十分钟搞懂矢量三角形
高一物理竞赛讲义五——动态平衡的矢量三角形法则
不变， 使线的 B 端沿半径等于 OA 的圆周向 C 移动， 则在移动过程
中 OB 线的拉力的变化情况是 ( )， (A) 先减小后增大
O
C
(B) 先增大后减小
(C) 总是减小
(D) 总是增大
3、如图所示，在《验证力的平行四边形定则》的实验中，使
b 弹簧秤从图示位置开始
顺时针缓慢转动，在这过程中，保持 O 点的位置和 a 弹簧秤的拉伸方向不变，则在整
小于 90O，现保持弹簧秤 A 的示数不变而改变其拉力方向使
角
B
减小，那么要使结点仍在位置 O，就应调整弹簧秤 B 的拉力大
小及 β角，则下列调整方法中可行的是 ( )， (A) 增大 B 的拉力，增大 β角
β O
(B) 增大 B 的拉力， β角不变
A
(C) 增大 B 的拉力，减小 β角
(D)B 的拉力大小不变，增大 β角
OA
拉力 T1 和绳 OB拉力 T2 的变化情况：有向线段②从Ｏ′Ｃ 到
Ｏ′Ｃ1 到Ｏ′Ｃ2……弦长增大到成为一条直径再逐渐减小， 转
过 90°时为Ｏ′ O； 有向线段③一开始处于直径位置， 以后一
直减小，到转过 90°时减为零．故 T1 是先增大后减小； T2 则
一直减小直至零．正确答案为选项 BCD．
分析与解 由于绳 AC以不同方向拉杆，使杆 AB有一系列可能的平
衡状态．我们考察两绳系在直立杆顶端的结点
A，它在绳 AC的拉力
T、重物通过水平绳的拉力 F（ F=G）和杆 AB的支持力作用下平衡． 三
力中，水平绳拉力不变，杆支持力方向不变，总是竖直向上，大小
如何变化待定； 而绳 AC的拉力大小、 方向均不确定． 用代表这三个
矢量三角形的应用
解答静力平衡类问题的重要手段——构建矢量三角形□庄盛文力学知识是物理学的基石，也是进入物理殿堂的门庭，要想学好高中物理，学好力学是关键。
静力平衡类问题又是力学中的重点和难点，处理该类问题有一重要的手段，那就是构建矢量三角形。
一、矢量三角形的建立矢量三角形1：两分力F F 12、的合力为F 3，构成平行四边形，如图1甲，该平行四边形含有两个全等的三角形，每一个三角形都包含了三个矢量的大小和方向，因此，如果我们只取其中的一个三角形，如图1乙，利用三角形知识求力的问题，则很多力学问题就会变的简单的多了。
图1乙中矢量三角形的数学表达式为：F F F 123→+→=→。
矢量三角形2：三个力F F F 123、、使物体处于平衡状态，如图2甲，由力的平衡知识知道，F 1、F 2合力F 3'与力F 3等大、反向，如果把F 3平移到F 3'的位置上，则构成如图2乙的三角形。
图2乙中矢量三角形的数学表达式为F F F 1230→+→+→=。
二、矢量三角形的解题应用1. 构建矢量三角形，直接求力的大小例1. 如图3所示，一个物体受到七个力的作用，其中F F F F F F 123456、、、、、构成一个等六边形，已知F N 75=，则求物体受到的合外力的大小。
图3解析：根据矢量三角形1可以知道力F 1、F 2合力大小等于力F 8，力F 8与力F 3合力大小等于力F 7，即F F F 123、、合力的大小等于力F 7；同理可知F F F 456、、合力的大小等于力F 7，所以物体受到的合外力的大小等于3157F N =。
例2. 一个木块在三个共点力F F F 123、、作用下静止，有如图4所示的四种情况，其中F F 12、是恒力，F 3是变力，则对木块受力分析正确的是（ ）A. 木块在甲图中，受到的合力为0NB. 木块在乙图中，受到的合力为4NC. 木块在丙图中，受到的合力为1ND. 木块在丁图中，受到的合力为1N解析：由矢量三角形1我们可以知道F F 12、的合外力的大小等于F 3，且与F 3同向，所以在甲图中木块受到的合力为243F N =；在乙图中，木块受到的合力为0N ；在丙图中，木块受到的合力为3N ；在丁图中，木块受到的合力为1N 。
矢量三角形乐乐课堂
矢量三角形乐乐课堂
矢量三角形的概念：
1、什么是矢量三角形？
矢量三角形是指一种由三条连线组成的图形，这三条连线通常是相互平行、两两垂直或具有一定倾斜角度的。
