线性变换的几何实例

线性变换的几何实例
由解析几何的坐标变换我们知道，在由直 角坐标系 XOY 所确定的平面上，当一点 A(x1, x2) 变为另一点 B(y1, y2) 时，一定存在一个关系式 使得
y1 = a11 x1 + a12 x2 y2 = a21 x1 + a22 x2
如果令 OA、OB 分别表示两个向量：α = (x1, x2)T，β = (y1, y2)T，则一定存在矩阵 A = (aij)，i, j = 1, 2，使得 β = Aα。
8
Q
10
π
Q
8
8
A
6 6 6
A
4
4
4
2
2
2
P
0 0 2 4 0 0 2 4 0 0
P
2 4
(a) 图 1 二维平面上的映射
(b)
(2) 当空间 V 中的一点 P(1, 2, 3) 变为另一 点 Q(4, 3, 0) 时，存在关系式使得
4 = 3 × 1 + 2 × 2 + (−1) × 3 3 = (−10) × 1 + 5 × 2 + 1 × 3 0 = (−3) × 1 + 0 × 2 + 1 × 3
2 1 0 -1 C B
2 1 0 -1 B C
2 1 0 -1 C B
O
A
A
O
O
A
-1 0 1 (a) x=[0 1 1 0; 0 0 1 1]
-1 0 1 (b) A1=[-1 0; 0 1]
-1 0 1 (c) A2=[1.5 0; 0 1]
2 1 C 0 -1 O ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ B
2 1 0 -1 C B
选取 2 维和 3 维几何空间中的具体例子进 行分析，可以看到： (1) 当平面上的一点 P(1, 2) 变为另一点 Q(4.2, 11) 时，存在关系式使得
4.2 = 3 × 1 + 0.6 × 2 11 = 1 × 1 + 5 × 2
或者 或者……
4.2 = 0 × 1 + 2.1 × 2 11 = 0 × 1 + 5.5 × 2
但如果将平面 π1 和平面 π2 重叠，则可将 点 P(1, 2) 和 Q(4.2, 11) 看做是同一个平面 π 上 的两个点，矩阵 A 的作用又可看做是平面 π 到 自身的一个映射法则，此时 β = Aα 可以看做是 平面 π 到自身的一个映射表达式，如图 1(b) 所 示。
π1
10 10
π2
或者…… 使得 β = Aα。
如果将点 P(1, 2, 3) 和 Q(4, 3, 0) 分别看做 是两个空间 V1 和空间 V2 上的点，将矩阵 A 的 作用看做是空间 V1 到空间 V2 的一个映射法则， 则 β = Aα 可以看做是空间 V1 到空间 V2 的一个 映射表达式，如图 2(a) 所示；但如果将空间 V1 和空间 V2 重叠，则可将点 P(1, 2, 3) 和 Q(4, 3, 0) 看做是同一个空间 V 中的两个点，矩阵 A 的作 用又可看做是空间 V 到自身的一个映射法则， 此时 β = Aα 可以看做是空间 V 到自身的一个映 射表达式，如图 2(b) 所示。
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1
π1
C B
2 1.5 1 0.5
π2
B' C' A' O
-1 0 1
O
0
A
1
A
0
-0.5 -1
(a) 图 3 正方形的变换
令：α1 = OA = (0, 1)T，α2 = OB = (1, 1)T，
α3 = OC = (1, 0)T，β1 = OA′ = (
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1
π B' B C' O
0
C A' A
1
(b) 图 3 正方形的变换
因为 2 维或 3 维几何空间均为线性空间， 所以，如果站在线性空间的角度来考察上述具 体实例，则它们描述的都是从一个线性空间到 另一个线性空间(或自身)的映射。那么这样的 映射具有什么样的特性，以及应该采用什么工 具来研究它们，这就是线性映射与线性变换的 具体内容。
例题 设有矩阵 A∈Rn×n，其中
a11 a21 A= M a n1 a12 a22 M an 2
a1 j L a1n L a2 n a2 j = (α1 , α 2 , K, α n ) α j = M M M a L ann nj
. A. . . B O
C
0 -1 -1 0 1 2
2 1 0 -1 2 1
C
.
