2016年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

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北京市西城区2016年高三二模试卷及解析综述

产物相对量 43 2 1pH=8pH=7 pH=3pH=5 pH=6 北京市西城区2016年高三二模试卷理科综合能力测试 2016.5本试卷分为选择题和非选择题两个部分，选择题1-5页，非选择题6-16页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案填写在答题卡上和答题纸的相应区域内，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷及答题卡和答题纸一并交回。

可能用到的相对原子质量：选择题（共20题每小题6分共120分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．化能自养型的硫细菌是深海热火山口群落的重要成分，这种硫细菌 A ．遗传物质为RNA 或DNA B ．可利用光能合成有机物 C ．细胞最外层结构是细胞膜 D ．是生态系统的第一营养级1.D 解析：无论是原核还是真核细胞，遗传物质都是DNA ，A 错误；硫细菌是化能自养型，利用化学能合成有机物，B 错误；细菌的最外层是细胞壁，C 错误；化能自养型的硫细菌是生产者，属于生态系统的第一营养级。

【考点与方法】本题考查硫细菌的相关知识。

要求学生牢记原核细胞的结构、遗传物质，自养生物的种类，及在生态系统中的地位。

2．人体红细胞的生成过程如下图所示。

幼红细胞早、中期有分裂能力，晚期脱去细胞核。

血红蛋白自原红细胞开始合成，在网织红细胞中合成最旺盛。

下列叙述正确的是A ．造血干细胞到成熟红细胞的分化是从原红细胞开始的B ．原红细胞分裂时没有同源染色体的联会和分离C ．网织红细胞中不能进行遗传信息的转录和翻译D ．红系祖细胞与成熟红细胞所含DNA 相同，蛋白质不同2.B 解析：造血干细胞到成熟红细胞的分化是从造血红细胞开始的，A 错误；源染色体的联会和分离发生在减数分裂过程中，原红细胞分裂为有丝分裂，B 正确；网织红细胞中有DNA ，能转录出mRNA 并产生蛋白质，所以，能进行遗传信息的转录和翻译，C 错误；红系祖细胞含有DNA ，成熟红细胞不含有DNA ，D 错误。

2016年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，4} 2．（5分）若命题p：∃x∈R，sin x≥1，则￢p为（）A．∀x∈R，sin x≤1B．∀x∈R，sin x＜1C．∃x∈R，sin x＜1D．∃x∈R，sin x≤13．（5分）如图，△ABC为正三角形，AA1∥BB1∥CC1，CC1⊥底面△ABC，若BB1＝2AA1＝2，AB＝CC1＝3AA1，则多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影的面积为（）A．B．C．9D．4．（5分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣15．（5分）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5，则数列{b n}的通项公式为（）A．b n＝2n﹣1B．b n＝3n﹣1C．b n＝2n﹣2D．b n＝3n﹣2 6．（5分）一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A．179元B．199元C．219元D．239元7．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2+log23）的值为（）A．24B．16C．12D．88．（5分）集合A＝{（x，y）|x，y∈R}，若x，y∈A，已知x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），定义集合A中元素间的运算x*y，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律：①任意x，y∈A有x*y＝y*x②任意x，y，z∈A有（x+y）*z＝x*z+y*z（其中x+y＝（x1+x2，y1+y2））③任意x，y∈A，a∈R有（ax）*y＝a（x*y）④任意x∈A有x*x≥0，且x*x＝0成立的充分必要条件是x＝（0，0）为向量，如果x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），那么下列运算属于“*”正确运算的是（）A．x*y＝x1y1+2x2y2B．x*y＝x1y1﹣x2y2C．x*y＝x1y1+x2y2+1D．x*y＝2x1x2+y1y2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设i是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为．10．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为．11．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线（t为参数）与直线l2：2x﹣4y＝5相交于点B，又点A（1，2），则|AB|＝．12．（5分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于[55，65）范围内的频率为；这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是．13．（5分）若点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为．14．（5分）已知函数f n（x）＝（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB＝90°，AC＝2a，E，F 分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE（Ⅰ）求证：AB⊥平面AEC′；（Ⅱ）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，（i）若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；（ii）在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．17．（13分）在2015﹣2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息：（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．18．（14分）已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．19．（13分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．20．（13分）数列{a n}中，定义：d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），a1＝1．（Ⅰ）若d n＝a n，a2＝2，求a n；（Ⅱ）若a2＝﹣2，d n≥1，求证此数列满足a n≥﹣5（n∈N*）；（Ⅲ）若|d n|＝1，a2＝1且数列{a n}的周期为4，即a n+4＝a n（n≥1），写出所有符合条件的{d n}．2016年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，4}【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，∴A∩B＝{1，2，3}，故选：B．2．（5分）若命题p：∃x∈R，sin x≥1，则￢p为（）A．∀x∈R，sin x≤1B．∀x∈R，sin x＜1C．∃x∈R，sin x＜1D．∃x∈R，sin x≤1【考点】2J：命题的否定．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，sin x≥1，则﹣p为：∀x∈R，sin x＜1，故选：B．3．（5分）如图，△ABC为正三角形，AA1∥BB1∥CC1，CC1⊥底面△ABC，若BB1＝2AA1＝2，AB＝CC1＝3AA1，则多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影的面积为（）A．B．C．9D．【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【解答】解：根据题意，多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影是几何体的正视图，如图所示；所以该投影面的面积为3×3﹣×2×1.5﹣×1×1.5＝．故选：A．4．（5分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】96：平行向量（共线）．【解答】解：∵向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1），∴3﹣＝（1，﹣1），又3﹣与共线，∴x•（﹣1）﹣1×1＝0，解得x＝﹣1．故选：D．5．（5分）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5，则数列{b n}的通项公式为（）A．b n＝2n﹣1B．b n＝3n﹣1C．b n＝2n﹣2D．b n＝3n﹣2【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：设成等差数列的三个正数为a﹣d，a，a+d，即有3a＝6，解得a＝2，由题意可得2﹣d+3，2+6，2+d+13成等比数列，即为5﹣d，8，15+d成等比数列，即有（5﹣d）（15+d）＝64，解得d＝1（﹣11舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2，则数列{b n}的通项公式为b n＝b3•2n﹣3＝4•2n﹣3＝2n﹣1．故选：A．6．（5分）一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A．179元B．199元C．219元D．239元【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：由题意，优惠劵1比优惠劵2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元．他购买的商品的标价为219元，优惠劵1减免21.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免21.42元；标价为239元，优惠劵1减免23.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免25.02元；故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2+log23）的值为（）A．24B．16C．12D．8【考点】3P：抽象函数及其应用．【解答】解：由f（x）＝，由2+log23＜4，可得f（2+log23）＝f（3+log23），由3+log23＞4，可得f（3+log23）＝＝23•2log23＝8•3＝24．故选：A．8．（5分）集合A＝{（x，y）|x，y∈R}，若x，y∈A，已知x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），定义集合A中元素间的运算x*y，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律：①任意x，y∈A有x*y＝y*x②任意x，y，z∈A有（x+y）*z＝x*z+y*z（其中x+y＝（x1+x2，y1+y2））③任意x，y∈A，a∈R有（ax）*y＝a（x*y）④任意x∈A有x*x≥0，且x*x＝0成立的充分必要条件是x＝（0，0）为向量，如果x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），那么下列运算属于“*”正确运算的是（）A．x*y＝x1y1+2x2y2B．x*y＝x1y1﹣x2y2C．x*y＝x1y1+x2y2+1D．x*y＝2x1x2+y1y2【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：由题意，若x＝（2，﹣2），y＝（1，1），A，x*y＝﹣2，y*x＝﹣7，不满足①；B，x*y＝﹣5，y*x＝5，不满足①；C，x*x＝﹣7，不满足④；D中运算均适合．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设i是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为．．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：∵复数＝＝+i又∵z在复平面内所对应的点位于第一象限，∴＞0且＞0解得．故答案为：．10．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，﹣1），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x，结合图象直线过A（3，﹣1）时，z最大，z的最大值是5，故答案为：5．11．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线（t为参数）与直线l2：2x﹣4y＝5相交于点B，又点A（1，2），则|AB|＝．【考点】IR：两点间的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：由，得4x+3y﹣10＝0，由解得，即B（，0），所以|AB|＝＝，故答案为：．12．（5分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于[55，65）范围内的频率为0.4；这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是13．【考点】B8：频率分布直方图．【解答】解：由直方图可知：生产该产品数量在[55，65）的频率＝1﹣（0.005+0.0100+0.020+0.025）×10＝0.4∴生产该产品数量在[55，75）的人数＝20×（0.04+0.025）×10＝13，故答案为：0.4 1313．（5分）若点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（1，+]．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心和左焦点，∴c＝，则c2＝a2+1＝2，则a2＝1，即双曲线方程为x2﹣y2＝1，设P（x，y），则x≥1，则＝＝＝＝1++•（）2，则x≥1，∴1++•（）2＞1，又1++•（）2＝•（+）2，∵x≥1，∴0＜≤1，即当＝1时，1++•（）2＝•（+）2取得最大值为•（1+）2＝+，故的取值范围为（1，+]，故答案为：（1，+]，14．（5分）已知函数f n（x）＝（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是①②④①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：∵函数f n（x）＝（n∈N*），∴①f n（x+2π）＝f n（x）（n∈N*），f n（x）为周期函数，正确；②f n（﹣x）＝＝，f n（x）＝（n∈N*）是偶函数，∴f n（x）＝（n∈N*）有对称轴，正确；③n为偶数时，f n（）＝＝0，∴（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心，不正确；④∵|sin nx|≤|n sin x|，∴|f n（x）|≤n（n∈N*），正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HW：三角函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx），所以，又f（x）的最小正周期为，所以＝，即＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，因为，所以．由正弦函数的性质可知，当，即时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（）＝3；当时，即时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（）＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分16．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB＝90°，AC＝2a，E，F 分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE（Ⅰ）求证：AB⊥平面AEC′；（Ⅱ）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，（i）若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；（ii）在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】证明：（Ⅰ）因为△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝90°，E，F分别为AC，BC的中点，所以EF⊥AE，EF⊥C'E．又因为AE∩C'E＝E，所以EF⊥平面AEC'．由于EF∥AB，所以有AB⊥平面AEC'．4分解：（Ⅱ）（i）取AC'中点D，连接DE，EF，FG，GD，由于GD为△ABC'中位线，以及EF为△ABC中位线，所以四边形DEFG为平行四边形．直线GF与AC'所成角就是DE与AC'所成角．所以四棱锥C'﹣ABFE体积取最大值时，C'E垂直于底面ABFE．此时△AEC'为等腰直角三角形，ED为中线，所以直线ED⊥AC'．又因为ED∥GF，所以直线GF与AC'所成角为．10分（ii）因为四棱锥C'﹣ABFE体积取最大值，分别以EA、EF、EC'所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则C'（0，0，a），B（a，2a，0），F（0，a，0），C'B（a，2a，﹣a），C'F（0，a，﹣a）．设平面C'BF的一个法向量为＝（x，y，z），由得，取y＝1，得＝（﹣1，1，1）．平面C'AE的一个法向量＝（0，1，0）．所以cos ＜＞＝＝，故平面C'AE与平面C'BF 的平面角的夹角的余弦值为．14分17．（13分）在2015﹣2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息：（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4，5，6，7，10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是．在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是．3分（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B1，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B2．则P（A）＝P（B1）+P（B2）＝＝．7分（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，X的分布列如下表：∵X～B（3，），∴EX＝3×＝．18．（14分）已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ），当f′（x）＞0 时，所以x2+3x+1＜0，解得﹣2＜x，当f′（x）＜0时，解得，所以f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k＝2时，g（x）＝2（x+1）．令H（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．H′（x）＝，令H′（x）＝0，即﹣2x2﹣8x﹣6＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣3（舍）．∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．∴H max（x）＝H（﹣1）＝0，∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（Ⅲ）由（II）知，当k＝2时，f（x）＜g（x）恒成立，即对于“x＞﹣1，2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k（x+1）．∴2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k（x+1），即f（x）＜g（x）恒成立，不存在满足条件的x0；令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），h′（x）＝，当k＜2时，令t（x）＝﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），可知t（x）与h′（x）符号相同，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣1，x0）时，h（x）＞h（﹣1）＝0，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．19．（13分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（Ⅰ）由题意，以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形，所以b＝c，a2＝2b2，则椭圆C的方程为．又因为椭圆C：过点A（，1），所以，故a＝2，b＝.所以椭圆的标准方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）|MP|2＝（x﹣p）2+y2．因为M（x，y）是椭圆C上的动点，所以，故．所以．因为M（x，y）是椭圆C上的动点，所以|x|≤2．（1）若|2p|≤2，即|p|≤1，则当x＝2p时，|MP|取最小值，此时M．（2）若p＞1，则当x＝2 时，|MP|取最小值|p﹣2|，此时M（2，0）．（3）若p＜﹣1，则当x＝﹣2 时，|MP|取最小值|p+2|，此时M（﹣2，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分20．（13分）数列{a n}中，定义：d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），a1＝1．（Ⅰ）若d n＝a n，a2＝2，求a n；（Ⅱ）若a2＝﹣2，d n≥1，求证此数列满足a n≥﹣5（n∈N*）；（Ⅲ）若|d n|＝1，a2＝1且数列{a n}的周期为4，即a n+4＝a n（n≥1），写出所有符合条件的{d n}．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：（Ⅰ）∵a n＝d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），∴a n+2﹣2a n+1＝0（n≥1）；又∵a1＝1，a2＝2，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故数列{a n}的通项公式为；（Ⅱ）证明：∵d n≥1，∴a n+2+a n﹣2a n+1≥1，令c n＝a n+1﹣a n，则c n+1﹣c n≥1，叠加得，c n≥n﹣4；即a n+1﹣a n≥n﹣4，叠加可得，≥﹣5．（Ⅲ）由于|d n|＝1，a1＝1，a2＝1，若d1＝1，则可得a3＝2，若d1＝﹣1可得a3＝0；同理，若d2＝1可得a4＝4或a4＝2，若d2＝﹣1可得a4＝0或a4＝﹣2；具体如下表所示，1，1，；所以{a n}可以为1，1，2，2；1，1，2，2；1，1，2，2；…或1，1，0，0；1，1，0，0；1，1，0，0；…此时相应的{d n}为1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，…或﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，…．。

