什么是分形
fractal and fractional 水平 -回复
fractal and fractional 水平-回复问题，并提供相关的解释和例子。
[fractal and fractional 水平]是什么意思？这两个概念之间有什么联系和区别？在数学中，"fractal"（分形）是指一类具有自相似性的几何图形，而"fractional"（分数）则是指数的一种表示形式，用于表示一个数量的部分或比例。
尽管这两个术语听起来相似，但它们描述的是不同的概念。
本文将一步一步解答这些问题。
首先，我们来探讨一下"fractal"（分形）的概念。
分形是一类几何图形，它们在不同的尺度上具有相似性。
也就是说，当我们对这些图形进行放大或缩小时，总是可以发现自相似的结构。
分形图形通常都非常复杂且具有模式重复的特点。
一个著名的分形是Mandelbrot集合，它是一个由复数构成的集合。
Mandelbrot集合的特点是，当我们对其中的每个点进行迭代计算，并根据计算结果确定该点的颜色时，会产生丰富且复杂的图案。
不管我们选择放大哪个部分，我们总是可以看到类似的图案出现。
另一个著名的分形是科赫曲线（Koch curve），它是一个由连续线段组成的图形。
科赫曲线的生成过程非常简单：我们从一个等边三角形开始，然后将每条边分成三等份，并在中间一段上加上一个等边三角形。
这样的过程可以一直进行下去，生成越来越复杂的图案。
与分形相关的一个重要概念是分形维度（fractal dimension）。
分形维度是一个描述分形图形复杂程度的指标。
与传统的欧几里得维度（integer dimension）不同，分形维度可以是一个非整数，甚至是一个分数。
这是因为分形具有自相似性，可以在多个尺度上进行测量。
接下来，我们来讨论一下"fractional"（分数）的概念。
分数是用来表示部分或比例的数学概念。
它是将一个量分成若干等分的表示方法。
分数由两个整数构成，分子（numerator）和分母（denominator），用斜杠（/）来表示。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形是一种几何图形，它具有自相似的特性，即整体的形状和局部的形状都具
有相似性。
分形原理最早由法国数学家Mandelbrot提出，他认为自然界中的许多
现象都可以用分形来描述。
分形原理不仅在数学领域有着广泛的应用，还在生物学、物理学、经济学等领域都有着重要的意义。
在数学领域，分形可以用来描述自然界中的许多复杂现象，比如云彩的形状、
树叶的脉络、河流的分布等。
利用分形原理，我们可以更好地理解这些现象背后的规律。
而在生物学领域，分形原理也有着广泛的应用。
比如，我们可以利用分形原理来研究植物的生长规律，动物的群体分布等。
在物理学领域，分形可以用来描述许多复杂的物理现象，比如分形几何可以用来描述分形维度，分形维度可以用来描述物体的复杂程度。
除了在基础科学领域有着广泛的应用之外，分形原理还在工程技术领域有着重
要的意义。
比如，在图像处理领域，我们可以利用分形原理来进行图像的压缩和识别。
在信号处理领域，分形原理也可以用来进行信号的分析和处理。
在金融领域，分形原理可以用来描述股票价格的波动规律，从而帮助投资者进行风险管理。
总的来说，分形原理是一种非常有用的数学工具，它不仅可以用来描述自然界
中的复杂现象，还可以在工程技术领域有着广泛的应用。
随着科学技术的不断发展，相信分形原理会有更多的应用场景被发现，为人类的发展带来更多的帮助和便利。
希望本文的介绍能够让读者对分形原理有更深入的了解，并且能够在实际应用
中发挥更大的作用。
分形原理的应用领域还在不断扩大，希望大家能够关注并且深入研究，为人类的发展做出更大的贡献。
什么是分形几何？
什么是分形几何？什么是分形几何？1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入了，所以存在分维。
其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。
此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere （“破碎”、“产生无规碎片”）。
此外与英文的fraction （“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。
在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。
因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。
分形标度律
