第七章 相关分析与回归分析(补充例题)
第7章 相关分析与回归分析(含SPSS)
四、偏相关分析
（一） 偏相关分析和偏相关系数 偏相关分析也称净相关分析，它在控制其他变量 的线性影响的条件下分析两变量间的线性相关性， 所采用的工具是偏相关系数（净相关系数）。
偏相关分析的主要用途是根据观测资料应用偏相 关分析计算偏相关系数，可以判断哪些解释变量对 被解释变量的影响较大，而选择作为必须考虑的解 释变量。这样在计算多元回归分析时，只要保留起 主要作用的解释变量，用较少的解释变量描述被解 释变量的平均变动量。
(7.7)
偏相关系数的取值范围及大小含义与相关系数相 同。
2、对样本来自的两总体是否存在显著的偏相关 进行推断。
（1）提出原假设：两总体的偏相关系数与零无显 著差异。
（2）选择检验统计量。偏相关系数的检验统计量 为 t 统计量。 （3）计算检验统计量的观测值和相伴概率 p 。
（4）给定显著性水平 ，并作出决策。如果相 伴概率值小于或等于给定的显著性水平，则拒绝 原假设；如果相伴概率值大于给定的显著性水平， 则不能拒绝原假设。
（二）偏相关系数在SPSS中的实现
1、建立或打开数据文件后，进入Analyze→ Correlate →Partial主对话框，如图7-6所示。
图7-6 偏相关分析主对话框
2、选择分析变量送入Valiables框，选择控制变
量进入Controlling for框。
3、在Test of Significance 栏中选择输出偏相
图7-7 偏相关分析的选项对话框
（1）Statistics 统计量选择项，有两个选项： ①
Means and standard deviations 复选项，要求
SPSSZero-order correlations 复选项，要求显示零阶
第7章 回归分析与相关分析(3)-可线性化的非线性回归
第二篇回归分析与相关分析第7章可线性化的非线性回归线性模型在现实中其实是较少出现的，大量的规律都表现为非线性模型。
线性模型的价值与其说在于处理线性问题，毋宁说在于处理线性化的非线性模型，或者说近似拟合相互作用不太强烈非线性系统。
在实际工作中，我们会遇到许多简单而又实用的非线性模型，这些模型都可以通过某种数学变换转换为线性关系，从而利用最小二乘技术进行回归运算。
比较常见的有指数模型、对数模型、幂指数模型、双曲线模型、抛物线模型、正态分布模型，等等。
下面逐一举例说明。
§7.1 线性与非线性非线性是相对于线性关系而言的。
当变量数目一定的时候，线性关系只有一种，而非线性关系各式各样，千变万化。
传统的科学理论主要是基于线性理论建立起来的，非线性科学的兴起历史并不长久。
虽然非线性理论年龄尚幼，但简单的非线性关系的应用却历史悠久。
首先需要区别函数y=f(x)对自变量x的依赖关系。
对于一个变量而言，线性形式为=,bxy+a这是只有一个自变量的一次多项式表达，式中a、b为参数，表现为常数形式。
如果多项式出现大于1的幂次，就是非线性函数。
最简单的非线性函数之一是抛物线，这是一种二次多项式=2,cy++axbx式中a、b、c为参数。
一般函数为f=,yμ(x),式中μ为参量集。
我们可以从如下方面理解线性关系和非线性关系的区别。
第一，线性是简单的比例关系，而非线性则是对简单比例关系的偏离。
有位学者打了一个通俗的比方，线性就是水涨船高，多多益善；非线性就是过犹不及，物极必反。
以三次曲线为例，该曲线是对线性关系的局部偏离，科学上称之为“微扰”或者“摄动”。
第二，线性关系表明各个变量之间互不相干，独立贡献，非线性关系则意味着相互作用。
线性关系暗示各个变量可以相互叠加，对于非线性而言，暗示整体不等于部分之和。
因此，线性回归要求各个自变量彼此独立，因为最小二乘技术主要是基于线性思想发展的一种参数求解方法。
第三，线性关系意味着信号的频率成分不变，而非线性关系则暗示频率结构发生变化。
第七章 相关回归分析 思考题及练习题
实用价值越小。
13、在相关分析中，要求相关的两个变量（ ）
A、都是随机变量
B、都不是随机变量
