分形的量化——分数维
分形的量化——分数维
1. 欧氏几何的长度、面积、体积等测度对分形刻划无效——如何研究分形？维数是几何学和空间理论的基本概念。
欧氏几何研究的规则图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量，但对海岸线这类不规则的分形，维数才能很好地刻划它们的复杂程度，因而维数才是最好的量化表征。
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
2. 维数观念的历史回顾（1）传统的欧氏维数欧氏几何学、欧氏空间（即日常接触的普通空间）的维数概念点---0维；线---1维；面---2维；体---3维。
在欧氏几何学中，要确定空间一个点的位置，需要3个坐标，即要用三个实数（X、Y、Z）来表示立体图形中的一个点，坐标数目与空间维数相一致，立体图形的维数为3。
要确定平面一个点的位置，需要2个坐标，坐标数目与平面维数相一致，平面图形的维数为2。
相应地，直线的维数为1，点的维数为0。
这种维数概念和人们的经验相一致，被称为经验维数或欧氏维数，或经典维数，用字母d表示。
它的值为整数。
（2）传统维数观念的危机（1890年）（3）维数研究的重要成果——拓扑维数这是数学的一个重要分支——拓扑学中的维数概念。
拓扑学也称为橡皮几何学，它研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。
比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但不破裂或折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。
画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。
对于任何一个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数Dt=1。
在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的经典维数d=1。
可以论证对一个几何图形，恒有Dt=d。
拓扑维数Dt的值也为整数。
（4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年）分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分形维数算法
分形维数算法．分形维数算法分形包括规则分形和无规则分形两种。
规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。
这些分形图形具有严格的自相似性。
无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。
这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。
对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。
不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。
因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。
分形维数D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20）如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262;Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。
对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。
不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的[26]。
点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法（1）尺码法用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。
不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。
如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系-D（2-21） N～λ上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。
Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。
海岸线绝对长度L被表示为：1-D（2-22）L=Nλ～λ他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈[27]。
[转载]分形---自相似性
![[转载]分形---自相似性](https://img.taocdn.com/s3/m/e588f34e3a3567ec102de2bd960590c69ec3d885.png)
[转载]分形---⾃相似性原⽂地址：分形---⾃相似性作者：凯分形, 简单的讲就是指系统具有“⾃相似性”和“分数维度”。
所谓⾃相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采⽤什么样⼤⼩的测量“尺度”，物体的形状不变。
如树⽊不管⼤⼩形状长得都差不多, 即使有些树⽊从来也没见过, 也会认得它是树⽊；不管树枝的⼤⼩如何，其形状都具有⼀定的相似性。
所谓分形的分数维, 是相对于欧⽒⼏何中的直线、平⾯、⽴⽅⽽⾔的, 它们分别对应整数⼀、⼆、三维，当然分数维度“空间”不同于⼈们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。
