北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件(共18张PPT)
13
6045 5
14
6042 0
60495 60480
60600 y/个 60500 60400
60300
60200
60100 60000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x/棵
议一议
何时橙子总产量最大
N
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中AB和AD分别在两直角边上. M (1)如果设矩形的一边AD=xcm,那 么AB边的长度如何表示？ C D 2 (2)设矩形的面积为ym ,当x取何值 时,y的值最大?最大值是多少?
xcm
30cm
┐
4 A bcm B 40cm 解 : 1设AB bcm,易得b x 40. 3 4 2 4 4 2y xb x x 40 x 40 x x 152 300. 3 3 3 b 4ac b 2 或用公式 : 当x 15时, y最大值 300. 2a 4a
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. M (1)设矩形的一边BC=xm,那么AB C H 边的长度如何表示？ B (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 D G 时,y的值最大?最大值是多少? ┐
30m
P
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 7 x x x x 解: 1 由4 y 7 x x 15, 得y
4
7 2 15 7 15 225 x x . x 2 2 2 14 56
2
y
“二次函数应用” 的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解 决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本 思路吗？与同伴交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.运用数学知识求解;
5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养 鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并 且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱 笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地 面积最大?最大面积是多少?
xm
y m2
2m
xm
正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR中,PQ=PR=5cm, QR=8cm,点D、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两 点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向 左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形 重合部分面积为Scm2，解答下列问题： (1)当t=3s时，求S的值； B A (2)当t=3s时，求S的值； (3)当5s≤t≤8s时，求S P M 与t的函数关系式，并求 S的最大值。
N
A N 解: 1 由勾股定理得MN 50m, PH 24m. 40m 12 设AB bm,易得b x 24. 25 12 12 2 2 12 x 25 300. 2y xb x x 24 x 24 x 25 25 25 2 b 4ac b 或用公式 : 当x 25时, y最大值 300. 2a 4a
北师大版九年级下册第二章《二次函数》
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中AB和AD分别在两直角边上. M (1) 设矩形的一边AB=xm,那么AD C 边的长度如何表示？ D (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 ┐ 时,y的值最大?最大值是多少?
30m
A
40m
l D Q C R
做一做
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现 准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？ (1)假设果园增种x棵橙子树,那 么果园共有多少棵橙子树？
B
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中AB和AD分别在两直角边上. (1)设矩形的一边AB=xm,那么AD 边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 时,y的值最大?最大值是多少?
M
30m
D ┐
C
bm
3 xm B A 解 : 1设AD bm,易得b x 30. 40m 4 3 2 3 3 2y xb x x 30 x 30 x x 202 300. 4 4 4 b 4ac b 2 或用公式 : 当x 20时, y最大值 300. 2a 4a
Y/个
60095 60180 60255 60320 60375 60420 60455 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
X/棵 6 Y/个 60420
7
6045 5
8
6048 0
9
6049 5
10
6050 0
11
12
（100+x）棵
何时橙子总产量最大
这时平均每棵树结多少个橙子？ (2)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
（600-5x）个
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量 y=(100+x)(600-5x)=-5x² +100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量 最多？X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
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北师大初中数学九下2.4二次函数的应用PPT课件1
议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子 树的棵数之间的关系.
y 100 x600 பைடு நூலகம்5x 5x2 100x 60000 5x 102 60500.
2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的 棵数之间的关系.? 3.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
X/棵 1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
1 3
14
Y/个
？ 你能根据表格中的数据作出猜想吗
做一做
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时 间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降 低1元,就可以多售出200件. 设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
北师大版 九年级（下）
4 二次函数的应用（2）
想一想
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在 某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单 价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
若你是商店经理,你需要多长时间定出这个销售单价?
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件
何值时，y的最大值是多少?
H
D
B
（2）.y＝xb＝x
﹣1225
x＋24
P┐ G A
N
＝﹣12
40cm
x 2＋24 x ＝﹣12（x－25）2＋300.
25
25
想一想
何时面积最大
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中
点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上.
（2）.设矩形的面积为ym2，当x取 M C
（1）.如果设矩形的一边AD ＝
M
30cm xcm
xcm，那么AB边的长度如何表示？ D
C
解：（1）设 AB＝bcm
易得 b＝﹣4 x＋40 3
┐ bcm
A
B
N
40cm
想一想
何时面积最大
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中 AB和AD分别在两直角边上.