分形标度律一、分形标度律的起源分形标度律是一个揭示自然界和社会现象中自相似性和尺度相关性的概念。
它的起源可以追溯到20世纪80年代，当时法国数学家曼德布罗特在研究自然界和艺术中的自相似性时，提出了分形几何的概念。
分形几何描述的是具有非整数维度的几何形状，其中每个部分都以某种方式与整体相似。
这种自相似性和尺度相关性在许多自然现象和社会现象中都有所体现，如云彩的形状、山脉的高度分布、人口的分布、网络的连接等等。
二、分形的基本概念分形是指具有自相似性的几何形状，其每个部分都与整体相似。
这种自相似性可以是数学上的精确相似，也可以是统计上的相似。
分形可以是规则的，也可以是非规则的。
规则分形可以通过简单的数学公式或迭代算法来生成，如谢尔宾斯基三角形、科赫曲线等；而非规则分形则无法通过简单的数学公式来描述，只能通过计算机模拟或统计分析来近似描述。
三、分形标度律的数学表述分形标度律是指在一定条件下，某些量与尺度的对数成正比。
这个规律可以用数学公式来表示：y = c * x^n，其中y是某个量，x是尺度，c和n是常数。
在这个公式中，y与x的对数成正比，因此可以得出结论：这个量具有分形标度律。
分形标度律不仅在自然科学中有广泛的应用，在社会科学中也有广泛的应用，如人口统计学、市场营销、网络分析等等。
四、分形标度律的应用领域1.物理学：在物理学中，分形标度律被广泛应用于描述物质的扩散、凝聚和热传导等过程。
例如，在研究布朗运动时，通过测量不同尺度下颗粒的扩散距离，可以验证分形标度律的存在。
2.生物学：在生物学中，分形标度律被广泛应用于描述生物体的结构和功能。
例如，许多生物体的血管、肺部和消化道等都具有分形结构，这种结构有助于提高生物体的生存能力和适应环境的能力。
此外，在研究物种分布和生态系统的稳定性等方面，分形标度律也具有重要的应用价值。
3.地理学：在地理学中，分形标度律被广泛应用于描述地形地貌、城市规模分布和自然灾害等方面的现象。
秒背政史地和蝶变知识点清单
秒背政史地和蝶变知识点清单全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：秒背政史地和蝶变知识点清单政史地和蝶变是许多人在学习过程中需要重点掌握的知识领域。
政治史地是指政治、历史和地理等领域的知识，而蝶变则是指变革、转型和重构等概念。
为了帮助大家更好地学习和掌握这些知识点，我们整理了一份关于秒背政史地和蝶变知识点清单，以供大家参考。
1. 中国古代历史：包括夏朝、商朝、周朝、秦朝、汉朝、唐朝、宋朝等历史朝代的兴衰变迁；2. 世界历史：包括古希腊、罗马帝国、中世纪封建制度、工业革命等历史事件和发展趋势；3. 政治思想：包括孔子、老子、庄子、孟子、墨子等古代哲学家的思想及其影响；4. 现代政治制度：包括民主制度、专制制度、共和制度等不同国家的政治制度；5. 世界地理：包括大洲、国家、城市、河流、湖泊、山脉等地理元素的位置和特点；6. 中国地理：包括华北、华南、华东、西南、西北等地区的地理位置和特点。
1. 变革：指在某种条件下由于外部或内部因素的作用而导致社会结构、文化、观念等方面的深刻变化；2. 转型：指在某种时期由于政治、经济等方面的需求而进行的制度或体制变革；3. 重构：指在某种情况下由于外部或内部因素的影响而导致政治、经济、文化、社会等方面重新塑造的过程；4. 社会变迁：指社会结构、文化观念、经济制度等方面的发展和变化；5. 政治变化：指政府体制、行政机构、法律法规等方面的改革和发展；6. 经济转型：指从传统农业经济向现代工业经济转变的过程；7. 文化重塑：指文化观念、价值观念等方面的重建和创新。
以上是关于秒背政史地和蝶变知识点清单的内容，希望对大家的学习有所帮助。
在学习的过程中，可以通过深入阅读相关书籍、参加讲座、参与讨论等方式，增强对这些知识点的理解和掌握。
祝大家学习进步，取得更好的成绩！第二篇示例：秒背政史地和蝶变知识点清单随着社会的发展和变化，政治、历史和地理知识已经成为一个人综合素质的重要组成部分，而对这些知识的掌握也成为衡量一个人综合能力的重要标准。
空间维度的概念是什么
空间维度的概念是什么空间维度指的是描述空间中位置的自由度，也是某个空间中的坐标轴的数量。
在数学和物理学中，我们常常用维度来描述一个空间的性质和特征。
维度的概念在不同的学科中有不同的定义和应用，下面我将从几个方面来详细介绍空间维度的概念。
1. 欧几里得空间维度欧几里得空间是指我们通常所了解的三维空间，即我们常常使用的三维坐标系来描述。
在欧几里得空间中，我们通常使用三个坐标轴(x,y,z)来描述物体或者位置的三个自由度。
这三个自由度可以分别看作是空间中的长度、宽度和高度。
因此，欧几里得空间的维度为3。
2. 线性代数中的维度在线性代数中，我们定义了向量空间的维度。
向量空间是指由一组向量所张成的空间。
