4分形维数基本概念
第三章-分形
M (< r ) r θ =( ) M0 r0
dN ∝ r
− D −1
dr
dM ∝ r θ −1 dr
r − D −1 dr ∝ r θ − 4 dr
θ = 3− D
第五节、 第五节、分形理论的应用 1、尾砂碎体分形
第 五 节 分 形 理 论 的 应 用
第五节、 第五节、分形理论的应用 1、尾砂碎体分形 、
第 五 节
分 形 理 论 的 应 用
尾砂分级是采用水力旋流器将细粒尾砂部 分分离，其原理类似于河沙沉降， 分分离，其原理类似于河沙沉降，粗颗粒沉速快 而被保留，细颗粒(细泥 被溢流带走。 细泥)被溢流带走 而被保留，细颗粒 细泥 被溢流带走。实践证明 河沙是一种自相似体， 河沙是一种自相似体，分级尾砂与河沙的形成机 理相似，具有自相似特性， 理相似，具有自相似特性，可采用分形理论研究 其颗粒分布特征。 其颗粒分布特征。 碎体分析中，使用最广泛的是幂指数关系， 碎体分析中，使用最广泛的是幂指数关系，包 含尺度r的颗粒数目与r之间满足如下关系
第五节、 第五节、分形理论的应用
第 五 节 分 形 理 论 的 应 用
2、采空区边界的分形 分形维数定量描述了分形结构自相似程度和 不规则程度。 不规则程度。采空区是地下有用资源被开采后留 下的空硐。 Wijs对成矿模型的研究结果表明 对成矿模型的研究结果表明， 下的空硐。De Wijs对成矿模型的研究结果表明， 矿体品位的赋存状态是分形的， 矿体品位的赋存状态是分形的，即矿体的形态具 有分形特征， 有分形特征，由于采空区的形态是矿体形态的相 似反应，因此采空区形状具有分形特征。 似反应，因此采空区形状具有分形特征。
节理面粗糙度系数与分形维数的关系
节理面粗糙度系数与分形维数的关系研究节理面粗糙度系数与分形维数的关系，对地质工程学、测井、地球物理勘探、地质建模、采矿及探矿等有重要意义。
粗糙度系数反映了节理面的畸变情况，分形维数反映了节理面曲率情况，这两者之间可能存在重要关系。
一、基本概念1、节理面粗糙度系数节理面粗糙度系数是指节理面之间的夹角、长度、宽度相对参数之间的比率，反映了节理面的畸变程度，也反映了节理体的形变程度。
2、分形维数分形维数是长度和周长的比值的指数，也叫分形维数或尺寸维数。
它反映的不是物体的实际尺寸，而是物体本身的分形曲率，即物体在细小尺度上的曲率状态。
二、研究方法1、建立模型将节理面粗糙度系数模型和分形维数模型结合起来，构成一个完整的模型，能够准确反映节理面粗糙度系数和分形维数之间的关系。
2、数据收集采用地质调查技术对节理面进行调查，收集有关节理面粗糙度系数和分形维数的数据。
3、统计分析采用统计分析的方法，根据收集的数据，对节理面粗糙度系数和分形维数进行统计分析，探索它们之间的关系。
三、结果与分析通过统计分析，可以分析出节理面粗糙度系数和分形维数之间的关系，并形成一个完整的模型。
1、统计结果分析统计结果表明，随着节理面粗糙度系数的增加，分形维数也会随之增加。
这一结果表明，节理面粗糙度系数与分形维数有一定的关系，它们之间的关系是密切的。
2、模型分析通过分析模型可以得出，当节理面粗糙度系数较高时，分形维数也会相应增加，反之亦然。
这一结果表明，节理面粗糙度系数与分形维数之间存在重要关系，即当节理面出现畸变或形变时，其分形维数也会随之增加。
四、结论从本研究可以得出结论，节理面粗糙度系数与分形维数之间存在重要关系，当节理面出现畸变或形变时，其分形维数也会随之增加。
本研究的结果可以为地质工程学、测井、地球物理勘探、地质建模、采矿及探矿等领域的研究提供参考，更好地挖掘和利用地质资源。
