。
我们可以想象这个等边三角形在圆里欢快地跳舞，三条边随着音乐的节拍欢快摇摆。
好像只要一转身，整个圆都在为它喝彩。
对了，你知道吗？等边三角形的每个角都是60度，简直就像是数学界的明星，走到哪里都吸引眼球。
再加上它的对称性，真是太完美了，跟我们生活中的好事一样，来得又快又巧。
说到这，很多人可能会想，哎呀，这等边三角形真有趣，那它和圆有什么关系呢？这可大有讲究呢。
等边三角形的顶点刚好落在圆周上，完美得就像是手心里的宝石，闪闪发光。
每当你把这个三角形旋转时，似乎整个圆都在跟着转，简直是太魔幻了。
想象一下，如果我们把这个等边三角形放在一个超级大的圆上，哇，真是气势磅礴。
人们走在圆的边缘，回头一看，哦，那个三角形就像是一位舞者，在圆的舞台上尽情表演，令人陶醉。
有趣的是，圆和等边三角形之间的关系并不止于此。
你有没有注意到，等边三角形的重心、外心和内心，都是重叠在一起的，这就像三个人合力做一件事情，结果分分钟就能搞定，真是团结的力量啊。
想象一下，三个人在一起合作，像极了我们生活中的好朋友，总是一起打拼，一起欢笑。
这样一来，等边三角形就成了圆中的“团结小能手”，多么励志的形象啊。
圆中的等边三角形还有一个特别之处，那就是它的周长和面积的计算。
嘿，这里要说的可不是单调的数学公式，而是一个有趣的故事。
每当我们拿出尺子，测量这三条边，得到的周长就像是为这个三角形披上了一层华丽的外衣，既美丽又大方。
同圆的内接正三角形与内接正方形的面积-概述说明以及解释
同圆的内接正三角形与内接正方形的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行展开：概述部分是整篇文章的开场白，主要是对文章的主题进行简要介绍，并引起读者的兴趣。
首先，可以简要介绍同圆的内接正三角形和内接正方形的概念及其性质。
同圆的内接正三角形指的是一个三角形的三个顶点都位于同一个圆的圆周上，并且三个顶点所对应的圆心角都为60的特殊三角形。
内接正方形指的是一个正方形的四个顶点都位于同一个圆的圆周上的特殊方形。
这两种几何形体具有独特的性质，对于解决某些几何问题有着重要的作用。
其次，可以提及本文的目的和意义。
研究同圆的内接正三角形和内接正方形的面积，旨在探究它们之间的数学关系和几何特性。
通过分析和比较它们的面积计算方法，可以深入理解几何形体的性质和几何学的基本原理。
这对于提升数学思维、加深对几何学的理解以及应用数学知识解决实际问题具有重要意义。
最后，可以简要介绍文章的结构和内容安排。
本文将分为引言、正文和结论三部分。
其中，引言部分介绍了同圆的内接正三角形和内接正方形的概念、目的和意义。
正文部分将详细探讨同圆的内接正三角形和内接正方形的定义、性质、构造方法以及面积计算等内容。
结论部分将对文章进行总结，并提出一些讨论和思考的问题。
通过以上的概述，读者可以对本文的主题和内容有一个初步的了解，为接下来的阅读打下基础。
接下来，我们将进入正文部分，详细介绍同圆的内接正三角形和内接正方形的相关知识点。
文章结构（Article Structure）本文将从引言、正文和结论三个部分来探讨同圆的内接正三角形与内接正方形的面积。
以下是各部分的详细内容：1. 引言（Introduction）1.1 概述：在这一部分，我们将介绍同圆的内接正三角形和内接正方形，并强调它们在几何学中的重要性。
1.2 文章结构：这一小节将详细说明本文的结构和各个部分的内容，以帮助读者更好地理解文章的整体框架。
1.3 目的：在这一段，我们将明确本文的目标和研究问题，即探讨同圆的内接正三角形和内接正方形的面积计算方法。
圆的直径和圆上任意一点组成的三角形
圆的直径和圆上任意一点组成的三角形示例文章篇一：《圆的直径和圆上任意一点组成的三角形：奇妙的几何发现》嗨，大家好呀！今天我想跟你们聊聊一个超级有趣的数学发现，那就是关于圆的直径和圆上任意一点组成的三角形。