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西城区高三模拟测试高三数学（理科）2017.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z = （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i +（D ）2i -2．下列函数中，值域为[0,1]的是（A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y 3．在极坐标系中，圆sin ρθ=的圆心的极．坐标．．是（A ）(1,)2π（B ）(1,0)（C ）1(,)22π（D ）1(,0)24．在平面直角坐标系中，不等式组320,330,0x y x y y -⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A ）1（B ）32（C ）2（D ）525．设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为（A）0x ±= （B）0y ±= （C ）80x y ±=（D ）80x y ±=6．设a ，b 是平面上的两个单位向量，35⋅=a b ．若m ∈R ，则||m +a b 的最小值是（A ）34（B ）43（C ）45（D ）547．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞8．有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是（A ）7 （B ）6（C ）5（D ）4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为____．10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124, , a a a 成等比数列，则1a =____；数列{}n a 的前n 项和n S =____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a ，1b =，则c =____．12．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．13．大厦一层有A ，B ，C ，D 四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有____种．（用数字作答）14．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体A BCD -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设(0,π)β∈，且π()2cos()4f ββ=-，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，AD FC ⊥．点M 在棱FC 上，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：平面ADMN ⊥平面CDEF ；（Ⅲ）若CD EA ⊥，EF ED =，2CD EF =，平面ADE 平面BCF l =，求二面角A l B --的大小．17．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：B 餐厅分数频数分布表定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =．求直线AB 的斜率．19．（本小题满分13分）已知函数21()()e x f x x ax a -=+-⋅，其中a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x '的零点个数；（Ⅱ）证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．20．（本小题满分13分）设集合*2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N ≥．如果对于2n A 的每一个含有(4)m m ≥个元素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的一个“相关数”．（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥；（Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最小值．西城区高三模拟测试高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．A6．C7．D 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．710．2，2n n +11．2 12．2-；113．3614．43注：第10，12题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2cos()44ββ+=-． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++，[ 7分] 整理得ππsin()[2cos()1]044ββ+⋅+-=，[ 8分]所以πsin()04β+=，或π1cos()42β+=． [10分]因为 (0,π)β∈，所以ππ5π(,)444β+∈，[11分]由πsin()04β+=，得ππ4β+=，3π4β=；[12分]由π1cos()42β+=，得ππ43β+=，π12β=．所以π12β=，或3π4β=． [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 1分]所以//AD 平面FBC ．[ 3分] 又因为平面ADMN平面FBC MN =，所以//AD MN ．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．[ 5分]因为AD FC ⊥，[ 6分] 所以AD ⊥平面CDEF ．[ 7分] 所以平面ADMN ⊥平面CDEF ．[ 8分] （Ⅲ）因为EA CD ⊥，AD CD ⊥，所以CD ⊥平面ADE ，所以CD DE ⊥．由（Ⅱ）得AD ⊥平面CDEF ，所以AD DE ⊥．所以DA ，DC ，DE 两两互相垂直．[ 9分] 建立空间直角坐标系D xyz -．[10分]不妨设1EF ED ==，则2CD =，设(0)AD a a =>．由题意得，(,0,0)A a ，(,2,0)B a ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,1)E ，(0,1,1)F ．所以(,0,0)CB a −−→=，(0,1,1)CF −−→=-．设平面FBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,CB CF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.ax y z =⎧⎨-+=⎩令1z =，则1y =．所以(0,1,1)=n ．[12分]又平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC −−→=，所以||cos ,|||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉==|n n n 因为二面角A l B --的平面角是锐角，所以二面角A l B --的大小45．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由对A 餐厅评分的频率分布直方图，得对A 餐厅“满意度指数”为0的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数为1000.220⨯=． [ 3分] （Ⅱ）设“对A 餐厅评价‘满意度指数’比对B 餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C ．记“对A 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1A ；“对A 餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件2A ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件0B ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1B ．所以1(A )(0.020.02)100.4P =+⨯=，2(A )0.4P =，[ 5分]由用频率估计概率得：0235(B )0.1100P ++==，11540(B )0.55100P +==． [ 7分]因为事件A i 与B j 相互独立，其中1,2i =，0,1j =．所以102021(C)(A B A B A B )P P =++102021(A )(B )(A )(B )(A )(B )P P P P P P =++0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=．[10分] 所以该学生对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3．（Ⅲ）如果从学生对A ，B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A 餐厅“满意度指数”X 的分布列为：B 餐厅“满意度指数”Y 的分布列为：因为()00.210.420.4 1.2E X =⨯+⨯+⨯=；()00.110.5520.35 1.25E Y =⨯+⨯+⨯=，所以()()E X E Y <，会选择B 餐厅用餐． [13分]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可． 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠．[ 1分]由抛物线C 且经过点(1,2)P ，得4a =，[ 3分]所以抛物线C 的方程为24y x =．[ 4分] （Ⅱ）因为||||PM PN =，所以PMN PNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以直线PA 与PB 的倾斜角互补，所以 0PA PB k k +=．[ 6分]依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-≠，将其代入抛物线C 的方程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[ 8分]设11(,)A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，114(1)22y k x k=-+=-，[10分] 所以22(2)4(,2)k A k k--．[11分] 以k -替换点A 坐标中的k ，得22(2)4(,2)k B k k+--．[12分] 所以 222244()1(2)(2)AB k k k k k k k --==--+-．所以直线AB 的斜率为1-．[14分]19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21()()e x f x x ax a -=+-⋅，得121()(2)e ()e x x f x x a x ax a --'=+⋅-+-⋅21[(2)2]e x x a x a -=-+--⋅ 1()(2)e x x a x -=-+-⋅．[ 2分]令()0f x '=，得2x =，或x a =-．所以当2a =-时，函数()f x '有且只有一个零点：2x =；当2a ≠-时，函数()f x '有两个相异的零点：2x =，x a =-．[ 4分]（Ⅱ）① 当2a =-时，()0f x '≤恒成立，此时函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，所以，函数()f x 无极值．[ 5分]② 当2a >-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，0a ≥时，()f x 的极小值为1()e a f a a +-=-⋅≤0．[ 7分]又2x >时，222240x ax a a a a +->+-=+>，所以，当2x >时，21()()e 0x f x x ax a -=+-⋅>恒成立．[ 8分] 所以，1()e a f a a +-=-⋅为()f x 的最小值．[ 9分] 故0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分条件．[10分] ③ 当5a =-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因为当5x >时，21()(55)e 0x f x x x -=-+⋅>，又1(2)e 0f -=-<，所以，当5a =-时，函数()f x 也存在最小值．[12分] 所以，0a ≥不是函数()f x 存在最小值的必要条件．综上，0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．[13分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3n =时，6{1,2,3,4,5,6}A =，4113n +=．[ 1分]①对于6A 的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}，因为234513+++>，所以5不是集合6A 的“相关数”．[ 2分] ②6A 的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}，因为134513+++=，所以6是集合6A 的“相关数”．[ 3分]（Ⅱ）考察集合2n A 的含有2n +个元素的子集{1,,1,,2}B n n n n =-+．[ 4分]B 中任意4个元素之和一定不小于(1)(1)(2)42n n n n n -+++++=+．所以2n +一定不是集合2n A 的“相关数”．[ 6分]所以当2m n +≤时，m 一定不是集合2n A 的“相关数”．[ 7分] 因此若m 为集合2n A 的“相关数”，必有3m n +≥．即若m 为集合2n A 的“相关数”，必有30m n --≥．[ 8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）得 3m n +≥．先将集合2n A 的元素分成如下n 组：(,21)(1)i i n C i n i =+-≤≤．对2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有三组123,,i i i C C C 同属于集合P ．[10分]再将集合2n A 的元素剔除n 和2n 后，分成如下1n -组：1(,2)(1)j j n D j n j -=-≤≤．对于2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有一组4j D 属于集合P ．[11分]这一组4j D 与上述三组123,,i i i C C C 中至少一组无相同元素，不妨设4j D 与1i C 无相同元素．精品此时这4个元素之和为1144[(21)[(2)]41i n i j n j n ++-++-=+．[12分] 所以集合2n A 的“相关数”m 的最小值为3n +．[13分]。