分形维数简介文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学分形维数简介一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点）“世界是非线性的”，分形无处不在.分形学科的诞生，使得我们重新审视这个世界.当人们用分形的观点重新审视自然物时，发现自然界的各种各样自然形态本质上都具有分形的结构.Mandelbrot创造“分形”（Fractal）这个词，用来表达“破碎、碎块、不规则”的意思.他明确指出：分形是局部与整体按某种方式相似的集合. 以在形态或结构上具有分形特征的大自然为研究对象的几何学，称为分形几何.自相似性或标度不变性是分形中的核心概念.在数学史上的“病态函数”或“魔鬼曲线”等分形集是严格意义上的自相似，而自然分形则是在统计意义上的自相似.貌似无规的分形图案可以由相应的分形元为基础，用迭代方法生成[]1．维数是几何对象的一个重要特征量.直观地说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目.抽象地讲，它是集合层次结构的一种量值标号，是集合空间复杂程度的一种量度.我们将Koch曲线（科赫曲线Koch曲线是一个数学曲线，同时也是早期被描述的一种分形曲线[]2）想象为可以用介于1维与2维之间的非整数维尺度来测量它可能正合适.这种非整数维数统称分维.分形维数是分形几何中的核心概念[]3．由于自然界的分形是种类繁多的，对不同的对象需用不同的测量方法，因此，分维也具有多种形式的定义.本文对分形维数的多种定义及其它的应用作出初步探索和分析.二、主题部分（阐明有关主题的历史背景，现状和发展方向，以及对这些问题的评述）由于计算技术和计算机图形学的进展，分形几何得到了速度的发展.分形这个名词Mandelbrot在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先将拉丁文Fractus转化后引入自然科学领域的.在分形名词使用之前的一个世纪，一些数学家就研究过不少奇异的、不光滑的集合，如Weierstrass 型函数、Cantor 集、Peano 曲线、Koch 曲线、Sierpinski 缕垫和海绵等.这些都属于规则的分形图形，它们是数学家按一定的规则构造出来的、具有严格的自相似性的分形图形，它们都属于自相似分形集.1913年Perrin 对变换无穷的布朗运动轨迹进行了深入的研究，明确指出布朗运动轨迹不具有导数.自然界的许多事物也具有不光滑性和不规则性.它们和几何学中的规则图形是不同的，这表现在对它们进行测量时，其被测值的大小一般随测量尺寸的变化而发生着变化，在一定测量范围内两者存在着幂函数关系.为了测量这些集合，1915年豪斯道夫引入了豪斯道夫维数的概念，这类统计自相似性图形和曲线的豪斯道夫维数一般都不是整数，而是一个分数值.20世纪20年代到70年代，维数理论得到了进一步的发展，引入了多种不同定义的维数使分形理论初具雏形.但这些研究大多局限于纯数学领域，基本上没有在其他学科中得到应用.Mandelbrot 在1988年出版了《Fractal ： Chance and Dimension 》一书，1982年又出版了《The Fractal Geometry of Nature 》一书.在这两本书中他将分形的理论及应用推动道一个全新的阶段.在这个阶段中分形理论本身得到迅速的发展、并得到科学界的广泛重视，同时在物理学、化学、生物学、地学、材料科学、表面科学、纳米科学乃至经济学等广泛的领域得到了应用[]4．分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.在理解分形维数的概念的基础上，进而来探讨以下分形维数的其他常用定义和一些在各个学科方面的应用.（1） 豪斯道夫（Hausdorff ）维数[]5 对于任意给定的集合F 和1δ<，()p H F δ对于p 来说是非增的，因为当0p =时，只要F 非空，必有()pH F δ=∞.