向量加法的三角形法则
三角形向量的公式大全
三角形向量的公式大全一、向量加法与三角形法则。
1. 三角形法则（向量加法）- 已知向量→AB和→BC，则→AC=→AB+→BC。
- 几何意义：将向量→AB的终点作为向量→BC的起点，连接→AB的起点与→BC的终点所得到的向量→AC就是→AB与→BC的和向量。
2. 向量加法的交换律在三角形中的体现。
- →AB+→BC=→BC+→AB（虽然三角形法则中顺序有意义，但从向量加法的结果看满足交换律，这里可以通过平行四边形法则辅助理解，以→AB和→BC为邻边的平行四边形，对角线所表示的向量→AC不管是先加→AB还是先加→BC结果相同）3. 向量加法的结合律在三角形中的体现。
- (→AB+→BC)+→CD=→AB+(→BC+→CD)，例如在三角形ABC和三角形BCD中，(→AB+→BC)得到→AC，→AC+→CD=→AD；而→BC+→CD=→BD，→AB+→BD=→AD二、向量减法与三角形法则。
1. 三角形法则（向量减法）- 若→AC=→AB+→BC，则→AB=→AC-→BC。
- 几何意义：向量减法是加法的逆运算，在三角形中，→AB可以看作是从→AC的终点指向→BC的终点的向量。
2. →AB与→BA的关系。
- →AB=-→BA，在三角形中，如果→AB表示从A到B的向量，那么→BA 就是从B到A的向量，它们大小相等，方向相反。
三、三角形中的向量数量积公式。
1. 向量数量积的定义在三角形中的应用。
- 对于三角形ABC中的向量→AB和→AC，它们的数量积→AB·→AC=|→AB||→AC|cos∠ BAC。
- 这个公式可以用来求三角形中的角，例如cos∠BAC=frac{→AB·→AC}{|→AB||→AC|}。
2. 向量数量积的分配律在三角形中的体现。
- →AB·(→AC+→AD)=→AB·→AC+→AB·→AD。
在三角形ABC和ABD共顶点A的情况下，如果把→AC+→AD看作一个新的向量→AE（→AE=→AC+→AD），那么→AB·→AE就等于→AB分别与→AC和→AD数量积的和。
向量加法精选教学PPT课件
做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：
已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
向量的减法
1“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上b的相反向量， 叫做a与b的差。
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
b
a
b
a
三角 边形法则 A
特殊情况
a
a
b
b
a b
A
B
C
(2)
a b
CA
B
(3)
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a
向量基本定理
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有： （ 2、3 ）
平面向量的三角形法则
平面向量的三角形法则平面向量是解决几何和物理问题中常用的数学工具之一。
通过平面向量的运算和性质，我们可以方便地描述物理系统的位移、力和速度等概念。
其中，平面向量的三角形法则是非常重要的基础知识。
本文将详细介绍平面向量的三角形法则以及其应用。
一、平面向量的定义在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有方向的线段。
根据平面向量的定义，我们可以用其起点和终点的坐标表示一个平面向量。
例如，对于平面向量AB，其起点为A坐标(x1, y1)，终点为B坐标(x2, y2)，我们可以表示为向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)。
二、平面向量的三角形法则平面向量的三角形法则是指当三个平面向量相互作用时，可以将它们的起点放在同一个点，然后将它们的终点连接起来形成一个三角形。
这个三角形的对角线是第三个平面向量的和向量。
具体来说，对于平面向量AB和AC，它们的和向量是平面向量AD，即AB + AC = AD。
三、平面向量的运算规则1. 平面向量的加法平面向量的加法满足交换律和结合律。
换言之，对于任意平面向量AB，AC和AD，满足AB + AC = AC + AB，以及(AB + AC) + AD =AB + (AC + AD)。
2. 平面向量的乘法平面向量的乘法有数量积和向量积两种形式。
（1）数量积数量积也称为点积，表示为AB · AC。
数量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的横坐标相乘，再将AB的纵坐标与AC的纵坐标相乘，然后将两个结果相加。
即AB · AC = ABx * ACx + ABy * ACy。
