向量加法三角形法则
(完整版)向量基础知识汇总
向量基础知识梳理1向量：既有________ ，又有_________ 的量叫向量.2. 向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作__________ .3. 向量的有关概念：(1) ________________________ 零向量：长度为________________ 的向量叫做零向量，记作.(2) ______________________ 单位向量：长度为的向量叫做单位向量.(3) ____________________ 相等向量：且的向量叫做相等向量.(4) ___________________________________ 平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量.①记法：向量a平行于b，记作__________ .②规定：零向量与__________ 平行.-1. 向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a, b,在平面内任取一点A，作AB = a, BC = b,则向量 ________________ 叫做a与ILU uuub的和(或和向量)，记作______________，即a+ b = AB + BC = ___________ .上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.对于零向量与任一向量 a 的和有a+ 0= ___________ + _______ = _______ .(2)平行四边形法则为邻边作__________ ，则对角线上的向量_________ = a+ b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.2. 向量加法的运算律(1) ____________________________ 交换律：a+ b= .(2) __________________________________________ 结合律：(a+ b)+ c= .3. 向量的减法(1) ____________________________________________________________________ 定义：a — b = a +(— b ),即减去一个向量相当于加上这个向量的 ______________________________________________(3) 几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为uur uun被减向量的终点为 __________ 的向量.例如：0A — 0B = ____________ .1•向量数乘运算实数入与向量a 的积是一个 ____________ ,这种运算叫做向量的 ___________ ，记作 _________ ,其长度与方向规定如下：特别地，当 =0或 a = 0时，0a = __________ 或 X) = ________2•向量数乘的运算律(1) _______________ X ( g)= .(2) ____________________ ( X+ p) a = .(3) ____________________ X (a + b )= .特另U 地，有(一 X a = ___________ = ________ ;X (a — b ) = ____________ .3.共线向量定理向量a ( 0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数X 使 ________________ .4•向量的线性运算向量的 ____ 、 ____ 、 _______ 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ,以及任意实数 X 忙 冋恒有 X ( p a 土p b )= ______________________ .1. 平面向量基本定理(1) _____________________________________ 定理：如果e1&是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 _________________________________________ 向量a, ________________________实数X,込使a = ____________________________________ . (2)作法：在平面内任取一点 umr 0,作 0A = a , uuuOB = b ，则向量a — b = 如图所示.(1) |刊=(2)扫(0)的方向 时，与a 方向相同 时，与a 方向相反(2)________________ 基底：把 _______________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内___________________________ 向量的一组基底.2. 两向量的夹角与垂直O —Ruuu uuu(1)________________________ 夹角：已知两个 _______________________ a和b,作OA = a, OB = b，则__________________________________ = 0 (0°< ________________________________ 180° ,叫做向量a与b的夹角.①范围：向量a与b的夹角的范围是 ________________ .②当0= 0°寸，a与b ________ .③当0= 180°时，a与b ________ .(2)________________________________ 垂直：如果a与b的夹角是_______________，则称a与b垂直，记作_________________________________________ .3. 平面向量的坐标表示(1)_______________________________________________ 向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解.(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______________ i, j作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x, y使得a= ____________________ ，则_________________叫作向量a的坐标，___________________ 叫作向量的坐标表示.tun(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x, y),则OA = ，若A (禺，屮)，B (X2,nuny2),贝H AB = _______________________1•平面向量的坐标运算(1)______________________________________________________ 若a =( X1, y1), b=( X2, y2),则a+b = ___________________________________________________________ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)__________________________________________________________ 若a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2),贝U a- b = _______________________________________________________________________________________ ,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)___________________________________ 若a =( X , y),入€ R ,贝U沦= ,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2. 