【解析版】吴都中学2020—2021学年初二下期中数学试卷
2020-2021学年八年级下期中数学试卷及答案解析
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．式子“①3x +y ＝2；②3x ＞y ；③4x +2y ；④4x ﹣3y ≥1；⑤4x ＜0，”属于不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列计算正确的是（ ） A ．（−32）﹣1=32B ．1a+1b =2a+bC ．a 2−b 2a−b=a +bD ．（−120）0＝04．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 与CD 互相垂直平分 B ．CD 垂直平分ABC ．AB 垂直平分CDD ．CD 平分∠ACB5．下列各式中，正确的有（ ）①(3b 22a )3=3b 62a 3；②(2x x+y )2=4x 2x 2+y 2；③−a+b −a−b =a+b a−b ；④−x+y x−y =−1；⑤x+y x+y=0；⑥(x−y)−2(x+y)−2=(x+y)2(x−y)2． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，延长BC 到E ，使CE =12BC ，F 是AC 的中点，连接EF 并延长EF 交AB 于G ，BG 的垂直平分线分别交BG ，AD 于点M ，点N ，连接GN ，CN ，下列结论：①EG ⊥AB ；②GF =12EF ；③∠GNC ＝120°；④GN ＝GF ；⑤∠MNG ＝∠ACN ．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题．答对一题加10分，答错或不答一题扣5分，小辉在初赛得分超过160分顺利进入决赛．设他答对x 道题，根据题意，可列出关于x 的不等式为 ． 8．若关于x 的分式方程2x−3+x+m 3−x=2有增根，则m 的值为 ．9．如图所示，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，HG ＝24cm ，WG ＝8cm ，WC ＝6cm ，求阴影部分的面积为 cm 2．10．如图．网格上的小正方形边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上．若△DEF 是由△ABC 向右平移a 个单位，再向下平移b 个单位得到的．则ba 的值为11．不等式组﹣1＜x ＜4的整数解有 个．12．如图，已知点O 为△ABC 内角平分线的交点，过点O 作MN ∥BC ，分别交AB 于AC 点M 、N ，若AB ＝12，AC ＝14，则△AMN 的周长是 ．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13．（6分）计算题（1）分解因式：2x 2y ﹣8xy +8y （2）解方程：x x−1=3x 2−2x+114．（6分）先化简，再求值：（2−x−1x+1）÷x 2+6x+9x 2−1，其中x ＝2．15．（6分）如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （0，1），B （3，3），C （1，3）． （1）画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1． （2）①画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°的△A 2B 2C 2； ②直接写出点B 2的坐标为 ．16．（6分）是否存在这样的整数m ，使方程组{x +y =m +22x −y =5m +4的解满足x ≥0，y ＞0；若存在，求m 的取值；若不存在，请说明理由．17．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是CB 的中点，将△ACD 沿AD 折叠后得到△AED ，过点B 作BF ∥AC 交AE 的延长线于点F ．求证：BF ＝EF ．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18．（8分）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：的解；（2）不等式kx+b＜0的解集是；（3）当x时，kx+b≥mx﹣n；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．19．（8分）若一多项式除以2x2﹣3，得到的商式为x+4，余式为3x+2，求此多项式．20．（8分）若3x−5x2−2x−3=ax−3−bx+1（a，b为常数），求（a+2b）b的值．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？22．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B （b，0），且a、b满足a2﹣4a+4+√2b+2=0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证CF=12BC；②直接写出点C到DE的距离．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； B 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A ．2．式子“①3x +y ＝2；②3x ＞y ；③4x +2y ；④4x ﹣3y ≥1；⑤4x ＜0，”属于不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：式子“3x ＞y ；4x ﹣3y ≥1；4x ＜0，”属于不等式， 故选：B ．3．下列计算正确的是（ ） A ．（−32）﹣1=32B ．1a+1b=2a+bC ．a 2−b 2a−b=a +bD ．（−120）0＝0 【解答】解：A 、原式=−23，错误； B 、原式=a+bab ，错误； C 、原式=(a+b)(a−b)a−b =a +b ，正确；D 、原式＝1，错误； 故选：C ．4．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 与CD 互相垂直平分 B ．CD 垂直平分ABC ．AB 垂直平分CDD ．CD 平分∠ACB【解答】解：∵AC ＝AD ，BC ＝BD ， ∴AB 是线段CD 的垂直平分线， 故选：C ．5．下列各式中，正确的有（ ）①(3b 22a )3=3b 62a 3；②(2x x+y )2=4x 2x 2+y 2；③−a+b −a−b =a+b a−b ；④−x+y x−y =−1；⑤x+y x+y=0；⑥(x−y)−2(x+y)=(x+y)2(x−y)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①(3b 22a )3=27b 68a 3，故选项错误；②(2x x+y )2=4x 2x 2+2xy+y 2，故选项错误；③−a+b −a−b =a−b a+b，故选项错误；④−x+y x−y =−1，故选项正确；⑤x+y x+y=1，故选项错误；⑥(x−y)−2(x+y)=(x+y)2(x−y)，故选项正确；所以正确的有2个． 故选：B ．6．如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，延长BC 到E ，使CE =12BC ，F 是AC 的中点，连接EF 并延长EF 交AB 于G ，BG 的垂直平分线分别交BG ，AD 于点M ，点N ，连接GN ，CN ，下列结论：①EG ⊥AB ；②GF =12EF ；③∠GNC ＝120°；④GN ＝GF ；⑤∠MNG ＝∠ACN ．其中正确的个数是（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC，∵CE=12BC，F是AC的中点，∴CF＝CE，∴∠E＝∠CFE，∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，∴∠E＝30°，∴∠BGE＝90°，∴EG⊥AB，故①正确；②设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，∴FG=√3x，BE＝6x，Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3√3x，∴EF＝EG﹣FG﹣3√3x−√3x＝2√3x，∴GF=12EF，故②正确；③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，等边三角形ABC，∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BN＝CN，∵MN⊥AB，∴NH＝NM，∵MN是BG的垂直平分线，∴BN＝NG，∴BN＝CN＝NG，在Rt△NGM和Rt△NCH中，{MN=NHGN=NC，∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），∴∠GNM＝∠CNH，∴∠MNH＝∠CNG，∵∠ANM＝∠ANH＝60°，∴∠CNG＝120°，故③正确；④∵MN是BG的垂直平分线，∴BM＝MG=32x，∴AM＝x+32x=52x，等边△ABC中，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴MN=5√3x 6，∴GN=√GM2+MN2=(32x)2+(53x6)2=√39x2≠FG，故④不正确；⑤∵BN＝CN＝NG，∴∠DCN＝∠DBN，∠NBM＝∠NGM，∵∠ACN＝∠ACB﹣∠DCN＝60°﹣∠DBN＝∠ABN＝∠NGM，∵MG=32x，MN=5√36x，∴MG≠MN，∴∠NGM≠∠MNG，∴∠MNG≠∠ACN，故⑤不正确；其中正确的有：①②③，一共3个，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题．答对一题加10分，答错或不答一题扣5分，小辉在初赛得分超过160分顺利进入决赛．设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为10x﹣5（20﹣x）＞160．【解答】解：设他答对x道题，则答错或不答的题数为（20﹣x）道，根据题意，可列出关于x的不等式为10x﹣5（20﹣x）＞160，故答案为：10x﹣5（20﹣x）＞160．8．若关于x的分式方程2x−3+x+m3−x=2有增根，则m的值为﹣1．【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得2﹣x﹣m＝2（x﹣3）∵原方程增根为x＝3，∴把x＝3代入整式方程，得2﹣3﹣m＝0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．9．如图所示，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24cm，WG＝8cm，WC＝6cm，求阴影部分的面积为168cm2．【解答】解：∵直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，∴HG＝CD＝24，∴DW＝DC﹣WC＝24﹣6＝18，∵S阴影部分+S梯形EDWF＝S梯形DHGW+S梯形EDWF，∴S阴影部分＝S梯形DHGW=12（DW+HG）×WG=12×（18+24）×8＝168（cm2）．故答案为168．10．如图．网格上的小正方形边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上．若△DEF 是由△ABC 向右平移a 个单位，再向下平移b 个单位得到的．则ba 的值为23【解答】解：由图知△DEF 是由△ABC 向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的， ∴a ＝3、b ＝2， 则ba=23，故答案为：23．11．不等式组﹣1＜x ＜4的整数解有 4 个．【解答】解：在﹣1＜x ＜4范围内的整数只有0，1，2，3， 所以等式﹣1＜x ＜4的整数解有4个， 故答案为4．12．如图，已知点O 为△ABC 内角平分线的交点，过点O 作MN ∥BC ，分别交AB 于AC 点M 、N ，若AB ＝12，AC ＝14，则△AMN 的周长是 26 ．【解答】解：∵BO 平分∠ABC ， ∴∠MBO ＝∠CBO ， ∵MN ∥BC ， ∴∠MOB ＝∠CBO ， ∴∠MOB ＝∠MBO ， ∴OM ＝BM ， 同理CN ＝NO ，∴BM+CN＝MN，∴△AMN的周长是AN+MN+AM＝AN+CN+OM+ON＝AB+AC＝12+14＝26．故答案为：26．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．（6分）计算题（1）分解因式：2x2y﹣8xy+8y（2）解方程：xx−1=3x2−2x+1【解答】解：（1）原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2；（2）去分母得：2x＝﹣3x+2x﹣2，解得：x=−2 3，经检验x=−23是分式方程的解．14．（6分）先化简，再求值：（2−x−1x+1）÷x2+6x+9x2−1，其中x＝2．【解答】解：（2−x−1x+1）÷x2+6x+9x2−1=2(x+1)−(x−1)x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=2x+2−x+1x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=x+3 x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=x−1 x+3，当x＝2时，原式=2−12+3=15．15．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；②直接写出点B2的坐标为（﹣3，3）．【解答】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作； （2）①画如图，△A 2B 2C 2为所作；②点B 2的坐标为（﹣3，3）． 故答案为（﹣3，3）．16．（6分）是否存在这样的整数m ，使方程组{x +y =m +22x −y =5m +4的解满足x ≥0，y ＞0；若存在，求m 的取值；若不存在，请说明理由．【解答】解：解方程组{x +y =m +22x −y =5m +4得：{x =2m +2y =−m ，根据题意，得：{2m +2≥0−m ＞0，解得：﹣1≤m ＜0， 则整数m ＝﹣1．17．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是CB 的中点，将△ACD 沿AD 折叠后得到△AED ，过点B 作BF ∥AC 交AE 的延长线于点F ．求证：BF ＝EF ．【解答】证明：如图，连接DF，∵D是CB的中点，∴CD＝BD．∵将△ACD沿AD折叠后得到△AED，∴CD＝ED，∠AED＝∠C＝90°，∴BD＝ED，∠DEF＝90°，∵BF∥AC，∠C＝90°，∴∠CBF＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DBF＝∠DEF＝90°，在Rt△DBF和Rt△DEF中，{DF=DFDE=DB，∴Rt△DBF≌Rt△DEF（HL），∴BF＝EF．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．（8分）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：{y=2x−1y=−12x+32的解；（2）不等式kx+b＜0的解集是x＞3；（3）当x≤1时，kx+b≥mx﹣n；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．【解答】解：（1）把A （0，﹣1），P （1，1）分别代入y ＝mx ﹣n 得{−n =−1m −n =1，解得{m =2n =1，所以直线l 1的解析式为y ＝2x ﹣1，把P （1，1）、B （3，0）分别代入y ＝kx +b 得{k +b =13k +b =0，解得{k =−12b =32， 所以直线l 2的解析式为y =−12x +32，所以交点P 的坐标（1，1）是一元二次方程组{y =2x −1y =−12x +32的解； （2）不等式kx +b ＜0的解集为x ＞3； （3）当x ≤1时，kx +b ≥mx ﹣n ；（4）当y ＝0时，2x ﹣1＝0，解得x =12，则M 点的坐标为（12，0）；当x ＝0时，y =−12x +32=32，则N 点坐标为（0，32），所以四边形OMPN 的面积＝S △ONB ﹣S △PMB =12×3×32−12×（3−12）×1 ＝1．故答案为{y =2x −1y =−12x +32；x ＞3；≤1．19．（8分）若一多项式除以2x 2﹣3，得到的商式为x +4，余式为3x +2，求此多项式． 【解答】解：根据题意得：（2x 2﹣3）（x +4）+3x +2＝2x 3+8x 2﹣10． 20．（8分）若3x−5x 2−2x−3=a x−3−bx+1（a ，b 为常数），求（a +2b ）b 的值．【解答】解：a x−3−bx+1=ax+a−bx+3b(x−3)(x+1)=(a−b)x+a+3bx 2−2x−3，∵3x−5x 2−2x−3=a x−3−bx+1，∴{a −b =3a +3b =−5， 解得，{a =1b =−2，∴（a +2b ）b ＝[1+2×（﹣2）]﹣2＝（﹣3）﹣2=19．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x ﹣50）元， 由题意得：300x=4003x−50，解得：x ＝30，经检验，x ＝30是原方程的解且符合实际意义， 3x ﹣5═40，答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元； （2）设购买甲种品牌的消毒剂y 瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y ）瓶， 由题意得：30y +40（40﹣y ）＝1400， 解得：y ＝20， ∴40﹣y ＝40﹣20＝20，答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．22．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交y 轴、x 轴于点A （0，a ），点B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+4+√2b+2=0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证CF=12BC；②直接写出点C到DE的距离．【解答】解：（1）∵a2−4a+4+√2b+2=0，∴(a−2)2+√2b+2=0，∵（a﹣2）2≥0，√2b+2≥0，∴a﹣2＝0，2b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣1；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，Ⅰ、当∠BAC＝90°时，如图1，∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°， ∴AB ＝CB ，过点C 作CG ⊥OA 于G ， ∴∠CAG +∠ACG ＝90°， ∵∠BAO +∠CAG ＝90°， ∴∠BAO ＝∠ACG ， 在△AOB 和△BCP 中， {∠CGA =∠AOB =90°∠ACG =∠BAO AC =AB， ∴△AOB ≌△CGA （AAS ）， ∴CG ＝OA ＝2，AG ＝OB ＝1， ∴OG ＝OA ﹣AG ＝1， ∴C （2，1），Ⅱ、当∠ABC ＝90°时，如图2，同Ⅰ的方法得，C （1，﹣1）；即：满足条件的点C （2，1）或（1，﹣1） （3）①如图3，由（2）知点C （1，﹣1）， 过点C 作CL ⊥y 轴于点L ，则CL ＝1＝BO ，在△BOE 和△CLE 中， {∠OEB =∠LEC ∠EOB =∠ELC BO =CL， ∴△BOE ≌△CLE （AAS ）， ∴BE ＝CE ， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠BAO +∠BEA ＝90°， ∵∠BOE ＝90°， ∴∠CBF +∠BEA ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF ， 在△ABE 和△BCF 中， {∠BAE =∠CBF AB =BC ∠ABE =∠BCF， ∴△ABE ≌△BCF （ASA ）， ∴BE ＝CF ， ∴CF =12BC ；②点C 到DE 的距离为1．如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，由①知BE＝CF，∵BE=12BC，∴CE＝CF，∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠DCF，∵DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴CK＝CH＝1．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是60°；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是AC＝CD+CE．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，故答案为60°；②由（1）知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∴AC＝CE+CD，故答案为AC＝CE+CD；（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC=√2AC，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴√2AC＝CE+CD；（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∵∠DAE＝90°，∴∠BCE+∠DAE＝180°，∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，∵AC与DE交于点F，∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，即：当AF⊥DE时，AF最小，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AF最小=12AC＝4．。
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷附解析