在向量空间中，我们定义了线性独立性的概念。
一组向量中的任意一个向量都不能用其他向量的线性组合表示，那么我们称这组向量是线性独立的。
一个向量空间的维度是指能够张成该空间的最大线性无关的向量的数量。
例如，对于二维向量空间，我们可以用两个线性无关的向量来张成该空间，因此其维度为2。
同样地，对于三维向量空间，我们需要三个线性无关的向量来张成该空间，因此其维度为3。
3. 分形维度在分形几何学中，我们引入了分形维度的概念。
分形是指一个具有自相似性的几何形状，即这个几何形状的一部分看起来和整体是相似的。
分形维度是一种描述分形几何形状复杂性的度量，其概念是由数学家曼德博特提出的。
曼德博特通过计算某个几何形状的维数来刻画其自相似的特性。
一般来说，分形维度小于整数维度，因为分形形状的复杂性无法用整数维度来描述。
分形维度的计算方法有多种，比较常用的包括盒计数法、哈斯托夫维度法等。
4. 多维空间除了传统的三维空间，数学上还引入了多维空间的概念。
多维空间是指具有多个坐标轴的空间。
在多维空间中，我们可以用更多的坐标轴来描述物体或者位置的自由度。
多维空间的维度可以是任意的，不仅限于二维或者三维。
例如，四维空间常常在相对论中使用，其中一个维度是时间维度。
分形几何学.ppt
当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无 穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它， 其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量 它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才 会得到有限值，而这里直线的维数为 1。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象 想象成一个个规那么的形体，而我们生活的世界竟如此不规 那么和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同 层次的复杂性。分形几何那么提供了一种描述这种不规那么 复杂现象中的秩序和结构的新方法。
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比方，零维 的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是 现实生活中象弯弯曲曲的海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几 何学的整数维描述或者说测量了。要描述这一大类复杂无规的几何 对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这是几何学的新 突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。 如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大它的边界。 图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大 某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如 “蜿蜒曲折的一段海岸线〞，无论怎样放大它的局部，它总是曲 折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我 们的生活中是很少见的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几 何学的挑战。
分形几何表达了复杂与简单的统一： 分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供
了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物， 事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单 并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认 识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂，又特别简 单。无穷精致的细节和独特的数学特征〔没有两个分形是一样的〕 是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复 制及迭代操作生成，又是分形简单的一面.