其中，ABx为AB的横坐标，ACx为AC的横坐标，ABy为AB的纵坐标，ACy为AC的纵坐标。
（2）向量积向量积也称为叉积，表示为AB × AC。
向量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的纵坐标相乘，再将AB的纵坐标与AC的横坐标相乘，然后根据坐标轴的正负关系确定结果的方向。
向量加法三角形法则优秀课件
B
AB BC AC
香港
上海 台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
向量加法的三角形法则：
a
ab
b
首首 C 尾尾
相连 接
bAa源自B已 知 非 零 向 量 a、 b,在 平 面 内 任 取 一 点 A ， 作 ABa,BCb, 则 向 量 AC 叫 做 a与 b的 和 ， 记 作 ab,即
向量加法三角形法则优秀课件
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
BC
AB BC AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
CA
abABBCAC 这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
A B B C _ A__ C__
B C C D _ B_D___
A
C A B B C C D _ A_ _ D_ _
A B B C C D D E _ A_ _ E_ _
B
根据图示填空:
(1)a+d=__D__A________ (2)c+b=__C__B________
D
d O
a
C
c
b
A
B
向量公式大全
向量公式之蔡仲巾千创作设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的加减法及数乘运算
例1、计算下列各式
(1)( 3) 4a 12a
(2)3(a b ) 2(a b ) a
a 5b 2c
(3)( 2a 3b c ) (3a 2b c )
5b
练一练:
书本P90,练习5
B
b d
D
d
A
c
a
b
a
c
C
o
例2．如图，平行四边形 ABCD中， AB a , AD b , 用 a , b 表示向量 AC , DB 。
解：由作向量和的平行四边形法则， 得
例题
AC a b
D
C
b
由作向量差的方法，
A 知 DB AB AD a b
于是求 a b 就是求这样一个向量，
它与
b
O
这是因为： a b b a b b a 0 a
b的和等于 a。
此即向量减法的三角形法则
法（二） 三角形法则
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量 a b
一、①λ
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
设 e1 , e2是两个不共线的向量， AB 2e1 ke2 , CB e1 3e2 , CD 2e1 e2 ，若A、B、D三点共线，求k的值.
向量三角形法则口诀
向量三角形法则口诀向量三角形法则是求解向量三角形碰撞、合力等问题时的一种常用方法。
它是基于向量的代数运算和三角函数的几何性质，通过研究力的大小、方向和作用点等因素，进而求解出力的合力或分力大小与方向。
下面是关于向量三角形法则的口诀，详细进行解释和说明。
口诀：力合力矩，加加减就好。
解释：向量三角形法则主要涉及两个方面的运算，即力的合力和力对应的力矩。
在进行运算时，需要进行力的加法运算，同时考虑一定的方向性，以及正负号的取舍。
下面将详细介绍力合力矩的计算方法和运算规则。
一、力的合力计算：1.平行力的合力：若两个力同方向，则合力等于两个力的和，方向沿着原来的方向；若两个力反方向，则合力等于两个力的差值，方向指向力大的方向。
2.非平行力的合力：将各个力按照平行或共面的方式进行分解或合成；将力按照其在x轴和y轴上的分量进行相加，得到合力的x分量和y分量；利用勾股定理和三角函数，计算合力的大小和方向。
二、力矩的计算：1.力矩定义：力矩指力相对于旋转轴的转动效果大小。
力矩的大小等于力的大小与力臂的乘积；力矩的方向遵循右手定则，通过拇指、食指和中指的关系进行确定。
2.力矩的计算：将力矢量与力臂矢量进行叉乘运算，得到力矩的大小和方向；力矩的大小等于力的大小与力臂的垂直分量的乘积；力矩的方向通过右手定则进行确定。
三、加加减就好：1.加法原则：启创点“加”，矢量相同方向，叠加即可；矢量不同方向，矢量之和为矢量相减的绝对值。
2.强调方向：力的合力和力矩的方向通过矢量的代数运算得到；正负号的取舍由力的相对位置和角度决定。
综上所述，向量三角形法则是一种通过力的分解和合成，以及运用向量的代数运算和三角函数的几何性质来求解力合力矩问题的方法。
它是一种较为直观和简便的计算方法，可以有效地计算出力的合力大小和方向，以及力的旋转效果大小。