A
.. . B
O
-1 0 1 2
0
-1
2 1 0 -1 2 1
2
C
. . BA . .O
-1 -1 0 1 2
1 0 -1 2 1
C
.
O
. . .B A
0 -1 -1 0 1 2
0
图 5 线性空间 R3 到 R3 的线性变换
3 2 1 0 4
V1
P A
3 2 1 0 4 4
V2
Q
4 2 0 0 2
2 0 0
2
(a) 图 2 三维空间上的映射
V
3
P
2
A
1 0 4 3 2 1 0 0
Q
5 4 3 2 1
(b) 图 2 三维空间上的映射
(3) 进一步，当平面上的一个单位正方形 OABC 变为另一个正方形 OA′B′C′ 时，
3/2
, 1/2)T，
−1/ 2 3 / 2
使得 βi = Aαi，i = 1, 2, 3。
如果将 OABC 和 OA′B′C′ 分别看做是两个 平面 π1 和平面 π2 上的正方形，将矩阵 A 的作 用看做是平面 π1 到平面 π2 的一个映射法则， 则 βi = Aαi (i = 1, 2, 3) 可以看做是平面 π1 到平 面 π2 的一个映射表达式，如图 4(a) 所示；但如 果将平面 π1 和平面 π2 重叠，则可将 OABC 和 OA′B′C′ 看做是同一个平面 π 上的两个正方形， 矩阵 A 的作用又可看做是平面 π 到自身的一个 映射法则，此时 βi = Aαi (i = 1, 2, 3) 可以看做是 平面 π 到自身的一个映射表达式，如图 4(b) 所 示。
或者
4 = 3 × 1 + 2 × 2 + (−1) × 3 3 = (−10) × 1 + 5 × 2 + 1 × 3 0 = 0 × 1 + 0 × 2 + 0 × 3
或者……
令 α = (1, 2, 3)T，β = (4, 3, 0)T，则上式意味着 存在矩阵
3 2 − 1 3 2 − 1 1 ， A = − 10 5 1 ，或者 A = − 10 5 0 0 0 −3 0 1
定义 Rn 到 Rn 的映射 TA，使得 ∀x∈Rn，TA(x) = Ax∈Rn 则 TA 是线性 Rn 上的线性变换。
注记 1 由例题不难看出，其中矩阵 A 的作 用相当于函数的对应法则。就像通过不同的对 应法则可以定义不同的实函数一样，选取不同 的矩阵 A，可以定义不同的线性变换 TA，即使 其定义域与值域相同也是如此。例如，图 4 和 图 5 描述的则分别是 R2 到 R2 以及 R3 到 R3 的 各种不同的线性变换。
β2 = OB′ = ( ( 3 − 1) / 2 , ( 3 + 1) / 2 )T， β3 = OC′ = (−1/2, 3 / 2)T，
则一定存在矩阵
cos(π / 6) − sin(π / 6) 3 / 2 = A= sin(π / 6) cos(π / 6) 1 / 2
2 B 1 C O A 0 -1 A O
-1 0 1 (d) A3=[1 0; 0 0.2]
-1 0 1 -1 0 1 (e) A4=[1 0.5; 0 1] (f) A5=[cos(t) -sin(t); sin(t) cos(t)]
图 4 线性空间 R2 到 R2 的几个线性变换
2 1 0 -1 2 1
谢谢
令 α = (1, 2)T，β = (4.2, 11)T，则上式意味着存 在矩阵
0 2.1，或者…… 3 0.6 ，或者 A= A= 1 0 5.5 5
使得 β = Aα。如果将点 P(1, 2) 和 Q(4.2, 11) 分 别看做是平面 π1 和平面 π2 上的点，将矩阵 A 的作用看做是平面 π1 到平面 π2 的一个映射法 则，则 β = Aα 可以看做是平面 π1 到平面 π2 的 一个映射表达式，如图1(a) 所示；