lv_9渐进法及超静定结构影响线
结构力学第9章__力矩分配法(新)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
12kN/m
i
6m
16kN
2i
3m
3m
0.4 0.6
固端弯矩 -36
第9章 渐进法及超静定力的影响线 9-1 力矩分配法的基本概念 9-2 单结点的力矩分配法 9-3 多结点的力矩分配法 9-4 计算结果的校核
9-1力矩分配法的基本概念
M
4
2 i12 1
i14
i13
3
4i12Δ1
2i12Δ1
i13Δ1 i13Δ1
3i14Δ1
M12 4i121 M13 i131 M14 3i141
M
1 M21 2 M12 M31 M13 M41 0 M14
9-1力矩分配法的基本概念
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
M ik Sik 1
4iik 远端为固定端
S ik
3iik iik
远端为铰支端 远端为平行支链杆
0 远端为自由端
2 分配系数：与转动刚度成正比
ik
96 64 → 32
-23.6 ← -47.3 -47.3 → -23.6 14.2 9.4 → 4.7
-1.2 ← 0.7 0.5 →
-2.3 -2.3 → -1.2 0.3
-0.1 -0.2
200.9 -200.9
237.3 -237.3 87.7
200.9
237.3
87.7
结构力学-渐近法和超静定影响线
M
18 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
q = 10 kN/m
A EI
4m
μ
MF
分 配 传 递
M
B
4m
EI C
6m
19 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(EI=常
数) 。q
结点 B A
1
C
B
1
C
2ql
l
Al
k
M1A 传递系数
∑ M 1i =
S1i S1k
M
= μ1i M
=
M
μ 1i
传递弯矩
k
M
C i1
=
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1i
M
μ 1i
分配弯矩
9 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
注 意：
① 结点集中力偶M按指定方向为正。 ② 分配系数表示近端承担结点外力偶的比率，它等于该
杆近端的转动刚度与交与结点1的各杆转动刚度之和 的比值。 ③ 只有分配弯矩才能向远端传递。 ④ 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是 杆件近端转动时产生的远端弯矩。
10 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算
q
变形过程想象成两个阶段进行
B
1
C
固定+放松
A
q
R1P
• 固端弯矩引 B
1
起不平衡力
固定
C
矩R1P
结构力学教程——第12章 渐进法和超静定结构的影响线
性质，可得到柱子两端弯矩。
知识点 12.5-3
柱间有水平荷载作用时的计算
I=∞
A
C
q
i1 h1
B
i2 h2 D
I=∞
A
C
q
i1 h1
i2 h2
B
+
D
A
i1 h1 B
I=∞ C
i2 h2 D
P 单跨梁计算
P 力矩分配法
知识点
12.6 用机动法绘制连续梁的影响线
力法基本方程
11 Z1 1P 0
SBA 1 5
CBA 1
例2：作图示刚架的弯矩图
解 （1）固端弯矩
M
F AB
M
F BA
1 4 kN 3.3m 2
= 6.6kN m
M
F BC
M
F CB
1 (4 8.5)kN 3.6m 2
= 22.5kN m
（2）分配系数
SBA iBA 3.5 SBC iBC 5 SBE 3iBE 162
（http://structuremechanics/index1.htm）
1. 课程导入
连续梁桥
q
多跨连续梁
2. 结点力矩下单结点力矩分配
2.1 力矩分配法概念的提出 回顾位移法
例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。
M
M
B
A
MBA MBC
M BA 4iB
B
θB
C
M AB 2iB
M BC 3iB
SCB 4 SCF 2 SCD 3
CB 0.445 CD 0.333 CF 0.222
解（1）转动刚度和分配系数
EI0=1
10(超)静定结构的影响线解析
§9-5 超静定力的影响线1、影响线的特征与求解方法1）影响线的特征静定结构——反力、内力影响线均为直线；位移影响线为曲线。
超静定结构——各量值的影响线均为曲线。
2）影响线的求作方法静力法——利用静力平衡条件求影响线方程，进而绘制影响线。
但对超静定力的影响线须解超静定问题，复杂、少用。
机动法——利用影响线与移动载荷作用点位移（挠度）图的比拟关系，快速绘制影响线轮廓。
简便、实用。
2、机动法求作超静定力影响线以图9-14连续梁（超静定梁）M K的影响线为例，说明用机动法求作超静定力影响线的方法。