若t p >且{}i U 是F 是δ-覆盖，我们有t p t p p t p i i i i i i i U U U U δ--=≤∑∑∑， 从而有()()t t p p H F H F δδδ-≤令0δ→，若()0p H F <<∞，必有()0()t H F t p =>.同理可证，当t p <时，若0δ→时，()0p H F <<∞，必有()t H F =∞.这说明存在一个临界值p ，在这点上，()p H F 从∞猛降为零，这个临界值称为F 的Hausdorff 维数，记为dim H F ，也称其为Hausdorff-Besicovitch 维.正规的写法应是(){}(){}dim inf :0sup :p p H F p H F p H F ====∞， 于是(),dim ,0,dim .H p H p F H F p F ∞<⎧=⎨>⎩ （2） 计盒维数[]6设F 是n R 上任意非空的有界子集，()N F δ是直径最大为δ，可以覆盖F 的集的最少个数，则F 的下、上计盒维数分别定义为()0log dim lim log B N F F δδδ→=-()0log dim limlog B N F F δδδ→=- 如果这两个值相等，则称这共同的值为F 的计盒维数或盒维数，记为()0log dim lim log B N F F δδδ→=- （3） 自相似集的维数[]7 设E 为对应于压缩比为i c 的相似压缩族{}1i i m S ≤≤的自相似集，那么()1mii E S E ==U .由此式，我们看到，影响E 的维数的一个重要因素是()i S E 的相对位置.进一步，若0E 为紧集，()00i S E E ⊂，则由定理：设1,...,m S S 为d ¡上的压缩，则设k S 为S 的k 次迭代，即对任意()d F ∈l ?，()()()()01:,:, 1.k k S F F SF S S F k -==≥如果F 满足()i S F F ⊂，则 ()1k k E S F ≥=I .E 的结构完全由逐阶迭代()0k S E 决定，从而()i S E 的相对位置亦由()0i S E 的相对位置确定.由()1m i i E S E ==U ，我们有()()1m s si i H E H S E =⎛⎫= ⎪⎝⎭U .如果()i S E 彼此间相交“不多”，由i S 的相似性及豪斯多夫测度的齐次性质，()()()s s s i i H S E c H E =，因此()()1m ss s i i H E c H E =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，如果()s H E 为正有限，则 11m s i i c==∑，从而维数s 由上式确定.注意到使11m s i i c==∑成立的s 是唯一存在的.事实上，令()1mt i i f t c ==∑，则()f t 为+¡上的连续单调函数，注意到()0f m =，()0f ∞=，从而存在唯一的()0,s ∈∞，使得11m s i i c ==∑成立的s 称为E 的相似维数，记为dim S E . （4） 关联维数[]8如果把在空间随机分布的某量坐标X 处中的密度记为()x ρ，则关联函数()C ε可用下式定义()()()C x x ερρε=<+>.这里<>L 表示平均.根据情况，平均可以是全体平均，也可以是空间平均.如果分布各个方向均等，只能用两点间的距离εε=的函数来表示关联函数.如果关联函数是幂型，则两点间的距离便不存在特征长度，关联总是以同样比例衰减.假如关系为()a C εε-∝,则有a d D =-.式中：d —空间维数；D —分形维数.1983年，P. Grassberger 和J. Procassia 给出了关联维数的定义：()20ln limln C D εεε→= 式中 ()()2,11Ni j i j C H x x N εε==--∑. 