导数及其应用课件__新人教版
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高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
第三章 §3.1 导 数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
第三章 §3.2 导数的运算
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修2
在 1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于 0 且切线的倾 斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下 落，直到落地．
导数的几何意义是曲线的切线的斜率.反之，在曲线上取确 定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的 大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度.
某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数 y＝－x2＋ 4x32≤x≤2来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．
(－4.9－4.9Δt)＝－4.9，
即在 t＝2 s 时，烟花正以 4.9 m/s 的瞬时速度下降．
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出： 在 t＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速 度几乎为 0，达到最高点并爆裂；
在 0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于 0 且切线 的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来 越小的速度升空；
解析：ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0
＝x0＋Δx3－3x0＋ΔΔxx2＋1－x30＋3x20－1
＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.
所以
f′(x0)
＝
lim
[(Δx)2
＋
3x0Δx
－
3Δx
＋
3x
2 0
－
6x0]
＝
3x
20 －
Δx→0
6x0，于是 3x20－6x0＝9，解得 x0＝3 或 x0＝－1，
解：因为ΔΔyx＝[－x＋Δx2＋4xΔ＋xΔx]－－x2＋4x ＝－2x·Δx＋Δ4xΔx－Δx2＝－2x＋4－Δx，
所以 y′＝lim
Δx→0
ΔΔyx＝－2x＋432≤x≤2.
由于 y′＝－2x＋4 在区间32，2上是减函数，且 0≤y′≤1，
导数及其应用课件新人教A版选修
2．对函数在某点处导数的认识 (1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数 值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量． (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关． (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim (2＋Δx)＝2.
6分
Δx→0
(2)因为ΔΔxy＝fa＋ΔΔxx－fa
＝a＋Δx2＋Δ3x－a2＋3＝2a＋Δx，
f′(a)＝ lim Δx→0
fa＋ΔΔxx－fa＝Δlixm→0
(2a＋Δx)＝2a.
8分 12 分
利用导数定义求导数的三步曲： (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxy. 简记为：一差，二比，三趋近． 特别提醒：取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时， 分母不为 0.
时间 日最高气温
3月18日 3.5 ℃
4月18日 18.6 ℃
4月20日 33.4 ℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变 化，用曲线图表示为：
[问题1] “气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是 什么？(形与数两方面)
[提示1] 曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联 想如何量化直线的倾斜程度．
函数的变化率
平均 变化
率
瞬时 变化
率
定义
实例
作用
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的 ①平均速度；
平均变化率为
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
5.1导数的概念及其意义课件(人教版)
=
= 2.35 Τ
0.5 − 0
ℎ 2 − ℎ 1
=
= −4.9 1 + 2 + 4.8
2 − 1
思考
提示：
48
ℎ−ℎ 049== 0 Τ48
−0
49
显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.
因此，用平均速度不能准确反应运动员在这一时间段里的运动状
态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
点从x=1到x=2的平均速度为(
A.-4
B.-8 C.6
)
D.-6
答案 D
解析 由题得该质点从x=1到x=2的平均速度为
(2)-(1)
2-1
故选D.
=
-8+1-(-2+1)
=-6.
1
规律方法 求物体运动的平均速度的三个步骤
第一步:求时间的改变量x2-x1;
第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1);
=6+Δt,故选
3+Δ-3
A.
)
角度2
瞬时速度
【例2】某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数
s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度.
(1+Δ)-(1)
分析计算物体在[1,1+Δt](Δt>0)或[1+Δt,1](Δt<0)内的平均速度
Δ
s(1+t)-s(1)
y 相乘.
2． 1 ，2 是定义域内不同的两点，因此∆ ≠ 0，
但 ∆可正、可负；
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量，可正、
可负，也可为0， 因此平均变化率可正、可负，也可为零
= 2.35 Τ
0.5 − 0
ℎ 2 − ℎ 1
=
= −4.9 1 + 2 + 4.8
2 − 1
思考
提示：
48
ℎ−ℎ 049== 0 Τ48
−0
49
显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.
因此，用平均速度不能准确反应运动员在这一时间段里的运动状
态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
点从x=1到x=2的平均速度为(
A.-4
B.-8 C.6
)
D.-6
答案 D
解析 由题得该质点从x=1到x=2的平均速度为
(2)-(1)
2-1
故选D.
=
-8+1-(-2+1)
=-6.
1
规律方法 求物体运动的平均速度的三个步骤
第一步:求时间的改变量x2-x1;
第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1);
=6+Δt,故选
3+Δ-3
A.
)
角度2
瞬时速度
【例2】某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数
s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度.
(1+Δ)-(1)
分析计算物体在[1,1+Δt](Δt>0)或[1+Δt,1](Δt<0)内的平均速度
Δ
s(1+t)-s(1)
y 相乘.