高考专题北京市西城区高三二模试卷.docx

北京市西城区2016年高三二模试卷数学（文科） 2016.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设全集U =R ，集合{|0}A x x =>，{|1}B x x =<，则集合()U A B =I ð（）（A ）(,0)-∞ （B ）(,0]-∞ （C ）(1,)+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，既是奇函数又在R 上单调递减的是（）（A ）1y x=（B ）e xy -= （C ）3y x =-（D ）ln y x =3. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是（）（A ）43（B ）73（C ）13-（D ）14．执行如图所示的程序框图，如果输出的115S =，那么判断框内应填入的条件是（）（A ）3i < （B ）4i < （C ）5i <（D ）6i <5. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若1sin()3A B +=，3a =，4c =，则sin A =（）（A ）23（B ）14（C ）34（D ）166. “0m n >>”是“曲线221mx ny +=为焦点在x 轴上的椭圆”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7.某市家庭煤气的使用量x （m 3）和煤气费()f x (元) 满足关系, 0<,()(), .C x A f x C B x A x A ≤ìïï=íï+->ïî已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为（）（A ）11.5元（B ）11元（C ）10.5元（D ）10元8. 设直线l ：340x y a ++=，圆22 (2)2C x y ：-+=，若在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，MQ （,P Q 为切点）满足90PMQ ?o ，则a 的取值范围是（）（A ）[18,6]-（B ）[6-+ （C ）[16,4]-（D ）[66---+第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知复数(2i)(1i)z =-+，则在复平面内，z 对应点的坐标为_____.10. 设平面向量,a b 满足||||2==a b ，()7⋅+=a a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为_____. 11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程为y =，则其离心率为____；若点(4,2)在C 上，则双曲线C 的方程为____.13. 设函数22, 1,()log , 1,x x f x x x -⎧<=⎨⎩≥ 那么1[()]2f f -=____；若函数()y f x k =-有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优. 若A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影. 已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这5部微电影中，最多可能有____部优秀影片.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()(1)cos f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当π(0,)2x ∈时，求函数()f x 的值域.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足432n n a S -=，其中n *∈N . （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等比数列；（Ⅱ）设142n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17．（本小题满分14分）如图，在周长为8的矩形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点. 将矩形ABCD 沿着线段EF 折起，使得60DFA ∠=o . 设G 为AF 上一点，且满足//CF 平面BDG .（Ⅰ）求证：EF DG ⊥；（Ⅱ）求证：G 为线段AF 的中点；（Ⅲ）求线段CG 长度的最小值. 18．（本小题满分13分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）写出a 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率. 19．（本小题满分13分）已知函数2()()x af x x a -=+．（Ⅰ）若()1f a '=，求a 的值；（Ⅱ）设0a ≤，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C ：24x y =，过点)0)(,0(>m m P 的动直线l 与C 相交于B A ,两点，抛物线C 在点A 和点B 处的切线相交于点Q ，直线BQ AQ ,与x 轴分别相交于点F E ,.（Ⅰ）写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q 在直线y m =-上；（Ⅲ）判断是否存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2016.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(3,1) 10．3411．3 1222184x y -=13．12 1(,)2+∞ 14．5注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为{|x x ∈R ，且ππ,}2x k k ≠+∈Z . ……………… 2分又因为2()(1)cos f x x x =2(1x=……………… 3分2cos cos x x x =1cos 222x x+=……………… 7分 π1sin(2)62x =++， ……………… 9分所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（验证知其定义域与之相符） …………… 10分（Ⅱ）解：由π(0,)2x ∈，得ππ7π2666x <+<， ……………… 11分所以1πsin(2)126x -<+≤，所以当π(0,)2x ∈时，3()(0,]2f x ∈，即函数()f x 在区间π(0,)2的值域为3(0,]2. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为432n n a S -=， ○1所以当1n =时，11432a S -=，解得12a =； ………………… 2分当2n ≥时，11432n n a S ---=， ○2 …………………3 分由○1—○2，得11443()0n n n n a a S S -----=，所以14n n a a -=，由12a =，得0n a ≠，所以14nn a a -=，其中2n ≥. 故{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列. …………………6 分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得124n n a -=⨯. ………………… 8分所以 114442n n n b a n n -=-=-. 则{}n b 的前n 项和011(44)(48)(44)n n T n -=-+-++-L011(444)(484)n n -=+++-+++L L ……………… 10分 14(44)142n n n -+=-- 241223n n n -=--. ………………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点，所以EF FD ⊥，EF FA ⊥，又因为FD FA F =I ，所以EF ⊥平面DFA . ………………2分又因为DG ⊂平面DFA ，所以EF DG ⊥. ………………4分（Ⅱ）证明：因为在折起前的矩形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点，所以在立体图中，////AB EF CD .即在立体图中，四边形ABCD 为平行四边形.连接AC ，设AC BD O =I ，则AO CO =. ………………6分又因为//CF 平面BDG ，CF ⊂平面ACF ，平面ACF I 平面BDG OG =，所以//CF OG ，所以在ACF ∆中，OG 为中位线，即G 为线段AF 的中点. ………………9分（Ⅲ）解：因为G 为线段AF 的中点，60DFA ∠=o 所以DFA ∆为等边三角形，且DG FA ⊥，又因为EF DG ⊥，EF FA F =I ，所以DG ⊥平面ABEF . 设BE 的中点为H ，连接,GH CH ，易得四边形DGHC 为平行四边形，所以CH ⊥平面ABEF ，所以222CG GH CH =+. ………………11分设DF x =，由题意得CH DG ==，42GH CD x ==-，所以222219(42))16164CG x x x x =-+=-+， ………………13分所以当3219x =时，2min 4819CG =. 所以线段CG. ………………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.03a =. ………………3分（Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ………………4分因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25+⨯=，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450⨯=人， ………………6分同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35+⨯=，学生人数约有0.351200420⨯=人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450420870+=人. ………………8分（Ⅲ）解：记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A ， ………………9分F EGA B D COH初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05603⨯=人.高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05402⨯=人. ………………10分记这3名初中生为123,,A A A ，这2名高中生为12,B B ，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，而事件A 的结果有7种，它们是11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，所以7()10P A =. ………………13分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且，由题意，()f a '有意义，所以0a ≠.求导，得244()()2()()(3)()()()x a x a x a x a x a f x x a x a +--⋅++⋅-'==-++. ………………3分所以24241()1164a f a a a'===，解得12a =±. ………………5分（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <”等价于“()f x 不存在最小值”． ………………6分① 当0a =时，由1()f x x=，得()f x 无最小值，符合题意． ………………8分 ② 当0a <时，令4()(3)()0()x a x a f x x a +⋅-'=-=+，得x a =- 或 3x a =. ………………9分随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：………………11分所以函数()f x 的单调递减区间为(,3)a -∞，(,)a -+∞，单调递增区间为(3,)a a -．因为当x a >时，2()0()x af x x a -=>+，当x a <时，()0f x <，所以min ()(3)f x f a =．所以当13x a =时，不存在2x 使得21()()f x f x <．综上所述，a 的取值范围为{0}a ∈. ………………13分 20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-. ………………2分（Ⅱ）证明：由题意，知直线l 的斜率存在，故设l 的方程为m kx y +=. 由方程组2,4,y kx m x y =+=⎧⎨⎩ 得2440x kx m --=，由题意，得216160k m ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x m =-， ………………4分由抛物线方程24x y =，得214y x=，所以12y x '=，所以抛物线在点A 处的切线方程为)(21411121x x x x y -=-，化简，得2114121x x x y -=， ○1 同理，抛物线在点B 处的切线方程为2224121x x x y -=. ○2 ………………6分联立方程○1○2，得22221141214121x x x x x x -=-，即))((41)(21212121x x x x x x x +-=-，因为21x x ≠，所以)(2121x x x +=，代入○1，得1214y x x m ==-，所以点12(,)2x x Q m +-，即(2,)Q k m -. 所以点Q 在直线y m =-上. ………………8分（Ⅲ）解：假设存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形，由四边形PEQF 为矩形，得EQ FQ ⊥，即AQ BQ ⊥，所以1-=⋅BQ AQ k k ，即1212121-=⋅x x . 由（Ⅱ），得1)4(414121-=-=m x x ，解得1m =.所以(0,1)P . ………………10分以下只要验证此时的四边形PEQF 为平行四边形即可. 在○1中，令0=y ，得)0,21(1x E .同理得)0,21(2x F .所以直线EP 的斜率为11221001x x k EP -=--=，直线FQ 的斜率12122221)1(0x x x x k FQ-=+---=， ………………12分所以FQ EP k k = ，即FQ EP //. 同理EQ PF //.所以四边形PEQF 为平行四边形.综上所述，存在点)1,0(P ，使得四边形PEQF 为矩形. ………………14分。

北京市2016年西城区中考二模数学试卷和参考答案 (1)

