第7章 相关与回归分析

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相关系数的检验

在自变量X与因变量Y都服从正态分布的条件下， 对 的检验，我们可以采用t检验法来进行：
0
t
r n2 1 r
2
~ t (n 2)
对于给定的显著性水平和自由度（n-2）,查t分布表可 得临界值t /2n2，若|t|> t /2时，位于拒拒绝区域， 拒绝原假设；当|t |≤ t /2时，位于接受区域，接受 原假设。

由此可得，

以上就推导出了总体回归函数的表达式。
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总体回归函数
总体截距项
总体斜率系数 随机误差项
因变量
Y 0 1 X
自变量
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样本回归函数


总体回归函数是根据总体的全部观测数据计 算的，而总体全部观测数据一般很难获得， 所以总体回归函数通常是未知的，所以需要 用样本回归函数对总体回归函数进行估计。 样本回归函数与总体回归函数的形式是一致 的。 由于是一元线性回归模型，所以样本回归直 线的表达式为：





1. 当一个变量取一定数值时，另一个变量有确 定值与之相对应，这种关系称为 。 2. 相关系数的数值范围，是在-1和+1之间， 即-1≤r≤+1。计算结果r>0为 ，r<0为 。 3. 当一个变量取一定数值时，与之相对应的另 一变量的数值虽然不确定，但它仍按某种规律 在一定的范围内变化，这种关系称为 。 4. 相关关系按相关的方向分为 和 。 5. 相关关系按相关的程度分为 、不完全 相关和 。 6. 我们把两个变量之间的线性相关关系称 为 。
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总体回归函数
对某一个具体的家庭，他们的消
费支出水平并不一定位于该直线 上，而是位于该直线的周围。
Y
E (Y ) 0 1 X
X
26
总体回归函数

在这里，我们把因变量的实际观测值与因变 量的平均值之间的差异，称为随机误差项， 用 表示，即

Y E (Y )
Y E (Y ) Y E (Y ) 0 1 X
x2 4 9 9 16 25 25 36 49 49 64 286
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回归系数的计算
ˆ y 23.611 15.2778 x
月产量为9百吨时，生产费用估计为：
ˆ y 23.611 15.2778 x 23.611 15.2778 9 161.1112(百元)
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练习
8
散点图
人 均 消 费 支 出
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00
人均可支配收入
9
简单线性相关

在变量之间的相关关系中，两个变量之间 的线性相关关系可以说是最简单的。因此， 我们把两个变量之间的线性相关关系称为 简单线性相关。即简单线性相关只考虑两 个变量之间的相关关系，而且是线性相关。
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相关系数


是对两个变量之间的相关方向和程度度量的 指标。 总体相关系数：根据总体数据计算的度量两 个变量之间相关方向和程度的指标。用 表示。 由于总体数据一般很难获得，所以总体相关 系数一般情况下总是未知的。需要用样本相 关系数来估计总体相关系数。

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相关系数

样本相关系数：根据样本数据计算的度量两个 变量之间相关方向和程度的指标。用 表示。
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16
相关系数的检验

在两个变量之间相关关系的分析研究中，我 们所得到的相关系数一般都是利用样本数据 计算的。样本容量越小，样本相关系数对总 体相关系数的代表性就越差。因此，我们需 要对相关系数进行显著性检验。相关系数的 显著性检验分为两类：一是对总体相关系数 是否等于0进行显著性检验；二是对总体相关 系数是否等于某一个不为0的数值进行检验。 这里我们只介绍对总体相关系数是否等于0进 行检验。
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相关系数的检验

根据6对样本观测数据计算出某公司的股 票价格与气温的样本相关系数为0.5。在 0.05的显著性水平下，能否认为该公司 的股票价格与气温之间存在一定程度的 线性相关关系。
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解、提出原假设和备择假设， H 0 : 0, H1 : 0 计算检验统计量的值
1 r 1 0.5 根据显著性水平0.05查得临界值t 0.025(4） =2.776 由于 t t 0.025 ( 4) ，所以接受H0。即不能说该公 司的股票价格与气温之间存在一定程度的线性相关 关系。

回归分析（Regression) 可以确定变量之间 相互关系的具体形式（回归方程），确定 一个变量对另一个变量的影响程度，并根 据回归方程进行预测。
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散点图 Scatter Diagram


散点图是观察两个变量之间的相关 程度和类型最直观的图形。 散点图是在直角坐标系中，横坐标 代表自变量的取值，纵坐标代表因 变量的取值，把自变量和因变量的 所有组合点描绘在直角坐标系中， 从而可看出自变量和因变量之间关 系的图形。
r