2． 1 ，2 是定义域内不同的两点，因此∆ ≠ 0，
但 ∆可正、可负；
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量，可正、
可负，也可为0， 因此平均变化率可正、可负，也可为零
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
高中数学 导数及其应用课件 新人教B选修22
变式训练2 （2009·北京文，18）设函数
f(x)=x3-3ax+b(a≠0).
(1)若曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相
切，求a,b的值；
（2）求函数f(x)的单调区间与极值点.
解 （1）f′(x)=3x2-3a.
因为曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相
切，
所以
②［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).
③
u( x)
v(x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
v( x)2
(v(x)
0).
(3)复合函数求导
复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数 之间的关系为yx′=f′(u)g′(x). 4.函数的性质与导数
导数及其应用
1.导数的概念
lim (1)
f (x0 )
x0
f (x0 x) f (x0 ) . x
(2) f
(x)
lim
x0
f
(x
x) x
f
(x) .
(3)f′(x0)与f′(x)的关系.
2.导数的几何意义
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x) 在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.即k=f′(x0).
一、导数几何意义的应用 例1 （2008·海南理，21）设函数 f (x) ax 1
xb
（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的 切线方程为y=3. （1）求f（x）的解析式； （2）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称 图形，并求其对称中心； （3）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1 和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定 值.
导数及其应用课件新人教版
所以当 0<x<4a2 时 h′(x)<0，h(x)在(0,4a2)上递减；
当 x>4a2 时，h′(x)>0，h(x)在(0,4a2)上递增．
所以 x＝4a2 是 h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极
小值点，从而也是 h(x)的最小值点．
所以 φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln4a2.
│ 要点热点探究
│ 要点热点探究
下面用反证法证明 假设 f′(x1)＝f′(x2)，由于曲线 y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2)) 处的切线都过点(0,2)，
23x13－a2x21＋1＝0，1 则下列等式成立23x32－a2x22＋1＝0，2
x21－ax1＝x22－ax2，3
│ 主干知识整合
2．导数的四则运算法则 (1)(u±v)′＝u′±v′； (2)(uv)′＝u′v＋uv′； (3)uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)．
│ 主干知识整合
三、导数的应用 1．利用导数求曲线的切线． 2．利用导数判断函数的单调性： (1) 导 数 与 单 调 性 的 关 系 ： 在 某 个 区 间 内 ， 如 果 f′(x)>0(f′(x)<0)，那么函数 f(x)在这个区间内单调递增 (减)；如果 f′(x)＝0，那么函数在这个区间内是常数函数； 如 果 f(x) 在 某 个 区 间 内 是 增 ( 减 ) 函 数 ， 则 导 数 f′(x)≥0(f′(x)≤0)． (2)求 单 调 区 间 的 一 般 步 骤 ： ① 确 定 定 义 域 ， ② 求 f′(x)，③解不等式 f′(x)>0 得函数的递增区间；解不等 式 f′(x)<0 得函数的递减区间．
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新教材人教A版选择性必修第二册高中数学第五章一元函数的导数及其应用 精品教学课件
2．(2019·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x
＋x2，则f′(2)＝
(C)
12－8ln 2 A. 1－2ln 2
2 B.1－2ln 2
4 C.1－2ln 2
D．－2
解析：因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·
2ln 2＋2，解得f′(1)＝1－22ln 2，所以f′(x)＝1－22ln 2·2xln 2
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
5．曲线y＝1－x＋2 2在点(－1，－1)处的切线方程为 _2_x_－__y_＋__1_＝__0___． 解析：∵y′＝x＋2 22，∴y′|x＝－1＝2. 故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x
导函数 f′(x)＝n·xn－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a
f′(x)＝ex f′(x)＝xln1 a
f′(x)＝1x
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx为f(x)
的导函数．
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常 数)，[f′(x0)]′＝0.
2．基本初等函数的导数公式 原函数
f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x
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②当 a≤ 0 时， h′ (x)>0， h(x )在 (0，＋∞ )递增，无最小值． 故 h(x)的最小值 φ(a )的解析式为 φ(a) ＝ 2a(1－ ln2a)( a>0)． (3)由 (2)知 φ (a)＝ 2a (1－ ln2a) 1 则 φ′ (a)＝－ 2ln2a，令 φ′ (a) ＝ 0，解得 a＝ ， 2 1 1 当 0<a< 时， φ ′ (a)>0，所以 φ(a )在 0， 上递增， 2 2 1 1 当 a> 时， φ′ (a)<0，所以 φ(a) 在 ，＋∞上递减． 2 2 1 所以 φ(a)在 (0，＋∞ )上有极大值 φ ＝ 1. 2 1 因为 φ(a)在 (0， ＋∞ )上有且只有一个极值点， 所以 φ ＝ 1 也是 φ(a) 2 的最大值， 所以当 a 属于 (0，＋∞ )时，总有 φ(a) ≤ 1.
