分形基本概念
超支化聚合物
3. 分子量多分散性
超支化分子同树枝状分子相比，通常具有 较宽的分子量分布。
由于支化度的变化，超支化分子的分子量 分布一般大于传统的聚合物。
分子量的测定：
分子量测定的问题：
不适用: 凝胶渗透色谱(GPC) （体积排除色谱SEC方法）
适用：基质辅助激光脱附电离飞行时间质谱 (MALDI—TOF)
4、在催化剂领域中的应用
（1）、超支化聚合物分子内部的纳米微孔可以 螯合离子、吸附小分子或者作为小分子反应的催 化活性点，兼具均相催化剂和异相催化剂的优点。
（2）、催化活性点即可在高度支化聚合物表面 的外围端基上，也可以在高度支化聚合物的中心 核上。
（3）、催化剂的固载、回收和重复利用。
5、污水处理中的应用
分形的特征：
在任意小的尺度上都能有精细的结构； 太不规则，以至无论是其整体或局部都难以用传统欧氏几何 的语言来描述； 具有（至少是近似的或统计的）自相似形式； 一般地，其“分形维数”（通常为豪斯多夫维数）会大于拓 扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）； 在多数情况下有着简单的递归定义。
高效脱色絮凝剂 用量少，效率高，pH应用范围广，操作简便
6、其他领域中的应用
（1）、光化学 （2）、分析化学 （3）、纳米材料 （4）、光电传感 （5）、自组装体系 （6）、液晶 （7）、聚合物电解质等
（三）超支化聚合物的性质
1、粘度较传统线性聚合物低 2、树状大分子具有球形结构，
分子间链缠结少
3、粘度随分子量增加而增大
粘度与分子结构的关系：
粘
线型
度
超支化
树枝状
分子量
粘度：线型 > 超支化 > 树枝状
分形和混沌的基本概念和应用
分形和混沌的基本概念和应用在科学和数学领域中，分形和混沌是两个非常重要的概念。
它们不仅有着丰富的理论内涵，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文旨在介绍分形和混沌的基本概念、性质以及其应用领域。
一、分形的基本概念和性质分形最初是由法国数学家Mandelbrot所提出的。
分形，定义简单点来说，就是在各种尺度下都表现出相似性的图形。
比如说，我们在放大树叶时，会发现树叶的分支和小结构上会有许多特征，在不断放大过程中，树叶上的分支和结构会产生类似于整个树叶的结构。
这个例子就是分形学的一个典型例子。
分形的最重要的特性是自相似性和不规则性。
自相似性是指，在分形中，任意一部分都与整个结构相似，这种相似性具有尺度不变性，即不会因为放大或缩小而改变。
不规则性是指，分形的形状十分奇特，与传统的几何图形相比，分形形状复杂多变，没有任何几何规律可循。
分形广泛用于科学研究、艺术美学、计算机图像处理等领域。
在生物学、地震学、天文学中也有广泛应用。
例如，在生物学中，许多生物组织和器官都具有分形结构，如肺组织、血管系统、神经元等。
利用分形理论可以更好地研究这些生物结构的形态和发展规律。
此外，在土地利用和城市规划领域，也可以应用分形理论来研究城市建筑的空间结构和空间分布规律。
二、混沌的基本概念和性质混沌又称为非线性动力学。
混沌指的是用微观因素推算出宏观效应的过程，该过程结果不可预测，但随着时间的推移，能够生成复杂、有规律的系统。
混沌体系可用方程式表示出来，但由于该方程式是个非线性方程式，所以其结果会随这方程式微小变化而产生巨大的差异。
混沌具有以下几个突出的性质：灵敏依赖于初始条件，长期不稳定，难以预测和控制。
混沌理论可以用于预测经济和金融领域中出现的一些紊乱现象，如股市波动。
混沌最初应用在天文学领域，例如研究太阳系中行星之间的轨道。
这些轨道不像我们所想的那样规律。
然而，混沌的发现不仅在天文学领域中应用，也在许多其它领域解决一些不规则的问题。
分形几何学的基本概念与应用
分形几何学的基本概念与应用分形几何学是一门研究复杂、自相似结构的几何学科。
它的研究对象包括自然界中的许多现象和图形，如云朵、山脉、植物的分枝结构等。
分形几何学的出现和发展，为我们认识自然界的复杂性提供了新的视角。
本文将介绍分形几何学的基本概念，并重点探讨其在科学研究和实际应用中的价值。
一、分形几何学的基本概念分形几何学最核心的概念是“分形”。
分形是指具有自相似性质或统计尺度不变性的几何图形或物体。
它具备以下特点：1. 自相似性：分形的一部分与整体的形状非常相似，即具有自我重复的特性。
无论从整体还是局部的角度观察，其形状和结构都保持不变。
2. 统计尺度不变性：无论在什么尺度上观察分形，都能发现相似的图形和结构。
分形具有无标度的特性，不受空间尺度的限制。
3. 复杂性和碎形维度：分形体现了自然界中复杂系统的普遍性和多样性。
通过碎形维度的衡量，我们可以描述分形的几何形态。
二、分形几何学的应用领域分形几何学的研究成果，对科学研究和实际应用有着广泛的影响和应用价值。
1. 自然科学领域在物理学、化学、天文学等自然科学领域，分形几何学的应用已经取得了许多重要的突破。
例如，在物质表面的研究中，分形维度可以帮助我们更好地理解物质的分布和表面形态；在流体力学领域，分形几何学可以用来描述复杂流体的运动和传输现象。
2. 生命科学领域分形几何学在生物学、医学和生态学等领域的应用也日益增多。
在生物进化研究中，利用分形模型可以揭示物种的分支进化和形态演化；在生物医学图像处理领域，分形分析可以用于肿瘤和病变的诊断。
3. 技术工程领域在工程学、计算机科学和通信领域，分形几何学为我们提供了一些创新的解决方案。
例如，在图像压缩和数据传输中，可以利用分形编码来提高传输效率和图像质量；在通信网络设计中，采用分形结构可以提高网络的可靠性和稳定性。
4. 艺术与设计领域分形几何学的美学价值也不可忽视。
许多艺术家和设计师利用分形几何学的原理和方法创作出具有独特美感的艺术作品和设计。
分形图形与分形的产生
分形图形分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。
分形的基本特征是具有标度不变性。
其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。
研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。
但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。
而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。
分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。
它是数学的一个分支。
我之前说过很多次，数学就是美。
而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。
而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。
分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。
而在生物界，分形的例子也比比皆是。