下面来简单介绍下分形维数的一些在其他方面应用.随着科学技术的不断发展，人类对自然界奥秘的探索和认识也在以前所未有的速度向前迈进.对于我们无法直接用实验观察和测量的自然现象，可以将其放大（微观领域）和缩小（宏观领域），研究同其具有相似维数的自然现象以寻找其规律.事实上，只要两种自然现象的绝对分形一直，那么就有预测的价值，自相似性和分形维数的无标度性正式我们将固体“类流态”研究同地震研究联系起来的理论基础. 固体“类流态”其实指的是固体材料中所存在的具有流体特征的活动胞区，是一种具有明显的自组织性、耗散结构和非线性特征的一种状态.具有类流态特征的胞区在I 临界点附近具有流体的一些特性，出现波动并且没有固定的形状，同时又具有典型的晶体特征——各向异性[]9.它对的地震的研究起到了重要的作用，也为另外一些无法直接观察和实验的自然现象的研究提供了一种新的思路.当然在人文地理学各分支学科（城市地理学、经济地理学、交通地理学）的应用也是非常的广泛.分形理论在我国城市地理学中广泛应用还是90年代.其中艾南山、李后强、李继生、陈彦光等人在此方面都做过有力的探讨，取得了显著的成果.城镇体系是目前城市地理学研究中的一个主要内容，将分形理论应用于城市体系研究是目前分形理论在人文地理学应用中一个比较成熟的方面[10].目前研究表明城镇体系的空间结构和等级结构都存在无标度性，具有分形特征.在国内，分形理论在地理学中的应用自20世纪90年代以来渐渐活跃起来，但就分形理论在地理学中的现有应用和研究现状而言，研究多集中于自然地理学和人文地理学方向，而在新兴的地理信息科学方面的应用则相对较少.地理信息科学主要是研究应用计算机技术对信息的处理、存储、提取，以及管理和分析过程中所提出的一系列基本理论问题和技术问题[]11.分形理论在对地理信息的模拟上具有独特的方法，将给地理信息科学带来全新的描述方法和分析工具.因此，分形理论在地理信息科学的综合应用将为未来地理信息科学的发展提供基础.分形理论还被引入到了材料研究中，其中炭在气体分离、脱硫、除臭、净化和催化过程中得到广泛使用，对活性炭的有效使用需要了解其恐径分布和表面不规则性，在一定尺寸范围内表现出自相似性，而分形维数是不规则性的一个度量[]12.随着分形理论的发展，对分维的进一步的研究，对活性炭的研究越来越方便.分形维数除了在这些学科上的应用，还在图像分析中得到了应用.自然物体和人工物体的图像在分形维数上存在着一定的差异，正是这个差异，使得分形理论和技术在图像分析中的应用成为可能[]13.在图像分类[]14中、在图像分割中、在图像边缘检测中，分形维数很好地作为参数.分形维数的应用还有很多很多，在实际生活中叶越来越重要.这也就需要一些分形维数的计算方法来辅助，如根据分布函数求维数、根据测度关系求维数、根据关联函数求维等等.当然、计算维数也有许多的技巧，除了基本方法、还有有限测度子集、位势理论方法、傅里叶变换法[]15等等.三、总结部分（将全文主题进行简要总结，提出自己的见解并对进一步发展方向作出预测）分形作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.而分形维数是描述分形最主要的参量.它反映了复杂形体占有空间的有效性和复杂形体不规则性的量度.它不仅在理论上，而且在实际上都具有着重要的价值.这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等.分形维数的应用是如此广泛，它的特性是如此迷人.我们拥有的这个新几何，甚至可以描述变化的宇宙.站在这个巨人的肩膀上，我们可以实现许多原来被我们视为奇异或是不可能实现的东西，不觉中人们感叹原来世界可以这样.四、参考资料（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]龚礼华. 客观世界种普遍存在的分形与分维[J]. 达县师范高等专科学校学报（自然科学版）. 2004,14(5): 22-32.[2]Claude Tricot. 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基于分形维数的图像纹理分析方法
