一元一次不等式
“一元一次不等式知识点
“一元一次不等式知识点王竞进小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每本笔记本2元，她买了4本笔记本，那么她最多还可以买几支笔？怎么解答这类问题呢？在这个问题中，隐含着买笔和笔记本所花的钱与准备的钱之间具有不相等的数量关系.与方程类似，不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型.一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学习其他相关数学知识的工具.学习时，应关注以下几个方面：一、正确理解基本概念1.不等式解与不等式解集的概念能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.如：x=3.5、5、6、10.2等大于3的实数都是不等式x-3>0的解；x=-1、0、2、3、3.5、-5、-6等小于4的实数都是x-4<0的解.一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集.因此，不等式的解集包含了不等式的所有解，解集中的任何一个数都是不等式的一个解.例1下列说法中正确的是（）.A.x=2是不等式x+2>3的解B.x=2是不等式x+2>3的唯一解C.x=2不是不等式x+2>3的解D.x=2是不等式x+2>3的解集【解答】A.【点评】弄清不等式的解及解集的区别，是解本题的关键.不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数.不等式中的未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立；不等式中的未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立.2.一元一次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.这个不等式必须同时满足3个条件：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的式子是整式；（3）未知数的次数是1.这3个条件缺一不可.如：2x-（4x+1）>3、5y+2≤3（y-1），都是不等式，而x2-3x+2<0、y+■<2都不同时满足上述的3个条件.反过来，如果（a-1）x+3>0是关于x的一元一次不等式，则a必须具备的条件是a-1≠0，即a≠1.3.一元一次不等式组的概念小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，试确定这个长方形宽的长度范围.在这个问题中具有两个不等关系：长方形的相片框架的长总大于宽，其面积不小于500，因而可以得到两个不等式：x<25、25x≥500，再联立这两个不等式，记作x<25，25x≥500，从而组成一个关于x的不等式组.像这样，由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.根据概念，可以知道组成一个不等式组的条件有（1）含有同一个未知数，（2）几个不等式是一次不等式.如：2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，2x+1<3（3-x），■（x-1）-1>x+■都是一元一次不等式组，而x2-4x<5，4（x-1）-3>-2x+1，■-13（x-1）都不是一元一次不等式组.4.不等式组的解集概念我们知道一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集，那么一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，就称为这个一元一次不等式组的解集.如x<3，x<1中两个不等式解集的公共部分为x<1，则其解集为x<1；x>3，x>1中两个不等式解集的公共部分为x>3，则其解集为x>3；x<3，x>1中两个不等式解集的公共部分为1x>3，x<1中两个不等式解集的公共部分不存在，则其解集为无解.我们可以用一句口诀来概括其中的规律：同大取大，同小取小；大小小大取中间，大大小小便无解.二、了解不等式解集的表示方法1.用不等式表示一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，这个范围可以用一个具体的、简单的不等式来表示.如：不等式x+3>-1的解集为x>-4；不等式2x+1<3的解集为x<1.2.用数轴来表示用数轴可以直观地表示出一个不等式的解集.表示时，必须注意不等式的类型.小于a则在数轴上表示a的点的左边，大于a则在数轴上表示a的点的右边，且表示a的点处是一个空心；如果是“小于或等于a”或“大于或等于a”时，则表示a的点处应该是一个实心.例3在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x<3；（2）x≥3.【解答】（1）在数轴上表示x<3为：；（2）在数轴上表示x≥3为：.【点评】在数轴上表示不等式时，首先在数轴上找到表示不等号右边数的点，再根据“小于向左画、大于向右画、无等号画空心、有等号画实心”用相应的线在数轴上表示出不等式的解集.三、理解不等式的性质，掌握一元一次不等式的解法不等式的性质有两个.不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.其中特别要注意的是：在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.和一元一次方程的解法类似，解一元一次不等式的基本步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.