说起来⼀般⼈可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对⼀个⾜够⼤的海岸线⽆论采⽤多么⼩的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于⼀个确定值！⽤数学语⾔来描述即是海岸线长度与测量标尺不是⼀维空间的正⽐关系，⽽是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。
⾃相似性⼜揭⽰了⼀种新的对称性，即画⾯的局部与更⼤范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。
这种对称不同于欧⼏⾥德⼏何的对称，⽽是⼤⼩⽐例的对称，即系统中的每⼀元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
⽆论放⼤多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。
但是，注意观察上图，我们会发现：每次放⼤的图形却并不和原来的图形完全相似。
这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的⾃相似特性。
分形能够保持⾃然物体⽆限细致的特性，所以，⽆论你怎么放⼤，最终，还是可以看见清晰的细节。
周期性是⾃然界发展变化的基本规律之⼀，经济发展周期性表现为描述经济发展的数量指标“时好时坏”波浪式变化, 并不是简单的重复；总体上讲⼈类社会的经济发展是波浪式前进的, 历史是不会逆转的。
随机波动曲线具有“⾃相似性”。
价格波动曲线的分形，与海岸线同类, 都具有1.618（左右）的分形维特性，其分形形态不可能象科赫曲线⼀样表现为精确的⼏何图形，随机性是这种曲线⾛势的基本特征；曲线⾃相似性的意义是突出随机过程中的关联效应。
混沌与分形（二）：分形的奇迹——分数维的曲线
混沌与分形（二）：分形的奇迹——分数维的曲线混沌的秘密，不可思议地隐藏在分形的世界里。
分形（fractal），该术语最早是由美国数学家曼德勃罗（Mandelbrot）于1973年提出。
曼德勃罗（1924-2010）（图片来源网络）在其名著《大自然的分形几何学》中，曼德勃罗开创了分形几何学。
分形几何以及与其相关的非线性理论，很快就显示出强大的生命力，其影响迅速遍及科学和社会的每个角落。
许多学科中的难题，因为分形的介入而焕然一新。
如梦初醒的科学家才发现，原来分形的身影已经在世界上默默存在了数亿年，从地球诞生始就向大自然昭示其深邃的奥秘。
植物的分形（图片来源：网络）生活中常见的花菜、雷雨过后的闪电、凛冬漫天飞舞的雪花、贝壳身上的螺旋图案，小至各种植物的结构及形态，遍布人体全身纵横交错的血管，大到天空中聚散不定的白云、连绵起伏的群山，它们都或多或少表现出分形的特征。
乍看起来杂乱无章的分形，原来是大自然的基本存在形式，无处不在，随处可见。
分形如此广泛地分布在自然界中，却又与千百年来的智者擦肩而过。
它的发现，正式揭开了大自然最迷人和动人的奥义之一。
早在两千多年前的古希腊时代，人们最杰出的成就来自数论与几何，特别是欧几里得几何的建立，更使得几何学成为最严格和易于把握的公理化体系。
几何研究的对象是图形。
为了研究不同的几何对象，人们倾向于把它们进行归类。
从点、线、面到立体，人们的思维逐渐扩展开来。
渐渐地，人们意识到区别几何图形的重要分水岭：维度。
直线和曲线是一维的图形，平面则是二维的图形，立体则属于三维的空间。
一切都是那么的直观，历史在平静地流淌。
直到有一天，一件匪夷所思的事打破了人们对维度的信念。
1890年，意大利数学家皮亚诺（Piano）构造了一种奇怪的曲线，该曲线自身并不相交，但是它却能通过一个正方形内部所有的点。
换句话说，这条曲线就是正方形本身，进而应该拥有和正方形一样的面积！这个怪异的结论让当时的数学家大吃一惊，更让数学界感到深切的不安：如此一来，我们拿什么来区分曲线和平面？这条曲线究竟是一维，还是二维？经典的几何在它面前束手无策。
第十一章 分形结构和分数维
dB
lim
0
ln N ( ,F ln(1/ )
)
,
称为计盒维数。
数值计算和实验中广泛采用
一些无规分形的维数 （1）海岸线和边界线(Ruler)
20世纪20年代，英国科学家 L.F.Richardson 研究海岸线的长
度时，总结了许多人的研究结果，发现不同长度的标尺 测r得的长度
不同。N (r) 海岸线和分界线实质上是分形，它们十分曲折，取一大段放大后仍然 是曲折的，与科克曲线比较，属于无规分形
分形“无定形，无形状可言”！因此用简单的欧式几何是无法描述其 性质的。
3
分形几何的创始人
Benoit Mandelbrot
Oxford的Newton博物馆 4
博学多才的大师
1924年出生于波兰华沙; 1936年移居法国巴黎; 1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位; 1952年在巴黎大学获数学博士学位; 曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学”数学实践讲 座”教授,IBM公司的研究员.
二、分形及分维
定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。 Fractal一词是B.B.Mandelbrot 1975年提出的。
Koch曲线
Sierpinski 地毯
分形三要素
• 形状 • 维数（随尺度变化的一个有限、定量描述） • 随机性（随机产生、动力学）
维数 (1) 相似维
N (1/ 4) 41
分形(Fractals)
内容提要
• 分形的例子 • 分形的定义及分维 • 产生分形的数学模型 • 产生分形的物理模型
芒德罗布(B.Mandelbrot):为什么几何学常常被说为‘冷酷无情’和 ‘枯燥无味’的？原因在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木 的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、树皮并 不光滑、闪电更不是沿直线传播的……。
分形维数的物理意义