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a 【解答】 (1)f′(x)＝ ，g′(x)＝ x(x>0)， 2 x x＝alnx， 由已知 1 a ＝ ， 2 x x e 解得 a＝ ，x＝ e2， 2 ∵两条曲线交点的坐标为 (e2， e)， 切线的斜率为 k＝f′(e2) 1 ＝ ， 2e 1 ∴切线的方程为 y－e＝ (x－e2)． 2e 1
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综上知只要 m≤ 0，即可满足对任意 x∈[0,1]，t ∈[0,1]，不 等式 f(x)≤t2－ mt－ 1 恒成立，即 m 的取值范围是 (－∞，0]．
【点评】 这类函数的特点是其导数的分子上是一个二 次三项式和指数函数的乘积， 其单调性的讨论就归结了一个 一元二次不等式解集的讨论．讨论分式类函数的单调性，要 充分考虑函数的定义域， 如本题中第一问的讨论如果没有函 数定义域是 R 的限制，就要在求出的单调区间内去掉分母 等于 0 的点，对单调区间重新进行划分，如本题第二问中 a 5－ 1 1－ 5 ＝－1 时， 函数的单调递增区间是 －∞， ， ， 0 2 2 和(3，＋∞)；
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二、导数运算 1．求导公式 (1)C′＝0(其中 C 为常数)； (2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q)； (3)(sinx)′＝cosx； (4)(cosx)′＝－sinx； 1 1 (5)(ln x)′＝ x，(logax)′＝ xlogae； (6)(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a.
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1－ 5 (2)当 a＝－1 时，函数 f(x)的定义域是－∞， ∪ 2 1－ 5 1＋ 5 1＋ 5 ∪ ， ，＋∞ 2 2 ，函数 f(x)在区间 [0,1]上有 2
意义． 根据(1)g(x)＝x(x－3)<0， 故函数 f(x)在区间[0,1]上单调递减， 函数 f(x)在区间[0,1]上的最大值为 f(0)＝－1， 问题等价于 t2－mt－1≥－ 1 对任意的 t∈[0,1]恒成立， 即 t2－mt≥0 对任意的 t∈[0,1]恒成立． 当 t＝ 0 时， m ∈ R， 当 0<t≤1 时， m≤t 恒成立， 即 m≤0.
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要点热点探究 ► 探究点一 导数几何意义
1 3 a 2 例 1 [2010·湖北卷] 设函数 f(x)＝ x － x ＋bx＋c，其 3 2 中 a＞0，曲线 y＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1. (1)确定 b、 c 的值； (2)设曲线 y＝f( x)在点( x1，f(x1))及 (x2，f(x2)) 处的切线都 过点(0,2)，证明：当 x1≠x2 时，f′(x1)≠f′(x2) ．
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(2)由条件知 h(x)＝ x－alnx(x>0)， a x － 2a ∴ h ′ ( x) ＝ － ＝ ， 2x 2 x x ①当 a>0 时，令 h′(x)＝0，解得 x＝ 4a2， 所以当 0<x<4a2 时 h′( x)<0，h( x)在(0,4a2)上递减； 当 x>4a2 时，h′( x)>0，h(x)在(0,4a2)上递增． 所以 x＝4a2 是 h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极 小值点，从而也是 h(x)的最小值点． 所以 φ(a)＝h(4a2)＝2a－ aln4a2. 1
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1 3 a 2 【解答】 (1)由 f(x)＝ x － x ＋bx＋ c 得 f(0)＝c，f′(x) 3 2 ＝x2－ ax＋b，f′(0)＝b. 又由曲线 y＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1， 得 f(0)＝1，f′(0)＝0，故 b＝0，c＝1. 1 3 a 2 (2)f(x)＝ x － x ＋ 1，f′(x)＝x2－ax， 3 2 由于点 (t， f(t))处的切线方程为 y－ f(t)＝ f′(t)(x－ t)，而 点(0,2)在切线上， 23 a2 所以 2－f(t)＝f′(t)(－t)，化简得 t － t ＋1＝ 0，即 t 满 3 2 23 a2 足的方程为 t － t ＋1＝0. 3 2
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(i)当 2－a>0，即 0<a<2 时， g(x)>0 的解集为(－∞，0)∪(2－a，＋∞)， g(x)<0 的解集是(0,2－ a)， 故此时函数 f(x)的单调递增区间是 (－∞，0)，(2－a，＋∞)， 单调递减区间是 (0,2－a)； (ii)当 a＝ 2 时，g( x)≥0，即 f′( x)≥0，但仅在 x＝0 处等于 0， 故函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； (iii)当 2－a<0，即 2<a<4 时， g(x)>0 的解集为(－∞，2－ a)∪(0，＋∞)， g(x)<0 的解集是(2－ a,0)， 故此时函数 f(x)的单调递增区间是 (－∞，2－a) ，(0，＋∞)， 单调递减区间是 (2－a,0)．