逐步将不等式转化为x>a（x≥a）或xx>四、掌握解一元一次不等式组的一般步骤解一元一次不等式组的一般步骤大致为：先分别求得不等式组中各个不等式的解集，再求出这几个不等式解集的公共部分，从而确定不等式组的解集.如：解不等式2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，先分别求得不等式2x-4<6的解集为x<5，不等式5（x-2）+3>-3x+1的解集为x>1，再把它们在如图所示的数轴上表示出来，因此，这个不等式组的解集为1五、正确理解题意，找出不等关系，列出一元一次不等式，解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题类似，在解答具有不等关系的实际问题时，往往先列出不等关系，再用含有未知数的代数式分别表示相关数量，再根据不等关系列出一元一次不等式，进而解出不等式，写出答案.例4某单位共有36位工作人员，为改善办公设备，提高工作效率.单位准备为每位工作人员配备一台手提电脑.现有A、B两种型号的手提电脑供选择.根据预算，共需资金145000元.购买一台A型电脑和两台B型电脑共需资金11840元；购买两台A型电脑和一台B型电脑共需资金12040元.（1）购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是多少元？（2）问该单位最多能购买A型电脑多少台？【分析】本题中第（2）题，隐含着一个不等量关系：购买A、B两种型号的手提电脑的费用和≤总资金.因此，可以建立关于所购买商品的价格为未知数的不等式解决问题.【解答】（1）设A型电脑x台，B型电脑y台，根据题意，列方程组，得：x+2y=11840，2x+y=12040.解得：x=4080，y=3880.答：购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是4080元和3880元.（2）设该单位能购买A型电脑a台，根据题意，得：4080x+3880（36-a）≤145000，解得a≤26.6.所以该单位最多能购买A型电脑26台.【点评】本题能够融二元一次方程组与一元一次不等式的应用于一体，考查同学们分析问题、解决问题的能力.解答这类问题的关键是理解题意，找到题目的等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式组求解.对于问题中出现的“至少”、“至多”、“不少于”等等，往往隐含着不等关系，需要建立不等式进行解答.。
一元一次不等式组(基础) 知识讲
一元一次不等式组（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲 一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组 (1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x≥-5故原不等式组的解集为-5≤x＜-2．其解集在数轴上表示如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①② 解①得：4x < 解②得：12x ≥-故原不等式组的解集为142x -≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。
第14讲 一元一次不等式
第14讲一元一次不等式知识导航1．一元一次不等式的相关概念及解法；2．含参数的一元一次不等式；3．一元一次不等式的实际应用；4．含绝对值的一元一次不等式．【板块一】一元一次不等式的相关概念及解法方法技巧1．一元一次不等式是指含一个未知数，未知数的次数是1的不等式，判断是否为一元一次不等式需要先化简再判断．2．解一元一次不等式，是根据不等式的性质逐步将不等式化为a＜a或x＞a的形式．题型一元一次不等式的定义【例1】若不等式3（x－1）＜mx2＋nx－3是关于x的一元一次不等式，求m，n满足的条件．【练1】（2017年春·启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（）A．x2－9x≥x2＋7x－6 B．x＋1＝0 C．x＋y＞0 D．x2＋x＋9≥0题型二一元一次不等式的解法【例2】解不等式213132x x---≥1，并把它的解集表示在数轴上．【例3】若不等式325123x x--<+的最小整数解是方程2x－ax＝4的解，求a的值．【练3】解不等式222223x x-+>-，并写出它的非负整数解．题型四列不等式，求取值范围【例4】（2018·双桥区模拟）对于实数a，b，c表示运算：ab－c，如＝2×3－4＝6－4＝2．（1）列出算式并求值：（2）若的值大于1，请列出不等式，并解不等式；并判断（1）中①和②的值是不是此不等式的解．【练4】（2018春·蔡甸区期末）若代数式315x -的值不小于代数式156x-的值，则x 的取值范围是＿＿＿＿．针对练习1．下列各式：①－x ≥5；②y －3x ＜0；③x π＋5＜0；④x 2＋x ≠3；⑤3x ＋3≤3x ；⑥2(x ＋2)－x ＜x －5，其中是一元一次不等式的有＿＿＿＿＿＿．（填序号）2．若2(1)30m m x +->是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为＿＿＿＿． 3．不等式2（5x ＋3）＞x －3（1－2x ）的最小整数解为＿＿＿＿． 4．(2018春·蜀山区期末)不等式214323x x ---<的所有自然数解的和等于＿＿＿＿． 5．（2018春·宁都县期末）代数式12x －1的值小于313x -的值，则x 的取值范围是＿＿＿＿． 6．解不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）2（5x －3）≤4x －3(1－3x )； （2）1＋5x ＞522x --； （3）2 1.530.6 1.930.50.20.1x x x---->．7．