通过记住和运用这个口诀，可以更好地理解和应用向量三角形法则，从而解决相关的物理问题。
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a＋b＝ ＋ ＝ ．
三角形法则的规律：如果一个向量的终点和另一个向量的起点相同，那么它们相加的结果是第一向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量。
（首尾顺次连接，第一个向量的起点到第二个向量的终点）
（2）动点从点A直接位移到点C．
结论：
二）如图1（多媒体投影），由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么
学生（齐答）：这人两次的位移的和是从台北到上海。
如果设A为台北，B为香港，C为上海，你能用数学语言叙述这一现象吗
二、新课
1．向量加法的三角形法则
练习1：在 中，
，
，
（5）
（2）
练习2：请同学们作出下列两个向量的和向量，并注明A、B、C三个点，得出结论
（1）
（3）
（4）
结论：（1）共线向量求和也适用三角形法则
（2）向量加法满足交换律
a＋b＝b＋a
抢答测评
1、填空
2、如图所示是平行四边形，填空：
O
C
D
(1) + ；
A
B
(2) + + ；
(3) + + ．
2.学法：根据学法指导自主性和差异性原则，让学生在“观察——归纳——检验——应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生掌握知识.
选择教学媒体
PPT
学生课前或课外学习活动设计
准备三角板，直尺
教学过程设计
教学任务（教学内容）
学生活动（主要是学案内容）
备注栏
（含设计意图、分组情况、评价等）
八个字概括：“尾首相接，首尾相连”。
学生分组做练习巩固，并在作图中思考，当向量平行即不能构成三角形时，应如何处理
通过（3）做向量 ，验证交换律
学生抢答，练习巩固，教师指导
师生合作，学生总结，教师补充
重温旧知，为学习新知识做铺垫。
从学生熟悉的位移（向量）入手，观察现象，得到结论，引入向量加法概念，学生容易接受，降低了新课教学的起点．
《向量的加法》教学设计
2014-2015学年第二学期课程名称：数学授课教师
上课时间
上课节次
上课班级
教学目标设计
1．知识技能目标：理解并掌握向量的加法运算，掌握向量加法的运算律，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和
2．过程与方法目标：使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。
三、课堂小结
1、向量加法的三角形法则
2、加法的交换律
3、会用三角形法则做向量的和
四、课后作业
1、P52 练习1， 2
2、练习册
3、预习向量减法
教师提问，学生思考回答。
请3名学生上台展示，其余学生观察现象，得到结论：
动点从点A直接位移到点C与两次连续位移的效果相同．即 + =
学生： ，并作出示意图
师生共同总结归纳三角形法则的规律．
教师引导学生由位移求和得到向量加法的三角形法则．
学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生掌握向量加法的三角形法则．对于作图中学生的难点两向量平行时求和的问题，下面教师将重点讲解．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．
课后反思
学生对于向量的三角形法则掌握较好，但是实际运用作图有欠缺，方向、第二个向量的起点位置等易出错，需多加强调和纠正，加大练习量。对于运算律，学生掌握情况相对较好，答题较为理想。
3．情感、态度与价值观目标：注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。
学情分析
重点难点设计
1．教学重点：利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量
2．教学难点：法
1.教法：启发式教学和讲练结合，创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲
一、 复习导入
复习旧知：
我们已经学过向量。
（1）什么是向量
既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示
（2）什么是平行向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，零向量与任意向量平行
（3）如果两个向量要相等，必须具备什么条件
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
（4）向量和数的区别在哪里
引入
一）请观察：
（1）动点从点A位移到点B，再从点B位移到点C；