1）取基本结构（超静定、几何不变体系）图b——去掉与XK 相应的约束，代之以(暴露出)约束反力XK ；A B C D EF P=1K（a）原结构A B C D EF P=1X K(M K)(下拉为正)(b)基本结构图9-14§9-5 超静定力的影响线2）建立力法典型方程k kk kp X δδ+=1()kp k pk kk kkX x δδδδ∴=-=-⋅()()pk kp x x δδ=ABCD EF P =1K ABCD E F P =1X K (M K )(下拉为正)(b)基本结构§9-5 超静定力的影响线K 截面相对转角为0式中δkk ——常数,不随X 而变化。
δpk ——载荷F P =1位置参数X 的函数，即δPK =δPK (x)，其位移图如图9-14c 所示。
互等定理图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)挠度图⏹写成更明确的形式：()()1pk kkk x x X δδ=-ABCD EK+图9-15X k (M k )的影响线结论:X k 与δpk 成正比;挠度图即为影响线轮廓线图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)作用挠度图1kM=§9-5 超静定力的影响线X k 向上为正δpk 以向下为正(与p=1同向)X k 与δpk 反向3、求做超静定力影响线的步骤⏹1）撤去与所求约束力（或量值）相应的约束，代之以反力X K ；●2）使体系沿X K 正方向发生位移，作出移动载荷作用点的挠度δPK =δPK (x)（位移）图即为影响线X K (x)的形状；●3）将δPK 图除以常数δKK 使可确定影响线的具体数值；●4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号。
根据位移法基本原理
-45+20 -3Pl/16
-0.07 -0.08 0.07 0.08 -0.01 -0.01 0.01 0.01
62.17 -62.17
-0.16 -0.17 0.04 -0.02 -0.02
杆端弯矩 22.97 45.94 -45.94
45.32 -45.32 40.0 -40
弯矩图：
杆端弯矩 22.97
• 图(a)所示连续梁的悬臂端可转化为图(b) （E端铰接）,进行计 算。
μDC=（4×4） /(4×4+3×6)=0.471
μDE=（3×6） /(4×4+3×6)=0.529
作用在C 的力偶荷 载进行处 理
分配系数 固端弯矩 0
24.0
0.600 0.400 0 -80.0
0.500 0.500 +40.0 -60.0
传递系数 CAB=1/2 CAB=-1 CAB=0
近端弯矩 远端（传递）弯矩 远端固定 MAB=SABθA MBA=2iAB θA 远端定向 MAB=SAB θA MBA= -iABθA 远端铰支 MAB=SAB θA MBA=0
• CAj = MjA /MAj 远端弯矩/近端弯矩
MμAj = μAj ·M
128超静定结构的特性特性静定结构超静定结构几何组成无多余约束的几何不变体系有多余约束的几何不变体系静力条件由静力平衡条件可唯一的确定结构的反力内力只满足静力平衡条件的内力解有无数多组防护能力荷载影响范围特性静定结构超静定结构刚度比较各杆刚度对结构内力分布的影响改变各杆刚度比值对结构内力分布无影响
第十二章
EI, l
• 转动刚度与远端支承情况有关
S=4i 远端固定(刚结)
SAB=MAB=3EI/l=3i
第八章 渐进法及超静定力的影响线
EI 8m 1
24kN/m
C
4m 2EI 4m ∑MCg =53
50kN
2
50kN
D
g =－128
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
－128 0.4 －128 76.8 51.2 －15.7 9.4 6.3 －0.7 0.4 0.3 86.6 －86.6 0.6
128 －75 0.4 0.6 128 －75 25.6 －31.4 －47.2 3.2 －1.3 －1.9 0.2 －0.1 －0.1 124.2 －124.2
+ +
M分
M分
MB传
M传 4、重复2、3步骤直至结果 M分 M分 收敛。 5、杆端最后弯矩：M=Mg ＋ ∑M分＋∑M传
13
+· · ·
§8-2 多结点的力矩分配
注意： ①多结点结构的力矩分配法取得的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们 之间的杆件的转动刚度和传递系数不易确定）；但是可以同时放松 所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩反号分配。
=
∑MBg
2、放松结点B，此时结构只 有一个结点角位移，按单结 MABg 点的力矩分配法计算，结点 C最终取得新的结点不平衡 力矩∑MCg +MC传 3、放松结点C，按单结点 的力矩分配法计算，结点 B又取得新的不平衡力矩 MB传 M传 MBAg∑MCg源自MBCg MCBg －∑MBg
MCDg
∑MCg +MC传 M传 －(∑MCg +MC传)
M远 C M近
∴远端弯矩可表达为： M BA C AB M AB 等截面直杆的传递系数
《结构力学》渐近法计算超静定结构-课程知识点归纳总结
《结构力学》渐近法计算超静定结构-知识点归纳总结一、转动刚度与传递系数使杆端产生单位角位移时需要在该端施加（或产生）的力矩称为转动刚度，它表示杆端对转动的抵抗能力，是杆件及相应支座所组成的体系所具有的特性。
转动刚度与该杆远端支承及杆件刚度有关。
传递系数表示近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
对等截面杆件来说，传递系数随远端支承情况不同而异，如表1所示。