(2018春·孟津县期中)若不等式5（x －2）＋8≤6(x －1)＋7的最小整数解是方程3x －ax ＝－3的解，求210a --的值．8．（2018春·九台区期末）对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）＝2ax byx y++(a ，b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝01201a bb⨯+⨯=⨯+．若(1,1)2,(2,1) 1.TT-=-⎧⎨=⎩（1）求a，b的值；（2）解关于m的不等式：T（2m，3－4m）≤8．【板块二】含参数的一元一次不等式方法技巧1．解决含参数的一元一次不等式，抓住两条主线，将参数当作数看待或将参数当作主元看待．2．注意讨论参数的取值范围．题型一解含参数的一元一次不等式【例1】解关于x的不等式ax－2a＜2（x－2）．【练1】解关于x的不等式ax＋3＜x＋b．．题型二已知不等式的解集，求参数的取值范围【例2】若不等式（2k＋1）x＜2k＋1的解集是x＞1，求k的取值范围．【练2】当a＝＿＿＿时，关于x的不等式（1－a）x＞a－5的解集是x＜2．题型三已知不等式的解集，化简后求参数的取值范围【例3】（2017秋·双清区校级月考）已知一元一次不等式mx－3＞2x＋m．（1）若它的解集是x＜32mm+-，求m的取值范围；（2）若它的解集是x＞34，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．【练3】若关于x的不等式m（x＋2）＞2m－1的解集是x＜15，则关于x的不等式（m－1）x＞－1－m的解集是（）A．x＜23-B．x＞23-C．x＜23D．x＞23题型四已知不等式的整数解，求参数的取值范围【例4】（2018春·淮安区期末）已知不等式2x－m≤0至少有5个正整数解，求m的取值范围．题型五已知不等式的解集，求相关不等式的解集【例5】若关于x的不等式（2a－b）x＋3a－4b＜0的解集是x＞49，试求关于x的不等式（a－4b）x＋2a－3b＜0的解集．【练5】已知关于x的不等式（4a－3b）x＞2b－a的解集是x＜49，则ax＞b的解集为＿＿＿＿．针对练习21．（2018春·大田县期中）若不等式（a－3）x＜3－a的解集在数轴上表示如图所示，则a的取值范围是＿＿＿＿．2．已知不等式3x＋a≤0的正整数解为1、2、3，则a的取值范围是＿＿＿＿．3．（2017·大庆）若实数3是不等式2x－a－2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为（）A．2 B．3 C．4 D．54．解关于X的不等式a(x－b)≤b(x－a)．5．(2018春·新野县期中)已知x＝3是关于x的不等式3x－22ax+＞23x的一个解，求a的取值范围．6．设不等式(m＋n)x＋(2m－3n)＜0的解集为x＜－13，求不等式(m－3n)x＋(n－2m)＞0的解．【板块三】实际问题与一元一次不等式(一)方法技巧1．常见的一些等量关系：①行程问题∶路程＝速度×时间；②工程问题:工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量；③利润问题∶商品利润＝商品售价－商品进价，利润率＝利润进价×100%；④增长率问题∶增长量＝原有量×增长率；⑤银行存贷款问题∶本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；⑥数字问题∶多位数的表示方法∶例如∶abcd＝a×103＋b×102＋c×10＋d．2．用不等式解决应用问题在设未知数时，表示不等关系的文字(如“至少”〉不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．题型一关系直接型【例1】蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问∶在巳确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？【练1】(2018春•秦都区期中)某小区为了绿化环境，计划购进甲、乙两种花卉共31株，甲种花卉每株20元，乙种花卉每株5元，若购买甲、乙两种花卉总费用不超过350元，问至少需要购买乙种花卉多少株？题型二阅读理解型【例2】(2018•上城区一模)为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，水价分为三个阶梯，价格表如下表所示：(注：居民生活用水水价＝供水价格十污水处理费)(1)当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是元/立方米．(2)4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为：18×(1.90＋1.00)＋2×(2.85＋1.00)＝5.90(元)，预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费．(3)为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收人的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议．【练2】用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表∶现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为x kg，则x应满足的不等式为()A．600x＋100(10－x)≥4200B．8x＋4(100－x)≤4200C．600x＋100(10－x)≤4200D．8x＋4(100－x)≥4200针对练习31．