近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。
分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。
分形理论及其应用_刘莹（学术论文）
收稿日期:2005-07-04;修订日期:2006-02-22作者简介:刘 莹(1957-),女,江西南昌人,博士生导师,教授,主要从事微机械与微摩擦学研究。
基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275071);南昌大学科研基金项目(z02879)。
第24卷 第2期2006年4月江 西 科 学JI A NGX I SC I ENCEVo.l 24N o .2Apr .2006文章编号:1001-3679(2006)02-0205-05分形理论及其应用刘 莹,胡 敏,余桂英,李小兵,刘晓林(南昌大学机电工程学院,江西南昌 330029)摘要:分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支,是科学研究中一种重要的数学工具和手段。
介绍了分形理论的基本概念,给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。
重点介绍了分形理论在从自然科学到社会科学的各个领域,如工程技术、物理、化学、生物医学、材料科学、天文地理、经济管理、计算机图形学等学科领域的应用及其最新的进展情况。
最后,展望了分形理论的应用前景及其发展方向,提出分形理论将面临和有待解决的问题。
关键词:分形理论;分形维数;应用状况中图分类号:TB11;TH3;N 32 文献标识码:ATheory of Fractal and its ApplicationsL I U Y i n g ,HU M i n ,YU Gu-i y i n g ,LI X iao -bing ,L I U X iao -lin(M echan ical and E lectron i c Eng i neering Schoo,l N anchang U n i versity ,Ji angx i N anchang 330029PRC)Abst ract :Fracta l theor y is a branch of non li n ear science and an i m portant m eans for sc ience re -search.This paper introduces t h e basic concept and several calculati n g m ethods of fracta l d i m ension as a m ain para m eter of fractal theory .Pri m aril y ,it is summ arized that fractal t h eory have been used i nvarious fie l d s fr o m nat u re science to soc i a l science such as eng i n eer i n g ,physics ,che m istr y ,b i o m ed-i cine ,m aterial sc i e nce ,astrono m y and geography ,econo m y and m anage m en,t co m puter g raphics ,etc .In the end ,the foreg round and deve l o pm enta l orientation of fractal theory is prospected ,and proble m s i n face of fracta l theory is advanced.K ey w ords :Fractal theory ,Fracta l di m ension ,Applicati o n 分形理论作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。
分形几何学
2分形几何学的基本概念本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。
2.1自相似性与分形几何学无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。
欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。
它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。
一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。
这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。
显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。
这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。
分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。
这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。
自仿射分形,自反演分形和自平方分形
自仿射分形，自反演分形和自平方分形是分形几何中的三种重要概念。
它们分别以自相似、自反演和自平方的特性而闻名，被广泛应用于数学、物理、生物学等领域。
本文将分别介绍这三种分形的基本概念、特点和应用，并对它们的发展和研究进行简要探讨。
一、自仿射分形1. 基本概念自仿射分形是指其每个部分都与整体相似的分形。
在自仿射分形中，整体的图形可以被分成若干个部分，每个部分都与整体相似，且比例尺相同。
这种自相似的特性使得自仿射分形具有无限的细节和结构，能够在不同尺度下展现出相似的图像。
著名的科赫雪花和谢尔宾斯基三角形就是自仿射分形的典型代表。
2. 特点自仿射分形的特点主要包括：自相似性、边界无限长度、面积有限、维数非整数等。
这些特点使得自仿射分形不同于传统的几何图形，展现出更加复杂和多样的结构。
3. 应用自仿射分形广泛应用于图像压缩、信号处理、地理信息系统等领域。
它能够有效地描述和处理自然界中复杂的图形和结构，为数据的分析和处理提供了新的途径和方法。
二、自反演分形1. 基本概念自反演分形是指通过一定的数学变换，将整体分成若干个部分，每个部分又是整体的缩小复制。
在自反演分形中，通过不断的反复迭代和变换，可以生成具有高度复杂结构和无限细节的图形。
著名的分段几何、龙曲线等都是自反演分形的典型代表。
2. 特点自反演分形的特点主要包括：无限复杂、嵌套结构、自相似性等。
这些特点使得自反演分形能够描述和展现出自然界中许多复杂的现象和图形，具有重要的理论和应用意义。
