电路阻抗与导纳
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电路分析第8章 阻抗与导纳
t
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
5-6 阻抗与导纳
2 2
& I j ( ) =Y = Y e = Y cos() + j Y sin() & U
= G + jB
I Y = G + B = (s) (s U
2 2
B = tg =ψi ψu G
1
导纳三角形(B<0 导纳三角形 B<0时) B<0
& & 3 Y也充分反映了U , I间的关系
Y = G + jB
& & & & & U = ZI = ( R + jX ) I = RI + jXI
令 I = Ie
& & = UR +U X
j 0o
设X > 0
3
& & Z充分反映了U , I间的关系
2 2
U a) Z = R + X = — 反映了u, i极值(有效值)间的关系 I
U = ZI =
R +X I
I
+
R
I
-
1 YR = = = G UR R
I
等效电抗=0 等效电抗
等效电纳=0 等效电纳
Xc = 1 >0 ωc
UR
2 电容
ZC =
1 jω C
Uc
=
1 jω c
= jX c
I
I
+
等效电抗<0 等效电抗
(容抗)>0 容抗)>0
UC
Yc =
I
= jω c = jB c
B c = ωc > 0
(容纳)>0 容纳)>0
& I j ( ) =Y = Y e = Y cos() + j Y sin() & U
= G + jB
I Y = G + B = (s) (s U
2 2
B = tg =ψi ψu G
1
导纳三角形(B<0 导纳三角形 B<0时) B<0
& & 3 Y也充分反映了U , I间的关系
Y = G + jB
& & & & & U = ZI = ( R + jX ) I = RI + jXI
令 I = Ie
& & = UR +U X
j 0o
设X > 0
3
& & Z充分反映了U , I间的关系
2 2
U a) Z = R + X = — 反映了u, i极值(有效值)间的关系 I
U = ZI =
R +X I
I
+
R
I
-
1 YR = = = G UR R
I
等效电抗=0 等效电抗
等效电纳=0 等效电纳
Xc = 1 >0 ωc
UR
2 电容
ZC =
1 jω C
Uc
=
1 jω c
= jX c
I
I
+
等效电抗<0 等效电抗
(容抗)>0 容抗)>0
UC
Yc =
I
= jω c = jB c
B c = ωc > 0
(容纳)>0 容纳)>0
电路分析基础_09阻抗与导纳
求 u(t) u1(t) u2(t) ？
9.4 相量的线性性质和微分性质
正弦量的微分、积分运算
y(t) Y
微分运算
dy(t) dt
d dt
Re Yej
t
Re Y j ej t
积分运算
y(t)dt
Re Yej t dt
Re
Y
j
e
j
t
dy(t) jY
dt
idt
Y
j
9.4 相量的线性性质和微分性质
9.1 变换方法的概念 ①
问题的提出
(1 R2
1 R3
)un1
iS1
uS 2 R2
uS 3 R3
R1 is1
R2
+ us2
–
R3
+ us3
–
un1
R2 R3 R2 R3
iS1
R3 R2 R3
uS 2
R2 R2 R3
uS 3
is1(t) 6 2sin(314t 75 ) V us1(t) 6 2sin(314t 30 ) V us2 (t) 4 2sin(314t 60o ) V
Re(U 1
e jt
•
U
2
ejt )
•
•
Re[(U 1 U
2 )ejt ]
u(t)
u1
(t
)
u2
(t
)
•
Re[(U
1
•
U
2
)e
jt
]
相量关系为： U U1 U2
9.4 相量的线性性质和微分性质
u1(t) 6cos(314t 30 ) V u2 (t) 4cos(314t 60o ) V
9.4 相量的线性性质和微分性质
正弦量的微分、积分运算
y(t) Y
微分运算
dy(t) dt
d dt
Re Yej
t
Re Y j ej t
积分运算
y(t)dt
Re Yej t dt
Re
Y
j
e
j
t
dy(t) jY
dt
idt
Y
j
9.4 相量的线性性质和微分性质
9.1 变换方法的概念 ①
问题的提出
(1 R2
1 R3
)un1
iS1
uS 2 R2
uS 3 R3
R1 is1
R2
+ us2
–
R3
+ us3
–
un1
R2 R3 R2 R3
iS1
R3 R2 R3