分形脊流动素材
分形脊流动素材随着数字化时代的到来，人们对于视觉效果的要求越来越高，这也催生了各种各样的视觉素材。
其中，分形脊流动素材也成为了一个备受关注的话题。
那么，什么是分形脊流动素材？它有什么特点？又有哪些应用呢？本文将为您一一解答。
一、什么是分形脊流动素材？分形脊流动素材是一种基于分形理论的视觉效果素材。
分形是一种自相似的几何形状，即某一部分与整体的形状相似。
而脊流动则是指在视觉上呈现出像脊椎一样的流动效果。
将这两者结合起来，就形成了分形脊流动素材。
二、分形脊流动素材的特点1.自相似性分形脊流动素材具有自相似性，即不论是整体还是局部，它们的形状都是相似的，这也是分形理论的核心特点之一。
2.流动性分形脊流动素材呈现出流动的效果，就像脊椎一样，这种流动性使得它们在视觉上更加生动、动感。
3.多样性由于分形脊流动素材是基于分形理论的，因此在形状和颜色上都具有多样性，可以根据不同的需求进行自由搭配。
4.可循环分形脊流动素材是基于数学算法生成的，因此它们可以无限循环，不会出现明显的断层。
三、分形脊流动素材的应用1.电影特效分形脊流动素材在电影特效中有着广泛的应用，可以用来表现太空、虫洞等场景，营造出未来感和科幻感。
2.广告宣传分形脊流动素材可以用来制作各种广告宣传视频，为产品增加动感和视觉冲击力。
3.游戏场景分形脊流动素材在游戏场景中也非常常见，可以用来表现虚拟世界、迷宫等场景。
4.科学教育分形脊流动素材可以用来进行科学教育宣传，例如展示分形理论、探究自然界中的分形现象等。
四、分形脊流动素材的制作分形脊流动素材的制作需要一定的数学基础和专业的设计软件。
一般来说，制作分形脊流动素材的流程包括以下几个步骤：1.确定分形算法分形脊流动素材的生成需要使用分形算法，因此需要先确定使用哪种分形算法。
2.设置参数在确定了分形算法之后，需要设置参数来调整素材的形状、颜色等属性。
3.渲染设置好参数后，需要使用专业的渲染软件对素材进行渲染，生成最终的效果。
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1.3 自相似性
一个系统的自相似性 [1] 是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间 尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。对于 欧氏几何而言，它们的形态是极其规则的，而且是严格对称的，人们描述起来很容 易，例如：我们想要描述一个圆形，那么只要给出圆点和半径，就能很快得出具体 的图形。然而，对于不规则的物体形态，我们就会显得束手无策。凹凸不平的地表， 怪石林立的山峰，诸如此类的实物形态，我们是无法用欧氏理论描述的。尽管大自 然的物体形态是千变万化的，但是如果我们从一个分形上任意选取一个局部区域， 对其进行放大，再将放大后的图形与原图加以比较，我们发现它们之间形状特征呈 现出令人惊讶的自相似性。举一个例子，对于一支花朵，有主干和支干，如果把支 干掰下来和主干比较，那么它们之间极为相似，如果再仔细地看一看花心的话，又 会发现花瓣和花瓣之间是对称的，而且也是相似的。总而言之，物质的各个部分都 或多或少的具有自相似结构。 物体的自相似性为科研人员提供了研究事物新的思路，那就是，既然物体的形 态是有规律可寻的，那么我们就有办法对其进行描述。基于这一思想，我们可以利 用物体的自相似性，定义一个简单的图形规则，再在这个规则的基础上不断的进行 规则迭代，最终会生成让人意想不到的图形。 当然，自然界的事物是自相似的，但不是严格的完全的相似。尽管我们观察的 分形体有很多的相似之处，然而，严格的来说它们还是有一定差别的。这就存在一 个问题，即是相似度 [1] 。它用来表示一个分形的局部与局部以及局部与整体之间的 相似程度。另外，相似并不代表相同或者简单的重复 [1] 。如果我们将局部图形用放 大镜放大 X 倍后，不一定会和原.1 分形的由来
1975 年 ， 美 籍 法国 数 学 家 曼 德 尔布罗特 (B.Madelbrot) 根 据 拉丁文 形 容 词 “fractus” ，并对其加以改造，成为现今广为人知的“fractal” ，它的含义是不规 则 的， 琐 碎 的， 支 离破碎 的 等 。 我国 则 把 它 翻译 成 “ 分 形 ” 。 曼 德 尔布罗特 使 用