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题纸上对应处）1．（3分）在，，，，中，分式的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（3分）今年某初中有近1千名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取50名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．这50名考生是总体的一个样本B．近1千名考生是总体C．每位考生的数学成绩是个体D．50名学生是样本容量3．（3分）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大9倍B．扩大3倍C．不变D．缩小3倍4．（3分）下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形5．（3分）如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B 是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C＝（）A．106°B．146°C．148°D．156°6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值为（）A．B．2C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处）7．（3分）当x＝时，分式的值为0．8．（3分）用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设．9．（3分）某班在大课间活动中抽查了10名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据（单位：次）：88，9l，93，102，108，117，121，130，146，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是．10．（3分）已知y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝．11．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则▱ABCD的周长为cm．12．（3分）若有意义，则m能取的最小整数值是．13．（3分）如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为．14．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝．15．（3分）已知点（x，y）为反比例函数y＝图象上的一点，若y≥1，则x的取值范围是．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）计算下面各题．（1）（）×﹣6（2）+2﹣﹣418．（12分）（1）解方程：+3＝．（2）已知x+y＝3，xy＝1，求的值．19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．20．（8分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（2）点B1的坐标为，点C2的坐标为．21．（8分）某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？22．（8分）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．（1）求证：FE＝FD；（2）若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE ＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．25．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象，A（1，4），B（4，m）是函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接AB，点C （﹣2，n）是函数y＝（x＜0）图象上的一点，点C关于y轴的对称点在y＝（x ＞0）图象上，连接AC，BC．（1）求m，n的值；（2）求BC所在直线的表达式；（3）求△ABC的面积．26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题纸上对应处）1．（3分）在，，，，中，分式的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，的分母中含有字母，因此是分式．故选：A．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．（3分）今年某初中有近1千名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取50名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．这50名考生是总体的一个样本B．近1千名考生是总体C．每位考生的数学成绩是个体D．50名学生是样本容量【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：A、这50名考生的数学成绩是总体的一个样本，故选项错误；B、近1千名考生的数学成绩是总体，故选项错误；C、每位考生的数学成绩是个体，正确；D、样本容量是：50，故选项错误；故选：C．【点评】本题考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．3．（3分）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大9倍B．扩大3倍C．不变D．缩小3倍【分析】把分式中的x和y都扩大3倍，就是用x变成3x，y变成3y，用3x，3y代替式子中的x、y，看所得的式子与原式之间的关系．【解答】解：分别用3x，3y代替式子中的x、y，得，即分式的值扩大3倍．故选：B．【点评】本题主要考查分式的化简，是一个中考中经常出现的问题．4．（3分）下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定即可一一判断．【解答】解：A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；故选：B．【点评】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（3分）如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B 是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C＝（）A．106°B．146°C．148°D．156°【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AB′，∠BAB′＝32°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B＝∠AB′B＝74°，然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，再根据平行线的性质计算得∠C＝180°﹣∠B＝106°．【解答】解：∵▱ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝32°，∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣32°）＝74°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣74°＝106°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的性质．6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值为（）A．B．2C．D．【分析】连接ME，依据MN垂直平分PE，可得MP＝ME，当MP∥BC时，四边形BCPM 是矩形，即可得到BC＝MP＝5，ME＝5，依据E＝3，可得AM＝4＝DP，即可得到t的值．【解答】解：如图，连接ME，∵MN垂直平分PE，∴MP＝ME，当MP∥BC时，四边形BCPM是矩形，∴BC＝MP＝5，∴ME＝5，又∵AE＝3，∴AM＝4＝DP，∴t＝4÷2＝2（s），故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处）7．（3分）当x＝﹣2时，分式的值为0．【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0，并且分母的值不为0．【解答】解：由分子x+2＝0，解得x＝﹣2，而x＝﹣2时，分母x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0．所以x＝﹣2．【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．8．（3分）用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设一个三角形中至少有两个钝角．【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．故答案为：一个三角形中至少有两个钝角．【点评】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．9．（3分）某班在大课间活动中抽查了10名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据（单位：次）：88，9l，93，102，108，117，121，130，146，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是0.4．【分析】根据频率＝求解即可．【解答】解：跳绳次数在90～110这一组的同学有4个，则频率＝4÷10＝0.4．故答案为：0.4．【点评】本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频率＝．10．（3分）已知y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝0．【分析】根据形如y＝（k≠0）是反比例函数，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值．【解答】解：∵y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，∴m﹣1＝﹣1．解得m＝0，故答案为：0．【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．11．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则▱ABCD的周长为16cm．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE＝DE，又由△CDE的周长为8cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△CDE的周长为8cm，即CD+DE+EC＝8cm，∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×8＝16cm．故答案为：16．【点评】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．12．（3分）若有意义，则m能取的最小整数值是2．【分析】根据被开方数大于等于0列式求出m的取值范围，再确定出m的值即可．【解答】解：由题意得，3m﹣6≥0，解得m≥2，所以，m能取的最小整数值2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13．（3分）如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为 6.5．【分析】首先利用勾股定理计算出AR的长，然后再根据三角形中位线定理计算出EF的长即可．【解答】解：∵∠D＝90°，DR＝5，AD＝12，∴AR＝，∵E、F分别是PA、PR的中点，∴EF＝AR＝6.5，故答案为：6.5．【点评】此题主要考查了勾股定理和三角形的中位线，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝1或﹣2．【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．【解答】解：方程两边都乘x（x﹣1）得，x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），整理得，（a+2）x＝3，当整式方程无解时，a+2＝0即a＝﹣2，当分式方程无解时：①x＝0时，a无解，②x＝1时，a＝1，所以a＝1或﹣2时，原方程无解．故答案为：1或﹣2．【点评】分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．15．（3分）已知点（x，y）为反比例函数y＝图象上的一点，若y≥1，则x的取值范围是0＜x≤4．【分析】根据反比例函数的性质，结合“y≥1”，得到x＞0，列出关于x的分式不等式，解之即可．【解答】解：∵反比例函数y＝，k＞0，∴当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，∵y≥1，∴x＞0，，解得：x≤4，综上可知：0＜x≤4，故答案为：0＜x≤4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3．【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC＝5，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可计算出CB′＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E＝∠B＝90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，∴CB′＝5﹣3＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2，∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴BE＝；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．综上所述，BE的长为或3．故答案为：或3．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）计算下面各题．（1）（）×﹣6（2）+2﹣﹣4【分析】（1）先算乘法，再合并同类二次根式即可；（2）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）（）×﹣6＝3﹣6﹣3＝﹣6；（2）+2﹣﹣4＝2+2﹣﹣4＝﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．18．（12分）（1）解方程：+3＝．（2）已知x+y＝3，xy＝1，求的值．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：（1）去分母得：1+3x﹣6＝x﹣1，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解；（2）∵x+y＝3，xy＝1，∴原式＝＝＝．【点评】此题考查了解分式方程，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．【分析】先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出m的值，从而可求出原式的值．【解答】解：原式＝（﹣）×＝×﹣×＝﹣＝，∵m≠±2，0，∴当m＝3时，原式＝3【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20．（8分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（2）点B1的坐标为（﹣2，﹣3），点C2的坐标为（2，﹣2）．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出点B1、C2的坐标．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，△A2B2C2如图所示；（2）B1（﹣2，﹣3），C2（2，﹣2）．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．（8分）某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为40%，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是144度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？【分析】（1）根据各项目百分比之和为1可得样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比，再用A的百分比乘以360度可得答案；（2）先求出调查的总人数，再根据A项目所占百分比求得其人数，即可补全条形图；（3）用该校学生总数乘以D项目所占百分比可得答案．【解答】解：（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为1﹣30%﹣10%﹣20%＝40%，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是360°×40%＝144°，故答案为：40%，144；（2）本次抽查的学生人数是：15÷30%＝50（人），则喜欢A项目的人数是：50×40%＝20（人），作图如下：（3）1000×20%＝200（人），答：根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是200人．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．22．（8分）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作（20﹣）天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【分析】（1）关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量＝1；（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；（3）关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用（2）得到的代数式求解．【解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，+＝1，解得：x＝30，经检验x＝30是原方程的解．∴x+30＝60，答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；故答案为：（20﹣）；（3）设甲单独做了y天，y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，解得：y≥36答：甲工程队至少要单独施工36天．【点评】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．（1）求证：FE＝FD；（2）若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到FE＝AB，根据直角三角形的性质得到FD ＝AC，等量代换即可；（2）根据平行线的性质得到∠EFC＝∠BAC＝24°，根据直角三角形的性质得到∠DFC ＝48°，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE＝AB，∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，∴FD＝AC，∵AB＝AC，∴FE＝FD；（2）解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝24°，∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，∴FD＝AF．∴∠ADF＝∠DAF＝24°，∴∠DFC＝48°，∴∠EFD＝72°，∵FE＝FD，∴∠FED＝∠EDF＝54°．【点评】本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD；（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．【解答】解：（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．又∵DE＝AC，∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝8，AO＝4．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝4．又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．25．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象，A（1，4），B（4，m）是函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接AB，点C （﹣2，n）是函数y＝（x＜0）图象上的一点，点C关于y轴的对称点在y＝（x ＞0）图象上，连接AC，BC．（1）求m，n的值；（2）求BC所在直线的表达式；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）先由点A确定k，再求m的值，根据关于y轴对称，确定k2再求n；（2）先设出函数表达式，再代入B、C两点，根据待定系数法即可得直线BC的表达式；（3）过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线构造矩形，△ABC的面积＝矩形面积﹣3个直角三角形的面积．【解答】解：（1）因为点A、点B在函数y＝（x＞0）图象上，∴k1＝1×4＝4，∴m×4＝k1＝4，∴m＝1，∵点C（﹣2，n）关于y轴的对称点在y＝（x＞0）图象上．∴对称点为（2，n），∴2×n＝4，∴n＝2；（2）设直线BC所在的直线表达式为y＝kx+b把B（4，1），C（﹣2，2）代入，得，解得，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+；（3）如图所示：过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线，它们的交点分别是E、F、B、G．∴四边形EFBG是矩形．则AF＝3，BF＝3，AE＝3，EC＝2，CG＝1，GB＝6，EG＝3∴S△ABC ＝S矩形EFBG﹣S△AFB﹣S△AEC﹣S△CBG＝BG×EG﹣AF×FB﹣AE×EC﹣BG×CG＝18﹣﹣3﹣3＝．【点评】本题考查了反比例函数的图形及性质、待定系数法确定一次函数解析式及三角形的面积．题目具有综合性．注意图形的面积可以用割补法也可以用规则的几何图形求和差．26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．【分析】（1）由已知代入点坐标即可；（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上∴k＝8∴y1＝∵a＝2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n解得∴y2＝x﹣2②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方∴由图象得：2＜x＜4（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO∵O为AA′中点S △AOB ＝S △ABA ′＝8∵点A 、B 在双曲线上∴S △AOC ＝S △BOD∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8由已知点A 、B 坐标都表示为（a ，）（3a ，） ∴解得k ＝6（3）由已知A （a ，），则A ′为（﹣a ，﹣）把A ′代入到y ＝﹣∴n ＝∴A ′D 解析式为y ＝当x ＝a 时，点D 纵坐标为∴AD ＝∵AD ＝AF ，∴点F 和点P 横坐标为∴点P 纵坐标为∴点P 在y 1═（x ＞0）的图象上【点评】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．。