3. 应用自反演分形在信号处理、图像压缩、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
通过自反演分形的特性，可以更加有效地描述和处理复杂的图形和数据，为信息的存储和传输提供了新的技术手段。
三、自平方分形1. 基本概念自平方分形是指通过对整体进行一定的变换和缩放，使得整体可以被分成若干个部分，每个部分又是整体的缩小复制。
在自平方分形中，通过不断的平方变换和迭代，可以生成具有无限细节和结构的图形。
分形简介汇总
的界限。
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什么是分维？
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首 先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将 它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2， 而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立
分形几何
•现代数学怪物（30多年的历史） •无特征长度与比例 •实用于大自然现象 •用（递归或迭代）算法描述 •图形不规则 •图形的结构层次无限 •局部往往具有整体的信息 •图形复杂，其背后的规则经常是简单 的
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什么是分维？
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球
面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，
分形简介
谢模明 2007年9月10日
教学说明
教学目的：了解分形的基本概念、分形几何与 欧几里德几何的区别。 教学重点：分形的概念
教学难点：分形的作用
教学时间：45分钟
主要内容
分形的定义 谁创立了分形几何学？ Fractal（分形）一词的由来 分形几何与传统几何相比有什么特点： 什么是分维？ 为什么要研究分形？
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Fractal（分形）一词的由来
据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏 天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿 子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁 文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere （“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文 的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment （“碎片”）具有相同的词根。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用引言分形理论是20世纪80年代提出的一种新的数学研究领域，它提出了一种全新的描述自然界和社会现象的数学模型。
分形理论的提出对科学领域产生了深远的影响，不仅在自然科学中有广泛的应用，而且在工程领域也有着重要的意义。
本文将介绍分形理论的基本概念及其在机械工程中的应用。
一、分形理论的基本概念1. 分形的定义分形是指在任意尺度下具有相似结构的图形或物体。
换句话说，分形是一种具有自相似性质的几何图形，即无论是放大还是缩小，都具有相同或相似的形状。
这种自相似性是传统几何图形所不具备的特征，因此分形具有特殊的几何结构特征。
2. 分形的特征分形具有以下几个显著特征：（1）分形维数：分形物体的维数可以是小数或者非整数。
这与传统的欧几里德几何中的整数维度有着本质的区别。
分形维数也被称为“分形量度”，用来描述分形图形的粗糙程度或者曲折程度。
（2）分形的不规则性：分形图形通常具有不规则性和复杂性，无法用传统的几何图形来精确描述。
（3）分形的自相似性：分形图形在各种尺度上都具有相似的结构，这是其与传统几何图形最大的区别。
以上特征使得分形成为一种新型的几何结构，有着广泛的应用前景。
二、分形理论在机械工程中的应用1. 分形表面处理技术分形理论在机械工程中的应用最为广泛的领域之一就是表面处理技术。
利用分形理论，可以设计出具有特定粗糙度和摩擦特性的表面结构，从而实现对摩擦、磨损和润滑等性能的控制。
传统的表面处理方法往往要求加工具有规则的结构，而分形表面处理技术则可以通过模拟自然界中的分形结构，设计出更为复杂和多样化的表面形貌。
2. 分形几何构型在机械设计中的应用分形理论提出的自相似性概念在机械设计中也有着重要的应用。
在机械零部件的设计过程中，通过引入分形几何构型，可以实现对结构的自相似性设计，提高零部件的疲劳寿命和强度，改进结构的性能。
分形几何构型还可以用来设计具有分形特性的传感器和控制器等机电一体化系统，提高系统的精度和稳定性。
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让我们来看下面的一个例子。下图是 一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它 的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅 在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整 体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈 的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。
如果你是个有心人，你一定会发现在自 然界中，有许多景物和都在某种程度上存在 这种自相似特性，即它们中的一个部分和它 的整体或者其它部分都十分形似。其实，远 远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天 气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。 这正是研究分形的意义所在。例如，在道·琼 斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一 个更长的阶段的曲线图极为相似。
曼德勃罗集是人类有史以来做出的最奇异 ,最瑰 丽的几何图形 .这个点集均出自公式 :Zn+1=Z2n+C, 这 是一个迭代公式 ,式中的变量都是复数 .这是一个大 千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案 ,他是 曼德勃罗教授在二十世纪七十年代发现的 .