基于分形维数的图像纹理分析方法一、分形维数理论基础分形维数是描述复杂几何形状的一种度量，它超越了传统的欧几里得维数概念。
分形理论由曼德布罗特在1975年提出，它揭示了自然界中普遍存在的自相似性特征。
分形维数的概念不仅在数学上具有重要意义，而且在物理学、生物学、地球科学等多个领域都有广泛的应用。
1.1 分形维数的定义分形维数是衡量一个分形集合的复杂性或不规则性的量度。
与整数维数不同，分形维数可以是分数，甚至是无理数。
它通过自相似性来定义，即一个分形集合可以被无限分割成与其自身相似的更小部分。
1.2 分形维数的计算方法计算分形维数的方法有多种，其中最著名的是盒计数法（Box-counting method）。
盒计数法的基本思想是将研究对象划分为许多小盒子，然后统计覆盖整个对象所需的最小盒子数量。
随着盒子尺寸的减小，所需盒子数的变化率与盒子尺寸的幂次相关，这个幂次即为分形维数。
1.3 分形维数的数学特性分形维数具有一些独特的数学特性。
例如，它不是整数，可以是任意实数；它不依赖于观察尺度，具有尺度不变性；分形维数与对象的几何形状和复杂性密切相关。
二、图像纹理分析的重要性图像纹理分析是图像处理和计算机视觉领域的一个重要分支。
纹理是图像中重复出现的局部模式，它反映了图像的表面特性和结构信息。
通过分析图像纹理，可以提取出图像的重要特征，用于图像识别、分类、分割等多种应用。
2.1 图像纹理分析的应用领域图像纹理分析在多个领域都有应用，包括但不限于：- 医学图像分析：通过分析组织纹理，辅助疾病诊断。
- 遥感图像处理：分析地表纹理，用于环境监测和资源勘探。
- 工业检测：识别产品表面的缺陷和纹理异常。
- 计算机视觉：在图像识别和场景理解中提取纹理特征。
2.2 图像纹理分析的挑战尽管图像纹理分析非常重要，但它也面临着一些挑战：- 纹理的多样性：不同的纹理具有不同的特征，需要不同的分析方法。
- 光照和噪声的影响：光照变化和图像噪声可能会影响纹理分析的准确性。
分形维数的定义
分形维数的定义
哎呀，啥是分形维数呀？这可真是个让人头疼的问题呢！
我记得有一次上数学课，老师突然就讲到了分形维数。
我当时一脸懵，心里想：这到底是个啥玩意儿？难道是从外太空来的神秘概念？
老师在黑板上画了好多奇奇怪怪的图形，一边画一边说：“同学们，分形维数可不是那么容易理解的哦！” 我瞅瞅同桌，他也是皱着眉头，好像在说：“这也太难了吧！”
老师说：“就好比一棵大树，它的树枝不断分叉，越分越细，看起来杂乱无章，但其实是有规律的。
这个规律就和分形维数有关系。
” 我心里嘀咕：这能有啥关系呀？大树的树枝和分形维数，难道它们是好朋友？
又比如说一片雪花，它的形状那么精美复杂，每一个小分支都相似又不完全相同。
这不就像一个神秘的密码，而分形维数就是解开这个密码的钥匙！
再想想我们的指纹，每个人的指纹都不一样，那一道道弯弯绕绕的线条，难道也藏着分形维数的秘密？
经过老师的一番讲解，我好像有点明白了。
分形维数就是用来描述那些看起来不规则、复杂，但又有着某种内在规律和相似性的图形或者现象的一个工具。
哎呀，我觉得分形维数就像是一个隐藏在数学世界里的小精灵，等着我们去发现它、了解它！虽然现在我对它的认识还只是一点点，但我相信，只要我努力学习，总有一天能把这个小精灵彻底搞清楚！你们是不是也觉得分形维数很神秘很有趣呢？。
分形几何中的分形维数和分形几何的应用