2020-2021学年八年级下期中数学试题及答案解析
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A ．{x =0y =2B ．{x +y =0z +y =2C ．{x +y =01x+y =2D ．{x +y =0xy =22．如图是12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，现随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（ ）A ．56B ．512C ．59D ．7123．如图，∠DAC 是△ABC 的一个外角，AE 平分∠DAC ，且AE ∥BC ，则△ABC 一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．下列命题中，真命题是（ ） A ．两个锐角的和一定是钝角B ．相等的角是对顶角C ．垂线段最短D ．带根号的数一定是无理数 5．下列说法正确的是（ ）A ．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B ．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件C ．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为s 甲2、s 乙2，若x 甲=x 乙，s 甲2＝0.4，s 乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定 D ．一个抽奖活动中，中奖概率为120，表示抽奖20次就有1次中奖6．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD ＝CE ，∠D ＝74°，则∠B 的度数为（ ）A ．74°B ．32°C ．22°D ．16°7．已知方程组{2x −y +3=0ax −y +c =0的解为{x =−1y =1，则一次函数y ＝2x +3与y ＝ax +c 的图象的交点坐标是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（1，﹣1）C ．（2，﹣2）D ．（﹣2，2）8．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为5尺，那么索长（ ）尺． A ．25B ．20C ．15D ．1010．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在M 、N 的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AEN 等于（ ）A ．25°B ．50°C ．65°D ．70°11．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x 负的场数为y ，则可列方程组为（ ） A ．{x +y =83x −y =12B ．{x −y =83x −y =12C ．{x +y =183x +y =12D ．{x −y =83x +y =1212．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地（ ） A ．120kmB ．140kmC ．160kmD ．180km二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．14．甲乙两人同解方程组{ax +by =2cx −7y =8时，甲正确解得{x =3y =−2，乙因抄错c 而得{x =−2y =2，则a +c ＝ ．15．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为13，那么盒子内白色乒乓球的个数为 ．16．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那它停在4号板上的概率是 ．17．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系是 ．18．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知AB ∥CD ，∠BAE ＝78°，∠DCE ＝120°，则∠E 的度数是 ．三．解答题（共6小题，满分66分）19．（12分）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下：解： + ，得3x +4y ＝10，④ + ，得5x +y ＝11，⑤ 与 联立，得方程组 {3x +4y =10，④5x +y =11，⑤（1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m 、n 、p 、q 满足方程组{m +n +p +q =42(m +n)+3p −q =163(m +n)−2p +q =6，则m +n ﹣2p +q ＝ ．20．（10分）（1）解方程组：{x +2y =1，①3x −2y =11，②（2）计算：√4+|﹣2|+√−273+（﹣1）2016．21．（10分）（1）解方程组：{23x −34y =124(x −y)−3(2x +y)=17； （2）已知关于x 、y 的方程组{x −y =a +32x +y =5a 的解满足x ＞y ＞0，化简|a |+|3﹣a |．22．（12分）已知：如图，点D 、E 、F 、G 都在△ABC 的边上，DE ∥AC ，且∠1+∠2＝180° （1）求证：AD ∥FG ；（2）若DE 平分∠ADB ，∠C ＝40°，求∠BFG 的度数．23．（10分）小明和小刚用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由．若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？24．（12分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格进价（元/部）售价（元/部）A30003400B35004000某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？四．解答题（共2小题，满分30分）25．（14分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？26．（16分）探究与发现：【探究一】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD 的数量关系，并证明你探究的数量关系．【探究二】三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图②，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．【探究三】若将△ADC改成任意四边形ABCD呢？已知：如图③，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠BDC和∠ACD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系．2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A ．{x =0y =2B ．{x +y =0z +y =2C ．{x +y =01x+y =2D ．{x +y =0xy =2【解答】解：A 、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； B 、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C 、该方程组的第二个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D 、该方程组中的第二个方程的最高次数2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：A ．2．如图是12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，现随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（ ）A ．56B ．512C ．59D ．712【解答】解：如图所示：12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影， 则随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是：512．故选：B ．3．如图，∠DAC 是△ABC 的一个外角，AE 平分∠DAC ，且AE ∥BC ，则△ABC 一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【解答】证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1＝∠2，∵AE∥BC，∴∠1＝∠C，∠B＝∠2，∴∠B＝∠C，即AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．4．下列命题中，真命题是（）A．两个锐角的和一定是钝角B．相等的角是对顶角C．垂线段最短D．带根号的数一定是无理数【解答】解：A、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；C、垂线段最短，正确，是真命题，符合题意；D、带根号的数不一定是无理数，如√4，故原命题错误，不符合题意，故选：C．5．下列说法正确的是（）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x甲、x乙，方差分别为s甲2、s乙2，若x甲=x乙，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定D ．一个抽奖活动中，中奖概率为120，表示抽奖20次就有1次中奖【解答】解：了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项A 不符合题意；任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项B 不符合题意； 根据平均数和方差的意义可得选项C 符合题意； 一个抽奖活动中，中奖概率为120，表示中奖的可能性为120，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项D 不符合题意； 故选：C ．6．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD ＝CE ，∠D ＝74°，则∠B 的度数为（ ）A ．74°B ．32°C ．22°D ．16°【解答】解：∵CD ＝CE ，∠D ＝74°， ∴∠DEC ＝∠D ＝74°，∴∠C ＝180°﹣74°﹣74°＝32°， ∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ＝32°， 故选：B ．7．已知方程组{2x −y +3=0ax −y +c =0的解为{x =−1y =1，则一次函数y ＝2x +3与y ＝ax +c 的图象的交点坐标是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（1，﹣1）C ．（2，﹣2）D ．（﹣2，2）【解答】解：∵方程组{2x −y +3=0ax −y +c =0的解为{x =−1y =1，∴一次函数y ＝2x +3与y ＝ax +c 的图象的交点坐标是（﹣1，1）， 故选：A ．8．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：设袋中白球有x 个，根据题意得：xx+14=0.3，解得：x ＝6，经检验：x ＝6是分式方程的解， 故选：B ．9．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为5尺，那么索长（ ）尺． A ．25B ．20C ．15D ．10【解答】解：设索长x 尺，竿子长y 尺， 依题意，得：{x −y =5y −12x =5， 解得：{x =20y =15．故选：B ．10．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在M 、N 的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AEN 等于（ ）A ．25°B ．50°C ．65°D ．70°【解答】解：∵∠EFB ＝65°，AD ∥CB ， ∴∠DEF ＝65°，由折叠可得∠NEF ＝∠DEF ＝65°， ∴∠AEN ＝180°﹣65°﹣65°＝50°， 故选：B ．11．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x 负的场数为y ，则可列方程组为（ ） A ．{x +y =83x −y =12B ．{x −y =83x −y =12C ．{x +y =183x +y =12D ．{x −y =83x +y =12【解答】解：设这个队胜x 场，负y 场， 根据题意，得{x +y =83x −y =12．故选：A ．12．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地（ ） A ．120kmB ．140kmC ．160kmD ．180km【解答】解：设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，如图：设AB ＝xkm ，AC ＝ykm ，根据题意得： {2x +2y =210×2x −y +x =210， 解得：{x =140y =70．∴乙在C 地时加注行驶70km 的燃料，则AB 的最大长度是140km ．或者：设AC ＝ykm 即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足一下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C 回到A ．从A 到C ，甲、乙两车都行驶了AC ，即乙车耗油量为ykm ，也即甲车注入燃料量为ykm ，注入后甲车剩余ykm （刚好返回A 地），所以对于甲车，y +y +y ＝210，所以y ＝70．从乙车角度，从C 出发是满燃料，所以AB 为：105+70÷2＝140（km ）． 故选：B ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．14．甲乙两人同解方程组{ax +by =2cx −7y =8时，甲正确解得{x =3y =−2，乙因抄错c 而得{x =−2y =2，则a +c ＝ 2 ．【解答】解：{ax +by =2①cx −7y =8②把{x =3y =−2代入②得：3c +14＝8， 解得：c ＝﹣2，把{x =3y =−2和{x =−2y =2代入①得：{3a −2b =2−2a +2b =2， 解得：{a =4b =5，所以a +c ＝4+（﹣2）＝2， 故答案为：2．15．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为13，那么盒子内白色乒乓球的个数为 4 ．【解答】解：盒子内乒乓球的个数为2÷13=6（个）， 白色乒乓球的个数6﹣2＝4（个） 故答案为4．16．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那它停在4号板上的概率是116 ．【解答】解：因为4号板的面积占了总面积的116，故停在4号板上的概率为116，故答案为：116．17．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系是 ∠1﹣∠3+∠2＝180° ．【解答】解：∵CD∥EF，∴∠2+∠CEF＝180°，∵AB∥EF，∴∠1＝∠3+∠CEF，∴∠CEF＝∠1﹣∠3，∴∠2+∠1﹣∠3＝180°，即∠1﹣∠3+∠2＝180°．故答案为：∠1﹣∠3+∠2＝180°．18．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝78°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是42°．【解答】解：如图，延长DC交AE于F，∵AB∥CD，∠BAE＝78°，∴∠CFE＝78°，又∵∠DCE＝120°，∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝120°﹣78°＝42°．故答案为：42°．三．解答题（共6小题，满分66分）19．（12分）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下： 解： ① + ② ，得3x +4y ＝10，④ ② + ③ ，得5x +y ＝11，⑤ ⑤ 与 ④ 联立，得方程组 {3x +4y =10，④5x +y =11，⑤（1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m 、n 、p 、q 满足方程组{m +n +p +q =42(m +n)+3p −q =163(m +n)−2p +q =6，则m +n ﹣2p +q ＝ ﹣2 ．【解答】解：（1）方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下： 解：①+②，得3x +4y ＝10，④ ②+③，得5x +y ＝11，⑤ ⑤与④联立，得方程组 {3x +4y =10，④5x +y =11，⑤ 解得：{x =2y =1把{x =2y =1代入①得：2+1+z ＝2， 解得：z ＝﹣1，∴原方程组的解是{x =2y =1z =−1故答案为：①，②，②，③，⑤，④．（2）{m +n +p +q =4①2(m +n)+3p −q =16②3(m +n)−2p +q =6③②﹣①×2得：p ﹣3q ＝8④， ③﹣①×3得：﹣5p ﹣2q ＝﹣6⑤， 由④与⑤组成方程组{p −3q =8−5p −2q =−6解得：{p =2q =−2，代入①得：m +n ＝4 ∴m +n ﹣2p +q ＝﹣2 故答案为：﹣2．20．（10分）（1）解方程组：{x +2y =1，①3x −2y =11，②（2）计算：√4+|﹣2|+√−273+（﹣1）2016．【解答】解：（1）①+②得：4x ＝12， 解得：x ＝3；把x ＝3代入①得：y ＝﹣1， 则方程组的解为{x =3y =−1；（2）原式＝2+2﹣3+1 ＝4﹣3+1 ＝1+1 ＝2．21．（10分）（1）解方程组：{23x −34y =124(x −y)−3(2x +y)=17； （2）已知关于x 、y 的方程组{x −y =a +32x +y =5a 的解满足x ＞y ＞0，化简|a |+|3﹣a |．【解答】解：（1）原方程化为{8x −9y =6①2x +7y =−17②，①﹣②×4得：﹣37y ＝74， 解得y ＝﹣2，把y ＝﹣2代入①得x =−32，∴原方程组的解为{x =−32y =−2；（2）由方程组{x −y =a +32x +y =5a ，解得{x =2a +1y =a −2，由x ＞y ＞0，得{2a +1＞a −2a −2＞0，解得a ＞2，当2＜a ≤3时，|a |+|3﹣a |＝a +3﹣a ＝3； 当a ＞3时，|a |+|3﹣a |＝a +a ﹣3＝2a ﹣3．22．（12分）已知：如图，点D 、E 、F 、G 都在△ABC 的边上，DE ∥AC ，且∠1+∠2＝180° （1）求证：AD ∥FG ；（2）若DE 平分∠ADB ，∠C ＝40°，求∠BFG 的度数．【解答】证明：（1）∵DE ∥AC ∴∠2＝∠DAC ∵∠l +∠2＝180° ∴∠1+∠DAC ＝180° ∴AD ∥GF （2）∵ED ∥AC ∴∠EDB ＝∠C ＝40° ∵ED 平分∠ADB ∴∠2＝∠EDB ＝40° ∴∠ADB ＝80° ∵AD ∥FG∴∠BFG ＝∠ADB ＝80°23．（10分）小明和小刚用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由．若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？【解答】解：公平． 画树状图得：从表中可以得到：P 积为奇数=26=13，P 积为偶数=46=23， ∴小明的积分为26×2=23，小刚的积分为46×1=46=23．24．