(2018春⋅包河区期中)某商家出售某种商品，标价为360元，比进价高出80%，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于20%(利润率＝-售价进价进价×100%)，则最多可降价( )A．80元B．160元C．100元D．120元2．(2018春⋅南江县期末)南江县出租车收费标准为:起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元)，超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计)．在南江县，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是()千米．A．6B．7C．8D．93．(2018春⋅黄岛区期末)三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有( )A．6组B．5组C．4组D．3组4．(2018春⋅道里区期末)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365天)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天．5．(2018春⋅磴口县期末)蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200斤，老王昨天青菜和西兰花各进了多少斤？斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，青菜每斤售价至少为多少元？6．下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算；市场部∶预测明年的产品销售是10000〜12000件；技术部∶该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部∶今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个．请判定：①工厂明年的生产量至多应为多少件?②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品？【板块四】实际问题与一元一次不等式(二)题型一与方程(组)结合【例1】(2018⋅赤峰)小明同学三次到某超市购买益A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：解答下列问题：(1)第次购买有折扣；(2)求A、B两种商品的原价；(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．针对练习31．(2018春•包河区期中)某商家出售某种商品，标价为360元，比进价高出80%，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于20%(利润率＝-售价进价进价×100%)，则最多可降价( )A．80元B．160元C．100元D．120元2．(2018春•南江县期末)南江县出租车收费标准为∶起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元，超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计〉．在南江县，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是( )千米．A．6B．7C．8D．93．(2018春•黄岛区期末)三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有( )A．6组B．5组C．4组D．3组4．（2018春•道里区期末)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数（365天)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天．5．（2018春•磴口县期末)蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200斤，老王昨天青菜和西兰斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，青菜每斤售价至少为多少元？6．下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算；市场部：预测明年的产品销售是10000〜12000件；技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个.请判定：①工厂明年的生产量至多应为多少件？②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品？【板块四】实际问题与一元一次不等式(二)题型一与方程(组)结合【例1】(2018 赤峰)小明同学三次到某超市购买益A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：解答下列问题：(1)第次购买有折扣；(2)求A、B两种商品的原价；(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．【练2】(2018•太原三模)2018年4月22日是第49个世界地球日，今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土——讲好我们的地球故事”.在地球日活动周中，同学们开展了丰富多彩的学习活动，某小组搜集到的数据显示，山西省总面积为15.66万平方公里，其中土石山区面积约5.59万平方公里，其余部分为丘陵与平原，丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里．