研究对象
?有一类问题却比较特别，Mandelbrot就提出 了这样一个问题：英国的海岸线有多长？
英国的海岸线地图
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
?Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 ?同样的道理：长度无限、面积为零、而曲线
还有“界”。 ?另外，有一个特点：当取其中的一部分展开，
与整体有完全的自相似性，似乎是一个什么 东西的无数次的自我复制。
分形几何
普通几何学研究的对象，一般都具有整数 的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的 面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几 年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不 一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是 几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者 的极大关注。
严格地而且正式地去定义分形是一件非常 复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正 规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。 在这些定义中，最为流行的一个定义是：分 形是一种具有自相似特性的现象、图象或者 物理过程。也就是说，在分形中，每一组成 部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小 了一些而已。
不管你信不信，上面的这张月球表面的照片 也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看， 也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保 持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么 放大，最终，还是可以看见清晰的细节。
Kohn雪花和Sierpinski三角形也是比较 典型的分形图形，它们都具有严格的自相 似特性（仔细看看，是不是这样？）。但 是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严 格自相似。所以，用“具有自相似”特性来 定义分形已经有许多局限了。
上图中的风景图片又是说明分形的另一很 好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生 成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独 特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物 的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一 个普遍特征是具有无限的细致性。上面的 动画所演示的是对Mandelbrot集的放大， 只要选对位置进行放大，就会发现：无论 放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会 减少。但是，注意观察上图，我们会发现： 每次放大的图形却并不和原来的图形完全 相似。这告诉我们：其实，分形并不要求 具有完全的自相似特性。
分形几何的基本思想
分形的思想
多少世纪以来，人们总是用欧几里得几 何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、 正方形、圆……）来描述我们这个生存的世 界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现 象的新的对象。分形就是这样一种对象。
分形的思想初见于公元1875至1925年数学 家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标 签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就 是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼 德勃罗于1975年创造的，曼德勃罗在该领域 有着广泛的发现。
可能有人感到，只有欧几里得几何的正 规形状才能应用在科学中，然而上述新的形 式却从不同的透视角度向我们提供了认识自 然的观点。分形是一个新的数学领域--有时 也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而 混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树 枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天 文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛 应用。
具有无限嵌套的自相似结构是混沌 现象的普遍特性。
Julia Set
?Julia Set: Zn+1 = Zn2 + C
?令複數 C 為一定值，將 Z 平面上任意一點代入，則 Z 平面上部分區域收斂，部分區域發散， 而發散與 收斂區域間的邊界，即為 Julia Se合
从严格意义上讲，分形是这样一种对象， 将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原 先的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆 的一部分放大后便变得比较平直。分形可分 为两类：一是几何分形，它不断地重复同一 种花样图案；另一种是随机分形。计算机和 计算机绘图能够把这些“畸形怪物”可靠地带 回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够 立即产生分形，并显示出它们奇妙的形状、 艺术图案或细微的景观。
混沌
?混沌可以说他是确定性的行为； ?或者，若考虑他出现在稍微有点随机性的实
际系统中，也可以说他是近似与确定性的， 然而却不是看起来像确定性的。 ?在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经 过充分长的时间后会变得毫无一致性。
Mandelbrot Set
?在复平面中，M集是通过下述迭代式产生的： Zn+1=Zn^2+C。 其中，Z和c都是复数，由各自的实部 和虚部组成 Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy
Logistic 集
所谓无限嵌套的自相似结构说得通俗 一些即局部与整体相似。对局部放大后的 形象与整体形象相同或近似相同。除上面 讲到的周期窗口外，以下一些时间或空间 序列的自相似结构实例也必将有助于我们 的理解。
雪花，(2)闪电，(3)血管系统，(4)海 岸线，(5)鹦鹉螺，(6)菜花，(7)雏型村， (8)谢尔宾斯基垫片，(9)某人在看电视， 电视中还是某人在看电视······， (10)布朗运动，(11)社会经济的许多演化 过程，(12)一个故事：从前有座山，山上 有座庙，庙里有一个老和尚给小和尚讲故 事：从前有座山······请大家充分 发挥想像力，举更多的例子。