两向量共线的坐标表示设 a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2).(1)当 a // b 时，有______________________ .(2)__________________________________________ 当a // b且X2y2丰0时，有 .即两向量的相应坐标成比例.uuur uuu3 .若RP =沪卩2 ,贝y P与P1、P2三点共线.当入€ _______ 时，P位于线段P1P2的内部，特别地入=1时，P为线段P1P2的中点；当入€________ 时，P位于线段P1P2的延长线上；当入€ _______ 时，P位于线段P l P2的反向延长线上.1．平面向量数量积(1)______________________________________________________ 定义：已知两个非零向量a与b,我们把数量______________________________________________________________ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a • b，即卩a • b = |a||b|cos 0,其中B是a与b的夹角.(2)_____________________________________ 规定：零向量与任一向量的数量积为.(3)_________________________________________________________________________ 投影：设两个非零向量a、b的夹角为0贝U向量a在b方向的投影是_________________________________________ ，向量b在a 方向上的投影是________________ .2. 数量积的几何意义a • b的几何意义是数量积a • b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________________ 的乘积.3. 向量数量积的运算律(1)_______________ a • b = (交换律);(2)__________________ (扫)• b= = (结合律);(3)_________________________________ (a + b) • c = (分配律).1. 平面向量数量积的坐标表示若a =( x i, y i), b=( x2, y2),贝U a • b= __________ .即两个向量的数量积等于_________________ .2. 两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a =( x i, y i), b=( x2, y2),则a丄b? _______________ .3. 平面向量的模(1)__________________________________________________ 向量模公式：设a=( x i, y i),则|a= .uuur(2)_________________________________________________________________________ 两点间距离公式：若 A (x i, y i) , B (x2, y2),则|AB| = ______________________________________________________4. 向量的夹角公式设两非零向量a=( x i , y i) , b =( X2 , y2), a与b的夹角为0贝U cos 0= ______________________ = __________ .向量方法在几何中的应用(i)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a// b( b z 0) ? ________________(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a , b , a丄b3) 求夹角问题往往利用向量的夹角公式cos 0= _________________________ = ____________ .4) 求线段的长度或证明线段相等可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|= ______。
向量基本定理
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有： （ 2、3 ）
向量加法三角形法则优秀课件
B
AB BC AC
香港
上海 台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
向量加法的三角形法则：
a
ab
b
首首 C 尾尾
相连 接
bAa源自B已 知 非 零 向 量 a、 b,在 平 面 内 任 取 一 点 A ， 作 ABa,BCb, 则 向 量 AC 叫 做 a与 b的 和 ， 记 作 ab,即
向量加法三角形法则优秀课件
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
BC
AB BC AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
CA
abABBCAC 这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
A B B C _ A__ C__
B C C D _ B_D___
A
C A B B C C D _ A_ _ D_ _
A B B C C D D E _ A_ _ E_ _
B
根据图示填空:
(1)a+d=__D__A________ (2)c+b=__C__B________
D
d O
a
C
c
b
A
B
向量数乘运算及其几何意义
6?ar 5?a
(3r 2)ar 2a 3a
?5?6ara
2(a+b)=? 2a+2b=?
r
r
3(2ar) (3r 2)ar
(2 3)a 2a 3a
2(a+b) = 2a+2b
结合律 （a） a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
向量的加、减、数乘运算
b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4：判断两向量是否共线。
统称为向量的线性运算.
例5.计算：
r (1)(3) 4a;
rr rr r (2)3(a b) 2(a b) a;
r rr r rr (3)(2a 3b c) (3a 2b c).
思考:
r -12 a
r 5b r rr - a +5 b -2 c
(1)若b a(a 0),则a,b位置关r系r如何?
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ar ，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1）| a || || a |;
（2）当
当
0时， 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r ar
a
的方向相同； 的方向相反。
向量加法的三角形法则
（1）同向
a
（2）反向
a
b
b
A
B
C
ab
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b | 若a，b方向相反，则 | a b || a | | b（| 或 | b | | a |）
思考
如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线， 那么这n个向量的和是什么？
F G
E
D C
A
B
商贸系 姚蕾
探究
上海 A
香港 B
台北C
建构数学
A
结论：动点从点A直接位移到点C 与两次连续位移之和的效果相同.