矢量三角形可以在三维空间中表示，空间内变化连续，其边界表示图形的平面形状，可以用多边形边缘坐标点进行描述，可以实现丰富复杂的三维图形对象。
2、矢量三角形特点：
（1）矢量三角形可以构成任何几何形状，而且可以以比较精细的细度实现任何几何形状的模型。
（2）可以用多边形边缘坐标点描述图形，并且可以在多边形边缘坐标点上进行曲线平滑。
（3）矢量三角形可以在三维空间中表示，空间内变化连续，可以实现丰富复杂的三维图形对象。
（4）由于矢量三角形可以精细表示几何形状，可以实现复杂的色彩渐变效果，因此，更加美观。
3、矢量三角形的应用：
（1）在科技产品中：矢量三角形可以用于构成VR、AR仿真的三维对象模型，可以实现色彩渲染效果。
（2）在电子游戏中：矢量三角形可以用作游戏引擎构建、光影效果编
辑和定义游戏玩家与操作点位关系等操作，使得游戏操作更加精细且
具有深度。
（3）在智能设备上：矢量三角形可以高效表示设备中3D场景结构，
以及实现和呈现复杂的色彩渐变效果，使设备的画面更清晰、更美观。
（4）3D打印：矢量三角形可以构成复杂的三维图形，用来制作3D打
印模型，可以实现更准确的打印效果。
动态平衡矢量三角形法
动态平衡矢量三角形法说到“动态平衡矢量三角形法”，可能不少人觉得头大。
哦，听上去像是那种高深的数学理论，感觉跟我们生活八竿子打不着。
可是你要是往下看，保证会大吃一惊。
这种方法其实一点都不难理解，甚至能让你觉得它跟日常生活的各种小窍门有点儿像，别说，听我慢慢给你讲，保证你不信也得信！咱们来看看“动态平衡”这三个字，乍一听是不是感觉有点炫酷？好像神秘的高科技一样，什么“平衡”啊、“动态”啊，都是些带点儿深奥的名词。
可实际上呢，说白了就是“怎么保持一个东西在不断变化的情况下不崩溃”——这么简单的道理，你不觉得能跟生活中的很多情况对接上吗？比如说，天天在平衡工作、家庭、社交、爱好这些琐事，谁不想把它们搞得更好些，哪样都不掉链子嘛。
听我说，这个“矢量三角形法”也不是什么大难题。
你想，矢量其实就是“方向”和“力量”的结合。
举个例子，假如你手里拿着一个大包包，你走得越快，力量越大，包包就会受到的影响也就越大。
而这三角形嘛，大家小时候不都画过吗？三个边拼在一起就能形成一个稳定的结构。
所以说，动态平衡矢量三角形法，基本上就是告诉你：如何在这个复杂的世界里，找到三个合适的“方向”和“力量”，让你能够既不偏向任何一方，也不被生活压垮。
嗯，听起来是不是一下子明白了？这种方法就像是你做饭时，如何掌握火候。
火太大会糊了，火太小了不熟，刚刚好才是最好的。
动态平衡也是这么回事。
就好像你上班一边追进度，一边琢磨吃午饭的时间，一边想着晚上可能去运动，三件事都在发生，却每件事又得找到那个“平衡点”。
你想想，是不是得靠点儿什么秘诀？这就是“矢量三角形法”给我们的启示。
每一个方向都得有适当的力量加持，才能走得稳，不然就是“一场空”。
你再看看你身边那些做得好的人，能把工作和生活搞得井井有条，怎么做到的？绝对不是一蹴而就的。
就像打篮球，控球的技巧得要有，步伐得要稳，身体得要灵活，脑袋得要清晰。
每一个方面都需要平衡，一旦你失去了某一块，整体就不行了。
向量三角形的知识点总结
向量三角形的知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是用来表示带有大小和方向的量的，并且可以在空间中移动。
在平面直角坐标系中，一个向量通常表示为一个有序对(a, b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
一个向量也可以表示为从一个点到另一个点的箭头，箭头的起点代表向量的起点，箭头的终点代表向量的终点。
2. 向量的零向量零向量是长度为0的向量，零向量的方向是任意的，因为它没有方向。
在向量平面内，零向量通常表示为0。
3. 平行向量如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们就是平行向量。