分形几何是一种研究具有自相似性质的几何形状的数学分支，而分形维数是用来描述这些分形形状的维度的概念。
分形几何的应用涵盖很多领域，比如自然科学、工程技术、金融等。
在这篇文章中，我们将探讨分形维数以及分形几何的应用。
首先，我们来了解一下分形维数的概念。
在传统的几何学中，维度是用来描述几何图形的尺寸的性质。
比如，平面图形的维度是2，立体图形的维度是3。
但是分形几何中的图形具有自相似性质，即图形的一部分与整体具有相似的形状，因此无法用传统的整数维度来描述。
为了解决这个问题，引入了分形维数的概念。
分形维数是一种用来描述具有自相似性质的图形的尺寸的数学工具。
具体来说，分形维数分为Hausdorff维数和盒维数两种。
Hausdorff维数是一种用来描述图形的粗糙度的维度，而盒维数是一种用来描述图形的分形特性的维度。
通过计算分形维数，我们可以量化和比较不同的分形形状，进而深入研究它们的数学性质和物理特性。
分形几何的应用非常广泛。
在自然科学领域，分形几何可以用来描述和研究自然界中的复杂结构，比如云雾、河流、树木等。
通过分析和计算它们的分形维数，我们可以揭示它们的自相似性质和分形特征，进而深入理解自然界的复杂性。
在工程技术领域，分形几何可以应用于图像处理、信号处理、网络设计等方面。
例如，分形压缩算法可以利用图像的自相似性压缩图像数据，从而实现图像的高效传输和存储。
此外，分形天线设计可以通过利用分形几何的自相似性，实现较宽带、较小体积的天线性能。
在金融领域，分形几何可以应用于股票价格的预测和分析。
通过分析股票价格的分形结构和分形维数，可以揭示市场的复杂性和非线性特性，进而辅助制定投资策略和风险管理。
除此之外，分形几何还可以应用于人工智能、生物学、城市规划等领域。
例如，分形模型可以用来生成逼真的自然景观和虚拟世界。
另外，分形几何的概念也可以用来研究生物系统的形态和发育过程。
在城市规划中，分形几何可以用来研究城市的空间分布和交通网络的优化。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用引言分形理论是20世纪80年代提出的一种新的数学研究领域，它提出了一种全新的描述自然界和社会现象的数学模型。
分形理论的提出对科学领域产生了深远的影响，不仅在自然科学中有广泛的应用，而且在工程领域也有着重要的意义。
本文将介绍分形理论的基本概念及其在机械工程中的应用。
一、分形理论的基本概念1. 分形的定义分形是指在任意尺度下具有相似结构的图形或物体。
换句话说，分形是一种具有自相似性质的几何图形，即无论是放大还是缩小，都具有相同或相似的形状。
这种自相似性是传统几何图形所不具备的特征，因此分形具有特殊的几何结构特征。
2. 分形的特征分形具有以下几个显著特征：（1）分形维数：分形物体的维数可以是小数或者非整数。
这与传统的欧几里德几何中的整数维度有着本质的区别。
分形维数也被称为“分形量度”，用来描述分形图形的粗糙程度或者曲折程度。
（2）分形的不规则性：分形图形通常具有不规则性和复杂性，无法用传统的几何图形来精确描述。
（3）分形的自相似性：分形图形在各种尺度上都具有相似的结构，这是其与传统几何图形最大的区别。
以上特征使得分形成为一种新型的几何结构，有着广泛的应用前景。
二、分形理论在机械工程中的应用1. 分形表面处理技术分形理论在机械工程中的应用最为广泛的领域之一就是表面处理技术。
利用分形理论，可以设计出具有特定粗糙度和摩擦特性的表面结构，从而实现对摩擦、磨损和润滑等性能的控制。
传统的表面处理方法往往要求加工具有规则的结构，而分形表面处理技术则可以通过模拟自然界中的分形结构，设计出更为复杂和多样化的表面形貌。
2. 分形几何构型在机械设计中的应用分形理论提出的自相似性概念在机械设计中也有着重要的应用。