样本相关系数的计算公式是：
r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
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样本相关系数的性质





可以证明样本相关系数的取值介于-1与1之间。 所以样本相关系数的性质主要有： -1≤r≤1； r＞0时，表示X与Y之间线性正相关； r＜0时， 表示X与Y之间线性负相关； ∣r∣越大，表示X与Y之间线性相关程度越高； 当r=1时，表示X与Y之间完全线性正相关（Y 完全受X的影响，而且变化方向相同）； r=-1 时，表示X与Y之间完全线性负相关（Y完全 受X的影响，而且变化方向相反）； r=0时，表示X与Y之间不存在线性相关关系， 但不能断定X与Y之间不存在其他类型的相关 关系。
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总体回归函数

但是，在现实生活中，这种确定型的消费函数 是难以成立的。试想一下在全国亿万个家庭中， 只要收入相同，他们用于消费的部分就会完全 相同吗？也就是说，只要给出一个收入水平， 在全国范围内是不是只会得到唯一的一个消费 支出水平呢？显然不是（同样多的收入，有的 家庭消费支出多，有的家庭消费支出少）。因 为除了收入之外，还有各种影响消费的因素。 收入相同的一些家庭遍及全国，由于消费习惯、 地理位置、贸易条件等千差万别，这都会使他 们用于消费的部分发生差异。所以，我们只能 说，消费支出的平均值与可支配收入之间的关 系能够用直线反映。
2 2
t
r n2

0.5 6 2
1.1547
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7．2 一元线性回归分析


因变量和自变量 一元线性回归模型 总体回归函数 样本回归函数 一元线性回归模型的估计
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因变量和自变量
在回归分析中，被预测或被解释
的变量，称为因变量，用y表示； 用来预测或用来解释因变量的一 个或多个变量称为自变量，用x 表示。
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最小二乘估计法
通过使残差平方和 Q
( y y) 2 e2 ˆ
ˆ ˆ 达到最小来求得 0 1
32
最小二乘估计法
ˆ ˆ 将Q对 0 和 1求偏导数并令其等于零，可得：
33
34
举例

生产费用随月产量的变化而变化。现在抽查了 10家同类型企业的生产费用和月产量的数据资 料，见下页表，试计算样本回归方程，并对月 产量为9百吨的企业，估计其生产费用。 月产量（单位：百吨），生产费用（单位：百 元）
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一元线性回归模型
在回归模型中，只涉此基础上，如果因变量y与自 变量x之间表现为线性关系，我 们称之为一元线性回归模型。
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总体回归函数

在经济学中，线性消费函数为
y 0 1 x

该消费函数认为：可支配收入是决 定消费支出的主要因素，而且它们 之间的关系为线性关系。
ˆ ˆ ˆ y 0 1 x
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样本回归函数
ˆ 由于 y 是对 y 的估计值，那就表示因变量的估计值与 因变量的真实值之间有差异，我们就把因变量的真实值 与因变量的估计值 y 之间的差异，称为残差，用 表 ˆ 示。
y
e
ˆ ˆ ˆ 残差e y y y 0 1 x

3
相关关系的种类




按相关的方向分为正相关和负相关 按相关的程度分为完全相关、不完全相 关和完全不相关 按相关的形式分为线性相关和非线性相 关 按相关变量的多少分为单相关和复相关
4
相关分析与回归分析

相关分析（Correlation Analysis）研究变量 之间相关的方向和相关的程度，但无法给 出变量间相互关系的具体形式（得不到一 个具体的方程式），因而无法从一个变量 推测另一个变量。
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样本相关系数的计算
样本相关系数的计算结果：
r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
10 6549 500 110.8 10 29400 500 10 1465 110.8
2 2
0.987
结果表明，利润额与销售额之间存在高度的正相 关关系。
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样本相关系数的计算

现在抽查10家企业得到他们销售额和利润额 的数据资料（单位：万元），见下页表，试 计算利润额与销售额之间的相关系数
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序号 销售额x 利润额y x2 y2 xy 1 60 12.6 3600 158.76 756 2 50 10.4 2500 108.16 520 3 80 18.5 6400 342.25 1480 4 10 3 100 9 30 5 40 8.1 1600 65.61 324 6 70 16.3 4900 265.69 1141 7 60 12.3 3600 151.29 738 8 30 6.2 900 38.44 186 9 30 6.6 900 43.56 198 10 70 16.8 4900 282.24 1176 合计 500 110.8 29400 1465 6549