（12分）5G 时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A 、B 两种型号的5G 手机，进价和售价如表所示：型号价格进价（元/部）售价（元/部）A 3000 3400 B35004000某营业厅购进A 、B 两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A 、B 两种型号手机各多少部？（2）若营业厅再次购进A 、B 两种型号手机共30部，其中B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？【解答】解：（1）设营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为a 部、b 部， {3000a +3500b =32000(3400−3000)a +(4000−3500)b =4400， 解得，{a =6b =4，答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机（30﹣x）部，获得的利润为w元，w＝（3400﹣3000）x+（4000﹣3500）（30﹣x）＝﹣100x+15000，∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，∴30﹣x≤2x，解得，x≥10，∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，∴w随x的增大而减小，∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．四．解答题（共2小题，满分30分）25．（14分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟10米，乙在A地时距地面的高度b为30米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？【解答】解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），b＝15÷1×2＝30．故答案为：10；30；（2）当0≤x＜2时，y＝15x；当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y={15x(0≤x ＜2)30x−30(2≤x≤11)；（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y ＝10x+100（0≤x≤20）．当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．26．（16分）探究与发现：【探究一】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD 的数量关系，并证明你探究的数量关系．【探究二】三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图②，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．【探究三】若将△ADC改成任意四边形ABCD呢？已知：如图③，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠BDC和∠ACD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系2∠P＝∠B+∠A．【解答】解：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A．理由如下：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；探究二：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A．理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠ACD，∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，＝180°−12∠ADC−12∠ACD，＝180°−12（∠ADC+∠ACD），＝180°−12（180°﹣∠A），＝90°+12∠A；探究三：2∠P＝∠B+∠A．理由如下：∵DP，CP分别平分∠BDC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠BCD，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°−12∠ADC−12∠BCD＝180°−12（∠ADC+∠BCD）＝180°−12（360°﹣∠A﹣∠B）=12（∠A+∠B）．即2∠P＝∠B+∠A．故答案为：2∠P＝∠B+∠A．。
2020-2021学年八年级下学期期中数学试题及答案
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．等腰三角形一腰上的高与腰之比1：2，则等腰三角形顶角的度数为（）A．30°B．60°或120°C．30°或150°D．150°2．下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（）A．4，8，7B．2，2，2C．2，2，4D．13，12，5 3．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．104．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且P A平分∠BAC，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA5．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为（）A．14B．16C．20D．186．顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形7．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m9．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．四条边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形10．如图，在正方形ABCD所在平面内求一点P，使点P与正方形ABCD的任意两个顶点构成△P AB，△PBC，△P AD，△PCD均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）A．8个B．9个C．10个D．11个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，CD⊥AB，垂足为D，若BD＝1，则AD的长为．13．如图所示，△ABC和△DCB有公共边BC，且AB＝DC，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE＝DF，那么求证AC＝BD时，需要证明三角形全等的三角形是．14．如图，第1个图形有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形，……，则第2019个图形中有个三角形．15．顺次连接四边形ABCD各边的中点得到的四边形一定是．16．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于点H，则DH 的长为．17．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE 折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．18．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为．（用含a，b的代数式表示）三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）如图，在▱ABCD中，AE＝CF，求证：四边形DEBF是平行四边形．20．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，DA＝3，∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．21．（8分）有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？22．（10分）如图，▱ABCD的两条对角线相交于O点，过O点作OE⊥AB，垂足为E，已知∠DBA＝∠DBC，AB＝5．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若sin∠ADB=45，求线段OE的长．23．（10分）如图，在▱ABCD 中，点E 是BC 上的一点，连接DE ，在DE 上取一点F 使得∠AFE ＝∠ADC ．若DE ＝AD ，求证：DF ＝CE ．24．（10分）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？25．（12分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．点E ，F 分别在AD ，BC 上，点A与点C 关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点．（1）连接AF ，CE ，求证：四边形AFCE 是菱形；（2）当△PEF 的周长最小时，求DP CP 的值．26．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且∠ECF ＝45°，CF 的延长线交BA 的延长线于点G ，CE 的延长线交DA 的延长线于点H ，连接AC ，EF ，GH ．（1）填空：∠AHC ∠ACG ；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC ，AG ，AH 什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．等腰三角形一腰上的高与腰之比1：2，则等腰三角形顶角的度数为（）A．30°B．60°或120°C．30°或150°D．150°【解答】解：当该三角形为锐角三角形时，如图1，∵sin∠A=BDAB=12，∴∠A＝30°，即△ABC的顶角为30°；当该三角形为钝角三角形时，如图2，在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=BDAB=12，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝150°，即△ABC的顶角为150°；综上可知该三角形的顶角为30°或150°，故选：C．2．下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（）A．4，8，7B．2，2，2C．2，2，4D．13，12，5【解答】解：A、42+72≠82，故不为直角三角形；B、22+22≠22，故不为直角三角形；C、2+2＝4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、52+122＝132，故能构成直角三角形；故选：D．3．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．10【解答】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180＝1080，解得n＝8．∴这个多边形的边数是8．故选：C．4．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且P A平分∠BAC，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【解答】解：由已知得，AP＝AP，∠DAP＝∠EAP，∠ADP＝∠AEP所以符合AAS判定．故选：B．5．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为（）A．14B．16C．20D．18【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD＝BE+CE+CD＝BC+CD＝10，∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝20；故选：C．6．顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形【解答】解：如图，连接AC、BD．在△ABD中，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH=12BD，同理FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．7．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．8．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m【解答】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=√62+82=10米．所以大树的高度是10+6＝16米．故选：C．9．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．四条边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【解答】解：A、只有两组对边平行的四边形是平行四边形，故此选项错误；B、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项错误；C、四条边相等的四边形是菱形，此选项正确；D、根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；故选：C．10．如图，在正方形ABCD所在平面内求一点P，使点P与正方形ABCD的任意两个顶点构成△P AB，△PBC，△P AD，△PCD均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）A．8个B．9个C．10个D．11个【解答】解：分为三种情况：①正方形对角线的交点P1；②作AD边的垂直平分线MN，以点D为圆心，以DC为半径画弧，交MN于点P2和P3；以点C为圆心，以DC为半径画弧，交MN于点P4和P5，如图：③同理，作AB边的垂直平分线，分别以点A和点B为圆心，AD为半径画弧，与该垂直平分线也有4个交点．综上，符合题意的所有点P的个数为：1+4+4＝9（个）．故选：B．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为6．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°＝360°，解得n＝6．故答案为：6．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，CD⊥AB，垂足为D，若BD＝1，则AD的长为3．【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∴在Rt△BCD中，BC＝2BD＝2，∴在Rt△ABC中，AB＝2BC＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3，故答案为：3．13．如图所示，△ABC和△DCB有公共边BC，且AB＝DC，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE＝DF，那么求证AC＝BD时，需要证明三角形全等的三角形是Rt△ABE≌Rt△DCF，△AEC≌△DFB．．【解答】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，而AB＝DC，AE＝DF，∴Rt△ABE≌Rt△DCF，∴BE＝CF，∴EC＝BF，而AE＝DF，∴△AEC≌△DFB．故填空答案为：Rt△ABE≌Rt△DCF，△AEC≌△DFB．14．如图，第1个图形有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形，……，则第2019个图形中有8073个三角形．【解答】解：由图可得，第1个图形有1个三角形，第2个图形中有1+4＝5个三角形，第3个图形中有1+4+4＝1+4×2＝9个三角形，……，则第2019个图形中有：1+4×（2019﹣1）＝8073个三角形，故答案为：8073．15．顺次连接四边形ABCD各边的中点得到的四边形一定是平行四边形．【解答】解：连接BD，∵E、F、G、H分别是边AD、DC、BC、AB的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，EH=12BD，FG=12BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形．16．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于点H，则DH 的长为 4.8cm．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，∴AB＝5cm，∴S菱形ABCD=12AC•BD＝AB•DH，∴DH=AC⋅BD2AB=4.8cm．17．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE 折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为3或6．【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC=√82+62=10，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E＝∠B＝90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6，∴CB′＝10﹣6＝4，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴BE＝3；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝6．综上所述，BE的长为3或6．故答案为：3或6．18．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（a+b）．（用含a，b的代数式表示）【解答】解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四边形DMNT＝S△DKN=14a，∴正方形ABCD的面积＝4×14a+b＝a+b．故答案为（a+b）．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）如图，在▱ABCD中，AE＝CF，求证：四边形DEBF是平行四边形．【解答】证明：在▱ABCD中，则AB∥CD，AB＝CD，∵AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．20．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，DA＝3，∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．【解答】解：连接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√22+22=2√2，∵CD＝1，AD＝3，AC＝2√2，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四边形ABCD的面积：S＝S△ABC+S△ACD=12AB×BC+12×AC×CD=12×2×2+12×1×2√2=2+√2．21．（8分）有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC=√AE2+EC2=√62+82=10m，故小鸟至少飞行10m．22．（10分）如图，▱ABCD的两条对角线相交于O点，过O点作OE⊥AB，垂足为E，已知∠DBA＝∠DBC，AB＝5．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若sin∠ADB=45，求线段OE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠DBA＝∠DBC，∴∠ADB＝∠DBA，∴AD＝AB，∴四边形ABCD为菱形；（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AD＝AB＝5，OB＝OD，∵sin∠ADB=OAAD=45，∴OA＝4，∴OB＝OD=2−OA2=3，∵OE⊥AB，△OAB的面积=12AB×OE=12OA×OB，∴OE=OA×OBAB=4×35=125．23．（10分）如图，在▱ABCD中，点E是BC上的一点，连接DE，在DE上取一点F使得∠AFE＝∠ADC．若DE＝AD，求证：DF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠ADC，∴∠AFD＝∠C，在△AFD 和△DEC 中，{∠ADF =∠DEC∠AFD =∠C AD =DE，∴△AFD ≌△DCE （AAS ），∴DF ＝CE ．24．（10分）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？【解答】解：在Rt 三角形中，由勾股定理可知：AB =√BC 2+AC 2=√82+62=10． 由折叠的性质可知：DC ＝DE ，AC ＝AE ，∠DEA ＝∠C ．∴BE ＝4，∠DEB ＝90°．设DC ＝x ，则BD ＝8﹣x ．在Rt △BDE 中，由勾股定理得：BE 2+ED 2＝BD 2，即42+x 2＝（8﹣x ）2．解得：x ＝3．∴CD ＝3．25．（12分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．点E ，F 分别在AD ，BC 上，点A与点C 关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点．（1）连接AF ，CE ，求证：四边形AFCE 是菱形；（2）当△PEF 的周长最小时，求DP CP 的值．【解答】解：（1）证明：如图，连接AF ，CE ，AC 交EF 于点O∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC∴∠AEO ＝∠CFO ，∠EAO ＝∠FCO∵点A 与点C 关于EF 所在的直线对称∴AO ＝CO ，AC ⊥EF∵∠AEO ＝∠CFO ，∠EAO ＝∠FCO ，AO ＝CO∴△AEO ≌△CFO （AAS ）∴AE ＝CF ，且AE ∥CF∴四边形AFCE 是平行四边形，又∵AC ⊥EF∴四边形AFCE 是菱形；（2）如图，作点F 关于CD 的对称点H ，连接EH ，交CD 于点P ，此时△PEF 的周长最小∵四边形AFCE 是菱形∴AF ＝CF ＝CE ＝AE∵AF 2＝BF 2+AB 2∴AF 2＝（4﹣AF ）2+4∴AF =52∵AD ∥BC∴△DEP ∽△CHP∴DP CP =DE CH =35． 答：当△PEF 的周长最小时，DP CP 的值为35． 26．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且∠ECF ＝45°，CF 的延长线交BA 的延长线于点G ，CE 的延长线交DA 的延长线于点H ，连接AC ，EF ，GH ．（1）填空：∠AHC＝∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC=√42+42=4√2，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，AH AC =ACAG，∴AC2＝AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH=12•AH•AG=12AC2=12×（4√2）2＝16．∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC ＝GH 时，易证△AHG ≌△BGC ，可得AG ＝BC ＝4，AH ＝BG ＝8，∵BC ∥AH ，∴BC AH =BE AE =12， ∴AE =23AB =83．如图2中，当CH ＝HG 时，易证AH ＝BC ＝4（可以证明△GAH ≌△HDC 得到） ∵BC ∥AH ，∴BE AE =BC AH =1，∴AE ＝BE ＝2．如图3中，当CG ＝CH 时，易证∠ECB ＝∠DCF ＝22.5°．在BC 上取一点M ，使得BM ＝BE ， ∴∠BME ＝∠BEM ＝45°，∵∠BME ＝∠MCE +∠MEC ，∴∠MCE ＝∠MEC ＝22.5°，∴CM ＝EM ，设BM ＝BE ＝x ，则CM ＝EM =√2x ， ∴x +√2x ＝4，∴x ＝4（√2−1），∴AE ＝4﹣4（√2−1）＝8﹣4√2，综上所述，满足条件的m 的值为83或2或8﹣4√2．。