(1)求山西省的丘陵面积与平原面积；(2)活动周期间，两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆，他们联系了两家旅行社，报价均为每人30元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：家长免费，学生都按九折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．若只考虑收费，这两位家长应该选择哪家旅行社更合算？针对练习41．(2018•山西)2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8︰11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm．2．(2018春•洪山区期末)已知购买60件八商品和30件B商品共需1080元；购买50件A商品和20件B商品共需880元．若某商店需购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，且商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，则购买A商品的件数最多为件．根据以上信息解答下列问题(1)求A、B两种商品的单价；(2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．4．响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的1倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台．(1)至少购进乙种电冰箱多少台？(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？【练1】(2018•昆明)水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价＝基本水价＋污水处理费)；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．(注：污水处理的立方数＝实际生活用水的立方数)(1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？题型二方案选择型型两种客车，它们的载客量和租金如下表：A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，设租用A 型客车x辆，根据要求回答下列问题：(1)用含工的式子填写下表：(3)在(2)的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．【板块五】绝对值不等式方法技巧1．①关于x的不等式|x|＜a(a＞0)的解为：－a＜x＜a；②关于x的不等式|x|＞a(a＞0)的解为：a＞x或者x ＜－a．2．含绝对值的不等式可利用数形结合法与分类讨论法解决问题．题型一解含一个绝对值的不等式【例1】阅读求绝对值不等式子|x |＜3解集的过程：因为|x |＜3，从如图所示的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x |＜3的解集是－3＜x ＜3．解答下面的问题：(1)不等式|x |＜a (a ＞0)的解为 ．(2)求|x －5|＜3的解集实质上是求不等式组 的解集，所以|x －5|＜3的解集是 ．【练1】解下列含绝对值的不等式:(1) |x |≤5(2) |2x －1|＜3(1) 213x ≥4题型二 解含多个绝对值的不等式【例2】解不等式：|x －1|＋|x ＋2|＝5．由绝对值的几何意叉知,核方程表示求在数紬上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和－2的距高为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边．若x 对应点在1的右边，由可以看出x ＝2；同理,若x 对应点在－2的左边,可得x ＝－3,故原方程的解是x ＝2或x ＝－3．参考阅读材料，解答下列向题：(1)方程|x ＋3|＝4的解カ ．(2)解不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9；(3)若|x －3|－|x ＋4|≤a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围．0 1 -3 -2 -1 23 0-2 -1【练2】解不等式|x－5|－|x＋2|＜1．针对练习5 1．解下列含绝对值的不等式：(1) |2x＋5|＞7(2) |x＋2|＜3x＋14(1) 31314x--＜22．解下列含绝对值的不等式：|x－1|＋|x＋2|＞5．3．解下列含绝对值的不等式：|x|≥|x－3|．4．已知x＜－1，化简|3x＋1|－|1－3x|．5．已知5(x＋1)－3x＞2(2x＋3)＋4，化简|2x－1|－|1＋2x|．。
解一元一次不等式的六个技巧