在机械零部件的设计过程中，通过引入分形几何构型，可以实现对结构的自相似性设计，提高零部件的疲劳寿命和强度，改进结构的性能。
分形几何构型还可以用来设计具有分形特性的传感器和控制器等机电一体化系统，提高系统的精度和稳定性。
分形维数浅释
分形维数（Fractal Dimension）浅释笔者: 喻麟佑博士（美国亚利桑那大学物理学博士）2012年3月于广州前言：最近，数学课下课后，有学生问我一个网上流传的数学问题，令很多学生困惑。
简化以后，大意可以由下图描述：三角形的两个斜边一直往下折，折了无穷次后，看起来不就是和底边一样了？那么，1 + 1不就等于了？要回答类似这个问题，必须了解分形(Fractal)的原理才行。
其实这两个斜边，折了无穷次后，是一个分形的结构，和一条直线是大不相同的。
现在，我们来了解一下分形的原理。
正文：分形 (Fractal) ，又称“碎形” 或“残形”。
这种几何形状，对很多人而言，其实并不陌生，大家或多或少都可在一些书本、杂志封面、海报或月历等地方看到过。
自从20世纪80年代开始 [注一] ，“混沌(chaos)”，“奇异吸引子(strange attractors)”，“分形(fractal)”, 还有与以上相关的许多新名词，如雨后春笋般呈现，且被人们所津津乐道。
无论是专业人士的讨论或一般茶余饭后的闲谈皆然。
分形几何，有若干特性，例如“自相似性（self-similarity）”等等。
本文由一个最耐人寻味的特性切入，那就是分形维数（Fractal Dimension）。
并且，也借此讨论过程，得以对分形（碎形）有更深入的了解。
首先，众所周知，一般几何所用的维数，或维度 (Dimension) 是整数，如一个点是0维，一条线段是1维，一个在平面上的几何图形是2维，如一个方形或一个圆形；再者，一个立方体或一个球形，则被视为3维。
然而，分形，却具有非整数的维数。
这是怎么回事呢？为了解释清楚，我们先看看一条线段（如图一）：图一如果我们把此线段分割一次，则，，式中 L 是一个常数，n是分割的次数，乃分割n 次后的总碎片数，是分割n 次后的每一碎片的长度第二次分割（每个线段再分割一次）：，，第三次分割（每个线段再分割一次）：，，因此，我们不难知道，分割 n 次后，总碎片数：，每一碎片大小：现在，让我们来定义一个维数D：(式一)式中，L 的D次方（即维数）等于，分割n 次后的总碎片数，乘上每一碎片长度的D次方。
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2.分形布朗运动方法
3.面积测量法
分数维数则表征的是对象动态的变化过程。将其扩展到自然界的动态行为和现象
中,那么分数维数就是自然现象中由细小局部特征构成整体系统行为的相关性的
一种表征,即:对于一个对象,只有通过使用非整数数值的维数尺度去度量它,才
能准确地反映其所具有的不规则性和复杂程度,那么这个非整数数值的维数就
称为分形维数。
公式：N(r)～r-DH
DH=LnN(r)／Ln(1/f) DH 为豪斯多夫维数， 分形维数种类：
1.Hausdorff 维数（最基本）
2.相似维数
3.盒维数
4.容量维数
5.关联维数
6.信息维数
计算分形维数的具体方法：
（1）基于二值图像的 BC 算法
1.计盒算法（简易性和可计算性）（2）基于灰度图像的 DBC 算法
（3）基于三维图像的 3D 分形维数算
分形维数基本概念：
形维数是分形几何理论及应用中最为重要的概念和内容,它是度量物体或分
形体复杂性和不规则性的最主要的指标,是定量描述分形自相似性程度大小的参
数。
欧氏几何中,维数一般有两种含义:
(1)欧氏空间中的 4 个维数(D=0、1、2、3);
(2)—个动力系统所含的变量的个数。
整数维数是被包含ห้องสมุดไป่ตู้分数维数中的。相对于整数维数反映对象的静态特征,