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．能使√x−1有意义的x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞1D．x≥1 2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6 3．下列计算正确的是（）A．2√3+3√2=5B．√8÷√2=2C．5√3×5√2=5√6D．√412=2√124．下列各式与√2是同类二次根式的是（）A．√8B．√24C．√27D．√125 5．已知a＜b，则化简二次根式√−a3b的正确结果是（）A．−a√−ab B．−a√ab C．a√ab D．a√−ab 6．下列各式属于最简二次根式的是（）A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 27．使代数式√2x+6有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣3B．x≤﹣3C．x＞﹣3D．﹣3＜x≤08．已知x−1x=2，则x2+1x2的值为（）A．2B．4C．6D．89．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A 点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（）A．√10B．4C．√17D．5二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．（判断对错）12．已知最简二次根式√7−2a与2√3可以合并，则a的值是．13．已知直角三角形的两边x，y的长满足|x﹣4|+√y−3=0，则第三边的长为．14．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．三．解答题（共8小题）16．计算：（1）(√6−2√15)×√3−6√1 2（2）(√2+1)2√32×√508．17．先化简，再求值（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=√2+1．18．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？19．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？20．四边形ABCD是长方形，将长方形ABCD折叠，如图①所示，点B落在AD边上的点E处，折痕为FG，将图②折叠，点C与点E重合，折痕为PH．（1）在图②中，证明：EH＝EP；（2）若EF＝6，EH＝8，FH＝10，求长方形ABCD的面积．21．阅读下列材料，并解决相应问题：√5−√3=√5+√3)(√5−√3)(√5+√3)=2(√5+√3)2=√5+√3用上述类似的方法解答问题：若a是√5的小数部分，求√5a的值．22．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP＝PC，AP ⊥PC．PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．（1）若AP=√5，AB=13BC，求矩形ABCD的面积；（2）若CD＝PM，求证：AC＝AP+PN．23．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是厘米/秒．（直接写出答案）2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．能使√x−1有意义的x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞1D．x≥1【解答】解：∵√x−1有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故选：D．2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．故选：C．3．下列计算正确的是（）A．2√3+3√2=5B．√8÷√2=2C．5√3×5√2=5√6D．√412=2√12【解答】解：A、2√3与3√2不能合并，所以A选项错误；B、原式=√8÷2=2，所以B选项正确；C、原式＝25√3×2=25√6，所以C选项错误；D、原式=√92=3√22，所以D选项错误．故选：B．4．下列各式与√2是同类二次根式的是（）A．√8B．√24C．√27D．√125【解答】解：（A）原式＝2√2，故A与√2是同类二次根式；（B）原式＝2√6，故B与√2不是同类二次根式；（C）原式＝3√3，故C与√2不是同类二次根式；（D）原式＝5√5，故D与√2不是同类二次根式；故选：A．5．已知a＜b，则化简二次根式√−a3b的正确结果是（）A．−a√−ab B．−a√ab C．a√ab D．a√−ab 【解答】解：∵√−a3b有意义，∴﹣a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，∴3b=−a√−ab．故选：A．6．下列各式属于最简二次根式的是（）A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 2【解答】解：A、√8含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；B、√x2+1符合最简二次根式的定义，故本选项正确；C、√y2含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；D、√12被开方数含分母，故本选项错误；故选：B．7．使代数式√2x+6有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣3B．x≤﹣3C．x＞﹣3D．﹣3＜x≤0【解答】解：∵代数式√2x+6有意义，∴2x+6＞0，∴x＞﹣3，故选：C．8．已知x−1x=2，则x2+12的值为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：原式＝（x−1x）2+2＝22+2＝6，故选：C．9．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．故选：B．10．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A 点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（）A．√10B．4C．√17D．5【解答】解：如图，它运动的最短路程AB=√(2+2)2+(22)2=√17，故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．√（判断对错）【解答】解：∵√12x=2√3x，∴若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3，故答案为：√．12．已知最简二次根式√7−2a与2√3可以合并，则a的值是2．【解答】解：由最简二次根式√7−2a与2√3可以合并，得7﹣2a＝3．解得a＝2，故答案为：2．13．已知直角三角形的两边x，y的长满足|x﹣4|+√y−3=0，则第三边的长为5或√7．【解答】解：∵|x−4|≥0，√y−3≥0，|=0，√y−3=0，∴|x−4即x＝4，y＝3，在直角三角形中，（1）边长为4的边是斜边，则第三边的长为√42−32=√7；（2）边长为4的边是直角边，则第三边即斜边的长为√32+42=5，故答案为5或√7．14．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是132+842＝852．【解答】解：∵第一个等式是：32+42＝52；第二个等式是52+122＝132；第三个等式是72+242＝252；第四个等式是92+402＝412；第五个等式是112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是：132+842＝852，故答案为：132+842＝852．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4√5．【解答】解：（i）如图1所示：当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE ＝90°．当B′C＝B′D时，AG＝DH=12DC＝8．由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，∴B′G=√B′E2−EG2=√132−52=12，∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，∴DB′=√B′H2+DH2=√42+82=4√5（ii）如图2所示：当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B 重合）．（iii）当CB′＝CD时，∵EB＝EB′，CB＝CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为16或4√5．故答案为：16或4√5．三．解答题（共8小题）16．计算：（1）(√6−2√15)×√3−6√1 2（2）(√2+1)2√32×√508．【解答】解：（1）原式=√6×3−2√15×3−3√2＝3√2−6√5−3√2＝﹣6√5；（2）原式＝2+2√2+1−√32×508＝3+2√2−10√2＝3﹣8√2．17．先化简，再求值（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=√2+1．【解答】解：（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6=x+3−4x+3⋅2(x+3) (x−1)2=x−11⋅2(x−1)2=2x−1，当x=√2+1时，原式=2+1−1=√2．18．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？【解答】解：BM＝8×2＝16海里，BP＝15×2＝30海里，在△BMP中，BM2+BP2＝256+900＝1156，PM2＝1156，BM2+BP2＝PM2，∴∠MBP＝90°，180°﹣90°﹣60°＝30°，故乙船沿南偏东30°方向航行．19．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC 为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l ，b ．h 的长方体纸箱装满了一层高为h 的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？【解答】解：（1）由题意，⊙O 是△ABC 内接圆，D 为切点，如图1，连结OD ，OC ．设⊙O 半径为r ，纸盒长度为h '，则CD =√3r ，BC ＝2√3r 则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：2√34(2√3r)2ℎ′#/DEL/#=√39π#/DEL/#（若设△ABC 的边长为a 112πa 2√34a =√39π） （2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：l 2r ⋅b 2r ⋅πr 2ℎlbℎ=π4；（3）∵√39ππ4=4√39=√4881＜1 ∴第二种包装的空间利用率大．20．四边形ABCD是长方形，将长方形ABCD折叠，如图①所示，点B落在AD边上的点E处，折痕为FG，将图②折叠，点C与点E重合，折痕为PH．（1）在图②中，证明：EH＝EP；（2）若EF＝6，EH＝8，FH＝10，求长方形ABCD的面积．【解答】（1）证明：如图2，由折叠得：∠CHP＝∠EHP，∵EG∥BC，∴∠EPH＝∠CHP，∴∠EHP＝∠EPH，∴EP＝EH；（2）解：∵EF＝6，EH＝8，FH＝10，∴∠FEH＝90°，∴S△EFH=12EF×EH＝24，由折叠得：BF＝EF＝6，CH＝EH＝8，∴BC＝BF+FH+HC＝6+10+8＝24，过E作EM⊥BC于M，∴S△EFH=12FH×EM＝24，∴FH×EM＝48，∵FH＝10，∴EM＝4.8，∴S矩形ABCD＝BC×EM＝115.2．21．阅读下列材料，并解决相应问题： √5−√3=√5+√3)(√5−√3)(√5+√3)=2(√5+√3)2=√5+√3 用上述类似的方法解答问题：若a 是√5的小数部分，求√5a 的值． 【解答】解：∵2＜√5＜3，a 是√5的小数部分，∴a =√5−2， ∴√5a =√5√5−2=√5(√5+2)(√5−2)(√5+2)=5+2√5． 22．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线．点P 为矩形外一点且满足AP ＝PC ，AP⊥PC ．PC 交AD 于点N ，连接DP ，过点P 作PM ⊥PD 交AD 于M ．（1）若AP =√5，AB =13BC ，求矩形ABCD 的面积；（2）若CD ＝PM ，求证：AC ＝AP +PN ．【解答】（1）解：∵AP ⊥CP 且AP ＝CP ，∴△APC 为等腰直角三角形，∵AP =√5，∴AC =√10，∵AB =13BC ，∴设AB ＝x ，BC ＝3x ，∴在Rt △ABC 中， x 2+（3x ）2＝10，10x 2＝10，x＝1，∴S ABCD＝AB•BC＝1×3＝3；（2）解：延长AP，CD交于Q，∵∠1+∠CND＝∠2+∠PNA＝90°，且∠CND＝∠ANP，∴∠1＝∠2，又∠3+∠5＝∠4+∠5＝90°，∴∠3＝∠4，在△APM和△CPD中∵{∠1=∠2 AP=CP ∠3=∠4，∴△APM≌△CPD（ASA），∴DP＝PM，又∵CD＝PM，∴CD＝PD，∴∠1＝∠4＝∠3，∵∠1+∠Q＝∠3+∠6＝90°∴∠Q＝∠6∴DQ＝DP＝CD∴D为CQ中点，又∵AD⊥CQ∴AC＝AQ＝AP+PQ，在△APN和△CPQ中∵{∠1=∠2AP=CP∠APC=∠CPQ，∴△APN≌△CPQ（ASA），∴PQ＝PN∴AC＝AP+PQ＝AP+PN．23．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是 3.8或2.6厘米/秒．（直接写出答案）【解答】解：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：…（1分）∵V N＝V M＝3厘米/秒，且t＝2秒，∴CM＝2×3＝6（cm）BN＝2×3＝6（cm）BM＝BC﹣CM＝10﹣6＝4（cm）∴BN＝CM…（1分）∵CD＝4（cm）∴BM＝CD…（1分）∵∠B＝∠C＝60°，∴△BMN≌△CDM．（SAS）…（1分）②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：Ⅰ．当∠NMB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∴BN＝2BM，…（1分）∴3t＝2×（10﹣3t）∴t=209（秒）；…（1分）Ⅱ．当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∴BM＝2BN，…（1分）．∴10﹣3t＝2×3t∴t=109（秒）．…（1分）∴当t=209秒或t=109秒时，△BMN是直角三角形；（2）分两种情况讨论：I．若点M运动速度快，则3×25﹣10＝25V N，解得V N＝2.6；Ⅱ．若点N运动速度快，则25V N﹣20＝3×25，解得V N＝3.8．故答案是3.8或2.6．…（2分）。
2020-2021学年八年级下学期期中数学试题及答案解析
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）以长度分别为下列各组数的线段为边，构成的三角形不是直角三角形的是（ ）A ．6，8，10B ．7，24，25C ．√5，√3，√2D ．1.5，2，33．（3分）已知函数y ={x 2+1(x ＜2)10x(x ≥2)，当y ＝6时，x 的值是（ ） A ．−√5 B ．53 C ．−√5或√5 D ．√5或53 4．（3分）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y ＝ax ②y ＝bx ③y ＝cx ，将a ，b ，c 从小到大排列为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a5．（3分）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AB ≠AD ，过点O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ，若△CDE 的周长为10，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．14B ．16C ．20D ．186．（3分）用“配方法”解一元二次方程x 2﹣16x +24＝0，下列变形结果，正确的是（ ）A ．（x ﹣4）2＝8B ．（x ﹣4）2＝40C ．（x ﹣8）2＝8D ．（x ﹣8）2＝407．（3分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 边上的中点，若OE ＝2，AD ＝5，则▱ABCD 的周长为（ ）A．9B．16C．18D．208．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝6009．（3分）如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，F A，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO=12AC C．AC⊥BE D．AE＝AF10．（3分）小刘下午5点30分放学匀速步行回家，途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，6点20分到家，已知小刘家距学校3千米，下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S（千米）与离校的时间t（分钟）之的关系的是（）A．B．C ．D ．11．（3分）若关于x 的方程kx 2﹣x +3＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ≤12B ．k ≤112C ．k ≤12且k ≠0D ．k ≤112且k ≠0 12．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AD =√2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ， 其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）若√1−x x有意义，则自变量x 的取值范围是 ． 14．（3分）若m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣3＝0的解，则代数式4m ﹣2m 2+2的值是 ．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝50°，点E 在CD 上，若AE ＝AC ，则∠BAE＝ °．16．（3分）已知正比例函数y ＝kx 的图象经过点A （﹣4，3），则函数图象经过 象限．17．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16，AD ＝12，E 为AB 边上一点，将△BEC 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BE ＝ ．18．（3分）如图，已知点A坐标为（√3，1），B为x轴正半轴上一动点，则∠AOB度数为，在点B运动的过程中AB+12OB的最小值为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）选用适当的方法，解下列方程：（1）2x2+5x+2＝0；（2）（2x+3）2＝4 （2x+3）．20．（6分）已知正比例函数的图象过点P（3，﹣3）．（1）求这个正比例函数的表达式；（2）已知点A（a2，﹣4）在这个正比例函数的图象上，求a的值．21．（8分）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．23．（9分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？24．（9分）如图，AM∥BN，C是BN上一点，AB＝BC，BD平分∠ABN，分别交AC，AM 于点O，D，DE⊥BD，交BN于点E．