分形维数的物理意义分形维数是分形几何学中一个非常重要的概念，它描述了分形物体的空间结构。
通过分形维数，我们可以更加深刻的理解分形物体的性质和特征，从而对自然界中的各种物体和现象进行更加精细的分析和研究。
下面，就让我们一起来探讨一下分形维数的物理意义吧。
一、分形维数是什么？分形维数是指用一个具有固定长度的测量单位来测量分形几何体的维数。
具体来说，比如我们用线段来测量曲线形状，这个曲线的维数就是1；用面积来测量圆的形状，这个圆的维数就是2。
但对于分形对象来说，这种简单的测量方式就行不通了，因为它们的形状十分复杂，具有不连续性和自相似性。
因此，我们需要寻找一种更加精细的测量方式来描述它们的结构和维数。
二、为什么需要分形维数？分形物体的特点在于它们具有尺度不变性和自相似性。
也就是说，无论在任何尺度下，这个物体的形态都是相似的，但又具有不同级别的“粗糙度”，这种形态和粗糙度特征的描述就需要分形维数来进行。
比如说，我们可以用分形维数来描述分形曲线的分形程度，或者用分形维数来描述海岸线的分形程度。
这些都是自然界中非常常见的分形物体，而分形维数的使用能够让我们更加准确地对其进行研究和分析。
三、分形维数的物理意义1、描述物体的内部结构使用分形维数可以描述物体的内部结构，因为它可以揭示物体在不同尺度下的自相似性和重复性。
比如说，使用分形维数可以研究骨骼和肺部的微观结构和特征，这些都可以被用于医学图像识别和疾病诊断中。
2、了解物体的生长和演化分形维数可以用于研究物体的生长和演化，因为在生物学和生态学领域中，许多生物体和环境现象都具有分形特征。
比如说，植物的生长和发展，森林的生态结构，乃至于一些社会现象都具有分形特征。
使用分形维数可以让我们更加准确地描述和研究这些现象。
3、研究物体的表面形态分形维数可以用于描述物体的表面形态，在材料科学和工程学中有着广泛的应用。
通过分形维数的测量和分析，可以得到材料表面的粗糙度参数和表面结构参数等信息，从而更好地理解和控制材料的表面性能和结构特征。
分形几何中的分形维数和分形几何的应用
分形几何是一种研究具有自相似性质的几何形状的数学分支，而分形维数是用来描述这些分形形状的维度的概念。
分形几何的应用涵盖很多领域，比如自然科学、工程技术、金融等。
在这篇文章中，我们将探讨分形维数以及分形几何的应用。
首先，我们来了解一下分形维数的概念。
在传统的几何学中，维度是用来描述几何图形的尺寸的性质。
比如，平面图形的维度是2，立体图形的维度是3。
但是分形几何中的图形具有自相似性质，即图形的一部分与整体具有相似的形状，因此无法用传统的整数维度来描述。
为了解决这个问题，引入了分形维数的概念。
分形维数是一种用来描述具有自相似性质的图形的尺寸的数学工具。
具体来说，分形维数分为Hausdorff维数和盒维数两种。
Hausdorff维数是一种用来描述图形的粗糙度的维度，而盒维数是一种用来描述图形的分形特性的维度。
通过计算分形维数，我们可以量化和比较不同的分形形状，进而深入研究它们的数学性质和物理特性。
分形几何的应用非常广泛。
在自然科学领域，分形几何可以用来描述和研究自然界中的复杂结构，比如云雾、河流、树木等。
通过分析和计算它们的分形维数，我们可以揭示它们的自相似性质和分形特征，进而深入理解自然界的复杂性。
在工程技术领域，分形几何可以应用于图像处理、信号处理、网络设计等方面。
例如，分形压缩算法可以利用图像的自相似性压缩图像数据，从而实现图像的高效传输和存储。
此外，分形天线设计可以通过利用分形几何的自相似性，实现较宽带、较小体积的天线性能。
在金融领域，分形几何可以应用于股票价格的预测和分析。
通过分析股票价格的分形结构和分形维数，可以揭示市场的复杂性和非线性特性，进而辅助制定投资策略和风险管理。
除此之外，分形几何还可以应用于人工智能、生物学、城市规划等领域。
例如，分形模型可以用来生成逼真的自然景观和虚拟世界。
另外，分形几何的概念也可以用来研究生物系统的形态和发育过程。
在城市规划中，分形几何可以用来研究城市的空间分布和交通网络的优化。
分形机遇和维数
分形是一类几何结构，其特点是具有自相似性，即某一部分的形状和整体的形状相似。
分形维数是一种用于度量分形复杂性的概念，而分形机遇则涉及到在分形结构中发现和利用的可能性。
1. 分形维数：•常见的维数：♦Euclidean（欧几里得）维数：大多数几何形状的维数，如直线的维数为1、平面的维数为2。
♦分数维数：分形通常有分数维数，表示分形的复杂性。
分数维数可以是非整数，反映了分形的自相似性和尺度不变性。
•计算分形维数：♦盒计数法（Box Counting）：通过在不同尺度下覆盖分形结构，计算所需的盒子数量，然后通过一些数学方法计算维数。
♦Hausdorff 维数：通过测量集合中点与点之间的最大距离，来定义分形的维数。
2. 分形机遇：•数据挖掘和分析：在分形结构中，可能存在未知的、有趣的模式和规律，可以通过数据挖掘方法发现。
分形机遇涉及到对这些模式的利用，可能带来新的见解和应用。
•图像处理和压缩：分形图像压缩算法利用分形结构的自相似性，将图像表示为一系列相似的子结构，实现高效的压缩。
•金融市场：分形机遇也可用于金融市场的分析，发现市场中的自相似模式，用于预测趋势或行为。
3. 分形维数与机遇的关系：•维数的解释：分形维数是度量分形复杂性的工具，较高的分形维数通常表示较复杂的结构。
这可能意味着在分形结构中存在更多的机遇和规律待发现。
•机遇的利用：分形机遇涉及到对分形结构的深入理解，以便更好地利用其中的模式和规律，无论是用于科学研究、数据分析还是应用开发。
总体而言，分形维数与分形机遇之间存在密切关系。
通过对分形结构的维数进行测量和理解，我们可以更好地把握分形中潜在的机遇，并利用这些机遇进行更深入的研究和应用。
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1. 欧氏几何的长度、面积、体积等测度对分形刻划无效
——如何研究分形？
维数是几何学和空间理论的基本概念。
欧氏几何研究的规则图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量，但对海岸线这类不规则的分形，维数才能很好地刻划它们的复杂程度，因而维数才是最好的量化表征。