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我国的科研人员，学者的共同努力下，其理论研究和应用获得了飞速的发展。1986 年北京大学成立了非线性科学中心。1989 年 7 月在成都四川大学召开“第一届全国 分形理论及应用学术讨论会” 。1991 年 11 月在武汉华中理工大学召开第二届会议。 1993 年 10 月在合肥中国科技大学召开第三届会议。仅从这些学术会议就可以看出， 我国对分形研究的重视。我国的科学家们积极进行分形理论的研究，探索，并取得 了丰硕的成果。其中产生了不少分形领域的专家和学者。他们的研究理论成果为推 动我国乃至国际分形的发展做出了不可磨灭的贡献。 虽然分形产生的图形是复杂的，美丽的，实用的，但是描述它们的方法却是简 单的。现在有效的描述方法有林式系统(L-systems，简称 L 系统)和函数迭代系统 (Interated Function System，简称 IFS 系统)。前者是由是林德梅叶 1968 年为模 拟生物形态而设计的，后来史密斯于 1984 年 、普鲁辛凯维奇于 1986 年，分别将它 应用于计算机图形学，引起生物学界和计算机界人士极大兴趣，一时发表了许多论 文和专著。后者是美国佐治亚理工学院的巴恩斯利教授首创的。IFS 系统的理论与 方法是分形自然景观模拟及分形图像压缩的理论基础，其基本思想是认为物体的全 局和局部在仿射变换的意义下具有自相似结构，这就形成了著名的拼接定理。IFS 方 法 的 魅 力 在 于 它 是 分 形 迭 代 生 成 的 “ 反 问 题 ” ， 根 据 拼 接 定 理 (collage theorem)，对于一个给定的图形(比如：一张照片)，求得几个生成规则，就可以大 幅度压缩信息。 分形作为一门新兴学科，其应用潜力是巨大的，尤其是在计算机模拟方面更是 具有很大的实用价值。所以，学习和研究分形，实现分形在实际生活中的应用，都 具有一定的诱惑力。 本文第一章从分形的基本理论知识入手，结合分形的发展历程，阐述了分形的 基本概念，以及分形维数。第二章通过几个典型的分形实例简单的说明了分形的构 造过程。第三章详细地介绍了两种分形的描述方法(L 系统和 IFS 系统)。虽然 L 系 统和 IFS 系统生成分形图形的实现简单明了，但是它们所形成的图形是二维的，这 样的视觉效果和真实自然界的物体形态有很大差别。所以本文在第四章节中探讨了 几种实现三维的算法，这样生成的图形视觉效果得到了很大的改观。
1.4 分形的维数
欧氏几何学具有几千年的历史，它研究的是一些规整的图形，比如：直线，圆， 椭圆，菱形，正方形，立方体，长方体，球体等。这些不同类型的曲线和形状都有 一个共同的基础——欧氏几何，即它们可以被定义为代数方程(例如：Ax + By + Cz = D)或微分方程的解集。从欧氏几何测量中，可以看出点、直线、平面图形、空间 图形的维数分别是 0，1，2，和 3，而且都是整数。 维数是几何对象的重要特征量，维数包含了集合的几何性质的许多信息。一个 图形维数的大小，表示它占有空间的大小。尤其是在分形中，它对如何准确地描述 图形起到了很大的作用。分形维数是判断两个分形是否一致的度量标准之一。
1.2 分形的发展历程
分形某些概念，最早可追述到一百多年前，接着又有不少科学家提出分形的图 例和理论，但是那时由于受传统理论的约束，不仅没有得到应有的发展，而且被一 些科学家视为“异类” ，是不合常理的，是不能接受的。涉及分形理论的典型代表有 1860 年，瑞士一个数学家塞莱里埃(C.Cellerer)提出“连续函数必定可微”是错误 的，并给出反例。1883 年，德国数学家康托(G.Cantor)构造的康托三分集。1890 年 意大利数学家皮亚诺(G.Peano)构造的平面曲线，它是一种充满空间的曲线，称为皮 亚诺曲线。1904 年，瑞典数学家柯赫(H.von Koch)构造出柯赫雪花曲线。1910 年， 德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究， 提出分数维概 念等。1919 年，豪斯道夫(F.Hausdorff)给出维数的新定义，为维数的非整数化提 供了理论基础。 尽管前人的理论没有得到应有的重视，但是它却为以后分形理论的发展奠定了 基础。曼德尔布罗特于 1967 年在科学杂志上发表了一篇具有启发性的文章： “英国 的海岸线有多长？” ，引起了世人的关注。1975 年曼德尔布罗特用法文出版了第一 部分形著作《分形对象：形、机遇和维数》 。之后，曼德尔布罗特又对该著作加以修 改，加入了他对分形几何的新的思想、观点。1982 年，曼德尔布罗特又出版了《自 然界的分形几何》 。在这该著作中他为分形重新加以定义。