（1）求证：△ADO≌△CBO；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．25．（10分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．26．（10分）[模型建立]（一线三等角）（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A 作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；[模型应用]（2）如图2，直线l1：y=43x+4与坐标轴交于点A、B，直线l2经过点A与直线l1垂直，求直线l2的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（6，﹣8），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y 轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+2上的动点且在第四象限内．若△CPD成为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C 、是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C ．2．（3分）以长度分别为下列各组数的线段为边，构成的三角形不是直角三角形的是（ ）A ．6，8，10B ．7，24，25C ．√5，√3，√2D ．1.5，2，3【解答】解：A 、∵62+82＝102，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B 、∵72+242＝252，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、∵（√2）2+（√3）2＝（√5）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、∵1.52+22≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D ．3．（3分）已知函数y ={x 2+1(x ＜2)10x(x ≥2)，当y ＝6时，x 的值是（ ） A ．−√5 B ．53 C ．−√5或√5 D ．√5或53 【解答】解：∵函数y ={x 2+1(x ＜2)10x(x ≥2)， ∴当x ＜2时，x 2+1＝6，得x 1=−√5，x 2=√5（不合题意，舍去），当x ≥2时，10x =6，得x =53（不合题意，舍去）， 故当y ＝6时，x 的值是−√5，故选：A ．4．（3分）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y ＝ax ②y ＝bx ③y ＝cx ，将a ，b，c从小到大排列为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则a＜c＜b，故选：B．5．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为（）A．14B．16C．20D．18【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD＝BE+CE+CD＝BC+CD＝10，∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝20；故选：C．6．（3分）用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（）A．（x﹣4）2＝8B．（x﹣4）2＝40C．（x﹣8）2＝8D．（x﹣8）2＝40【解答】解：x2﹣16x+24＝0x2﹣16x+64＝﹣24+64（x﹣8）2＝40故选：D．7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE＝2，AD＝5，则▱ABCD的周长为（）A．9B．16C．18D．20【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，∵E是BC边上的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AB＝2OE＝4，∵AD＝5，∴▱ABCD的周长＝2×（4+5）＝18，故选：C．8．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．9．（3分）如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，F A，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO=12AC C．AC⊥BE D．AE＝AF【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；B、EO=12AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；故选：B．10．（3分）小刘下午5点30分放学匀速步行回家，途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，6点20分到家，已知小刘家距学校3千米，下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S（千米）与离校的时间t（分钟）之的关系的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵小刘家距学校3千米，∴离校的距离随着时间的增大而增大，∵路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，∴中间有一段离家的距离不再增大，离校50分钟后离校的距离最大，即3千米．综合以上C符合，故选：C．11．（3分）若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤12B．k≤112C．k≤12且k≠0D．k≤112且k≠0【解答】解：当k＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，当k≠0时，方程kx2﹣x+3＝0是一元二次方程，根据题意可得：△＝1﹣4k×3≥0，解得k≤112，k≠0，综上k≤1 12，故选：B．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=√2AB，∵AD=√2AB，∴AE＝AD，在△ABE和△AHD中，{∠BAE =∠DAE ∠ABE =∠AHD =90°AE =AD，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE ＝DH ，∴AB ＝BE ＝AH ＝HD ，∴∠ADE ＝∠AED =12（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CED ＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED ＝∠CED ，故①正确；∵AB ＝AH ，∵∠AHB =12（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE ＝∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE ＝67.5°＝∠AED ，∴OE ＝OH ，∵∠DHO ＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH ＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠DHO ＝∠ODH ，∴OH ＝OD ，∴OE ＝OD ＝OH ，故②正确；∵∠EBH ＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠EBH ＝∠OHD ，在△BEH 和△HDF 中，{∠EBH =∠OHD =22.5°BE =DH ∠AEB =∠HDF =45°，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH ＝HF ，HE ＝DF ，故③正确；∵HE ＝AE ﹣AH ＝BC ﹣CD ，∴BC ﹣CF ＝BC ﹣（CD ﹣DF ）＝BC ﹣（CD ﹣HE ）＝（BC ﹣CD ）+HE ＝HE +HE ＝2HE ．故④正确；∵AB ＝AH ，∠BAE ＝45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：C ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）若√1−x x有意义，则自变量x 的取值范围是 x ≤1且x ≠0 ． 【解答】解：由题意得，1﹣x ≥0，x ≠0，解得，x ≤1且x ≠0，故答案为：x ≤1且x ≠0．14．（3分）若m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣3＝0的解，则代数式4m ﹣2m 2+2的值是 ﹣4 ．【解答】解：∵m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣3＝0的解，∴m 2﹣2m ﹣3＝0，∴m 2﹣2m ＝3，∴4m ﹣2m 2+2＝﹣2（m 2﹣2m ）+2＝﹣2×3+2＝﹣4．故答案为：﹣4．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝50°，点E 在CD 上，若AE ＝AC ，则∠BAE ＝115 °．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CA 平分∠BCD ，AB ∥CD ，∴∠BAE +∠AEC ＝180°，∠B +∠BCD ＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACE=12∠BCD＝65°，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；故答案为：115．16．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣4，3），则函数图象经过第二、四象限．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣4，3），∴3＝﹣4k，∴k=−34＜0，∴正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限．故答案为：第二、四．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，BE＝6或12．【解答】解：如图，若∠AEF＝90°，∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF，∴四边形BCFE是矩形，∵将△BEC沿着CE翻折，∴CB＝CF，∴四边形BCFE是正方形，∴BE＝BC＝AD＝12；如图，若∠AFE＝90°，∵将△BEC沿着CE翻折，∴CB＝CF＝12，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，∵∠AFE+∠EFC＝180°，∴点A，点F，点C三点共线，∴AC=√AB2+BC2=√144+256=20，∴AF＝AC﹣CF＝8，∵AE2＝AF2+EF2，∴（16﹣BE）2＝64+BE2，∴BE＝6，（3）若∠EAF＝90°，∵CD＝16＞CF＝BC＝12，∴点F不可能落在直线AD上，∴不存在∠EAF＝90°，综上所述：BE＝6或12．故答案为：6或12．18．（3分）如图，已知点A坐标为（√3，1），B为x轴正半轴上一动点，则∠AOB度数为30°，在点B运动的过程中AB+12OB的最小值为√3．【解答】解：过A作AC⊥x轴于点C，延长AC到点D，使AC＝CD，过D作DE⊥OA 于点E，与x轴交于点F，∵点A坐标为（√3，1），∴AC＝CD＝1，OC=√3，∴tan∠AOB=ACOC=1√3=√33，∴∠AOB＝30°，∴∠DAE＝60°，EF=12OF，∴DE＝AD•sin60°=√3，当点B与点F重合时，AB+12OB＝AF+12OF＝DF+EF＝DE=√3，根据垂线段最短定理知，此时AB+12OB=√3为最小值．故答案为30°；√3．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）选用适当的方法，解下列方程：（1）2x2+5x+2＝0；（2）（2x+3）2＝4 （2x+3）．【解答】解（1）∵a＝2，b＝5，c＝2，∵b2﹣4ac＝52﹣4×2×2＝9＞0，∴x=−5±√92×2=−5±34，∴x1=−12，x2＝﹣2．（2）∵（2x+3）2＝4（2x+3），∴（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，∴（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，则2x+3＝0或2x+3﹣4＝0，解得x1=−32，x2=12．20．（6分）已知正比例函数的图象过点P（3，﹣3）．（1）求这个正比例函数的表达式；（2）已知点A（a2，﹣4）在这个正比例函数的图象上，求a的值．【解答】解：（1）把P（3，﹣3）代入正比例函数y＝kx，得3k＝﹣3，k＝﹣1，所以正比例函数的解析式为y＝﹣x；（2）把点A（a2，﹣4）代入y＝﹣x得，﹣4＝﹣a2，解得a＝±2．21．（8分）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？【解答】解：（1）如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，CD＝MN＝1.6米，AB＝2米，由作法得，CE＝DE＝0.8米，又∵OC＝OA＝1米，在Rt△OCE中，OE=√OC2−CE2≈0.6（米），∴CM＝2.3+0.6＝2.9＞2.5．∴这辆卡车能通过．（2）如图：根据题意可知：CG＝BE＝2.8米，BG＝OF＝1.2米，EF＝AD＝2.3米，∴BF＝0.5米∴根据勾股定理有：OA2＝OB2＝BF2+OF2＝0.52+1.22＝1.32（米），∴OA＝1.3米，∴桥洞的宽至少增加到1.3×2＝2.6（米）．22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△＝36﹣4（2m+1）＝36﹣8m﹣4＝32﹣8m≥0，解得：m≤4．故m的取值范围是m≤4；（2）∵x1，x2是方程x2+6x+（2m+1）＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣6，x1•x2＝2m+1，∵2x1x2﹣x1﹣x2≥8，∴2（2m+1）+6≥8，解得m≥0，由（1）可得m≤4，∴m的取值范围是0≤m≤4．23．（9分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，化简，得：y2+4y﹣12＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．24．（9分）如图，AM∥BN，C是BN上一点，AB＝BC，BD平分∠ABN，分别交AC，AM 于点O，D，DE⊥BD，交BN于点E．（1）求证：△ADO≌△CBO；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABN，∴AO＝CO．∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB．在△ADO和△CBD中，{∠DAO=∠BCD，AO=CO，∠AOD=∠COB，，∴△ADO≌△CBO（ASA）；（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBD．∴AD＝CB．又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，OB＝OD．又∵DE⊥BD，∴AC∥DE．又∵AM∥BN，∴四边形ACED平行四边形．∴AC＝DE＝2．∴AO＝1．在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=√AB2−AO2=√22−12=√3，∴BD＝2BO＝2√3．∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×2×2√3=2√3．25．（10分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B （0，8）．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；（Ⅲ）当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（I ）过点D 作DG ⊥x 轴于G ，如图①所示：∵点A （6，0），点B （0，8）．∴OA ＝6，OB ＝8，∵以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，∴AD ＝AO ＝6，α＝∠OAD ＝30°，DE ＝OB ＝8，在Rt △ADG 中，DG =12AD ＝3，AG =√3DG ＝3√3，∴OG ＝OA ﹣AG ＝6﹣3√3，∴点D 的坐标为（6﹣3√3，3）；（Ⅱ）过点D 作DG ⊥x 轴于G ，DH ⊥AE 于H ，如图②所示：则GA ＝DH ，HA ＝DG ，∵DE ＝OB ＝8，∠ADE ＝∠AOB ＝90°，∴AE =√AD 2+DE 2=√62+82=10，∵12AE ×DH =12AD ×DE ， ∴DH =AD×DE AE=6×810=245， ∴OG ＝OA ﹣GA ＝OA ﹣DH ＝6−245=65，DG =2−AG 2=√62−(245)2=185，∴点D 的坐标为（65，185）；（Ⅲ）连接AE ，作EG ⊥x 轴于G ，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE ＝∠AOC ，AD ＝AO ，∴∠AOC ＝∠ADO ，∴∠DAE ＝∠ADO ，∴AE ∥OC ，∴∠GAE ＝∠AOD ，∴∠DAE ＝∠GAE ，在△AEG 和△AED 中，{∠AGE =∠ADE =90°∠GAE =∠DAE AE =AE，∴△AEG ≌△AED （AAS ），∴AG ＝AD ＝6，EG ＝ED ＝8，∴OG ＝OA +AG ＝12，∴点E 的坐标为（12，8）．26．（10分）[模型建立]（一线三等角）（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A 作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；[模型应用]（2）如图2，直线l1：y=43x+4与坐标轴交于点A、B，直线l2经过点A与直线l1垂直，求直线l2的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（6，﹣8），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y 轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+2上的动点且在第四象限内．若△CPD成为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．【解答】（1）证明：如图1所示：∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，∴∠ACD +∠BEC ＝90°，又∵∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，在△BEC 和△CDA 中，∵{∠CEB =∠ADC∠ECB =∠DAC BC =AC，∴△BEC ≌△CDA （AAS ）；（2）解：如图2，在l 2上取D 点，使AD ＝AB ，过D 点作DE ⊥OA ，垂足为E ，∵直线y =43x +4与坐标轴交于点A 、B ，∴A （﹣3，0），B （0，4），∴OA ＝3，OB ＝4，由（1）同理得△BOA ≌△AED （AAS ），∴DE ＝OA ＝3，AE ＝OB ＝4，∴OE ＝7，∴D （﹣7，3），设l 2的解析式为y ＝kx +b ，∴{−7k +b =3−3k +b =0，解得：{k =−34b =−94， ∴直线l 2的函数表达式为：y =−34x −94；（3）解：分三种情况：①如图3，∠CPD ＝90°时，过P 作MH ∥x 轴，过D 作DH ∥y 轴，MH 和DH 交于H ，∵△CPD 是等腰直角三角形，∠CPD ＝90°，∴CP ＝PD ，同理得△CMP ≌△PHD （AAS ），∴DH ＝PM ＝6，PH ＝CM ，设PH ＝a ，则D （6+a ，a ﹣8﹣6），∵点D 是直线y ＝﹣2x +2上的动点且在第四象限内．∴a ﹣8﹣6＝﹣2（6+a ）+2，解得：a =43，∴D （223，−383）； ②如图4，∠PCD ＝90°，此时P 与A 重合，过D 作DE ⊥y 轴于E ，∵△CPD 是等腰直角三角形，同理得△AOC ≌△CED ，∴OA ＝CE ＝6，OC ＝DE ＝8，∴D （8，﹣14）；③如图5，∠CDP ＝90°，过点D 作MQ ∥x 轴，延长AB 交MQ 于Q ，则∠Q ＝∠DMC ＝90°，∵△CDP 是等腰直角三角形，同理得△PQD ≌△DMC ，∴PQ ＝DM ，DQ ＝CM ，设CM ＝b ，则DM ＝6﹣b ，AQ ＝8+b ，∴D （6﹣b ，﹣8﹣b ），∵点D 是直线y ＝﹣2x +2上的动点且在第四象限内，∴﹣8﹣b ＝﹣2（6﹣b ）+2，解得：b =23，∴D （163，−263）； 综上，点D 的坐标为(223，−383)或（8，﹣14）或(163，−263)．。
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷及答案
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列代数式中，二次根式√m+n的有理化因式可以是（）A．√m+√n B．√m−√n C．√m+n D．√m−n．2．（3分）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）
A．﹣3B．2C．0D．1
3．（3分）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n ＝8，则直线AB的表达式为（）
A．y＝﹣2x+4B．y＝﹣2x+8C．y＝﹣2x﹣4D．y＝﹣2x﹣8 4．（3分）下列命题中，不正确的是（）
A．对角线相等的矩形是正方形
B．对角线垂直平分的四边形是菱形
C．矩形的对角线平分且相等
D．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形