这里，i 为杆的线刚度。
二、分配系数各杆端在结点A 的分配系数等于该杆在A 端的转动刚度与交于A 点的各杆端转动刚度之和的比值，即：同一结点各杆分配系数之和，这个条件通常用来校核分配系数的计算是否正确。
三、力矩分配法的基本原理其过程可形象地归纳为以下步骤：（1）固定结点在刚结点上施加附加刚臂，使原结构成为单跨超静定梁的组合体。
计算各杆端的固端弯矩，而结点上作用有不平衡力矩，它暂时由附加刚臂承担。
（2）放松结点取消刚臂，让结点转动，这相当于在结点上施加一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。
这个反号的不平衡力矩按分配系数分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩。
同时，各分配弯矩又向其对应远端进行传递，各远端得到传递弯矩。
（3）将各杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩对应叠加，可得各杆端的最后弯矩值，即：近端弯矩等于固端弯矩加上分配弯矩，远端弯矩等于固定弯矩加上传递弯矩。
四、用力矩分配法计算连续梁和无侧移的刚架多结点的力矩分配法计算步骤如下：1、固定刚结点（施加附加刚臂），计算各杆端的固端弯矩，并计算各刚臂承担的不平衡力矩值。
2、依次放松各结点每次放松一个结点（其余结点仍固定住）进行力矩分配与传递。
对每个结点轮流放Aj Aj Aj S S μ=∑1Aj μ=∑松，经多次循环后，结点逐渐趋于平衡。
一般进行2-3个循环就可获得足够精度。
3、将各次计算所得杆端弯矩（固端弯矩、历次得到的分配弯矩和传递弯矩）对应相加，即得各杆端的最终弯矩值。
五、力矩分配法和位移法的联合应用力矩分配法与位移法的联合应用就是利用力矩分配法解算无侧移结构简便的优点和位移法能够解算具有结点线位移结构的特点，在解题过程中使其充分发挥各自优点的联合方法。
《静定结构影响线》课件
静定结构具有确定的几何形 状和确定的承载能力，不会 因为受到外力而发生变形或
破坏。
静定结构在受到外力作用时， 其内力和反力可以通过静力平 衡方程求解，不需要进行复杂
的分析和计算。
02
影响线的计算方法
静力法
静力法是通过在静力平衡状态下，对 结构施加单位载荷并计算位移的方法 。
静力法计算简单，适用于简单结构， 但对于复杂结构，计算过程可能较为 繁琐。
连续梁的影响线分析
连续梁的弯矩和剪力影响线比简支梁更为复杂 ，需要考虑多个支座和跨度的共同作用。
连续梁的影响线分析有助于优化梁的截面尺寸和支座 设计，提高结构的承载能力和稳支梁的相互作用。
在连续梁中，弯矩和剪力的最大值可能出现在不 同的位置，需要根据具体情况进行分析。
框架结构的影响线分析
框架结构由多个杆件通过节点连接而 成，其影响线分析需要考虑杆件之间 的相互作用。
在框架结构中，弯矩和剪力的最大值 可能出现在不同的节点和杆件上，需 要根据具体情况进行分析。
框架结构的弯矩和剪力影响线比简支 梁和连续梁更为复杂，需要考虑多维 空间的受力分析。
框架结构的影响线分析有助于优化结 构的布局和节点设计，提高结构的承 载能力和稳定性。
05
结论
影响线在静定结构中的重要性
静定结构影响线是分析结构响应的重要工具，它能够描述结构在不同激励下的变形 和内力分布情况。
通过影响线分析，可以确定结构的薄弱环节和关键部位，为结构的优化设计和加固 提供依据。
影响线分析有助于评估结构的可靠性和安全性，为工程实践提供重要的参考价值。
未来研究方向
01
静定结构影响线
目录
• 引言 • 影响线的计算方法 • 静定结构影响线的应用 • 静定结构影响线的实例分析 • 结论
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B
6m
4m
M/2
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
10
例4. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
A
EI=常数
50kN·m 50kN
B
C
D
1m
5m
μ
5/6 1/6
MF
0 25
分配传递 -20.8 -4.2
1m
SBA=3i
50
SBC=0.6i
BA
3i
3i 0.6i
5 6
M -20.8 +20.8
它们都属于位移法的渐近解法，符号规定同前。
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
2
§9-2 力矩分配法的基本概念
一、转动刚度S
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
SAB=3i
1
1
SAB=i 1
SAB=0
注意：
A——近端（施力端），B——远端
A -17.2
-60 0.571 0.429 -34.3 B -25.7
+ 0
设i =EI/l 计算转动刚度：
C
SBA=4i SBC=3i
分配系数：BA
4i 4i 3i
0.571
=
A -150 -17.2
0.571 0.429 150 B -90 -34.3 -25.7
C
分配力矩:
BC
3i 7i
M AB
S AB M S
A
m0
M AD 3iAD A SAD A
M AC
M ( S AB S AC S AD ) A
S AC M S
A
A
M
MAD
MAB
MAC
A
S AB
M S AC