北京市西城区2016年初三二模试卷数学2016.6下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。

1.调查显示，2016年“两会”期间，通过手机等移动端设备对“两会”相关话题的浏览量高达115000000次.将115000000用科学记数法表示应为A.91.1510⨯B.11.510⨯７C.81.1510⨯D.81.152.“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产.下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为A B C D 3.下列各式中计算正确的是 A.246x x x ⋅=B.()2121m n m n -+=-+C.551023x x x +=D.()3322a a =4.有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形.在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色.为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为23，则下列各图中涂色方案正确的是A B C D5.利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16⊥于点E.6.如图，AB是⊙Ｏ的一条弦，直径CD AB若24,5,==则⊙Ｏ的半径为AB OEA.15B.13C.12D.107.如图，在一次定向越野活动中，“超越”小组准备从目前所在的A处前往相距2km的B处，则相对于A处来说，B处的位置是A.南偏西50 ，2kmB.南偏东50 ，2kmC.北偏西40 ，2kmD.北偏东40 ，2km8.教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则A和B分别代表的是A.分式，因式分解B.二次根式，合并同类项C.多项式，因式分解D.多项式，合并同类项9.某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过200元的商品，超过．．200元的部分可以享受打折优惠.若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过．．200元的部分可以享受的优惠是A.打八折B.打七折C.打六折D.打五折10.一级管道如图1所示，其中四边形ABCD是矩形，O是AC是中点，管道由,,,,,,,AB BC CD DA OA OB OC OD 组成，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器.一个机器人在管道内匀速行进，对管道进行检测.设机器人行进的时间为x ，机人与定位仪器之间的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则机器人的行进路线可能为图1 图2A.A O D →→B.B O D →→C.A B O -→→D.A D O →→二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.若20x +=，则xy 的值为.12.一个扇形的半径长为5，且圆心角为72 ，则此扇形的弧长为.13.有一张直角三角形纸片，记作△ABC ，其中90B ∠= .按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC 中，若1165∠= ，则2∠的度数为°.14.某班级进行了一次诗歌朗诵比赛，甲、乙两组学生的成绩如下表所示（满分10答：组（填“甲”或“乙”），理由是. 15.有一列有序数对：()()()()1,2,4,5,9,10,16,17,......,按此规律，第5对有序数对为；若在平面直角坐标系xOy 中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为.16.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,0，P 是第一象限内任意一点，连接,PO PA .若,POA m PAO n ∠=∠= ，则我们把(),m n 叫做点P 的“双角坐标”.例如，点()1,1的“双角坐标”为()45,90 .（1）点1,22⎛ ⎝⎭的“双角坐标”为；（2）若点P 到x 轴的距离为12，则m n +的最小值为. 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.计算：()()39222sin 30--+-+ .18.如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，且DC DB =.点E 在CD 的延长线上，且EBC ACB ∠=∠. 求证：AC EB =.19.先化简，再求值：x x 2-1¸x +22x -2-1x -1æèçöø÷，其中1x =.20.如图，在中，对角线,AC BD 相交于点O ，5,6,8AB AC BD ===.（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）过点A 作AH BC ⊥于点H ，求AH 的长.21.已知关于x 的方程224490x mx m -+-=.（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为12,x x ，其中12x x <.若1221x x =+，求m 的值.22.列方程或方程组解应用题：为祝贺北京成功获得2022年冬奥会主办权，某工艺品厂准备生产纪念北京申办冬奥会成功的“纪念章”和“冬奥印”.生产一枚“纪念章”需要用甲种原料4盒，乙种原料3盒；生产一枚“冬奥印”需要用甲种原料5盒，乙种原料10盒.该厂购进甲、乙两种原料分别为20000盒和30000盒，如果将所购进原料正好全部都用完，那么能生产“纪念章”和“冬奥印”各多少枚？23.在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数1ky x=的图象与一次函数2y ax b =+的图象交于点()1,3A 和()3,B m -. （1）求反比例函数1ky x=和一次函数2y ax b =+的表达式；（2）点C 是坐标平面内一点，//BC x 轴，AD BC ⊥交直线BC 于点D ，连接AC .若AC =，求点C 的坐标.24.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在CB 的延长线上，连接,,45AC AE ACB BAE ∠=∠= . （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若,3AB AD AC ADC ==∠=，求CD 的长.25.阅读下列材料：根据联合国《人口老龄化及其社会经济后果》中提到的标准，当一个国家或地区65岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7%时，意味着这个国家或地区进入老龄化.从经济角度，一般可用“老年人口抚养比”来反映人口老龄化社会的后果.所谓“老年人口抚养比”是指某范围人口中，老年人口数（65岁及以上人口数）与劳动年龄人口数（15-64岁人口数）之比，通常用百分比表示，用以表明每100名劳动年龄人口要负担多少名老年人. 以下是根据我国近几年的人口相关数据制作的统计图和统计表.2011-2014年全国人口年龄分布图根据以上材料解答下列问题：（1）2011年末，我国总人口约为亿，全国人口年龄分布表中m的值为；（2）若按目前我国的人口自然增长率推测，到2027年末我国约有14.60亿人.假设0-14岁人口占总人口的百分比一直稳定在16.5%，15-64岁人口一直稳定在10亿，那么2027年末我国0-14岁人口约为亿，“老年人口抚养比”约为；（精确到1%）（3）2016年1月1日起我国开始施行“全面二孩”政策，一对夫妻可生育两个孩子.在未来．．10．．年内．．，假设出生率显著提高，这（填“会”或“不会”）对我国的“老年人口抚养比”产生影响.26.【探究函数9y xx=+的图象与性质】（1）函数9y xx=+的自变量x的取值范围是；（2）下列四个函数图象中，函数9y x x=+的图象大致是；（3）对于函数9y x x=+，求当0x >时，y 的取值范围. 请将下面求解此问题的过程补充完整：解：∵x ＞09y x x∴=+22=+ 2=+.()23xx -≥0，y ∴.【拓展运用】（4）若函数259x x y x -+=，则y 的取值范围是.27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线211:44C y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线2:5l y x =-+与x 轴交于点A .（1）求抛物线211:44C y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为(),0t .过点B 作直线BD x ⊥轴交直线l 于点D ，交抛物线223:44C y ax ax t =--+于点E .设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥；（3）在（2）的条件下，若抛物线223:44C y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围.28.在等腰直角三角形ABC 中，,90AB AC BAC =∠= .点P 为直线AB 上一个动点（点P 不与点,A B 重合），连接PC ，点D 在直线BC 上，且PD PC =.过点P 作PE PC ⊥，点,D E 在直线AC 的同侧，且PE PC =，连接BE .（1）情况一：当点P 在线段AB 上时，图形如图1所示；情况二：如图2，当点P 在BA 的延长线上，且AP AB <时，请依题意补全．．．．．图．2．；（2）请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况．．．．．．，完成下列问题： ①求证：ACP DPB ∠=∠；②用等式表示线段,,BC BP BE 之间的数量关系，并证明.图1图229.在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，以及两个无公共点的图形1W 和2W ，若在图形1W 和2W 上分别存在点()11,M x y 和()22,N x y ，使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形1W 和2W 的一个“中位点”，此时,,P M N 三个点的坐标满足1212,22x x y y x y ++==. （1）已知点()()()()0,1,4,1,3,1,3,2A B C D --，连接,AB CD .①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为；②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是12,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标；（2）如图1，已知点()2,0R -和抛物线21:2W y x x =-，对于抛物线1W 上的每一个点M ，在抛物线2W 上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线2W ；（3）正方形EFGH 的顶点分别是()()()()4,1,4,1,2,1,2,1E F G H ------，⊙T 的圆心为()3,0T ，半径为1.请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积.图1图2北京市西城区2016年初三二模数学试卷参考答案 2016.6一、选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）11. -612. 2π13. 105°14. 理由包含表格所给信息，如：乙，乙组的平均成绩较高，方差较小，成绩相对稳定15. (25, 26)，y=x+116. (60°,60°)，90°三、解答题（第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17.原式=9+−8+5−2+2×12=9−8+5−2+1=518. 证明：∵DC=DB,∴∠DCB=∠DBC, ∵∠ACB=∠EBC∴∠ACD=∠EBD又∴∠CDA=∠BDE,CD=BD∴∆ACD≅∆EBD∴AC=EB19. 原式=x(x−1)(x+1)÷x+22x−1−22x−1=x(x−1)(x+1)÷x2(x−1)=x(x−1)(x+1)×2(x−1)x =2x+1=2−1+1=220. （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=CO=12AC=3,BO=DO=12BD=4，又∵AB=5∴AB2=AO2+BO2，∴BO⊥AO，又∵AO=CO ∴BA=BC，∴四边形ABCD是菱形.（2）∵BO⊥AO∴S∆ABC=12AC∙BO=12×6×4=12，又AH⊥BC，∴S∆ABC=12AH∙BC，∴12AH×5=12∴AH=24521. （1）证明：∵∇=(−4m)2−44m2−9=36>0∴此方程有两个不相等的实数根。