5．（3分）已知x1，x2，x3的平均数x=2，方差S2＝3，则2x1，2x2，2x3的平均数和方差分别为（）
A．2，3B．4，6C．2，12D．4，12
6．（3分）为了调查某校学生课后参加体育锻炼的时间，学校体育组随机抽样调查了若干名学生的每天锻炼时间，统计如表：
20406080每天锻炼时间（分
钟）
学生数（人）2341
下列说法错误的是（）
A．众数是60分钟B．平均数是52.5分钟
C．样本容量是10D．中位数是50分钟
7．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+1，下列说法正确的是（）
A．图象过点（﹣1，3）
B．y随x的增大而增大
C．图象经过第一、二、三象限
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2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷及答案
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ）A ．m ﹣4＜n ﹣4B ．m 4＞n 4C ．4m ＜4nD ．﹣2m ＞﹣2n【解答】解：∵m ＞n ，∴m ﹣4＞n ﹣4；14m ＞14n ；4m ＞4n ，﹣2m ＜﹣2n ． 故选：B ．2．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（ ）A ．∠B ＝∠C B ．AD ⊥BC C ．AD 平分∠BAC D ．AB ＝2BD【解答】解：∵△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 中点∴∠B ＝∠C ，（故A 正确）AD ⊥BC ，（故B 正确）∠BAD ＝∠CAD （故C 正确）无法得到AB ＝2BD ，（故D 不正确）．故选：D ．3．不等式组{2x −4≤0x +2＞0的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解答】解：{2x −4≤0①x +2＞0②， 由①得x ≤2，由②得x ＞﹣2，故此不等式组的解集为：故选：C ．4．如图，点E ，F ，G ，Q ，H 在一条直线上，且EF ＝GH ，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线【解答】解：如图：A．∵直线l为线段FG的垂直平分线，∴FO＝GO，l⊥FG，∵EF＝GH，∴EF+FO＝OG+GH，即EO＝OH，∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；B．∵EO≠OQ，∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；C．∵FO≠OH，∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；D．∵l为直线，EH不能平分直线l，∴EH 不是l 的垂直平分线，故此选项错误；故选：A ．5．已知a ＜b ，则下列不等式不成立的是（ ）A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．a 2＜b 2C ．a ﹣b ＜0D ．1−a 3＜1−b 3【解答】解：∵a ＜b ，∴a ﹣1＜b ﹣1，12a ＜12b ，a ﹣b ＜0，1−a 3＞1−b 3．故选：D ．6．如图，将三角形ABE 向右平移1cm 得到三角形DCF ，如果三角形ABE 的周长是10cm ，那么四边形ABFD 的周长是（ ）A ．12cmB ．16cmC ．18cmD ．20cm【解答】解：∵△ABE 的周长＝AB +BE +AE ＝10（cm ），由平移的性质可知，BC ＝AD ＝EF ＝1（cm ），AE ＝DF ，∴四边形ABFD 的周长＝AB +BE +EF +DF +AD ＝10+1+1＝12（cm ）．故选：A ．7．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（ ）A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【解答】解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．8．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣ab＝a（a﹣b）C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；拼成的长方形的面积为：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．9．已知一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（﹣2，0），则不等式ax＞b的解集为（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大，∴a＞0．把点（﹣2，0），代入即可得到：﹣2a+b＝0．即2a﹣b＝0．不等式ax＞b的解集就是求函数y＝ax﹣b＞0，故当x＞2时，不等式ax＞b成立．则不等式ax＞b的解集为x＞2．故选：C．10．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD 上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（）A．14B．13C．12D．10【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∵CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故选：D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝（a+1）100．【解答】解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]＝（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]＝（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]＝…＝（a+1）100．故答案为：（a+1）100．12．已知a+b+c＝0，a＞b＞c，则ca 的取值范围是﹣2＜ca＜−12．【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0 ①∴b＝﹣a﹣c，且a＞0，c＜0∵a＞b＞c∴﹣a﹣c＜a，即2a＞﹣c②解得ca＞−2，将b＝﹣a﹣c代入b＞c，得﹣a﹣c＞c，即a＜﹣2c③解得ca ＜−12，∴﹣2＜ca＜−12．故答案为：﹣2＜ca＜−12．13．若关于x的不等式组{2x−k＞0x−2≤0有且只有五个整数解，则k的取值范围是﹣6≤k＜﹣4．【解答】解：解不等式2x﹣k＞0得x＞k 2，解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，∵不等式组有且只有5个整数解，∴﹣3≤k2＜−2，解得﹣6≤k＜﹣4，故答案为：﹣6≤k＜﹣4．14．如图，是由边长为1个单位长度的小正方形的网格，在格点中找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有6个．【解答】解：AB=√5，以B为顶点，BC＝BA，这样的C点有4个；以A为顶点，AC＝AB，这样的C点有2个；以C为顶点，CA＝CB，这样的点不存在，但与前面的重合；所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有6个．故答案为6．15．如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是y＝2x﹣8．【解答】解：∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠ABO +∠BAO ＝∠BAO +∠CAD ，∴∠ABO ＝∠CAD ，在△ACD 和△BAO 中{∠ABO =∠CAD ∠AOB =∠CDA AB =AC，∴△ACD ≌△BAO （AAS ）∴AD ＝OB ＝2，CD ＝OA ＝4，∴C （6，4）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将点A ，点C 坐标代入得{4k +b =06k +b =4， ∴{k =2b =−8， ∴直线AC 的解析式为y ＝2x ﹣8．故答案为：y ＝2x ﹣8．三．解答题（共7小题，满分63分，每小题9分）16．（9分）（1）分解因式：ax 2﹣2ax +a ；（2）解不等式组：{x +3≤2(x +2)x 3+1＞3x−14，并写出所有非负整数解． 【解答】解：（1）ax 2﹣2ax +a ＝a （x 2﹣2x +1）＝a （x ﹣1）2；（2）{x +3≤2(x +2)①x 3+1＞3x−14②， 解不等式①得，x ≥﹣1，解不等式②得，x ＜3将两个不等式的解集在数轴上表示为：∴不等式组的解集为﹣1≤x ＜3：∴非负整数解有：0，1，2．17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；平移△ABC，若A对应的点A2坐标为（﹣4，﹣5），画出△A2B2C2；（2）若△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，直接写出旋转中心坐标（﹣1，﹣2）．（3）在x轴上有一点P使得P A+PB的值最小，直接写出点P的坐标（−134，0）．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．（2）如图所示，点Q即为所求，其坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2）；（3）如图所示，点P即为所求，设直线A′B的解析式为y＝kx+b，将点A′（﹣4，﹣1），B（﹣1，3）代入，得：{−4k +b =−1−k +b =3， 解得：{k =43b =133， ∴直线A ′B 的解析式为y =43x +133， 当y ＝0时，43x +133=0， 解得x =−134，∴点P 的坐标为（−134，0）． 故答案为：（−134，0）． 18．（9分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、点D ，∠A ＝36°．求证：AD ＝BC ．【解答】证明：∵AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、点D ，∴DB ＝DA ，∴△ABD 是等腰三角形；∵∠A ＝36°，∴∠ABD ＝∠A ＝36°，∠ABC ＝∠C ＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝72°，∴∠C ＝∠BDC ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝BC ．19．（9分）（1）已知3m ＝6，9n ＝2，求32m ﹣2n +1的值；（2）已知a +b ＝6，ab ＝8，求a 2+b 2与（a ﹣b ）2的值．【解答】解：（1）∵3m ＝6，9n ＝2，∴32m﹣2n+1＝（3m）2÷9n×3＝36÷2×3＝54；（2）将a+b＝6平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36，把ab＝8代入得：a2+b2+16＝36，即a2+b2＝20；∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝20﹣16＝4．20．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE=20√39，求S△ABC．【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝60°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=12∠BAC=30°∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°（2）过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE=20√3 9，又AB＝10，AC＝8，∴S△ABC=12×10×20√39+12×8×20√39=20√321．（9分）随着夏季的来临，某公司决定购买10套设备生产电风扇，现有甲、乙两种型号的设备，其中每套的价格、日生产量如表：甲型 乙型 价格（万元/套）m n 生产量（台/日） 120 100经调查：购买两套甲型设备比购买一套乙型设备多6万元，购买一套甲型设备和购买三套乙型设备共需10万元．（1）求m ，n 的值；（2）经预算，该公司购买生产设备的资金不超过26万元，且每日的生产量不低于1020台，为了节约资金，请你为公司设计一种最省钱的购买方案．【解答】解：（1）根据题意知{m −n =6m +3n =10， 解得：{m =7n =1； （2）设购买甲型设备x 台、乙型设备（10﹣x ）台，根据题意，得：{7x +10−x ≤26120x +100(10−x)≥1020， 解得：1≤x ≤83，∵x 为整数，∴x ＝1或x ＝2，即有两种购买方案：方案一：购买1台甲型设备、9台乙型设备，购买总费用为1×7+9×1＝16万元； 方案二：购买2台甲型设备、8台乙型设备，购买总费用为2×7+8×1＝22万元； 所以购买1台甲型设备、9台乙型设备最省钱．22．（9分）如图，△ABC 中，AB ＝30cm ，AC ＝20cm ，以BC 为边作等边△BCD ，连接AD ，求AD 的最大值，最小值分别是多少？【解答】解：∵△BCD为等边三角形，∴DC＝DB，∠BDC＝60°，把△DAC绕点D逆时针旋转60°得到△DEB，如图，连接AE，∴DA＝DE，∠ADE＝60°，BE＝AC＝20，∴△DAE为等边三角形，∴AD＝AE，∵AB+BE≥AE或AB﹣BE≤AE（当且仅当A、B、E共线时取等号），∴AE的最大值为30+20＝50，AE的最小值为30﹣20＝10．。
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【解析版】吴都中学2020—2021学年初二下期中数学试卷一、认真选一选（每小题3分，共30分）1．（3分）若代数式在实数范畴内有意义，则x的取值范畴是（）A．x＞B．x＜C．x≥D．x≤2．（3分）下列各式中运算正确的是（）A．=（﹣2）（﹣4）=8 B．C．D．（+2）2=7+43．（3分）若一直角三角形的两边为5和12，则它第三边的长为（）A．13 B．C．13或D．13或4．（3分）下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A．7π，24π，25πB．，1，C．0.1，0.2，0.3 D．，1，5．（3分）▱ABCD中，相邻两角∠A、∠B有∠B﹣∠A=70°，则∠C的度数为（）A．55°B．70°C．155°D．125°6．（3分）等腰三角形底边的长为8cm，周长为18cm，则该三角形底边上的高为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm7．（3分）如图，四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点．若∠ACB=64°，∠DAC=22°，则∠EFG的度数为（）A．42°B．38°C．32°D．21°8．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm9．（3分）平行四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC=2，则连接四边形ABCD四边中点所成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形10．（3分）在矩形ABCD中，AD=3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，且BG∥DH，当=（）时，四边形BHDG为菱形．A．B．C．D．二、认真填一填（每小题3分，共24分）11．（3分）已知=2020﹣m，则m的取值范畴是．12．（3分）若最简二次根式与﹣2能合并为一个二次根式，则x=．13．（3分）如图，一个三角形三边长为6，8，10，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长是．14．（3分）“对顶角相等”的逆命题是，它是命题（选填“真”或“假”）15．（3分）如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=18，PB=24，PC=30．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为，∠APB=．16．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且DC≠AD，过点O作OE⊥BD 交BC于点E．若△CDE的周长为6cm，则平行四边形ABCD的周长为．17．（3分）如图，两个连接在一起的菱形的边长差不多上1cm，一只电子甲虫，从点A开始AGFEADCBAG…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行1945cm时停下，则它停的位置是点．18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC 的最小值为．三、全面答一答（本题共有7个小题．共66分）19．（10分）运算：（1）﹣（﹣2+）；（2）（﹣3）﹣2+﹣|1﹣2|﹣（﹣3）0．20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷（a﹣），其中a=+．21．（9分）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患要紧是超速和超载．某中学2020届九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）22．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．求证：AF∥CE且AF=CE．23．（9分）如图，菱形ABCD的较短对角线BD为5，∠ADB=60°，E、F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°．（1）求AE+CF的值；（2）判定△BEF的形状，并说明理由．24．（9分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB 的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，请直截了当写出凹四边形ABCE的面积为．25．（12分）如图，正方形ABCD的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形OCBA绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数α，得到正方形DCFE，ED交线段AB与点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．（1）求证：△CBG≌△CDG；（2）认真探究，直截了当写出∠HCG=，HG、OH、BG之间的数量关系为．（3）连接BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中四边形AEBD能否为矩形？假如能，要求出点H的坐标；假如不能，请说明理由．湖北省鄂州市吴都中学2020-2020学年八年级下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、认真选一选（每小题3分，共30分）1．（3分）若代数式在实数范畴内有意义，则x的取值范畴是（）A．x＞B．x＜C．x≥D．x≤考点：二次根式有意义的条件．分析：依照二次根式有意义的条件可得5x﹣3≥0，再解即可．解答：解：由题意得：5x﹣3≥0，解得：x≥．故选C．点评：此题要紧考查了二次根式有意义的条件，关键是把握二次根式中的被开方数是非负数．2．（3分）下列各式中运算正确的是（）A．=（﹣2）（﹣4）=8 B．C．D．（+2）2=7+4考点：二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．分析：依照二次根式的性质、完全平分公式，即可解答．解答：解：A、与无意义，故错误；B、（a＞0），故错误；C、，故错误；D、正确；故选：D．点评：本题考查了二次根式、完全平方公式，解决本题的关键是熟记二次根式的性质和完全平分公式．3．（3分）若一直角三角形的两边为5和12，则它第三边的长为（）A．13 B．C．13或D．13或考点：勾股定理．专题：运算题．分析：此题要考虑两种情形：当所求的边是斜边时；当所求的边是直角边时．解答：解：由题意得：当所求的边是斜边时，则有=13；当所求的边是直角边时，则有=．故选D．点评：本题考查了勾股定理的运用，难度不大，但要注意此类题的两种情形，专门多学生只选13．4．（3分）下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A．7π，24π，25πB．，1，C．0.1，0.2，0.3 D．，1，考点：勾股定理的逆定理．分析：依照勾股定理的逆定理：假如三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么那个三角形是直角三角形．假如没有这种关系，那个三角形就不是直角三角形．解答：解：A、（7π）2+（24π）2=（25π）2，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故本选项不符合题意；B、12+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故本选项不符合题意；C、0.12+0.22≠0.32，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长，故本选项符合题意；D、（）2+12=（）2，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故本选项不符合题意．故选C．点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判定．5．（3分）▱ABCD中，相邻两角∠A、∠B有∠B﹣∠A=70°，则∠C的度数为（）A．55°B．70°C．155°D．125°考点：平行四边形的性质．分析：依照平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．