在这期间，又有很多科学 家 投 入到 分形的 研究领域， 促 使 分 形得到 长 足的发展，其中有 1982 年 特里科 特 (C.Tricot) 引 入 填 充 维 数 ， 1983 年 格 拉 斯 伯格 (P.Grassberger) 和 普 罗克 西 娅 (I.Procaccia)提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算 法。1985 年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相 似集并可通过仿射映射严格定义。1982 年德金(F.M.Dekking)研究递归集，这类分 形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。1989 年，钟 红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维 数计算方法的逐步提出与改进，1982 年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并 越来越广泛。 自然界的物体形态不是固定不变的，稳定的，它们的形态变化多端，所以在描 述它们的时候也应该采用随机方式， 这样才能充分体现其一般性。 基于这一点， 1968 年曼德尔布罗特研究布朗运动的随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运 动。1974 年他又提出了分形渗流模型。1988 年柴叶斯(J.T.Chayes)给出了详细的数 学分析。1984 年，扎乐(U.Zahle)通过随机分形模拟出更真实的自然现象。
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引言
自然界是宇宙万物的总称，是各种物质系统相互作用相互联系的总体，它包括 大至宇宙天体的形成演化，小到微观世界中基本粒子的运动。随着牛顿经典力学的 创立，爱因斯坦相对论，以及量子力学的发展，人类在自然科学方面已经取得了辉 煌的成就；随着天体物理学以及其他相关学科的迅速发展，人类已经登上月球，进 入太空；人类对微观世界由质点组成的简单系统的运动规律也有了全面而正确的认 识。尽管如此，如果人们稍微注意一下周围环境中发生的大量非线形不可逆现象， 就会发现，人们对这些现象知之甚少，对许多问题甚至于束手无策。举一个通俗的 例子，当你仰望蔚蓝的天空，常常可以看到天空中漂浮着一团团白云，尽管它的形 态是千变万化的，但是如果用不同倍数的望远镜来观察云团时，它的形态几乎是保 持不变，也既是说白云的形态和望远镜的放大倍数无关。 分形的原文 Fractal 是 Mandelbrot 用拉丁词根进行拼造出来的单词， 意思是细 片，破碎，分数等等。它是描述不规则几何形态的有效的工具。自然界中，绝大部 分物体形态不是有序的，稳定的和确定性的，而是处于无序的，不稳定的，非平衡 的和随机的状态之中。然而，曲折绵长的海岸线，凹凸不平的地表，变幻无常的浮 云，错综复杂的血管等等，诸如此类的不规则几何形态都是传统数学和物理学难以 描述和表达的。也正是于此，当 Mandelbrot 提出分形的概念后，才会引起科学界的 极大兴趣和轰动。人们对这一新兴学科感到震惊，因为它是如此的贴近生活，如此 具有诱人的发展前景，如此具有巨大的应用价值。 分形理论使人们能以新的观念，新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无 序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律，局部和整体之间 的本质联系。分形理论在某些学科的成功尝试，极大地激发了科学研究工作者的兴 趣，他们把分形理论逐渐扩展到其它的学科领域，更进一步的促进了分形学的发展。 无论是国内还是国外都不定期的召开一些关于分形的学术会议，一时间关于分形理 论的学术论文如火如荼的发表在各种期刊杂志上。 分形所涉及的领域极为广泛，包括哲学，数学，生物学，物理学，材料科学， 医学，农学，气象学，天文学，计算机图形学等，可以说如今的分形无处不在。分 形的发展，一部分得益于由分形产生的图形让人如痴如醉，但是更多的是因为分形 的实用价值。采用分形方法，可以利用少量的数据生成各种不同的复杂的图形。根 据分形的自相似性，能够对图形图像进行有效的压缩。美国著名物理学家惠勒说过： 今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。 尽管分形理论从 Mandelbrot 的提出距今只有短短的三十多年的时间， 但是其发 展速度可谓是日新月异，让人刮目相看。分形理论 20 世纪 70 年代末传入我国，在