（2）.设矩形的面积为ym2，当x取
所以，顶点坐标为：（﹣1，﹣7）， 对称轴为x ＝﹣1
想一想
何时面积最大
例1：如图，在一个直角三角形的内部作一个 矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
30cm
D
C
┐
A
B
N
40cm （1）.设矩形的一边AB ＝ xcm，那么AD边的长度如
何表示？
（2）.设矩形的面积为ym2 ，当x取何值时，y的最大值
M
或用公式：
当 x＝﹣ b ＝15 时，
2a
y最大值＝
4ac－b2 4a
＝300.
xcm
D
C
bcm
┐
A
B
N
北师大版九年级数学下册二次函数的应用(课件)
随堂练习
5.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元 /kg的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%, 运输费用是0.7元/kg,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝 售价至少定为 6元 才不会亏本; (2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(kg)与销 售单价x(元/kg)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价 定为 9元 时,每天获得的利润w最大.
∵-5000＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值． 当销售单价为 12 元时,可以获得最大利润,最大利润 是 20000 元.
探究新知
例2.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时， 每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金 每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑 其他因素，旅社将每间客房的日租 金提高到多少元时，客房日租金的 总收入最高？
销售额可表示为: x(70000-5000x)=70000x-5000x2 元;
(70000x-5000x2)-10(70000-5000x)
所获利润可表示为: ＝-5000x2+120000x-700000
元;
探究新知
y＝-5000x2+120000x-700000 =-5000(x- 12)2+20000.
随堂练习
4.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖 出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售 量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为 _(_3_0_-x_)_元，每日的销售量为__(2_0_+__x)_件，则每日的利润y(元)关于 x(元)的函数关系式是y=_-_x_2+__1_0_x+__6_0_0 (不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价_5__元时，每日获得 的最大利润为_6_2_5_元．
北师大版九年级数学下册课件：二次函数的应用
2=a b c，
1=4a 2b c，
a 1，
解得
b=2，
c=1.
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
知3－讲
知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式
例3 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0， 3)求这条抛物线的解析式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3) 代入得3=a(0-4)2-1,解得a= 1 ， ∴这条抛物线的解析
导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的值， 再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据“左加右减，上 加下减”得出抛物线对应的函数表达式，进而得出答案.
知4－讲
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， ∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)． 把点(0，－3)的坐标代入得：3a＝－3，解得a＝－1， 故抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x－3)， 即y＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， ∴顶点坐标为(2，1)．
B
N
2.y
xb
x
4 3
x
40
3
4 3
x2
40x3 x 202 ຫໍສະໝຸດ 300.4做一做2
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下
半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线
的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最
多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
y＝ax2＋c
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c
北师大版九年级下册第二章《二次函数》2.4二次函数的应用(共19张PPT)
A
B
40m
在上面的问题中，如果把矩形改 为如图所示的位置，其他条件不
M C
H
30m
变，那么矩形的最大面积是多少？ 你是怎么知道的？
DG P┐
A
B
N
40m
30m 30m
M
D
C
┐
A
40Bm
MC
H
D
B
N P┐ G A
N
40m
AB 20cm, AD 15cm ymax 300cm2
AD 25cm, AB 12cm ymax 300cm2
1、建立二次函数模型； 2、求出自变量的取值范围； 3、求解顶点坐标； 4、检验作答。
如图,在一个直角三角形的内部作
一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在 M
两直角边上.
(1) 设矩形的一边AB=xm,那么AD D
C
30m
边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 ┐
N
时,y的值最大?最大值是多少?
方 法 ,通 过 基 本技术 学习知和道裁,一判实个 践人,长使得学丑生陋具,备 组织一 般性比 赛的能 被 人 们 嘲 笑 时,
xx
y
“二次函数应用” 的思路
解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.运用数学知识求解; 5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.北师大版九年级下册第二章《 Nhomakorabea次函数》
学习目标
❖ 1、经历探索实际问题中最大面积等问题的过 程，体会二次函数是一类最优化的数学模型， 感受数学的应用价值。
新版北师大九年级下2.4二次函数的应用课件ppt
【解析】 （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意 得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200， 整理得x2－45x＋350＝0， 解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意 ， 所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米， 则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为
4.02m2.
1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，
并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这
两个正方形面积之和的最小值是
cm2．
【答案】 12.5 或 25
2
2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所 示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其
4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常 数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE， 作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y． （1）求y关于x的函数关系式. （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若 y 12 ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用 40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教 学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y． （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
解析：
由4 y 7 x x 15.
北师版九年级数学下册第2章教学课件：2.4二次函数的应用 (共15张PPT)
怎么解 这个问 题？
步感受了数学建模思想和数学知识的
应用价值．
四、强化训练
1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用 砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面 开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时, 养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
xm
ym2
xm
2m
四、强化训练
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
4
D
C
30m
bm
2y xb x 3 x 30 3 x2 30x ┐
N
4
4
3 x 202 300.