解一元一次不等式的六个技巧解一元一次不等式的基本方法是五步法：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1．但，怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式呢同学们可结合一元一次不等式的特点，采取一些灵活、简捷的方法与技巧．现撷取几例介绍，供大家参考：一、巧抵消例1、 解不等式53x —23-x ＞9+426x - 解析：由于426x -=-23-x ，原不等式可变为：53x —23-x ＞9-23-x 则：53x ＞9，所以x ＞15 评注：把原不等式中相关的式子变形，然后进行抵消，使解题过程变得简捷．其中蕴含着整体思想．二 、巧凑整例2 、解不等式25.0125.05.2x x +-<-. 两边同乘以4得 x x 2210--<-.移项、合并同类项得 x<-12.评注：本题若两边同乘以2，直接去分母，也可以解决问题．但，考虑到分子中的小数，由不等式的性质，不等式两边同乘以一个适当的数“2”，可将小数转化为整数，这样，为下面的运算提供了方便．三、巧拆分例3、 解不等式13965401072814+-<---x x x . 由不等式变形得 132)82(42+-<---x x x .去括号、移项、合并同类项得 8x<4.则x<21 评注：当分子里包含的各项系数能被分母整除时，可以把它拆开，这样省去了去分母这一步骤，也就简化了运算过程，这样还能少犯运算错误，直可谓是一举两得．四、巧分配例4、 解不等式x x ---]21432[23）（＞-1 解析：注意到13223=⨯，采用乘法分配律去括号时，可由外往里， 则有：x x ---314＞-1，所以43x -＞3，故，x ＜-4． 评注：去括号一般是内到外，也就是，按小、中、大括号的顺序进行．但，有时可反其道而行之，即由外到内去括号，这往往能另辟捷径．五、巧合并例5、 解不等式 )2()1(41)2(3)1(43--->---x x x x . 由不等式变形得 )2()2(3)1(41)1(43--->-+-x x x x . 去括号、移项、合并同类项得 -x>-3.∴x<3.评注：直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式(x-1) 、(x-2)，根据不等式括号内代数式的特征把 (x-1) 、(x-2) 看作一个整体，先带括号进行移项、合并同类项运算就会简便得多.六、巧整合例6、 解不等式 3｛2x-1-[2(2x-1)+3]｝＞-3．解析： 把2x-1看作一个整体，则有： 3｛（2x-1）-[2(2x-1)+3]｝＞-3． 大、中括号得，3(2x-1)-6(2x-1)-9＞-3，整体合并，得-3(2x-1)＞6，所以有，x <21-． 评注：本题如果按照常规解法，也是可行的，但运算量较大．这种方法中，把2x-1看作一个整体，去括号、合并同类项后，再解不等式，就显得轻松多了．可见得，在解题过程中，若恰当运用整体思想，则大有收益，妙不可言．。
一元一次不等式(公开课优秀课件)
实际应用中的一元一次不等式
一元一次不等式在实际生活中 有着广泛的应用，如购物、投 资、工程等领域的决策问题。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要将问题转化为数学模 型，然后运用代数法和图像法 求解。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要注意问题的实际情况 和限制条件，以及解的可行性 和最优性。
一元一次不等式(公开课优秀课件)
目 录
• 一元一次不等式的定义与性质 • 一元一次不等式的解法 • 一元一次不等式的应用 • 一元一次不等式的扩展
01 一元一次不等式的定义与 性质
一元一次不等式的定义
总结词
一元一次不等式是数学中一种简单的不等式，它只含有一个变量，且变量的指 数为1。
详细描述
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c 或 ax + b < c，其中 a、b、c 是常 数，a ≠ 0。这个不等式表示一个线性函数在某个区间内大于或小于另一个值。
在人口发展过程中，如何预测未来人 口数量，可以通过一元一次不等式来 建立数学模型。
交通流量问题
在道路交通中，如何合理规划红绿灯 时间，ห้องสมุดไป่ตู้保证交通流畅，可以通过一 元一次不等式来求解。
一元一次不等式与其他数学知识的结合
一元一次不等式与函数
一元一次不等式可以看作是函数的值大于或小于某个常数的情况， 因此可以结合函数的性质进行求解。
代数法解一元一次不等式的步骤 包括：去分母、去括号、移项、
合并同类项、化系数为1等。
代数法解一元一次不等式需要注 意不等式的性质，如不等式的可 加性、可乘性、可除性和同向不
一元一次不等式-图
一元一次不等式图像的基本概念
定义
一元一次不等式图像是指将一元 一次不等式表示的数学关系转换 为图形表示，通过图形直观地展 示不等式的解集。
特点
一元一次不等式图像具有直观、 简洁、易于理解的特点，能够清 晰地表达不等式的解集和取值范 围。
一元一次不等式图像的绘制方法
确定不等式的解集
根据一元一次不等式的解 法，确定不等式的解集， 即不等式成立的x的取值范 围。
总结词
一元一次不等式的解集是指满足该不等式的未知数的取值范围。
详细描述
解集是满足一元一次不等式条件的未知数的取值范围。解集可以通过移项、合 并同类项、化简等步骤求得。解集通常表示为区间或集合的形式。
02
一元一次不等式的解法
代数法解一元一次不等式
01
02
03
04
移项
将不等式两边的项进行移位， 使不等式只包含一个变量。
时间安排
在安排时间时，我们也会使用到一元一次不等式。例如，我们需要在一个小时内 完成一项任务，那么我们可以用一元一次不等式来表示这个时间范围。
数学建模中的一元一次不等式
线性规划
在解决线性规划问题时，我们需要使用 一元一次不等式来描述约束条件。例如 ，如果我们需要最大化一个目标函数， 同时满足一些约束条件，那么这些约束 条件可以用一元一次不等式来表示。
一元一次不等式-图
目录 CONTENT
• 一元一次不等式的概念 • 一元一次不等式的解法 • 一元一次不等式的图解法 • 一元一次不等式的实际应用
01
一元一次不等式的概念
一元一次不等式的定义
总结词
一元一次不等式是只含有一个变量， 且变量的指数为1的不等式。
详细描述
一元一次不等式教案(精选9篇)
一元一次不等式教案（精选9篇）篇1：一元一次不等式教案实际询问题与一元一次不等式教案教学目标1、会从实际询问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际询问题;2、通过观看、实践、争辩等活动，经受从实际中抽象出数学模型的过程，积存利用一元一次不等式解决实际询问题的阅历，渗透分类争辩思想，感知方程与不等式的内在联系;3、在乐观参与数学学习活动的过程中，初步熟识一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的适应。