2016年北京高三二模解析大题理科

2016年北京高三二模解析大题（理科）1 ．（2016年北京市海淀区高三二模理）已知点1122(,),(,)(A x y D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点,,A D 两点在x 轴上的射影分别为点,B C ,且||2BC =.(Ⅰ)当点B 的坐标为(1,0)时,求直线AD 的斜率;(Ⅱ)记OAD ∆的面积为1S ,梯形ABCD 的面积为2S ,求证:1214S S <.2 ．（2016年北京市西城区高三二模理）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为24. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设过点)0)(,0(>m m B 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点,点B 关于原点的对称点为D ,若点D 总在以线段EF 为直径的圆内,求m 的取值范围.3 ．（2016年北京市东城区高三二模理）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点(2,1),且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设M ,)x y （是椭圆C 上的动点,P ,0)p （是X 轴上的定点,求MP 的最小值及取最小值时点M 的坐标. 4 ．（2016年北京市朝阳区高三二模理）在平面直角坐标系O x y 中,点000(,)(0)P x y y ≠在椭圆:C 2212x y +=上,过点P 的直线l 的方程为0012x xy y +=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点,试求OAB ∆面积的最小值;(Ⅲ)设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ,2F ,点Q 与点1F 关于直线l 对称,求证:点2,,Q P F三点共线.5 ．（2016年北京市丰台区高三二模理）已知椭圆C :22143x y +=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)若椭圆C 与直线y x m =+交于N M ,两点,且=||MN ,求m 的值; (Ⅲ)若点A 11(,)x y 与点22(,)P x y 在椭圆C 上,且点A 在第一象限,点P 在第二象限,点B 与点A 关于原点对称,求证:当22124x x +=时,三角形PAB ∆的面积为定值.6 ．（2016年北京市房山区高三二模理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,1),且长轴长. 过椭圆左焦点F 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,O 为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线AB 垂直于x 轴,判断点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)若点O 在以线段AB 为直径的圆内,求直线AB 的斜率k 的取值范围.7 ．（2016年北京市昌平区高三二模理）已知椭圆M :()222210x y a b a b+=>>的焦距为2,点(0,D在椭圆M上,过原点O作直线交椭圆M于A、B两点,且点A不是椭圆M的顶点,过点A作x 轴的垂线,垂足为H,点C是线段AH的中点,直线BC交椭圆M于点P,连接AP.(Ⅰ)求椭圆M的方程及离心率;(Ⅱ)求证:AB AP.答案1. 略2. 1222=+y x(Ⅱ)解:(方法一)当直线l 的斜率不存在时,由题意知l 的方程为0=x , 此时E ,F 为椭圆的上下顶点,且2=EF , 因为点(0,)D m -总在以线段EF 为直径的圆内,且0m >,所以10<<m . 故点B 在椭圆内当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=, 因为点B 在椭圆内, 所以直线l 与椭圆C 有两个公共点,即0)22)(12(4)4(222>-+-=∆m k km .设),(),,(2211y x F y x E ,则122421km x x k -+=+,21222221m x x k -=+设EF 的中点),(00y x G ,则12222210+-=+=k kmx x x ,12200+=+=k m m kx y , 所以)12,122(22++-k m k km G所以2222)12()122(m k m k km DG ++++-=124124224+++=k k k m , 2122124)(1x x x x k EF -++=12121222222+-++=k m k k因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内, 所以2EF DG <对于k ∈R 恒成立. 所以 1212121241242222224+-++<+++k m k k k k k m . 化简,得1323722422242++<++k k m k m k m , 整理,得31222++<k k m , 而2221221()113333k g k k k +==--=++≥(当且仅当0=k 时等号成立).所以312<m , 由0>m ,得330<<m . 综上,m 的取值范围是330<<m (方法二)则122421kmx x k -+=+,21222221m x x k -=+ 因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内, 所以0DE DF ⋅<因为11(,)DE x y m =+ ,22(,)DF x y m =+ , 所以2121212()DE DF x x y y m y y m ⋅=++++2121212()()()x x kx m kx m m kx m kx m m =++++++++ 221212(1)2()4k x x km x x m =++++22222224(1)2402121m km k km m k k --=+++<++,整理,得31222++<k k m (以下与方法一相同,略)3. 解:(Ⅰ)椭圆的的标准方程为12422=+y x(Ⅱ)222)(y p x MP +-=.因为 M(x,y)是椭圆C 上的动点,所以12422=+y x , 故 22)41(2222x x y -=-=.所以 222222211()222(2) 2.222x MP x p x px p x p p =-+-=-++=--+ 因为M(x,y)是椭圆C 上的动点, 所以 2≤x .(1) 若22≤p 即1≤p ,则当2x p =时MP 取最小值22p -, 此时M (2,p .(2)若1p >,则当2x =时,MP 取最小值2-p ,此时M )0,2(. (3)若1p <-,则当2x =-时,MP 取最小值2+p ,此时M )0,2(- 4. 解:(Ⅰ)e == (Ⅱ)因为直线l 与x 轴,y 轴分别相交于,A B 两点,所以000,0x y ≠≠.令0y =,由0012x x y y +=得02x x =,则02(,0)A x .令0x =,由0012x x y y +=得01y y =,则01(0,)B y .所以OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===. 因为点00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上,所以220012x y +=.所以220012x y =+≥.即002x y ≤,则001x y ≥所以00112OAB S OA OB x y ∆==≥当且仅当22002x y =,即001,x y =±=时,OAB ∆(Ⅲ)①当00x =时,(0,1)P ±.当直线:1l y =时,易得(1,2)Q -,此时21F P k =-,21F Q k =-. 因为22F Q F P k k =,所以三点2,,Q P F 共线. 同理,当直线:1l y =-时,三点2,,Q P F 共线. ②当00x ≠时,设点(,)Q m n ,因为点Q 与点1F 关于直线l 对称,所以000011,22202() 1.1212x m n y n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得000000240,220.x m y n x y m x n y +--=⎧⎨-+=⎩解得220002200000220044,448.4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩所以点22000000222200004448(,)44x x y x y y Q y x y x +-+++. 又因为200(1,)F P x y =- ,220000002222200004448(1,)44x x y x y y F Q y x y x +-+=-++ , 且 22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++ 2200000220048(448)4x y x x y y x --+-=⋅+222200000002222220000008484(2)84280444y x y x y y y y x y x y x --+-++-⨯+=⋅=⋅=⋅=+++. 所以2//F P 2F Q.所以点2,,Q P F 三点共线.5. 解:(Ⅰ)因为2,a b ==所以1c =,离心率12e =(Ⅱ)22,3412y x m x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 的并化简得22784120x mx m ++-= 2226428(412)16(213)0m m m ∆=--=->,设1122(,),(,)M x y N x y ,则||7MN ==,解得2m =±,且满足0∆>(Ⅲ)直线AB 的方程为11y y x x =,即110y x x y -=. 点22(,)P x y 到直线AB的距离d =,||AB =21211||||2PAB S AB d y x x y ∆===-,因为12120,0,0,0x x y y ><>>,2222112233(4),(4)44y x y x =-=-,12y y ==所以21212112||||||y x x y y x y x -=+21||)x x =2221)x x =+,=所以当22124x x +=时,三角形△PAB的面积为定值(Ⅲ)方法二:设直线AB 的方程为y kx =,即0kx y -=. 220,3412kx y x y -=⎧⎨+=⎩,解得2121234x k =+. 1||2|AB x ==点22(,)P x y )到直线AB的距离d =11221|||||||2PAB S AB d x x kx y ∆===-,因为12120,0,0,0x x y y ><>>,则0k >.所以1x =,2x ==21y x ===22kx y k -=⨯-=122||||PAB S x kx y ∆=-==. 所以三角形△PAB 的面积为定值6. 解:(Ⅰ)椭圆的标准方程为:2212x y +=(Ⅱ)由(Ⅰ)得(1,0)F -, 当直线AB 垂直于x 轴时,直线AB 的方程是1x =- 由22112x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得y =所以2AB y ==,又1OF c == 因为2AB OF < 所以点O 在以线段AB 为直径的圆外方法二:点,A B的坐标为((1,22---11cos ((1,1022OA OB OA OB AOB ⋅=∠=-⋅-=-=>所以 cos 0AOB ∠>,即AOB ∠为锐角.所以点O 在以线段AB 为直径的圆外 (Ⅲ)设直线AB 的方程为(1)y k x =+,11(,)A x y ,22(,)B x y ,由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +++-= 所以22121222422,2121k k x x x x k k -+=-=++ 方法一:因为点O 在以线段AB 为直径的圆内, 所以AOB ∠为钝角,所以0OA OB⋅<121212122221212224222(1)(1)(1)()2(1)(1)402121OA OB x x y y x x k x k x k x x k x x k k k k k k k⋅=+=+++=++++-+-=++<++ 整理得 22k <所以k <<方法二:线段AB 的中点00(,)M x y ,则212022221x x k x k +==-+,20222(1)2121k k y k k k =-+=++AB ==22121k k +==+OM == 因为点O 在以线段AB 为直径的圆内,所以2AB OM >所以224AB OM>所以22228(1)(21)k k ++42224(4)(21)k k k +>+ 422320k k --< 202k ≤<所以k <<7. 解:(I)所以椭圆M 的方程为22143x y +=,椭圆M 的离心率为12(II)设0011(,),(,)A x y P x y ,则0000(,),(,).2yB x yC x --由点,A P 在椭圆上,所以2200143x y +=① 2211143x y += ②点A 不是椭圆M 的顶点,②-①得 2210221034y y x x -=-- . 法一:又01001000332,,24PB BC y y y y k k x x x x +===+且点,,B C P 三点共线,所以10010034y y y x x x +=+, 即 0100104().3()y y y x x x +=+所以,22010101010220101010104()4()43()1,3()3()34AB PA y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x -+--====⨯-=--+--即 AB AP ⊥法二: 由已知AB 与AP 的斜率都存在,2210101022101010PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-==-+- 221022103()344x x x x --==--又003,4PB BC yk k x ==得00,PA x k y =-则0000()1AB PA y xk k x y -==- , 即 AB AP ⊥。

2016年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．若复数z满足z+z•i=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．2 B．C．3 D．25．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元7．如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）A．2 B．3 C．D．8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在二项式的展开式中，常数项等于______．10．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是______．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为______．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为______；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为______．13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=______；AE=______．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有______部优秀影片．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域．16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥EF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．18．设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．20．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+a k•20，其中a0=1，a1，a2，…，a k∈{0，1}，k∈N．对于n∈N*，数列{b n}满足：当a0，a1，…，a k中有偶数个1时，b n=0；否则b n=1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b5=0．（1）写出数列{b n}的前8项；（2）求证：数列{b n}中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n=1026的所有n的值．（结论不要求证明）2016年市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁U A=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁U A）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．若复数z满足z+z•i=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z+z•i=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内z对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由z+z•i=2+3i，得=，则在复平面内z对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由内角和定理与诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解．【解答】解：∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC=，又∵a=3，c=4，∴=，即=，∴sinA=，故选B．4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．2 B．C．3 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3，故选：C．5．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．即可判断出结论．【解答】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件．故选：A．6．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元【考点】函数的值．【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可．【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：，解得，∴f（x）=，故x=20时：f（20）=11.5，故选：A．7．如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）A．2 B．3 C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出m、n的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设B（x0，2+log2x0），A（m，n），C（x0，log2x0），∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴BC=2，2+log2m=n，∴m=2n﹣2，∴4m=2n；又x0﹣m=，∴m=x0﹣，∴x0=m+；又2+log2x0﹣n=1，∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1；∴m+=2n﹣1；2m+2=2n=4m，∴m=，故选：D．8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=2，圆心为：（2，0），半径为，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，∴只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故≤2，解得﹣16≤a≤4，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在二项式的展开式中，常数项等于160．【考点】二项式定理．【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：16010．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（，），由z=x+3y得：y=﹣x+，显然直线过A时，z最大，z的最大值是z=+3×=，故答案为：．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得i=2，S=1S=，i=3满足条件i＜10，执行循环体，i=5，S==，i=6满足条件i＜10，执行循环体，i=11，S=×=，i=12不满足条件i＜10，退出循环，输出S的值为．故答案为：．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=；AE=6．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用平行线的性质，求出；利用弦切角定理、切割线定理，求AE．【解答】解：∵BD∥AC，AC=4，BD=5∴==．由弦切角定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．所以BE=AC=4．由切割线定理，可得AE2=EB•ED=4×（4+5）=36，所以AE=6．故答案为：；6．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有10部优秀影片．【考点】进行简单的合情推理．【分析】记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．【解答】解：记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部．以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．故答案为：10．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）由α为第二象限角与sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与tanα的值，再代入f（α）中即可得到结果．（2）函数f（x）解析式利用二倍角和辅助角公式将f（x）化为一个角的正弦函数，根据x 的范围，即可得到函数值域．【解答】解：（1）∵α为第二象限角，且sina=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣，∴f（α）=（1+tanα）cos2α=（2）函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，化简f（x）=sin（2x+）+，∵x≠kπ+，k∈Z∴2x+≠2kπ+，k∈Z∴﹣1≤sin（2x+）≤1∴﹣≤f（x）≤∴f（x）的值域为[﹣，]16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量与其分布列；古典概型与其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率与人数，求和；（3）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值与概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，a=0.03，（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800=450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.035，学生人数约为0.35×1200=420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870，（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40=2，故X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 1 2 3P∴E（X）=1×+2×+3×=．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥EF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）由矩形性质得出EF⊥DF，EF⊥AF，故EF⊥平面AFD，得出EF⊥DG；（2）证明DG⊥平面ABEF，以G为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BCF的法向量的坐标，则GA与平面BCF所成角的正弦值为|cos＜＞|；（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），求出的坐标，令=0得出k与λ的关系，得出||关于λ的函数，根据λ的范围求出函数的最小值．【解答】（1）证明：∵E，F分别正方形ABCD的边BC，DA的中点，∴EF⊥DF，EF⊥AF，又DF⊂平面ADF，AF⊂平面ADF，DF∩AF=F，∴EF⊥平面ADF，∵DG⊂平面ADF，∴DG⊥EF．（2）∵DF=AF，∠DFA=60°，∴△ADF是等边三角形，∵G是AF的中点，∴DG⊥AF．又EF⊥DG，EF，AF⊂平面ABEF，AF∩EF=F，∴DG⊥平面ABEF．设BE中点为H，连结GH，则GA，GD，GH两两垂直，以G为原点，以GA，GH，GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）．C（0，4，），F（﹣1，0，0）．∴=（1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣2，﹣4，0）．设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=2得=（2，﹣，2）．∴=2，||=，||=1．∴cos＜，＞==．∴直线GA与平面BCF所成角的正弦值为．（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），则=（1，0，k），=（1，4，），∴=（λ，4λ，λ），∴=（λ﹣1，4λ，λ﹣k）．∵DG⊥平面ABEF，∴=（0，0，）为平面ABEF的一个法向量．∵PQ∥平面ABEF，∴，∴=（）=0，∴k=．∴||===．∴当λ=时，||取得最小值．18．设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值；（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a不存在最小值，讨论a=0，a＞0，a＜0，求得单调区间和极值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，x≠﹣a，可得函数f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为，由题意可得=3，解得a=±1；（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a不存在最小值，①a=0时，f（x）=无最小值，显然成立；②a＞0时，f（x）的导数为f′（x）=，可得f（x）在（﹣∞，﹣a）递减；在（﹣a，3a）递增，在（3a，+∞）递减，即有f（x）在x=3a处取得极大值，当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．取x1＜a，x2≠﹣a即可，当x1＜﹣a时，f（x）在（﹣∞，﹣a）递减，且x1＜x1+|x1+a|＜﹣a，f（x1）＞f（x1+|x1+a|），故存在x2=x1+|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）；同理当﹣a＜x1＜a时，令x2=x1﹣|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）也符合；则有当a＞0时，f（x2）＜f（x1）成立；③当a＜0时，f（x）在（﹣∞，3a）递减；在（3a，a）递增，在（﹣a，+∞）递减，即有f（x）在x=3a处取得极小值，当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．f（x）min=f（3a），当x1=3a时，不存在x2，使得f（x2）＜f（x1）．综上可得，a的范围是[0，+∞）．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|EF|=2，点B在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，又∵a2=b2+c2，解得a=，b=1，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2，∵点D总在以线段EF为直径的圆内，且m＞0，∴0＜m＜1，∴点B在椭圆内，由方程组，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆C有两个公共点，∴△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，设EF的中点G（x0，y0），则，，∴G（，），∴|DG|==，|EF|==，∵点D总位于以线段EF为直径的圆内，∴|DG|＜对于k∈R恒成立，∴，化简，得2m2k2+7m2k2+3m2＜2k4+3k2+1，整理，得，而g（k）==1﹣≥1﹣=，当且仅当k=0时，等号成立，∴m2，由m＞0，．解得0＜m＜，∴m的取值范围是（0，）．20．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+a k•20，其中a0=1，a1，a2，…，a k∈{0，1}，k∈N．对于n∈N*，数列{b n}满足：当a0，a1，…，a k中有偶数个1时，b n=0；否则b n=1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b5=0．（1）写出数列{b n}的前8项；（2）求证：数列{b n}中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n=1026的所有n的值．（结论不要求证明）【考点】数列递推式；数列的求和．×21+a k 【分析】（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，即可求出答案，（2）设数列{b n}中某段连续为1的项从b m开始，则b m=1．由题意，令m=a0×2k+a1×2k ﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，则a1，a2，…，a k中有奇数个1，分当a0=1，a1，a2，…，﹣1a k，中无0时，和当a0=1，a1，a2，…，a k，中有0时两种情况证明，（3）由（2）即可求出n的值．【解答】解：（1）数列{b n}的前8项为1，1，0，1，0，0，1，1．（2）设数列{b n}中某段连续为1的项从b m开始，则b m=1．由题意，令m=a0×2k+a1×2k ﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，﹣1则a1，a2，…，a k中有奇数个1．当a0=1，a1，a2，…，a k，中无0时，∵m=2k+2k﹣1+…+21+20，∴m+1=1×2k+1+0×2k+…+0×21+0×20，m+2=1×2k+1+0×2k+…+0×21+1×20，∴b m=1，b m+1=1，b m+2=0，此时连续2项为1，当a0=1，a1，a2，…，a k，中有0时，①若a k=0，即m=a0•2k+a+…+a+0×20则m+1=a0•2k+a+…+a+1×20，、∵a1，a2，…，a k中有奇数个1，∴b m+1=0，此时连续1项为1，②若a k=1，即m=a0•2k+a+…+0×2s+，则m+1=a0•2k+a+…+1×2s+，m+2=a0•2k+a+…+1×2s++1×20，（其中i∈N）如果s为奇数，那么，b m+1=1，b m+2=0，此时连续2项为1．如果s为偶数，那么b m+1=0，此时仅有1项b m=1．综上所述，连续为1的项不超过2项，（3）n=2051或n=2052．2016年9月18日。