A xm B
40m
4
或用公式 :当x b 2a
20时, y最大值
4ac b2 4a
300.
一、新课引入个矩形 ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件(共18张PPT)
6050 0
60495
60480
6045 5
6042 0
60600 y/个
60500
60400
60300
60200
60100 60000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 14 x/棵
议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子 树的棵数之间的关系.
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
(2)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量 最多？X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值； (2)当t=3s时，求S的值； A
B
(3)当5s≤t≤8s时，求S 与t的函数关系式，并求
MP
S的最大值。
lD Q
C
R
做一做
何时橙子总产量最大
N
2y
xb
x
3
x
30
3
x2
30x
3 x 202
300.
4
4
4
或用公式 :当x
北师大版九年级下册数学2.4二次函数在几何方面的应用(共17张PPT)
y 22x4
已知3点，关系式一般设为： ∴B（2,0），C（0,4），OC=4,OB=2
2x 设P 下面我们一一来解决这些问题。 X, 22x4则OD=X,BD=2-X
如图，直线
PD= 2x2x4 与x轴、y轴分别交于点A、B，经过A、B的2抛物线与x轴的另一个交点为C（1,0）
1 1 （3）在线段AB上是否存在点Q，使以A、C、Q为顶点的三角形与△AOB相似？ 若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。
此题三个小题，每一小题都可单独成题。 那么，解决每一小题都需要哪些知识点？ 解决思路是什么？ 下面我们一一来解决这些问题。
求抛物线的关系式，每组选派代表讲解
1.已知二次函数 yax2bxc 与x轴交于
（1，0），（3,0），与y轴交于（0,3），
求抛物线关系式。
解：把 （1，0），（3,0），（0,3）代入
∴ Sss PDOCOD BDPD 1 2
2 2 二次函数中直角三角形、等腰三角形
x 相似三角形存在问题解题思路 2 24x4,(0x2)
s 顶点对式，列称二元方轴程组x；=1满足0<x<2,∴当x=1时， max 6
此时，P（1,4） 此题三个小题，每一小题都可单独成题。
二次函数中求面积、 线段最值问题的思路
如图,点P为第一象限内抛物线 y2x22x4
上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的
最大值 .
1.自行自考：
P
（1）解决此题你有几种方法？
（2）你的解题步骤是什么？
2. 小组讨论：二次函数中求面积、
线段最值问题的思路。
D
已知二次函数
解与x轴：交于过点P作PD⊥x轴交x轴于点D，
九年级数学下册北师大版课件：2.4二次函数的应用 (共17张PPT)精品
若你是商店经理,你需要多长时间定出这个销售单价?
解：提示：设销售单价为x元（x≥30），销售总利润为y元 Y=（x-20）[400-20（x-30）] =-20x2+1400x-20000 =-20（x-35）2+4500
•最新中小学课件
•14
小结与扩展
➢ 通过前面活动，这节课你学到了什么？
本节课我们进一步学习了用二次
A
B
与t的函数关系式，并求
MP
S的最大值。
lD Q
C
R
•最新中小学课件
•8
讲授正课
例2 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根 据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价 是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售 出200件.
请你帮助分析，商家售价 是多少时可以获利最多?
•最新中小学课件
•9
讲授正课
设销售价为x元(x≤13.5元),所获总利润为y元，那么
销售量可表示为 : 5 0 0 2 0 0 1 3 .5 x 件;
销售额可表示为: x50020013.5x 元;
一件T恤衫的利润为： (x-2.5)
元；
所获总利润可表示为: y=x 2 .5 5 0 0 2 0 0 1 3 .5 x 元;
(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙 子树？
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
总产量：y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
•最新中小学课件
•11
随堂练习
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
解：提示：设销售单价为x元（x≥30），销售总利润为y元 Y=（x-20）[400-20（x-30）] =-20x2+1400x-20000 =-20（x-35）2+4500
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小结与扩展
➢ 通过前面活动，这节课你学到了什么？
本节课我们进一步学习了用二次
A
B
与t的函数关系式，并求
MP
S的最大值。
lD Q
C
R
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讲授正课
例2 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根 据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价 是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售 出200件.
请你帮助分析，商家售价 是多少时可以获利最多?
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讲授正课
设销售价为x元(x≤13.5元),所获总利润为y元，那么
销售量可表示为 : 5 0 0 2 0 0 1 3 .5 x 件;
销售额可表示为: x50020013.5x 元;
一件T恤衫的利润为： (x-2.5)
元；
所获总利润可表示为: y=x 2 .5 5 0 0 2 0 0 1 3 .5 x 元;
(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙 子树？
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
总产量：y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
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果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量