平行向量的特点是它们的长度可能不同，但是它们的方向是相同或者相反的。
4. 共线向量如果两个向量共线，那么它们可以用一个非零标量k使得一个向量等于另一个向量的k倍。
也就是说，一个向量是另一个向量的倍数。
5. 方向向量和位移向量在向量平面内，我们常常用方向向量来表示向量的方向，用位移向量来表示向量的位移。
方向向量通常用单位向量表示，即其长度为1。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即两个向量的和是由这两个向量的首尾相连得到的。
向量的加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法向量的减法等价于向量的加法的逆运算，即a-b=a+(-b)，其中-b是b的反向向量。
向量的减法也满足交换律和结合律。
3. 向量的数乘向量的数乘就是一个向量与一个标量的相乘，得到的结果是一个新的向量，它的方向可能改变，但是长度会发生变化。
数乘满足结合律和分配律，即k(a+b)=ka+kb，(k+m)a=ka+ma。
4. 向量的点积向量的点积（或内积）是两个向量相乘得到的标量，结果是一个数量。
点积的定义为a•b=|a||b|cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。
点积的性质包括交换律、结合律和分配律，即a•b=b•a，a•(b+c)=a•b+a•c，(ka)•b=k(a•b)。
矢量三角形
三角形在物理解题中的应用上杭县古田中学 阙石金理科综合的考试说明能力要求的其中一项能力就是应用数学知识处理物问题，在中学物理解题中，常常用到三角形的有关知识，如三角函数关系、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形等。
一、矢量三角形的应用例1：如图1所示，小球用细绳系在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将。
…………A ． 逐渐增大B ． 逐渐减小C ． 先增大后减小D ． 先减小后增大分析与解：解法1：设细绳向上偏移过程中的某一时刻，细绳与斜面支持力F N 的夹角为α，作出力的图示如图2甲，由正弦定理得：θαπsin )sin(TG =-)sin(sin απθ=⋅=∴G T讨论：当2πα>时，θsin G T >当2πα=时，θsin G T = 当2πα<时，θsin G T >可见，当2πα=时，T 最小，即当绳与斜面支持力F N 垂直（绳与斜面平行）时，拉力最小，当绳由水平面逐渐向上偏移时，F T 先减小后增大，故选项D 正确。
解法2：因为G 、F N 、F T 三力共点平衡，故三个力可以构成一个矢量三角形，图2乙中G 的大小和方向始终不变；F N 的方向也不变，大小可变，F T 的大小、方向都在变，在绳向上移的过程中，可以作出一系列矢量三角形如图乙所示，显而易见在F T 变化到与F N 垂直前，F T 是逐渐变小的，然后F T 又逐渐变大，F T 与F N 当垂直时，F T 有最小值。
故选D 。
同时看出斜面对小球的支持力F N 是逐渐变小的。
D CB Aθ 图1F N TG甲 乙 F T 图2解题小结：本题通过数学方法（正弦定理）和图解法（矢量三角形）求解。
当物体在三力作用下平衡（或可以等效成三力平衡），且其中一个力的大小和方向始终不变；另一个力的方向不变，大小可变；第三个力的大小和方向都在变时。
这种情况下的动态平衡，应用图解法解，非常方更快捷。
矢量三角形法在力学问题中的妙用
05
结论与展望
结论
矢量三角形法在力学问题中具 有广泛的应用，能够简化复杂
的问题，提高解题效率。
通过矢量三角形法，可以直 观地理解力的合成与分解， 以及速度和加速度的变化。
矢量三角形法在解决动力学、 静力学和运动学问题中表现出 色，为解决实际问题提供了有
力工具。
展望
随着物理学和工程学的发展，矢量三 角形法将在更多领域得到应用，如流 体力学、电磁学和量子力学等。
详细描述