2015-2016学年北京市西城区普通中学高二下学期6月期末模拟课堂测试数学(理科2)试卷

北京市西城区普通中学2016年6月高二数学（理科）人教B 版选修2-3测试卷本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知220n =A ，则n =( )A ．7B ．6C ．5D ．42. 有不同的红球5个，不同的白球4个. 从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有( ) A ．9种 B ．16种C ．20种D ．32种3．5(12)x +展开式的二项式系数和为（）A ．243B ．32C ．24D ．164. 甲、乙两组各有6人，现从每组中分别选出3人参加科普知识竞赛，则参加比赛人员的组成方式共有( ) A ．400种 B ．200种C ．40种D ．20种5. 5个人站成一排，甲、乙2人中间恰有1人的排法共有( )A ．72种B ．36种C ．18种D ．12种6. 在研究吸烟与患慢性支气管炎是否有关时，通过收集数据，整理、分析数据，得出“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是正确的. 则下列说法正确的是( )A ．100个吸烟者中至少有99个患慢性支气管炎B ．某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有慢性支气管炎C ．在100个吸烟者中一定有患慢性支气管炎的人D ．在100个吸烟者中可能一个患慢性支气管炎的人都没有7. 已知在10件产品中有2件次品，现从中任意抽取2件产品，则至少抽出1件次品的概率为( )A ．415B ．25C ．1745D ．28458. 从0，1，2，3，4这5个数字中选出4个不同的数字组成四位数，其中大于3200的数有( )A ．36个B ．30个C ．28个D ．24个9. 现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有( )A ．4种B ．6种C ．8种D ．12种10. 已知1~(8,)2X B ，当()(,08)P X k k k =∈≤≤N 取得最大值时，k 的值是( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11. 5(21)x +的展开式中2x 项的系数是 _____．12. 5个人站成一排，甲、乙、丙三人相邻的排法共有___________种（用数字作答）. 13. X 服从正态分布2(3,)N σ，若(4)0.2P X >=，则(23)P X <<=___ ____.14. 从某批产品中有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，设事件A =“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，且()0.91P A =．则从该批产品中任取1件是二等品的概率为________. 15. 随机变量X若1()3E X =，则()D X 的值是． 16. 若对于任意的实数x ，有2330123(1)(1)(1)a a x a x a x x+-+-+-=，则0a 的值为_______； 2a 的值为_______．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6.如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率.18. （本小题满分12分）一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球.（1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；（2）若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；（3）若有放回的取3次球，求取出黑球次数X的分布列及()E X.19. （本小题满分12分）已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为23．（1）求甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；（2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止.设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X，求X的分布列.参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. C;2.C ;3.B ;4.A;5. B;6. D;7. C;8. A;9. B; 10. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （一题两空的试题每空2分）11. 40 ; 12. 36 ; 13. 0.3 ; 14. 0.3 ; 15. 59; 16. 1，3. 三、解答题：本大题共3小题，共36分.（如有其他方法，仿此给分） 17. （本小题满分12分）解：记“甲第i 次复原成功”为事件i A ，“乙第i 次复原成功”为事件i B ，依题意，()0.8i P A =，()0.6i P B =．（1）“甲第三次才成功”为事件123A A A ，且三次复原过程相互独立， ………………3分所以，123123()()()()0.20.20.80.032P A A A P A P A P A ==⨯⨯=． ………………6分（2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件C ．所以11()1()P C P A B =-⋅． ………………9分111()()10.20.40.92P A P B =-⋅=-⨯=. ………………12分18. （本小题满分12分）解：设i A =“第i 次取到白球”， i B =“第i 次取到黑球”（1）每次均从6个球中取球，每次取球的结果互不影响，所以21()3P B =. ………………3分（2）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，所以，所求概率25P =. ………………6分（3）有放回的依次取出3个球，则取到黑球次数X 的可能取值为0,1,2,3. ………………7分三次取球互不影响，由（1）知每次取出黑球的概率均为13，所以，03328(0)()327P X C ===； 123124(1)()()339P X C ==⋅=； 2213122(2)()()339P X C ==⋅=； 33311(3)()327P X C ===. ………………9分………………10分这个试验为3次独立重复事件，X 服从二项分布，即1~(3,)3X B ，所以，()1E X =. ………………12分 19. （本小题满分12分）解：（1）设“甲投篮4次，恰有3次投进”为事件A ，则()31342132C 3381P A ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………3分（2）依题意，X 的可能取值为2,3,4,5,6. ………………4分111(2)339P X ==⨯=； ………………5分2112(3)33327P X ==⨯⨯=； ………………6分212112(4)()3333327P X ==+⨯⨯⨯=； ………………8分“5X =”表示投篮5次后终止投篮，即“最后两次投篮未进，第三次投中，第一次与第二次至少有一次投中”.所以2112116(5)13333243P X ⎡⎤⎛⎫==-⋅⋅⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭； ………………10分164(6)1[(2)(3)(4)(5)]243P X P X P X P X P X ==-=+=+=+==. ………………11分所以，所求X 的分布列为：………………12分。