教学难点弄清列不等式解决实际询问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式。
学询问重点查找实际询问题中的不等关系，建立数学模型。
教学过程（师生活动）设计理念提出询问题某学校方案购实若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，同时多买都有确信的优待.甲商场的优待条件是：第一台按原报价收款，其余每台优待25%;乙商场的优待条件是：每台优待20%.假如你是校长，你该如何考虑，如何选择?（多媒体呈现商场购物情景）通过买电脑那个同学特不生疏的生活实例，引起同学深厚的学习爱好，感受到数学来源于生活，生活中更需要数学。
探究新知1、分组活动.先独立思考，理解题意.再组内沟通，发表自个儿的观点.最终小组汇报，派代表论述理由.2、在同学充分发表意见的基础上，师生共同归纳出以下三种选购方案：（1）啥状况下，到甲商场购买更优待?（2）啥状况下，到乙商场购买更优待?（3）啥状况下，两个商场收费相同?3、我们先来考虑方案：设购买x台电脑，假如到甲商场购买更优待.询问题1：如何列不等式?询问题2：如何解那个不等式?在同学充分争辩的基础上，老师归纳并板书如下：解：设购买x 台电脑，假如到甲商场购买更优待，则6000+6000（1-25%）（x-1）<6000（1-20%）x去括号，得去括号，得：6000+4500x-45004<4800x移项且合并，得：-300x<1500不等式两边同除以-300，得：x<5答：购买5台以上电脑时，甲商场更优待.4、让同学自个儿完成方案（2）与方案（3），并汇报完成状况.老师最终作适当点评.鼓舞同学大胆猜想，对争论的询问题发表见解，进行探究、合作与沟通，涌现出多样化的解题思路.老师准时予以引导、归纳和总结，让同学感知不等式的建模。
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式是初中数学中的一个重要概念。
它是一种用来描述数之间大小关系的数学式子，由一个未知数和一个或多个常数构成。
本文将从基本概念、求解方法和应用场景三个方面介绍一元一次不等式的相关知识。
1. 基本概念一元一次不等式是指由一个未知数和一个或多个常数构成的不等式。
一元一次不等式的一般形式为Ax + B > 0（或< 0），其中A和B为实数，且A ≠ 0。
在求解一元一次不等式时，需要注意以下几个基本规则：- 若A > 0，则不等式两端同时乘以正数（或正数的等价形式）不改变不等式的方向。
- 若A < 0，则不等式两端同时乘以负数（或负数的等价形式）会改变不等式的方向。
- 不等式两端同时加（或减）同一个数值，不等式的方向不变。
2. 求解方法对于一元一次不等式的求解，我们可以采用图像法、试值法或代数法等不同方法。
2.1 图像法图像法是一种直观的方法，通过绘制函数图像来确定不等式的解。
对于一元一次不等式Ax + B > 0（或< 0），我们可以绘制出函数y = Ax + B 的图像，并根据图像在数轴上的位置来确定不等式的解集。
2.2 试值法试值法是一种简单有效的方法，在不等式两边选择一些特定的数值进行代入，然后判断不等式的成立情况。
通过不断尝试，最终找到满足不等式的解集。
2.3 代数法代数法是一种更为精确的方法，它基于等价变形和性质运算对不等式进行求解。
通过将一元一次不等式进行等价变形，将未知数的系数化为1，从而得到不等式的解集。
3. 应用场景一元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是两个常见的应用场景：3.1 财务管理在财务管理中，一元一次不等式可以用来描述投资、贷款或收入等方面的问题。
例如，假设一个人每月的收入为x元，他将其中的40%用于生活费，那么可以通过不等式0.4x > 1000 来计算他每月的最低收入。
3.2 生产与销售在生产与销售中，一元一次不等式可以用来描述成本、销售量和利润等关系。
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一元一次不等式
1、若等腰三角形的周长4cm ，求这个等腰三角形腰长x 的取值范围？
2、（1）已知不等式2x -a ≤0的正整数解是1，2，3，求a 的取值范围
（2）不等式2x -a<0的正整数解为1，2，3，求a 的取值范围
3、已知关于x ，y 的方程组⎩
⎨⎧-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围．
4、某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每
人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m 本课外读物,有x 名学生获奖,请解答下列问题:
(1)用含x 的代数式表示m;
(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
5、求使方程组⎩⎨
⎧+=++=+3
6542m y x m y x 的解x ,y 都是正数的m 的取值范围
6、（1）不等式组 ⎩⎨⎧-3
12＜＞x a x 无解，求a 的范围
（2）不等式组 ⎩⎨⎧≤-≥3
12x a x 无解，求a 的范围
（3）不等式组 ⎩⎨⎧-≥3
12＜x a x 有解，求a 的范围
（4）不等式组 ⎩⎨⎧≤-≥3
12x a x 有解，求a 的范围
7、关于x 的不等式组23(3)1324
x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩ 有四个整数解,求a 的取值范围。