通过构建矢量三角形，可以将动量和冲量的问题转化为简单的几何问题，从而快速找到动量和冲量的方向和大小。 这种方法能够避免复杂的代数运算，简化解题过程。
弹性力学问题实例
总结词
矢量三角形法在解决弹性力学问题时具 有直观性和通用性，可以广泛应用于各 种弹性力学问题。
VS
详细描述
通过构建矢量三角形，可以清晰地表示出 弹性力的大小和方向，从而快速判断出物 体的变形情况。这种方法能够避免复杂的 受力分析，简化解题过程。
未来需要进一步研究矢量三角形法的 理论基础和实际应用，以更好地解决 复杂问题，促进科学技术的发展。
随着计算技术和可视化技术的发展， 矢量三角形法将更加直观和易于理解， 有助于推动物理学和工程学的发展。
THANKS
矢量三角形法的基本原理
矢量三角形法基于平行四边形法则和三角形法则，通过构建矢量三角形来描述力和 运动的合成与分解。
在力的合成与分解中，根据平行四边形法则，两个力可以合成一个合力或一个力可 以分解为两个分力，其效果是等效的。
在速度和加速度的合成与分解中，根据三角形法则，一个运动可以分解为多个分运 动或多个运动可以合成一个总运动，其效果也是等效的。
适用范围广
矢量三角形法适用于多种 类型的力学问题，如静力 学、动力学、弹性力学等。
【方法详解】利用矢量三角形解决高中物理动态平衡与矢量极值等问题
平衡问题：物体不受力或所受合外力为零，这是物体处于平衡的条件。
解决此类问题的方法很多，包括正交分解法、矢量三角形法、相似三角形法、利用拉密定理……矢量三角形：矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来等效替代。
把代表两个分矢量的有向线段首尾相连，则合矢量就从第一个矢量的起点到第二个矢量的末端。
以此类推，若一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则代表三个力的有向线段必定构成封闭三角形。
利用矢量三角形法在处理三力平衡问题和两力的加速（减速）问题时是非常方便的，像摩擦角这样四力动态平衡问题，用起来也很方便！尤其是动态平衡中求极值的问题迅速得到解决，而且非常直观。
解决动态平衡的一般步骤如下：①确定研究对象；②分析对象状态和受力情况，画出示意图；③将各力首尾相连，画出封闭的矢量三角形；④根据题意，画出动态变化的边角关系；⑤确认未知量变化情况。
一、两力作用下的动力学问题例1、如图所示，固定的斜面A和放在斜面上的楔形木块B的倾角均为θ=30°，已知斜面A的上表面和木块B的表面均光滑，木块B 的质量为M，上面放有质量为m的小球C，当用平行于斜面的力F 作用在木块上时，木块B和小球C保持相对静止，求推力F及木块B对小球C的弹力的大小。
解析：解决动力学问题，先对物体进行受力分析。
选择小球为研究对象，小球受到重力和B对小球的支持力（两个力），作加速运动；选择整体为研究对象，小球和木块受到重力，支持力和推力。
根据条件，小球和木块加速度相同，根据牛顿第二定律，解决此题的关键是求出木块B和小球C保持相对静止时的加速度大小。
由于小球与木块相对静止，故小球C受到的合力方向必定和木块B 的加速度的方向相同（平行于斜面），即沿斜面向下。
用三角形法则作出小球受到的合力（N与G的箭头收尾相连，以便画出合力），如图所示。
由于弹力N的方向与木块B的上表面垂直，因此弹力的方向与竖直方向的夹角为60°，不难看出，矢量三角形为等边三角形，即N=ma=mg，小球的加速度大小为g，以球和木块整体为对象，由牛顿第二定律可知解得推力的大小为:二、三力作用下的动态平衡问题例2、如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿逆时针方向绕O点缓慢转动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化?解析:选择小球为研究对象，分析小球受力如图所示，小球受重力G、挡板的支持力N1和斜面的支持力N2，小球在这三个力的作用下处于平衡状态，这三个力可构成矢量三角形(如上图)。