解答：解：画出图形如下所示：则∠A+∠B=180°，又∵∠B﹣∠A=70°，∴∠A=55°，∠B=125°，∴∠C=∠A=55°．故选A．点评：本题考查平行四边形的性质，解题关键是把握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，难度一样．6．（3分）等腰三角形底边的长为8cm，周长为18cm，则该三角形底边上的高为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：先依照等腰三角形的两腰相等得出其腰长，再利用三线合一和勾股定理得出底边上的高即可．解答：解：因为等腰三角形底边的长为8cm，周长为18cm，因此腰长是：cm，因为等腰三角形三线合一，可得底边上的中线即是底边上的高，可得底边上高=cm，故选D．点评：此题考查等腰三角形的性质，关键是依照等腰三角形两腰相等和三线合一的性质分析．7．（3分）如图，四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点．若∠ACB=64°，∠DAC=22°，则∠EFG的度数为（）A．42°B．38°C．32°D．21°考点：三角形中位线定理．分析：依照三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．解答：解：∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，∴GF AD，GE BC．又∵AD=BC，∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=22°，∠AGE=∠ACB=64°，∴∠EFG=∠FEG，∵∠FGE=∠FGC+∠EGC=22°+（180°﹣64°）=138°，∴∠EFG=（180°﹣∠FGE）=21°．故选：D．点评：要紧考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，题目的难度不大．8．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm考点：平面展开-最短路径问题．专题：几何图形问题．分析：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而依照“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，依照勾股定理运算即可．解答：解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=4+4=8，∴AC=2dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4dm．故选：A．点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题确实是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定明白得决．9．（3分）平行四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC=2，则连接四边形ABCD四边中点所成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形考点：中点四边形．分析：第一判定该平行四边形的形状，然后判定其中点四边形的形状即可．解答：解：∵平行四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC=2，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴连接矩形ABCD的四边中点所成的四边形是菱形，故选B．点评：本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是第一判定四边形ABCD的形状，难度不大．10．（3分）在矩形ABCD中，AD=3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，且BG∥DH，当=（）时，四边形BHDG为菱形．A．B．C．D．考点：菱形的判定．专题：运算题．分析：第一依照菱形的性质可得BG=GD，然后设AB=x，则AD=3x，设AG=y，则GD=3x ﹣y，BG=3x﹣y，再依照勾股定理可得y2+x2=（3x﹣y）2，再整理得=，然后可得y=x，再进一步可得的值．解答：解：∵四边形BGDH是菱形，∴BG=GD，设AB=x，则AD=3x，设AG=y，则GD=3x﹣y，BG=3x﹣y，∵在Rt△AGB中，AG2+AB2=GB2，∴y2+x2=（3x﹣y）2，整理得：=，y=x，∴===，故选：C．点评：此题要紧考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是把握菱形四边相等．二、认真填一填（每小题3分，共24分）11．（3分）已知=2020﹣m，则m的取值范畴是m≤2020．考点：二次根式的性质与化简．分析：依照，即可解答．解答：解：依照题意得；m﹣2020≤0，解得：m≤2020，故答案为：m≤2020．点评：本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式的性质．12．（3分）若最简二次根式与﹣2能合并为一个二次根式，则x=1．考点：同类二次根式．分析：依照最简二次根式能合并，可得同类二次根式，依照同类二次根式的被开方数相同，可得关于x的方程．解答：解：由最简二次根式与﹣2能合并为一个二次根式，得x+1=2x．解得x=1，故答案为：1．点评：本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出方程是解题关键．13．（3分）如图，一个三角形三边长为6，8，10，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长是．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理的逆定理．分析：已知BC=6，AC=8，AB=10，由勾股定理逆定理得到∠C=90°，依照翻折不变性，可知△DAE≌△DBE，从而得到BE=AE，设CE=x，则AE=8﹣x，在Rt△CBE中，由勾股定理列方程求解．解答：解：∵BC=6，AC=8，AB=10，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，依照翻折不变性得△EDA≌△EDB∴EA=EB∴在Rt△BCE中，设CE=x，则BE=AE=8﹣x，∴BE2=BC2+CE2，∴（8﹣x）2=62+x2，解得x=．故答案为：．点评：此题考查了翻折变换的问题和勾股定理逆定理得运用，找到翻折后图形中的直角三角形，利用勾股定理来解答，解答过程中要充分利用翻折不变性．14．（3分）“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，它是假命题（选填“真”或“假”）考点：命题与定理．专题：应用题．分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．解答：解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，∴逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题，故答案为相等的角是对顶角，假．点评：本题要紧考查了互逆命题的知识，两个命题中，假如第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．15．（3分）如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=18，PB=24，PC=30．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为18，∠APB=150°．考点：旋转的性质．分析：由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋转角∠P′AP=∠BAC=60°，因此△APP′为等边三角形，即可求得PP′；再由△APP′为等边三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度数．解答：解：连接PP′，BP，由题意可知BP′=PC=10，AP′=AP，∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，因此∠PAP′=60度．故△APP′为等边三角形，因此PP′=AP=AP′=18；∵PA=18，PB=24，PC=30．∴PP′2+BP2=BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°∴∠APB=90°+60°=150°．故答案为：18，150°．点评：本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理，注意：旋转图形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．16．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且DC≠AD，过点O作OE⊥BD 交BC于点E．若△CDE的周长为6cm，则平行四边形ABCD的周长为12cm．考点：平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：由平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，OB=OD，再依照线段垂直平分线的性质得出BE=DE，由△CDE的周长得出BC+CD=6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，OB=OD，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为6cm，∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=6cm，∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+CD）=12cm；故答案为：12cm．点评：本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的运算；熟练把握平行四边形的性质，并能进行推理运确实是解决问题的关键．17．（3分）如图，两个连接在一起的菱形的边长差不多上1cm，一只电子甲虫，从点A开始AGFEADCBAG…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行1945cm时停下，则它停的位置是点G．考点：菱形的性质．专题：规律型．分析：观看图形不难发觉，每移动8cm为一个循环组依次循环，用1945除以8，依照商和余数的情形确定最后停的位置所在的点即可．解答：解：∵两个菱形的边长都为1cm，∴从A开始移动8cm后回到点A，∵1945÷8=243…1，∴移动1945cm为第243个循环组的第1cm，在点G处．故答案为：G．点评：此题考查了菱形的性质．观看图形得到每移动8cm为一个循环组依次循环是解题的关键．18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC 的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直截了当求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．解答：解：如图，连接AE，AP，∵点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC=PE+AP，依照两点之间线段最短可得AE确实是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为3，BE=2，∴AE==，∴PE+PC的最小值是．故答案为：．点评：本题考查的是正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．依照已知得出两点之间线段最短可得AE确实是AP+PE的最小值是解题关键．三、全面答一答（本题共有7个小题．共66分）19．（10分）运算：（1）﹣（﹣2+）；（2）（﹣3）﹣2+﹣|1﹣2|﹣（﹣3）0．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：运算题．分析：（1）原式去括号合并即可；（2）原式利用零指数幂、负指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，运算即可．解答：解：（1）原式=3﹣7+10﹣3=7﹣4；（2）原式=+2﹣2+1﹣1=．点评：此题考查了实数的运算，熟练把握运算法则是解本题的关键．20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷（a﹣），其中a=+．考点：分式的化简求值；二次根式有意义的条件．专题：运算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则运算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，依照负数没有平方根求出m的值，进而确定出a的值，代入运算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，∵a=++，∴，即m=2，a=，则原式==+2．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练把握运算法则是解本题的关键．21．（9分）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患要紧是超速和超载．某中学2020届九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）考点：勾股定理的应用．分析：过点D作DE⊥AB于点E，证明△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，继而得出CD，运算出AC的长度后，在Rt△ABC中求出BC，继而可判定是否超速．解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠CDB=75°，∴∠CBD=15°，∠EBD=15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，∵，∴△CBD≌△EBD，∴CD=DE，在Rt△ADE中，∠A=60°，∴∠ADE=30°，AD=40米，则AE=AD=20米，∴DE==20米，∴AC=AD+CD=AD+DE=（40+20）米，在Rt△ABC中，∵∠A=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=80+40，∴BC==（40+60）米，则速度==4+6≈12.92米/秒，∵12.92米/秒=46.512千米/小时，∴该车没有超速．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，求出BC的长度，需要多次解直角三角形，有一定难度．22．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．求证：AF∥CE且AF=CE．考点：平行四边形的判定与性质．专题：证明题．分析：由四边形ABCD是平行四边形，∠1=∠2，可证得△ABE≌△CDF（AAS），继而可判定AE=CF，AE∥CF，则可证得四边形AECF是平行四边形，继而证得结论．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠CFD，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE且AF=CE．点评：此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF（AAS），继而证得四边形AECF是平行四边形是解此题的关键．23．（9分）如图，菱形ABCD的较短对角线BD为5，∠ADB=60°，E、F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°．（1）求AE+CF的值；（2）判定△BEF的形状，并说明理由．考点：菱形的性质．分析：（1）由菱形ABCD中，∠ADB=60°，可证得△ABD与△CBD是等边三角形，继而可得BD=BC，证得△BDE≌△BCF，即可得AE+CF=AE+DE=AD=BD=5；（2）由△BDE≌△BCF，可得BE=BF，又由∠EBF=60°，即可证得△BEF是等边三角形．解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠ADB=60°，∴△ABD是等边三角形，同理：△BCD是等边三角形，∴AD=BD=BC，∠ADB=∠C=60°，∴∠EBF=∠DBC=60°，∴∠EBD=∠FBC，在△DEB和△CFB中，，∴△DEB≌△CFB（ASA），∴DE=CF，∴AE+CF=AE+DE=AD=BD=5；（2）△BEF是等边三角形，理由：∵△EDB≌△FCB，∴BE=BF，∵∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形．点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABD与△CBD是等边三角形，继而证得△BDE≌△BCF是关键．24．（9分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB 的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，请直截了当写出凹四边形ABCE的面积为24．考点：矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC=∠OCE，证出EO=CO，同理得出FO=CO，即可得出EO=FO；（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；（3）先依照勾股定理求出AC，得出△ACE的面积=AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积=AB•AC，凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．解答：（1）证明：∵EF∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠OCE，∴∠OEC=∠OCE，∴EO=CO，同理：FO=CO，∴EO=FO；（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：由（1）得：EO=FO，又∵O是AC的中点，∴AO=CO，∴四边形CEAF是平行四边形，∵EO=FO=CO，∴EO=FO=AO=CO，∴EF=AC，∴四边形CEAF是矩形；（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，∴∠AEC=90°，∴AC===5，△ACE的面积=AE×EC=×3×4=6，∵122+52=132，即AB2+A C2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴△ABC的面积=AB•AC=×12×5=30，∴凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积﹣△ACE的面积=30﹣6=24；故答案为：24．点评：本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线、等腰三角形的判定、勾股定理以及面积的运算；熟练把握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与运确实是解决问题的关键．25．（12分）如图，正方形ABCD的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形OCBA绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数α，得到正方形DCFE，ED交线段AB与点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．（1）求证：△CBG≌△CDG；（2）认真探究，直截了当写出∠HCG=45°，HG、OH、BG之间的数量关系为HG=BG+OH．（3）连接BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中四边形AEBD能否为矩形？假如能，要求出点H的坐标；假如不能，请说明理由．考点：四边形综合题．分析：（1）依照正方形性质得出∠CBG=90°，CB=OC，依照旋转的性质得出∠CDG=90°，CD=OC，求出CD=BC，∠CDG=∠CBG=90°，∠CDH=90°，依照HL推出Rt△CBG≌Rt△CDG 即可；（2）求出Rt△COH≌Rt△CDH，推出OH=HD，∠OCH=∠DOH，依照全等得出BG=DG，∠BCG=∠DCG，即可得出答案；（3）依照正方形性质得出∠BAO=90°，AB=OA=6，依照矩形的性质得出DE=AB=6，BG=AG=3，求出DG=GE=AG=3，设OH=x，则DH=OH=x，依照勾股定理得出（6﹣x）2+32=（3+x）2，求出x即可．解答：（1）证明：∵四边形OCBA是正方形，∴∠CBG=90°，CB=OC，∵旋转正方形OCBA到正方形CDEF，∴∠CDG=90°，CD=OC，∴CD=BC，∠CDG=∠CBG=90°，∠CDH=90°，在Rt△CBG和Rt△CDG中，，∴Rt△CBG≌Rt△CDG（HL）；（2）解：∠HCG=45°时，HG=BG+OH，理由是：∵∠COH=∠CDH=90°，在Rt△COH和Rt△CDH中，，∴Rt△COH≌Rt△CDH（HL）；∴OH=HD，∠OCH=∠DOH，∵Rt△CBG≌Rt△CDG，∴BG=DG，∠BCG=∠DCG，∴HG=HD+DG=BG+OH，∠HCG=∠OCB=×90°=45°，故答案为，45°，HG=BG+OH；（3）解：在旋转过程中四边形AEBD能为矩形，∵四边形OCBA是正方形，B（6，6），∴∠BAO=90°，AB=OA=6，∵四边形AEBD是矩形，∴DE=AB=6，BG=AG=3，∴DG=GE=AG=3，设OH=x，则DH=OH=x，在RtGAH中，由勾股定理得：AG2+AH2=HG2，即（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，∴H的坐标是（2，0）．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和运确实是解此题的关键，用了方程思想，难度偏大．。