uS 2
R2 R2 R3
uS 3
is1(t) 6 2sin(314t 75 ) V us1(t) 6 2sin(314t 30 ) V us2 (t) 4 2sin(314t 60o ) V
Re(U 1
e jt
•
U
2
ejt )
•
•
Re[(U 1 U
2 )ejt ]
u(t)
u1
(t
)
u2
(t
)
•
Re[(U
1
•
U
2
)e
jt
]
相量关系为： U U1 U2
9.4 相量的线性性质和微分性质
u1(t) 6cos(314t 30 ) V u2 (t) 4cos(314t 60o ) V
阻抗和导纳
2006-1-1
！
3
阻抗和导纳(3)
İ
+
V
N0
−
İR
+
V
jX
−
İ + V G jB
−
İ + 或V
−
Z=R+jX
İ + 或V
−
Y=G+jB
图5.11 二端无源网络及其串联与并联等效电路
2006-1-1
！
4
阻抗和导纳(4)
在串联等效电路中，若X > 0，即ΨZ > 0，则电路具有电感特性，呈现感性；若X < 0，即ΨZ < 0，则电路具有电容特性，呈现容性。在并联等效电路中，若B > 0，即ΨY > 0，则电路具有电容特性，呈现容性；若B < 0，即ΨY < 0，则电 路具有电感特性，呈现感性。
例 电路如图5.10(a)所示。请问其等效阻抗和等效导纳。
解 由于已知端电流为、端电压为，则
Z
V I
16
245 40
4
245 4 j4()
Y
I V
40 16 245
2 45 1 j 1 (S)
8
88
2006-1-1
！
5
阻抗和导纳(5)
并可按照图5.11画出其等效电路，且可以看出，该电路呈感性。 当然，该例题也可直接根据电路的相量模型，写出等效阻抗为
这里，G为电Y导分VI量、VI B为(Ψ电i Ψ纳v分) 量G、 jΨB Y 为Y 导纳Y 角。
(5.27)
可以看出，对于同一网络有 |Z| = 1/|Y| 和 ΨZ = −ΨY的关系存在。根据式(5.26)和 式(5.27)可知，一个二端无源网络可以等效为一个电阻与一个电抗串联或一个 电导与一个电纳并联的形式，如图5.11所示。
最新高等院校电工学电子学课程第九章《阻抗和导纳》
U R 2
2 245
100
7.07
45 V
U L 2
U L
U
U C
U R
I
U
UX
UR
U
U
2 R
U
2 X
电压三角形
.
IR
+
.
+ U R-
U
-
U+X jX
-
Z R j X Z
|Z| X
R 阻抗三角形
U U R U X U
U
UX
UR
电压三角形
二、导纳
1、定义
Y
1 Z
I
U
I U
具体分析一下 R-L-C 串联电路
Z=R+j( L-1/ C)=|Z|∠ L > 1/ C ，X>0， >0，电压领先电流，电路呈感性； L<1/ C ，X<0， <0，电压落后电流，电路呈容性； L=1/ C ，X=0， =0，电压与电流同相，电路呈电阻性。
画相量图：选电流为参考向量( L > 1/ C )
jB
º
º
Z R jX Z φZ Y G jB Y φY
条件：Z ( jw)Y ( jw) 1 即 | Y ( jw) || Z ( jw) | 1 , φY φZ 0
Y
1 Z
1 R jX
R jX R2 X 2
G
jB
G
R R2X 2
,
B
第20讲 电路定律的相量形式、阻抗与导纳
频域
&L = I L∠φi I
& UL
有效值关系 UL=ω L IL
UL = ωLIL π φu = φi + 2
& IL
& U
+ L
π φ + = ωL I L∠ i 2
相位关系 uL 超前 iL 90° °
& U
jω L
L
相量模型
相量图
& IL
感抗 U=ω L I XL= U/I =ω L= 2π f L， 单位 欧 π ， 单位: 感抗的物理意义： 感抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比。 感抗和频率成正比。 XL
& U
φ = U∠ u
π φ + & I = ω C U∠ u 2
有效值关系 I=ω C U
+
I&
U&
1 jω C
& I
& U
相位关系 i 超前 90° 超前u °
-
相量模型
相量图
容抗 I=ω CU
U 1 = I ωC 容抗的物理意义： 容抗的物理意义：
1 XC = ωC
def
错误的写法 1 u = ωC i
θ = φu - φi
θ
R 阻抗三角形
X
具体分析一下 R-L-C 串联电路 Z=R+j(ω L-1/ω C)=|Z|∠