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矢量三角形在力学中的适用情况
该物体受三个力而处于平衡状态
其中一个力大小和方向均不变（多为重力G） 其中一个力仅方向不变 另一个力大小方向一定变
矢量三角形在力学中的应用做法步骤
画出物体的受力分析图，并将三个力平移到一个首尾顺次相连的三角形中， 在各力旁标注好力
用虚线延长仅方向不变的力
十分钟搞懂矢量三角形
O
矢量三角形作为矢量中一大重要考点，在处理不断
变化的矢量（例如：力、位移等）时，能很快的发 现其大小变化规律及其极值。
θ
Eq mg P
讲课人-王超
• 中北大学 理学院 物理系物理学学士 • 7年教龄
• 王超物理专业培训课堂创始人
• 热爱物理教学，喜欢研究物理的模型、幽 默、哲理，高中时的物理几乎全靠自学， 所以深知学习乃学会，不是教会，方法很 重要，相信你们可以做更好！
以大小方向均不变的力与大小方向均变化的力的交点为定点画大小方向均在 变的力，依据是这个变力是往越来越水平还是越来越竖直。 新三角形各边长即各力大小变化情况
能支撑一个考点的是一个例题
例1：如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为N1， 球对木板的压力大小为N2．以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木 板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中（ ）
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
你要不要先试试看？Fra bibliotek一会儿老师示范就来了
FN
T 此角为锐角 G 此角为钝角，往后小心是否 经过了垂直于对边的情况， 若有，则垂直时有最小值
矢量三角形解题
FN 此角为锐角
要注意是否有经
过垂直情况。所
以本题答案为D.
G
T
王老师邀请你来小试牛刀
A．F1不变，F2增大
C．F1增大，F2增大
B．F1不变，F2减小
D．F1增大，F2减小
3、 如图所示，一个重为G的小球放在光滑斜面上，斜 面的倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡 住小球，使之处于静止状态，今使板与斜面夹角β缓慢 增大，问：在此过程中，球对挡板和斜面的压力如何变
化？
需要答案的同学可私信联系王老师哦，最后祝同学们生 活开心，学业蒸蒸日上！
1、重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡 板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小 球的弹力的大小F1、F2各如何变化？ 2、如图所示，两个质量都是m的小球A、B用轻杆连接后斜 靠在墙上处于平衡状态，已知墙面光滑，水平地面粗糙，现 将A球向上移动一小段距离，两球再次达到平衡，那么将移 动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对B球的支持 力F1和摩擦力F2的大小变化情况是（ ）
A．N1始终减小，N2始终增大
B．N1始终减小，N2始终减小
C．N1先增大后减小，N2始终减小
D．N1先增大后减小，N2先减小后增大
老师示范来了
N2
所以NI逐渐变小，
N1 N2 G
N2逐渐变小，答 案为B
G
N1
再来个带陷阱的例题
例2：如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球 在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于绷紧状态，当小球上升到接近斜面顶端时细绳接近水平， 此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是（ ）: A．FN保持不变，FT不断增大 B．FN不断增大，FT不断减小