我呀，最开始发现这个的时候，可兴奋了呢。
咱们先想象一个圆，这个圆就像一个超级大的披萨饼，圆圆的，可诱人啦。
然后呢，我们在这个圆里画一条直径，这条直径就像披萨饼中间切开的那一刀，把这个圆分成了两半。
这时候呀，我们在圆上随便找一个点。
这个点就像是一个调皮的小蚂蚁，在圆这个大操场上跑来跑去，最后停在了某个地方。
这个点和直径的两个端点连接起来，就组成了一个三角形。
我就跟我的同桌讨论这个三角形呢。
我同桌当时还不太相信这个三角形有啥特别的。
我就跟他说：“你看呀，这个三角形的形状虽然看起来很普通，可是它有个特别厉害的地方。
”我同桌就眼睛瞪得大大的，像两颗铜铃一样，好奇地问我：“啥厉害的地方呀？”我就得意洋洋地告诉他：“不管这个小蚂蚁（也就是圆上那任意一点）停在圆上的哪个地方，这个三角形都是直角三角形呢！”我同桌听了，嘴巴张得老大，就像能塞下一个大鸭蛋似的，说：“不可能吧！”我就跟他解释呀。
我说：“你想啊，如果我们把这个圆的圆心和这个三角形的三个顶点都连起来。
那这个直径不就是这个圆的半径的两倍嘛。
而且呀，根据圆的性质，圆心到圆上任意一点的距离都是半径。
”我一边说，一边在纸上画着图给他看。
“那这个三角形呢，就被我们分成了两个等腰三角形啦。
就好像我们把一个大蛋糕切成了两块小蛋糕一样。
而且呀，在这两个等腰三角形里，有很多相等的角呢。
”我同桌这时候有点迷糊了，他皱着眉头说：“这和直角三角形有啥关系呀？”我就更兴奋地跟他讲啦：“你看啊，这几个角之间的关系可巧妙了。
因为那些相等的角呀，互相一加一减的，最后就会发现这个三角形里有一个角一定是直角。
就好像是魔法一样，不管这个点在圆上怎么动，这个直角就像被定在那里了似的。
”我同桌这时候有点相信了，他说：“哎呀，还真是挺神奇的呢。
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和圆一样的三角形
Maxwellsdemon 2012-02-03 21:17:07
如果说三角形和圆是一家，你大概不信。
但确确实实，一个以 19 世纪德国工程师命名的三角形，勒洛三角 形，就和圆有很多相同之处。
并且，它还经常出现在制造业中，无数奇怪或者常用的东西，按照它的样子 被造出来。
数学之所以重要，不仅因为它是科学理论的基石，还因为数学在日常生活、工业制造甚至是 艺术品审美上都用着非常广泛的应用和体现。
如果不知道一些基本的数学道理， 就是被科学 武装到牙齿的 NASA 工程师也会犯一些低级错误。
比如今天的故事主角——勒洛三角形。
这 个和圆是一家的多边形，不仅性质奇特，还是制造业的宠儿。
它是如何渗透到广大劳动人民 身边的？死理性派告诉你。
不识勒洛三角形，NASA 都要犯错误
历史上，一枚美国火箭的发射流程是这样的：先在工厂完成推进器的组装，然后用驳船运至 佛罗里达的肯尼迪航天中心进行整体吊装，最后在发射台上点火发射。
然而，一些 NASA 的 工程师发现一个问题：在运抵总装车间之前，推进器需要横躺着跋涉数千公里（例如在加利 福尼亚组装的土星 -5 的第二级推进器甚至需要绕道巴拿马运河），但在这一过程中，由于 其本身的巨大重量，推进器有可能会发生变形。
对于液体燃料火箭来说，轻微的变形也可能 导致燃料泄漏造成发射事故。
为了检验火箭截面是否是正圆， NASA 的技术人员们提出了一
个标准， 每隔 60° 测量一次火箭的直径 （该方向上界面内两点距离的最大值） 如果 3 次 ， 测得的直径都相等，那火箭的截面即使不是标准的圆形也差不多了。
然而这个方案真的靠谱么？很不幸， 一种叫做定宽曲线的曲线族粉碎了他们的幻想。
定宽曲 线是这样的一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称宽度）都是定值。