ω L > 1/ω C ，X>0， >0，u领先 ，电路呈感性； 领先i， ， ， 领先 电路呈感性； ω L<1/ω C ，X<0， <0，u落后 ，电路呈容性； 落后i， ， ， 落后 电路呈容性； ω L=1/ω C ，X=0， =0，u与i同相，电路呈电阻性。 同相， ， ， 与 同相 电路呈电阻性。
电路中的阻抗与导纳
电路中的阻抗与导纳电路中的阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电学中非常重要的两个概念。
阻抗是电路对交流电（AC）的抵抗能力，和电阻（Resistance）一样，单位是欧姆（Ohm），但是阻抗是一个复数。
导纳是电路对交流电的导电能力，和电导（Conductance）一样，单位是西门子（Siemens），也是一个复数。
1. 阻抗的定义和计算阻抗是电路对交流电的阻力，包括电容（Capacitance）、电感（Inductance）和电阻三种形式。
以电容为例，如果向电容放入交流电，首先会充电，然后在自身两极之间建立电场，导致电流的变化速度越来越慢，最后达到平衡状态。
因此，电容对交流电的阻力，和电流的相位差为90度。
电容的阻抗可以用以下公式计算：Z_c = 1/ jωC其中，Z_c 是电容的阻抗，j是虚数单位，ω是角频率（radians per second），C是电容的电容值（Farads）。
同理，电感的阻抗为：Z_l = jωL其中，Z_l 是电感的阻抗，L是电感的感抗值（Henries）。
电阻的阻抗为：Z_r = R其中，Z_r是电阻的阻抗，R是电阻的阻值（Ohms）。
将三种元件的阻抗按照欧姆定律叠加，可以得到整个电路的阻抗。
2.导纳的定义和计算导纳是对阻抗的倒数，“导纳”这个词在中文中的用法并不广泛，可能大家比较熟悉“电导”这个词，但是它们的意思是类似的。
导纳的计算方法如下：Y = 1/Z其中，Z是电路的阻抗，Y是电路的导纳。
导纳的好处在于，它更适合于串联和并联电路的计算。
将电路分解成元件，然后按照电路图的框架计算总的导纳，可以很方便地计算整个电路的电流和电压。
通过计算单元件的导纳，我们可以得到电路的传输特性，从而更好地理解电路的工作原理。
3.阻抗和导纳的应用阻抗和导纳在电路设计中有广泛的应用。
在RF电路中，阻抗匹配是非常重要的，它可以让信号在电路中以最大功率传输，从而减小反射损耗。
阻抗及导纳的串并联
阻抗及导纳的串并联
1.阻抗的串联
同电阻的串联电路相似，对于n个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗为：
Zeq=Z1+Z2+...Zn=∑Zk k=1,2,...,n
各个阻抗的电压分配为
2.阻抗的并联
同电阻的并联电路相似，对于n个导纳并联而成的电路，其等效导纳为：
Yeq=Y1+Y2+...Yn=∑Yk k=1,2,...,n
各个导纳的电流分配为
例1. 已知Z1 = (10 + j6.28)Ω，Z2 = (20 - j31.9)Ω，Z3 = (15 + j15.7)Ω。
求Zab。
例2. 已知图示RLC串联电路中R = 15Ω，L = 12mH，C = 5μF，端电压为，试求等效阻抗Zeq、电路中的电流i 及各元件的电压相量。
解：
例3. 已知U=115V，U1=55.4V，U2=80V，f=50Hz，R1=32Ω。
求线圈
的电阻R2 和电感L2。
解：方法1：画相量图进行定性分析。
可画出Z2的阻抗三角形（与其电压三角形相似）如图（b）所示，方法2：画出Z和Z2的阻抗三角形(与其电压三角形相似) ，用勾股定理求其模值。
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U L
uR 5 sin(106 t 45) V uL 6 sin(106 t 45) V
U C
uC sin(106 t 135 ) V
U R
I
U
（2）当角频率变为2×105 rad/s 时，电路阻抗为：
Z R j(XL XC )
5
j (2 105
U
U L
U
U R U C
I
(a) X > 0
(b) X < 0
(c) X = 0
RLC串联电路，R=5kΩ，L=6mH，C=0.001μF，
u=5 2 sin106t V
(1)求电流 i 和各元件上的电压，画出相量图； (2)当角频率变为2×105rad/s时，电路的性质有无
改变。
解：(1) X L L 106 6 103 6 kΩ
4.3.2 用阻抗法分析串联电路
相量模型将所有元件以相量形式表示：
C
jX
的阻抗
C
L jX L 的阻抗
R R的阻抗
u，i U，I 相量
i + uR －
+
R
+
u
L uL
－ － uC +
－
C (a) RLC 串联电路
I
+
U －