2 2 3 2 x1＋ x1x2＋ x2＝ a ， (4)
4
a2 3 2 3 2 2 2 2 x 1 ＋ x 1 x 2 ＋ x2 ＝ ( x 1 ＋ x 2 ) － x 1 x 2 ＝ x 1 － ＋ a ≥ a ， 2 4 4
a a 故由 (4)得 x1＝ ，此时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2＝ 与 x1≠ x2 矛盾，所以 f′ (x1)≠ f′ (x2)． 2 2
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【点评】 导数几何意义的应用要注意抓住两点： 一是切点处的导数就是切线的斜率． 二是切点坐标同 时适合曲线方程和切线方程．
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要点热点探究 ► 探究点二 利用导数探究函数的单调性
ex 例 2 设函数 f(x)＝ 2 ，其中 a 为实数． x ＋ax＋ a (1)当 f(x)的定义域为 R 时，求 f(x)的单调区间； (2)当 a＝－1 时，如对任意 x∈[0,1]，t∈[0,1]，不等 式 f(x)≤t2－mt－ 1 恒成立，求实数 m 的取值范围．
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要点热点探究 ► 探究点三 利用导数求函数的极值和最值
例 3 [2010·陕西卷 ] 已知函数 f(x)＝ x，g(x)＝alnx，a ∈ R. (1)若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)相交，且在交点处有相同 的切线，求 a 的值及该切线的方程； (2)设函数 h(x)＝f(x)－g(x)，当 h(x)存在最小值时，求其 最小值 φ(a)的解析式； (3)对(2)中的 φ(a)，证明：当 a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1.
导数及其应用
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一、导数的概念及几何意义 1．函数在 x＝ x0 处的导数及导函数的概念． 2．导数的几何意义： f′(x0)是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率， 曲线 y ＝ f(x) 在点 (x0 ， f(x0)) 处的切线方程是 y － f(x0) ＝ f′(x0)(x－x0)．
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【解答】 (1)∵f(x)的定义域为 R， ∴x2＋ ax＋a≠ 0 恒成立， ∴ Δ＝a2－4a<0，∴ 0<a<4， 即当 0<a<4 时，f(x)的定义域为 R. x x＋ a－ 2ex f′ ( x)＝ 2 2. x ＋ax＋a 由于 ex>0，(x2＋ax＋a)2>0， 故 f′(x)的符号与 g(x)＝x[x－(2－a)]的符号相同．
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本题第二问中对于两个任意，可以先考虑对任意 x∈ [0,1] ，不等式 f(x)≤t2 － mt － 1 恒成立，得到 t2 － mt － 1≥f(x)max，再考虑这个不等式对任意 t∈[0,1]恒成立，这 样就把问题归结为“t2－mt－1≥－ 1 对任意的 t∈[0,1]恒 成立”， 这种不断转化问题的思想是解决多参数不等式恒 成立时要认真考虑的．
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下面用反证法证明 假设 f′ (x1)＝ f′ (x2)，由于曲线 y＝ f(x)在点 (x1， f(x1))及 (x2， f(x2)) 处的切线都过点 (0,2)， 2 3 a 2 － x 1 ＋ 1 ＝ 0 ， 1 3x1 2 则下列等式成立 2 3 a 2 3x2－2x2＋1＝0，2 2 x2 1－ ax1＝ x2－ ax2， 3 由 (3)得 x1＋ x2＝ a，由 (1)－ (2)得 又
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x－a 已知函数 f(x)＝lnax－ (a≠0)． x (1)求此函数的单调区间及最值； 1 1 1 en (2)求证： 对于任意正整数 n， 均有 1＋ ＋ ＋„＋ ≥ln . 2 3 n n！
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x－ a 【解答】 (1)由题意 f′(x)＝ 2 . x 当 a>0 时，函数 f(x)的定义域为 (0，＋∞)， 此时函数在 (0， a)上是减函数，在 (a，＋∞)上是增函数， fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值． 当 a<0 时，函数 f(x)的定义域为 (－∞，0)， 此时函数在 (－∞，a)上是减函数，在 (a,0)上是增函数， fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值． x－ 1 (2)取 a＝ 1，由(1)知 f(x)＝lnx－ x ≥f(1)＝0， 1 e 故x≥1－lnx＝lnx， 1 1 1 en 取 x＝1,2,3„，则 1＋ ＋ ＋„＋n≥ln . 2 3 n！