当然，圆也是 一种定宽曲线，但是定宽曲线可远远不止这么一种，其中最具有代表性的当属勒洛三角形。
勒洛三角形 像上图这样把 3 个等半径的圆重合起来， 两两互相经过圆心， 3 个圆相交的部分就是勒洛 三角形，或者其发现者所称的“曲边三角形”。
如果不幸碰到这样的一条曲线， NASA 的 工作人员无论怎么测直径，得到的结果都会是一样的。
勒洛三角形和它的一干定宽曲线兄弟们都具有许多有趣的特性， 其中最重要的当然就是它们 的定宽性。
使用截面是定宽曲线的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动。
实际上这样的装置 在许多科技馆都能看到， 下图就是柏林一家博物馆内的定宽曲线滚木。
另外定宽曲线还有一 个有趣的性质， 就是宽度相等的定宽曲线有相同的周长， 所以下图中的圆形滚木转过一周的 时候，旁边的勒洛三角形滚木也恰好转过一周。
制造工艺上的广泛应用
应用上面滚木的原理， 可以制造出许多有趣的小玩意。
例如我国劳动人民就充分发挥聪明才 智制造了一辆利用等宽曲线轮的 角轮自行车 ，据说已经成功申请专利了。
有人会说“角轮自行车”只是观赏性大于实用性的玩具， 确实如此。
那不妨让我们再来看看 等宽曲线在汽车工业上的应用。
当然，汽车制造商们不会用等宽曲线制造轮子，他们把等宽 曲线藏在了汽车更核心的部分——发动机里。
下图就是马自达公司的转子发动机截面图。
其 实转子发动机并不是什么新鲜发明， 早在 20 世纪 50 年代德国工程师汪克尔就制造出了第 一台转子发动机的样机，因此这种发动机又叫做汪克尔发动机。
熟悉汽车的同学可能已经注意到了这种发动机与其他发动机的不同之处， 它没有常见的活塞 和曲杆。
没错，因为对于转子发动机来说，这些麻烦的东西已经完全不需要了，取而代之的 是一个转子。
转子的截面是面积最小的等宽曲线勒洛三角形，无论转子转到什么角度，都严 格将汽缸分成三部分，同时进行进气、压缩、点火与排气的周期，这样当转子转过一周时可 以做功三次， 效率远高于旋转两周才做工一次的传统四冲程活塞发动机。
与传统四冲程发动 机相比，转子发动机具有体积更小、振动与噪音更低、结构简单、故障率低等优点。
但转子 发动机对材料和工艺的要求也更高，同时提升功率较为困难，所以目前市场上，采用转子发 动机的汽车公司还并不多。
由于等宽性，等宽曲线还可以在一个正方形内贴着边沿滚动。
1914 年，一位注意到这一特 性的美国工程师据此发明了方孔钻头。
方孔钻头的截面是一个勒洛三角形， 为使钻头更锋利， 它被削去了一部分的。
在工作时钻头的中心随着钻头的转动同时绕轴做圆周运动 （事实上并 不是严格的圆周运动），就可以钻出四角略圆的正方形。
方孔钻头分解图，中间的齿轮组是使钻头轴转动的机构 在上面的段落里，勒洛三角形大出风头，但是等宽曲线家族可不是只有这么一位成员。
在其 他地方我们也能看见等宽曲线的身影，许多国家的硬币就喜欢采用等宽曲线作为外形轮廓， 例如英国的 20 便士与 50 便士银币采用的就是由 7 条弧组成的定宽曲线。
除此之外，在 不少艺术品中也常常能看到各种等宽曲线的身影，这主要是为了提高观赏价值了。
猜猜井盖为什么是圆的？本文或许可以帮助回答这个困惑过不少人的问题。
参考资料： [1] 理查德•费曼，《你干嘛在乎别人怎么想》 [2] 马丁•加德纳，《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》 [3] 汽车之家，气缸排列形式词条 [4] Scott Smith，Drilling Square Holes
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