AB+BC=AC C
B
向量加法的三角形法则
a
b
首首
C 尾尾
相连
ab
接
b
A
a
B
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
例题讲解
例1.如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
作法：在平面内任取一点O，
作 OA a ，AB b ，
b
则 OB a b
a
A
bБайду номын сангаас
a
B
O
ab
三角形法则
难点解析 如图，当两个向量为共线向量时，如何
作出两个向量的和？
向量的基本概念与运算规则
向量的基本概念与运算规则向量是数学中的一个重要概念，常用于表示具有大小和方向的物理量。
本文将介绍向量的基本概念和运算规则，以帮助读者更好地理解和应用向量。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
记作➡️AB，A和B分别表示向量的起点和终点。
二、向量的表示方法向量可以用多种表示方法，常见的有坐标表示法和分量表示法。
1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以由起点和终点的坐标表示。
例如，向量➡️AB可以表示为(2,3)。
2. 分量表示法：向量可以由沿坐标轴的投影表示，称为向量的分量。
例如，向量➡️AB的水平分量和垂直分量分别为2和3。
三、向量的运算向量可以进行加法、减法、数乘和点乘等运算。
1. 向量的加法：向量的加法满足"三角形法则"，即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
例如，对于向量➡️AB和向量➡️BC，它们的和为向量➡️AC。
2. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算。
将被减去的向量取反，即将其方向翻转180度，然后按照向量加法的规则进行计算。
3. 向量的数乘：将一个向量与一个标量相乘，即将向量的大小与标量相乘，同时保持向量的方向不变。
例如，向量➡️AB数乘2的结果是向量➡️AC，AC的大小为原向量AB大小的2倍。
4. 向量的点乘：向量的点乘是指两个向量进行数量积运算，其结果为一个实数。
点乘的计算公式为AB·AC=|AB||AC|cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角，|AB|和|AC|分别为向量AB和AC的大小。
四、向量的性质向量具有一些重要的性质，其中包括：1. 向量的零向量：零向量是指大小为0的向量，它的方向可以是任意方向。
零向量与任何向量的加法结果均为原向量本身。
2. 向量的相等：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
向量的运算的加减
向量的加减如下：
简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为（x,y）形式。
具体如下：向量的加法：A+B=（X1+X2，Y1+Y2）。
向量的减法：A-B=（X1-X2，Y1-Y2）。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则；向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。
向量加减法定则：
三角形定则
三角形定则解决向量加法的办法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向比较后一个向量的终点。
平行四边形定则
平行四边形定则解决向量加法的办法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。
向量的三角形法则
向量的三角形法则向量是线性代数中的重要概念，它可以用来表示方向和大小，并在许多领域中都有广泛的应用。
在向量运算中，三角形法则是一个关键概念，它可以帮助我们理解向量的加法和减法运算。
本文将详细介绍向量的三角形法则，包括其定义、图示、应用和相关的数学原理。
1. 三角形法则的定义。
在向量运算中，三角形法则是指两个向量的和可以用一个三角形的第三条边来表示。
具体来说，如果有两个向量a和b，它们的和可以表示为c，即a + b = c。
在图形上，可以用一个三角形来表示这个关系，其中a和b分别为三角形的两条边，c为第三条边。
2. 三角形法则的图示。
为了更直观地理解三角形法则，我们可以通过图示来展示这个概念。
假设有两个向量a和b，它们的起点都在原点O处，终点分别为A和B。
根据三角形法则，我们可以将向量a和b的终点连接起来，得到一个三角形，而向量 a + b则是这个三角形的第三条边。
3. 三角形法则的应用。
三角形法则在向量的加法和减法运算中起着重要作用。
通过三角形法则，我们可以直观地理解向量的加法和减法运算，并且可以通过图形的方式来求解向量的和或差。
这对于解决实际问题和理解向量运算的性质都非常有帮助。
4. 三角形法则的数学原理。
三角形法则的数学原理可以通过向量的坐标表示和几何向量的性质来进行推导。
在向量的坐标表示中，向量a可以表示为(a1,a2)，向量b可以表示为(b1, b2)，而向量a + b可以表示为(a1 +b1, a2 + b2)。
这与三角形法则的图示是一致的。
另外，通过向量的几何性质，可以证明三角形法则在向量运算中是成立的。
总结。
通过本文的介绍，我们了解了向量的三角形法则的定义、图示、应用和数学原理。
三角形法则是向量运算中的重要概念，它可以帮助我们直观地理解向量的加法和减法运算，并且在实际问题中具有广泛的应用。
因此，掌握三角形法则对于理解和运用向量运算是非常重要的。
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C
A
B
AB BC AC
上海
台北
香港
O上海
台北
B
A 香港
O OA+AB=OB
B
A
向量加法的三角形法则：
a
b
C
ab
A
b
首 首 尾 尾 相 连 接
B 已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b, 即 a b AB BC AC
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
shalom
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
f
a
d
c f
f g
A
c
b
C
(3)a b d (4)c d e
B
根据图示填空: DA (1)a+d=____________ CB (2)c+b=____________
D
C
d c O b
a
A
B
根据图示填空:
c (1)a+b=________ f (2)c+d=________ g (4)c+d+e=______
E
e
D
d c b
B
g f (3)a+b+d=______
a
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D C B
A
AC AB BC _____ BC CD _____ BD AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
A
f a
C
巩固练习:
AD １.化简 (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC ________ 0
２.根据图示填空 E e D
g
(1)a b (2)c d