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
2. 维数观念的历史回顾
（1）传统的欧氏维数
欧氏几何学、欧氏空间（即日常接触的普通空间）的维数概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
体---3维。
在欧氏几何学中，要确定空间一个点的位置，需要3个坐标，即要用三个实数（X、Y、Z）来表示立体图形中的一个点，坐标数目与空间维数相一致，立体图形的维数为3。
要确定平面一个点的位置，需要2个坐标，坐标数目与平面维数相一致，平面图形的维数为2。
相应地，直线的维数为1，点的维数为0。
这种维数概念和人们的经验相一致，被称为经验维数或欧氏维数，或经典维数，用字母d表示。
它的值为整数。
（2）传统维数观念的危机（1890年）
（3）维数研究的重要成果——拓扑维数
这是数学的一个重要分支——拓扑学中的维数概念。
拓扑学也称为橡皮几何学，它研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。
比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但不破裂或折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。
画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。
对于任何一
个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数Dt=1。
在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的经典维数d=1。
可以论证对一个几何图形，恒有Dt=d。
拓扑维数Dt的值也为整数。
（4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年）
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分形是与欧氏几何图形截然不同的另一类图形，它的维数一般是分数，所以分形的维数被称为分数维。
由于分形又分为规则分形、不规则分形等许多种类，所以为了测出各类不同分形的维数往往必须使用不同的方法，因而得出多种不同名称的维数。
在这些维数中，最重要的是豪斯多夫维数。
它之所以重要，是因为它不仅适用于分形，也适用于欧氏几何图形。
只不过当它用于欧氏几何图形时，值为整数，而用于分形时，值一般为分数。
3. 分数维数的合理性
（1）直观几何的启示
一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。
六个这样的正方形组成的正方体是三维的。
直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。
测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。
假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。
我们有下式:
log4/log2=2 log8/log2=3
这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义:测度维的概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
（2）豪斯多夫维数的基本思想
分维的概念我们可以从两方面建立起来：
一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。
将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。
其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。
一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：
a^D=b,?D=logb/loga
的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。
另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。
那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。
与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），
那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b
D即维数D=logb/loga
分数维是衡量分形的基本参数之一。
（3）对单位直线段n等分，每段长为r ，有n × r 1 = 1
对单位正方形n等分，小正方形边长为r，有n × r 2 = 1
对单位正方体n等分，小正方体边长为r，有n × r 3 = 1
三个等式中r 的幂次实际上是该几何体能得到定常度量的空间维数，一般地n × r d s = 1
ds = -ℓn n / I n r, ds称为相似维数
4. 分数维的计算
（1）对科赫曲线：n = 4 n，每段长(1/3 ) n
ds = - ℓn 4 n /ℓn(1/3 ) n = ℓn 4 /ℓn3 ≈1.2618
（2）对谢尔宾斯基垫片：n = 3 n，每边长( 1/2 ) n
ds = - ℓn 3 n / ℓn（1/2）n = ℓn 3 /ℓn2 ≈1.5850
（3）对康托尔三分集：n = 2 n，每段长(1/3 ) n
ds = - ℓn 2 n / ℓn（1/3）n = ℓn 2 / ℓn3 ≈0.6309
（4）对门杰海绵：n = 20 n，小正方体每边长(1/3 ) n
ds = - ℓn 20 n / ℓn (1/3 ) n = ℓn 20 / ℓn3 ≈2.7268。