S ADM SAຫໍສະໝຸດ Aj S Aj S
M AD
S AD M S
A
M Aj Aj M
2020年8月1日12时37
+50 50
BC
1 6
M图
（kNm）
20.8
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
11
例5 4m
30kN/m B i=2
4m
100kN D
A
i=1.5
i=2
C
3m
2m
AB
23
23 2 4 1.5 4
0.3
AD
B EI
(结点集中力偶的处理)
20 62
C M AB M BA 12 60kN m
6m
4m
MB 60 40 100kN .m
40kN.m MB
60
约束力矩=∑固端力矩±M
M顺时针转向取“-”
例3、求图示梁的弯矩图（利用传递系数概念）
40kN.m
10kN
M
20kN.m A EI
B EI C A
0
MAB= iABA
A
A
MBA = - iAB A
B
C AB
M BA M AB
1
M M , M C M 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，
各杆远ij端弯矩分ij别等于各杆近端弯矩乘ji以传递系ij数。 ij
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
6
§9-3 单结点的力矩分配法
1
③④
1
（2）转动刚度SAB=4i有（ ）
A
i
B√① √③
A
i
A
i
④
A
i
B √②
2020年4i8>月S1日AB12>时33i7
A
i⑤ B
By Lvyanping
i
B B
4
Δ
二、分配系数μ
求MAB、MAC和MAD
如用位移法求解：
于是可得
D
iAD
MA
A
iAC
C
B iAB
M AB 4iAB A S AB A M AC iAC A S AC A
A
1 AByj Lvyanping
分配系数
5
三、传递系数C 对于等直杆，C仅与远端支承有关。
表示近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩之比。
MAB = 4 iAB A
近端 A
A l
MBA = 2 iAB A
远端 B
C AB
M BA M AB
1 2
MAB = 3iABA
A
A
B
C AB
M BA M AB
2. 放松结点
– 计算各杆分配系数；
– 分配弯矩= -约束力矩×分配系数，
– 传递弯矩=分配弯矩×传递系数；
3. 各杆杆端弯矩=固端弯矩+分配弯矩\传递弯矩。 4. 最终M图据分段叠加法绘出。
计算单刚结点无侧移结构的解是精确的。
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
8
1A67-.1250例3m13.E0作I200图1035k示m0N1连165B0续.7-梁902弯0Mk96矩图EN0mI图/(mk。N·m)C（1MMMM）ABBBABC固====M定1B5B22A000+结k088NM6点26mBC=916050kk0NNkNmm m （2）放松B，即加-60分配
0.429
0
M B A 0.571 (60) 34.3
-167.2 115.7 -115.7
0
M B C 0.429 (60) 25.7
2020年8月1日12时37
(3) 最后结果。
By Lvyanping
9
例2:求力矩分配法计算图示梁时的约束力矩
20kN / m
A EI
40kN .m
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远
端支承有关， 而与近端支承无关。
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
3
确定S：近端看位移（是否为单位转角） 远端看支承（远端支承不同，S不同）。
（1）下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB
MAB θ
√ MAB
①②
1
MAB 1
MAB
结构力学
第九章 渐进法及 超静定结构影响线
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
1
9-1 渐近法概述
1、结构力学的渐近法
力学建立方程，数学渐近解 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。
本章讲解第二种方法，其突出的优点是每一步都有明确 的物理意义。
2、不建立方程组的渐近解法有：
(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。
MBA =MBAF+ M B A MBC = MBCF+ M B C MAB=MABF+ M AB
2然020后年8各月1跨日1分2时别37 叠加简支梁的By 弯Lvy矩anp图ing，即得最后弯矩图。
7
计算要点
1. 固定结点
– 在刚结点加附加刚臂，得到单跨梁，计算各杆固端弯矩； – 产生的结点约束力矩 =∑固端弯矩；
一、基本思路
固端弯矩带本身符号
A MAB
A MABF
B MBA MBC
MB
+ MBAF B MBCF -MB
=
MB C
MFBA MFBC
C 固定
MB= MFBA+ MFBC -MB
M B A
M B C
A M AB
M B A B M B C
C 放松 MBA BA (MB )
0
M B C BC (M B )