北京市西城区高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

2016年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．若复数z满足z+z•i=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．2 B．C．3 D．25．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（）A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元7．如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）A．2 B．3 C．D．8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在二项式的展开式中，常数项等于______．10．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是______．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为______．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为______；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为______．13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=______；AE=______．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有______部优秀影片．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域．16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥EF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．18．设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．20．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+a k•20，其中a0=1，a1，a2，…，a k∈{0，1}，k∈N．对于n∈N*，数列{b n}满足：当a0，a1，…，a k中有偶数个1时，b n=0；否则b n=1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b5=0．（1）写出数列{b n}的前8项；（2）求证：数列{b n}中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n=1026的所有n的值．（结论不要求证明）2016年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁U A=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁U A）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．若复数z满足z+z•i=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z+z•i=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内z对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由z+z•i=2+3i，得=，则在复平面内z对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解．【解答】解：∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC=，又∵a=3，c=4，∴=，即=，∴sinA=，故选B．4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．2 B．C．3 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3，故选：C．5．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．即可判断出结论．【解答】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件．故选：A．6．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（）A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元【考点】函数的值．【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可．【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：，解得，∴f（x）=，故x=20时：f（20）=11.5，故选：A．7．如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）A．2 B．3 C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出m、n的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设B（x0，2+log2x0），A（m，n），C（x0，log2x0），∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴BC=2，2+log2m=n，∴m=2n﹣2，∴4m=2n；又x0﹣m=，∴m=x0﹣，∴x0=m+；又2+log2x0﹣n=1，∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1；∴m+=2n﹣1；2m+2=2n=4m，∴m=，故选：D．8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=2，圆心为：（2，0），半径为，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，∴只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故≤2，解得﹣16≤a≤4，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在二项式的展开式中，常数项等于160．【考点】二项式定理．【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：16010．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（，），由z=x+3y得：y=﹣x+，显然直线过A时，z最大，z的最大值是z=+3×=，故答案为：．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得i=2，S=1S=，i=3满足条件i＜10，执行循环体，i=5，S==，i=6满足条件i＜10，执行循环体，i=11，S=×=，i=12不满足条件i＜10，退出循环，输出S的值为．故答案为：．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=；AE=6．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用平行线的性质，求出；利用弦切角定理、切割线定理，求AE．【解答】解：∵BD∥AC，AC=4，BD=5∴==．由弦切角定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．所以BE=AC=4．由切割线定理，可得AE2=EB•ED=4×（4+5）=36，所以AE=6．故答案为：；6．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有10部优秀影片．【考点】进行简单的合情推理．【分析】记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．【解答】解：记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部．以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．故答案为：10．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）由α为第二象限角及sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα及tanα的值，再代入f（α）中即可得到结果．（2）函数f（x）解析式利用二倍角和辅助角公式将f（x）化为一个角的正弦函数，根据x 的范围，即可得到函数值域．【解答】解：（1）∵α为第二象限角，且sina=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣，∴f（α）=（1+tanα）cos2α=（2）函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，化简f（x）=sin（2x+）+，∵x≠kπ+，k∈Z∴2x+≠2kπ+，k∈Z∴﹣1≤sin（2x+）≤1∴﹣≤f（x）≤∴f（x）的值域为[﹣，]16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；（3）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，a=0.03，（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800=450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.035，学生人数约为0.35×1200=420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870，（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40=2，故X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，X∴E（X）=1×+2×+3×=．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥EF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）由矩形性质得出EF⊥DF，EF⊥AF，故EF⊥平面AFD，得出EF⊥DG；（2）证明DG⊥平面ABEF，以G为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BCF的法向量的坐标，则GA与平面BCF所成角的正弦值为|cos＜＞|；（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），求出的坐标，令=0得出k与λ的关系，得出||关于λ的函数，根据λ的范围求出函数的最小值．【解答】（1）证明：∵E，F分别正方形ABCD的边BC，DA的中点，∴EF⊥DF，EF⊥AF，又DF⊂平面ADF，AF⊂平面ADF，DF∩AF=F，∴EF⊥平面ADF，∵DG⊂平面ADF，∴DG⊥EF．（2）∵DF=AF，∠DFA=60°，∴△ADF是等边三角形，∵G是AF的中点，∴DG⊥AF．又EF⊥DG，EF，AF⊂平面ABEF，AF∩EF=F，∴DG⊥平面ABEF．设BE中点为H，连结GH，则GA，GD，GH两两垂直，以G为原点，以GA，GH，GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）．C（0，4，），F（﹣1，0，0）．∴=（1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣2，﹣4，0）．设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=2得=（2，﹣，2）．∴=2，||=，||=1．∴cos＜，＞==．∴直线GA与平面BCF所成角的正弦值为．（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），则=（1，0，k），=（1，4，），∴=（λ，4λ，λ），∴=（λ﹣1，4λ，λ﹣k）．∵DG⊥平面ABEF，∴=（0，0，）为平面ABEF的一个法向量．∵PQ∥平面ABEF，∴，∴=（）=0，∴k=．∴||===．∴当λ=时，||取得最小值．18．设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x 1，总存在x 2使得f （x 2）＜f （x 1），求a 的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f （x ）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a 的值；（2）对于定义域内的任意x 1，总存在x 2使得f （x 2）＜f （x 1），即为f （x ）在x ≠﹣a 不存在最小值，讨论a=0，a ＞0，a ＜0，求得单调区间和极值，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）函数f （x ）=的导数为f ′（x ）=，x ≠﹣a ，可得函数f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率为，由题意可得=3，解得a=±1；（2）对于定义域内的任意x 1，总存在x 2使得f （x 2）＜f （x 1），即为f （x ）在x ≠﹣a 不存在最小值， ①a=0时，f （x ）=无最小值，显然成立；②a ＞0时，f （x ）的导数为f ′（x ）=，可得f （x ）在（﹣∞，﹣a ）递减；在（﹣a ，3a ）递增，在（3a ，+∞）递减，即有f （x ）在x=3a 处取得极大值，当x ＞a 时，f （x ）＞0；x ＜a 时，f （x ）＜0．取x 1＜a ，x 2≠﹣a 即可，当x 1＜﹣a 时，f （x ）在（﹣∞，﹣a ）递减，且x 1＜x 1+|x 1+a |＜﹣a ，f （x 1）＞f （x 1+|x 1+a |），故存在x 2=x 1+|x 1+a |，使得f （x 2）＜f （x 1）；同理当﹣a ＜x 1＜a 时，令x 2=x 1﹣|x 1+a |，使得f （x 2）＜f （x 1）也符合；则有当a ＞0时，f （x 2）＜f （x 1）成立；③当a ＜0时，f （x ）在（﹣∞，3a ）递减；在（3a ，a ）递增，在（﹣a ，+∞）递减，即有f （x ）在x=3a 处取得极小值，当x ＞a 时，f （x ）＞0；x ＜a 时，f （x ）＜0． f （x ）min =f （3a ），当x 1=3a 时，不存在x 2，使得f （x 2）＜f （x 1）．综上可得，a 的范围是[0，+∞）．19．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点B （0，m ）（m ＞0）的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|EF|=2，点B在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，又∵a2=b2+c2，解得a=，b=1，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2，∵点D总在以线段EF为直径的圆内，且m＞0，∴0＜m＜1，∴点B在椭圆内，由方程组，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆C有两个公共点，∴△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，设EF的中点G（x0，y0），则，，∴G（，），∴|DG|==，|EF|==，∵点D总位于以线段EF为直径的圆内，∴|DG|＜对于k∈R恒成立，∴，化简，得2m2k2+7m2k2+3m2＜2k4+3k2+1，整理，得，而g（k）==1﹣≥1﹣=，当且仅当k=0时，等号成立，∴m2，由m＞0，．解得0＜m＜，∴m的取值范围是（0，）．20．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+a k•20，其中a0=1，a1，a2，…，a k∈{0，1}，k∈N．对于n∈N*，数列{b n}满足：当a0，a1，…，a k中有偶数个1时，b n=0；否则b n=1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b5=0．（1）写出数列{b n}的前8项；（2）求证：数列{b n}中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n=1026的所有n的值．（结论不要求证明）【考点】数列递推式；数列的求和．×21+a k 【分析】（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，即可求出答案，（2）设数列{b n}中某段连续为1的项从b m开始，则b m=1．由题意，令m=a0×2k+a1×2k ﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，则a1，a2，…，a k中有奇数个1，分当a0=1，a1，a2，…，﹣1a k，中无0时，和当a0=1，a1，a2，…，a k，中有0时两种情况证明，（3）由（2）即可求出n的值．【解答】解：（1）数列{b n}的前8项为1，1，0，1，0，0，1，1．（2）设数列{b n}中某段连续为1的项从b m开始，则b m=1．由题意，令m=a0×2k+a1×2k ﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，﹣1则a1，a2，…，a k中有奇数个1．当a0=1，a1，a2，…，a k，中无0时，∵m=2k+2k﹣1+…+21+20，∴m+1=1×2k+1+0×2k+…+0×21+0×20，m+2=1×2k+1+0×2k+…+0×21+1×20，∴b m=1，b m+1=1，b m+2=0，此时连续2项为1，当a0=1，a1，a2，…，a k，中有0时，①若a k=0，即m=a0•2k+a+…+a+0×20则m+1=a0•2k+a+…+a+1×20，、∵a1，a2，…，a k中有奇数个1，∴b m+1=0，此时连续1项为1，②若a k=1，即m=a0•2k+a+…+0×2s+，则m+1=a0•2k+a+…+1×2s+，m+2=a0•2k+a+…+1×2s++1×20，（其中i∈N）如果s为奇数，那么，b m+1=1，b m+2=0，此时连续2项为1．如果s为偶数，那么b m+1=0，此时仅有1项b m=1．综上所述，连续为1的项不超过2项，（3）n=2051或n=2052．2016年9月18日。

西城区2016届高三二模数学(文)试题及答案.

北京市西城区 2016年高三二模试卷数学(文科 2016.5第Ⅰ卷 (选择题共 40分一、选择题:本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 设全集 U =R ,集合 {|0}A x x =>, {|1}B x x =<,则集合 ( U A B = ð( (A (,0 -∞ (B (,0]-∞ (C (1, +∞(D [1, +∞2. 下列函数中,既是奇函数又在 R 上单调递减的是( (A 1y x=(B e xy -= (C 3y x =-(D ln y x =3. 设 x , y 满足约束条件 2, 1, 10, y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤ ≤ ≥ 则 3z x y =+的最大值是((A 43(B 73(C 13-(D 14.执行如图所示的程序框图,如果输出的 115S =,那么判断框内应填入的条件是( (A 3i < (B 4i < (C 5i <(D 6i <5. 在∆ABC 中, 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若 1 sin( 3A B +=, 3a =, 4c =, 则 sin A =((A 23(B 14(C 34(D 166. “ 0m n >>”是“曲线 221mx ny +=为焦点在 x 轴上的椭圆”的( (A 充分而不必要条件 (B 必要而不充分条件 (C 充分必要条件(D 既不充分也不必要条件7. 某市家庭煤气的使用量 x (m 3和煤气费 ( f x (元满足关系 , 0<,( (, . C x A f x C B x A x A ≤ ìïï=íï+->ïî已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表:若四月份该家庭使用了 20 m3的煤气,则其煤气费为( (A 11.5元 (B 11元 (C 10.5元 (D10元8. 设直线 l :340x y a ++=,圆 22 (2 2Cx y :-+=,若在直线 l 上存在一点 M ,使得过 M 的圆 C 的切线 MP , MQ (, P Q 为切点满足 90PMQ ? o ,则 a 的取值范围是((A [18,6]- (B [6-+ (C [16,4]- (D [66---+第Ⅱ卷 (非选择题共 110分二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30分 .9. 已知复数 (2i(1i z =-+,则在复平面内, z 对应点的坐标为 _____.10. 设平面向量 , a b 满足 ||||2==a b , ( 7⋅+=a a b ,则向量 , a b 夹角的余弦值为_____. 11. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为 _____.12. 设双曲线 C 的焦点在 x 轴上,渐近线方程为 2y x =±, 则其离心率为 ____; 若点 (4,2 在 C 上, 则双曲线 C 的方程为 ____.13. 设函数 22, 1, ( log , 1, x x f x x x -⎧<=⎨⎩≥ 那么 1[(]2f f -=____; 若函数 ( y f x k =-有且只有两个零点, 则实数 k 的取值范围是 _____.14. 在某中学的“校园微电影节”活动中,学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优 . 若 A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于 B 电影,则称 A 电影不亚于 B 电影 . 已知共有 5部微电影参展,如果某部电影不亚于其他 4部,就称此部电影为优秀影片 . 那么在这 5部微电影中,最多可能有 ____部优秀影片 .正(主视图侧(左视图俯视图三、解答题:本大题共 6小题,共 80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13分已知函数 2( (1cos f x x x =. (Ⅰ求函数 ( f x 的定义域和最小正周期;(Ⅱ当π(0, 2x ∈时,求函数 ( f x 的值域 .16.(本小题满分 13分已知数列 {}n a 的前 n 项和 n S 满足 432n n a S -=,其中 n *∈N . (Ⅰ求证:数列{}n a 为等比数列;(Ⅱ设 142n n b a n =-,求数列 {}n b 的前 n 项和 n T .17.(本小题满分 14分如图, 在周长为 8的矩形 ABCD 中, , E F 分别为 , BC DA 的中点 . 将矩形ABCD 沿着线段 EF 折起,使得 60DFA ∠=. 设 G 为 AF 上一点,且满足 //CF 平面 BDG .(Ⅰ求证:EF DG ⊥;(Ⅱ求证:G 为线段 AF 的中点;(Ⅲ求线段 CG 长度的最小值 .E A BC⇒EC18.(本小题满分 13分某中学有初中学生 1800人,高中学生 1200人 . 为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生” 和“ 高中学生” 分为两组, 再将每组学生的阅读时间 (单位:小时分为 5组:[0,10, [10,20, [20,30, [30,40, [40,50],并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图 .(Ⅰ写出 a 的值;(Ⅱ试估计该校所有学生中,阅读时间不小于 30个小时的学生人数;(Ⅲ从阅读时间不足 10个小时的样本学生中随机抽取 2人,求至少抽到 1名高中生的概率 .19.(本小题满分 13分已知函数 2( ( x af x x a -=+.(Ⅰ若 ( 1f a '=,求 a 的值;(Ⅱ设0a ≤ ,若对于定义域内的任意 1x ,总存在 2x 使得 21( ( f x f x <,求 a 的取值范围 .20.(本小题满分 14分已知抛物线 C :24x y =,过点 0(, 0(>m m P 的动直线 l 与 C 相交于 B A , 两点,抛物线 C 在点 A 和点 B 处的切线相交于点 Q ,直线 BQ AQ , 与 x 轴分别相交于点 F E , .(Ⅰ写出抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ求证:点 Q 在直线 y m =-上;(Ⅲ判断是否存在点 P ,使得四边形 PEQF 为矩形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在, 说明理由 . O 时间 (小时10 2030 40 50 高中生组O 时间 (小时10203040 50 初中生组第 11 页共 11 页。