+UR －
R
+
－U C
jXLU L
+
－
－jXC
(b) 相量模型
I + UR －
+
+
U －
R － U C
jXL UL +
－jXC
－
由KVL：
由欧姆定律：
U R RI U L jX LI UC jX CI
U U R U L UC
[R j( X L X C )]I ZI
Z R j( X L X C ) R jX
X XL XC
（1）当L 1 C
时，X
> 0， z
0
，电路呈感性。
（2）当L 1 C
时，X
< 0， z
0
，电路呈容性。
（3）当L 1 时，X = 0， z 0 ，电路呈电阻性。 C
U C
U L
U C
U
U L
I
U R
UL UC
U R UC I
UL
U
I UR
UL UC ULC
U
UR
RL串相量图
I UC
U
RC串相量图
UR I
UC RLC串相量图
由相量图可以看出：
RL串联电路中总电压超前电流一个φ角；
RC串联电路中总电压滞后电流一个φ角；
RLC串联电路中，
若UL>UC，则总电压超前电流一个φ角， 若UL<UC，则总电压滞后电流一个φ角， 若UL=UC时，总电压与电流同相，相位差φ=0， 电路出现串联谐振。
U ZI
相量模型 将所有元件以相 量形式表示：
称为欧姆定律的相量形式。
电阻、电感、电容的阻抗：
ZR R
ZL jX L jL
ZC
jX C
j
1
C
I R
+ U －
I
jXL
+ U －
I - jXC
+ U
－
Z R jX | Z | z
电阻 电抗
阻抗模 阻抗角
U
Z1 -U1
+
-
Байду номын сангаасZ2
U
-
2
8.66 j5 10 30Ω
I U 22030 22 0A Z 1030
U1 Z1I (6.16 j9) 220 10.955.6 220
阻抗串联电路分析
由KVL: U = U1+U2 U = Z1I + Z2I = ( Z1 +Z2 ) I U=ZI
I
+
+
Z1 Ｕ1
－
Ｕ
+
Z2 Ｕ2
－ －
Z = Z1+Z2 = (R1+R2) + j (X1+X2)
分压 U
公式：
1
Z1 Z1 Z2
U
Z =∑Z i = ∑R i + ∑j X i
6103
2 105
1 0.001106
)
5 j3.8 6.28 37.2 k
z 0 ，电路呈容性。
如果几个理想元件相串联时，阻抗的模和幅角 可由以下三角形求出：
XL |Z|
RL串联电路 R
R
|Z|
RC串联电路XC
XL-XC |Z|
R RLC串联电路
串联电路的相量模型分析
I
U
UR
UL
RL串相量模型
I
U
UR
UC
RC串相量模型
I
UR
U
UL
UC RLC串相量模型
串联电路中，各元件上通过的电流相同，因此在相量分析 中，应以电流为参考相量（参考相量画在正向实轴位置上）。
UL
U
UR
I
UL UC ULC
U
UR I UC
U
RL串相量图
RC串相量图
UR I UC RLC串相量图
U Rm RIm 5 1 45 5 45V U Lm jX LIm j6 1 45 645V UCm jX CIm j1 1 45 1 135V
i sin(106 t 45) ｍA
XC
1
C
106
1 0.001 106
1
kΩ
Z R j(X L X C ) 5 j(6 1) 5 245 kΩ
z 0 ，电路呈感性。
电压相量为： U m 5 20V
Im
U m Z
5 5
20 245
1 45mA
注意：对于阻抗模一般 Z
Z1
Z2
U 2
Z2 Z1 Z2
U
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例: 有两个阻抗 Z1 6.16 j9Ω Z2 2.5 j4Ω
它们串联接在 U 220 30V 的电源;
求: I 和 U1 、U 2
I
+
+ 解：Z Z1 Z2 (6.16 2.5) j(9 4)
| Z | R2 X 2
R | Z | cosz
z
arctg
X R
X | Z | sinz
Z
U I
Uu I i
U I
( u
i )
| Z | U Um I Im
z u i
z 0 电压超前电流，感性 z 0 电压滞后电流，容性
z 0 电压电流同相，阻性
4.3 阻抗与导纳
4.3.1 阻抗
如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用 复数表示，称之为复数形式的电阻电抗，简称阻抗。
I +
U -
无源 网络
I
+
U
Z
-
(a)无源二端网络
(b)等效电路
端口电压相量与电流相量的比值称为阻抗，用Z表示
Z
U m Im
或
Z
U I
U m ZIm 或