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2016年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．若复数z满足z+z•i=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．2 B．C．3 D．25．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元7．如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）A．2 B．3 C．D．8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在二项式的展开式中，常数项等于______．10．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是______．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为______．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为______；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为______．13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=______；AE=______．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有______部优秀影片．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域．16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥EF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．18．设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．20．已知任意的正整数n 都可唯一表示为n=a 0•2k +a+…+a+a k •20，其中a 0=1，a 1，a 2，…，a k ∈{0，1}，k ∈N ．对于n ∈N *，数列{b n }满足：当a 0，a 1，…，a k 中有偶数个1时，b n =0；否则b n =1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b 5=0．（1）写出数列{b n }的前8项；（2）求证：数列{b n }中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{b n }的前n 项和为S n ，求满足S n =1026的所有n 的值．（结论不要求证明）2016年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁U A=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁U A）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．若复数z满足z+z•i=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z+z•i=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内z对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由z+z•i=2+3i，得=，则在复平面内z对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解．【解答】解：∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC=，又∵a=3，c=4，∴=，即=，∴sinA=，故选B．4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．2 B．C．3 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3，故选：C．5．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．即可判断出结论．【解答】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件．故选：A．6．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元【考点】函数的值．【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可．【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：，解得，∴f（x）=，故x=20时：f（20）=11.5，故选：A．7．如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）A．2 B．3 C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出m、n的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设B（x0，2+log2x0），A（m，n），C（x0，log2x0），∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴BC=2，2+log2m=n，∴m=2n﹣2，∴4m=2n；又x0﹣m=，∴m=x0﹣，∴x0=m+；又2+log2x0﹣n=1，∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1；∴m+=2n﹣1；2m+2=2n=4m，∴m=，故选：D．8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=2，圆心为：（2，0），半径为，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，∴只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故≤2，解得﹣16≤a≤4，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在二项式的展开式中，常数项等于160．【考点】二项式定理．【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：16010．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（，），由z=x+3y得：y=﹣x+，显然直线过A时，z最大，z的最大值是z=+3×=，故答案为：．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得i=2，S=1S=，i=3满足条件i＜10，执行循环体，i=5，S==，i=6满足条件i＜10，执行循环体，i=11，S=×=，i=12不满足条件i＜10，退出循环，输出S的值为．故答案为：．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=；AE=6．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用平行线的性质，求出；利用弦切角定理、切割线定理，求AE．【解答】解：∵BD∥AC，AC=4，BD=5∴==．由弦切角定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．所以BE=AC=4．由切割线定理，可得AE2=EB•ED=4×（4+5）=36，所以AE=6．故答案为：；6．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有10部优秀影片．【考点】进行简单的合情推理．【分析】记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．【解答】解：记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部．以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．故答案为：10．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）由α为第二象限角及sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα及tanα的值，再代入f（α）中即可得到结果．（2）函数f（x）解析式利用二倍角和辅助角公式将f（x）化为一个角的正弦函数，根据x 的范围，即可得到函数值域．【解答】解：（1）∵α为第二象限角，且sina=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣，∴f（α）=（1+tanα）cos2α=（2）函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，化简f（x）=sin（2x+）+，∵x≠kπ+，k∈Z∴2x+≠2kπ+，k∈Z∴﹣1≤sin（2x+）≤1∴﹣≤f（x）≤∴f（x）的值域为[﹣，]16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；（3）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，a=0.03，（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800=450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.035，学生人数约为0.35×1200=420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870，（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40=2，故X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，X∴E（X）=1×+2×+3×=．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥EF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）由矩形性质得出EF⊥DF，EF⊥AF，故EF⊥平面AFD，得出EF⊥DG；（2）证明DG⊥平面ABEF，以G为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BCF的法向量的坐标，则GA与平面BCF所成角的正弦值为|cos＜＞|；（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），求出的坐标，令=0得出k与λ的关系，得出||关于λ的函数，根据λ的范围求出函数的最小值．【解答】（1）证明：∵E，F分别正方形ABCD的边BC，DA的中点，∴EF⊥DF，EF⊥AF，又DF⊂平面ADF，AF⊂平面ADF，DF∩AF=F，∴EF⊥平面ADF，∵DG⊂平面ADF，∴DG⊥EF．（2）∵DF=AF，∠DFA=60°，∴△ADF是等边三角形，∵G是AF的中点，∴DG⊥AF．又EF⊥DG，EF，AF⊂平面ABEF，AF∩EF=F，∴DG⊥平面ABEF．设BE中点为H，连结GH，则GA，GD，GH两两垂直，以G为原点，以GA，GH，GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）．C（0，4，），F（﹣1，0，0）．∴=（1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣2，﹣4，0）．设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=2得=（2，﹣，2）．∴=2，||=，||=1．∴cos＜，＞==．∴直线GA与平面BCF所成角的正弦值为．（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），则=（1，0，k），=（1，4，），∴=（λ，4λ，λ），∴=（λ﹣1，4λ，λ﹣k）．∵DG⊥平面ABEF，∴=（0，0，）为平面ABEF的一个法向量．∵PQ∥平面ABEF，∴，∴=（）=0，∴k=．∴||===．∴当λ=时，||取得最小值．18．设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值；（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a不存在最小值，讨论a=0，a＞0，a＜0，求得单调区间和极值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，x≠﹣a，可得函数f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为，由题意可得=3，解得a=±1；（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a不存在最小值，①a=0时，f（x）=无最小值，显然成立；②a＞0时，f（x）的导数为f′（x）=，可得f（x）在（﹣∞，﹣a）递减；在（﹣a，3a）递增，在（3a，+∞）递减，即有f（x）在x=3a处取得极大值，当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．取x1＜a，x2≠﹣a即可，当x1＜﹣a时，f（x）在（﹣∞，﹣a）递减，且x1＜x1+|x1+a|＜﹣a，f（x1）＞f（x1+|x1+a|），故存在x2=x1+|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）；同理当﹣a＜x1＜a时，令x2=x1﹣|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）也符合；则有当a＞0时，f（x2）＜f（x1）成立；③当a＜0时，f（x）在（﹣∞，3a）递减；在（3a，a）递增，在（﹣a，+∞）递减，即有f（x）在x=3a处取得极小值，当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．f（x）min=f（3a），当x1=3a时，不存在x2，使得f（x2）＜f（x1）．综上可得，a的范围是[0，+∞）．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|EF|=2，点B在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，又∵a2=b2+c2，解得a=，b=1，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2，∵点D总在以线段EF为直径的圆内，且m＞0，∴0＜m＜1，∴点B在椭圆内，由方程组，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆C有两个公共点，∴△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，设EF的中点G（x0，y0），则，，∴G（，），∴|DG|==，|EF|==，∵点D总位于以线段EF为直径的圆内，∴|DG|＜对于k∈R恒成立，∴，化简，得2m2k2+7m2k2+3m2＜2k4+3k2+1，整理，得，而g（k）==1﹣≥1﹣=，当且仅当k=0时，等号成立，∴m2，由m＞0，．解得0＜m＜，∴m的取值范围是（0，）．20．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+a k•20，其中a0=1，a1，a2，…，a k∈{0，1}，k∈N．对于n∈N*，数列{b n}满足：当a0，a1，…，a k中有偶数个1时，b n=0；否则b n=1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b5=0．（1）写出数列{b n}的前8项；（2）求证：数列{b n}中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n=1026的所有n的值．（结论不要求证明）【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k﹣1×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，即可求出答案，（2）设数列{b n}中某段连续为1的项从b m开始，则b m=1．由题意，令m=a0×2k+a1×2k ﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，则a1，a2，…，a k中有奇数个1，分当a0=1，a1，a2，…，﹣1a k，中无0时，和当a0=1，a1，a2，…，a k，中有0时两种情况证明，（3）由（2）即可求出n的值．【解答】解：（1）数列{b n}的前8项为1，1，0，1，0，0，1，1．（2）设数列{b n}中某段连续为1的项从b m开始，则b m=1．由题意，令m=a0×2k+a1×2k ﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，﹣1则a1，a2，…，a k中有奇数个1．当a0=1，a1，a2，…，a k，中无0时，∵m=2k+2k﹣1+…+21+20，∴m+1=1×2k+1+0×2k+…+0×21+0×20，m+2=1×2k+1+0×2k+…+0×21+1×20，∴b m=1，b m+1=1，b m+2=0，此时连续2项为1，当a0=1，a1，a2，…，a k，中有0时，①若a k=0，即m=a0•2k+a+…+a+0×20则m+1=a0•2k+a+…+a+1×20，、∵a1，a2，…，a k中有奇数个1，∴b m+1=0，此时连续1项为1，②若a k=1，即m=a0•2k+a+…+0×2s+，则m+1=a0•2k+a+…+1×2s+，m+2=a0•2k+a+…+1×2s++1×20，（其中i∈N）如果s为奇数，那么，b m+1=1，b m+2=0，此时连续2项为1．如果s为偶数，那么b m+1=0，此时仅有1项b m=1．综上所述，连续为1的项不超过2项，（3）n=2051或n=2052．2016年9月18日。