C、其中因变量是随机变量 D、其中自变量是随机变量
14、在简单回归直线
中，
表示（ ） A、当
增加一个单位时，
增加
的数量 B、当
增加一个单位时，
增加
的数量 C、当
增加一个单位时，
的平均增加值 D、当
增加一个单位时，
按一定数额变化时，变量
也随之近似地按固定的数额变化，那么，这时变量
和
之间存在着（ ）
A、正相关关系
B、负相关关系
C、直线相关关系 D、曲线相关关系
18、两个变量间的相关关系称为（ ）
A、单相关
B、无相关
C、复相关
D、多相关
19、如果两个变量之间的相关系数
，说明这两个变量之间存在（ ）。 A、低度相关关系 B、高度相关关系 C、完全相关关系 D、显著相关关系 20、已知
第七章 思考题及练习题
(一) 填空题
1、 1、 在相关关系中，把具有因果关系相互联系的两个变
量中起影响作用的变量称为_______，把另一个说明观察结果的
变量称为________。
2、 2、 现象之间的相关关系按相关的程度分有________相
关、________相关和_______相关；按相关的方向分有________
E、 E、回归方程实用价值大小的指标 10、现象之间相互联系的类型有（ ）
A、函数关系 B、回归关系 C、相关关系 D、随机关系 E、结构关系 11、相关关系种类（ ） A、从相关方向分为正相关和负相关 B、从相关形态分为线性相关和非线性相关 C、从相关程度分为完全相关、不完全相关和零相关
第七章回归与相关分析练习及答案
第七章回归与相关分析一、填空题1．现象之间的相关关系按相关的程度分为、和；按相关的形式分为和；按影响因素的多少分为和。
2．两个相关现象之间，当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为正相关；当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为负相关。
3．相关系数的取值X围是。
4．完全相关即是关系，其相关系数为。
5．相关系数，用于反映条件下，两变量相关关系的密切程度和方向的统计指标。
6．直线相关系数等于零，说明两变量之间；直线相关系数等1，说明两变量之间；直线相关系数等于—1，说明两变量之间。
7．对现象之间变量的研究，统计是从两个方面进行的，一方面是研究变量之间关系的，这种研究称为相关关系；另一方面是研究关于自变量和因变量之间的变动关系，用数学方程式表达，称为。
8．回归方程y=a+bx中的参数a是，b是。
在统计中估计待定参数的常用方法是。
9. 分析要确定哪个是自变量哪个是因变量，在这点上它与不同。
10．求两个变量之间非线性关系的回归线比较复杂，在许多情况下，非线性回归问题可以通过化成来解决。
11．用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标是。
12．判断一条回归直线与样本观测值拟合程度好坏的指标是。
二、单项选择题1．下面的函数关系是( )A销售人员测验成绩与销售额大小的关系 B圆周的长度决定于它的半径C家庭的收入和消费的关系 D数学成绩与统计学成绩的关系2．相关系数r的取值X围( )A -∞<r<+∞B -1≤r≤+1C -1<r<+1D 0≤r≤+13．年劳动生产率z(干元)和工人工资y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( )A增加70元 B减少70元 C增加80元 D减少80元4．若要证明两变量之间线性相关程度是高的，则计算出的相关系数应接近于( )A+1 B 0 C 0．5 D [1]5．回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象( ) A线性相关还是非线性相关 B正相关还是负相关C完全相关还是不完全相关 D单相关还是复相关6．某校经济管理类的学生学习统计学的时间(x)与考试成绩(y)之间建=a+b x。
第七章-相关关系分析法-简答题
第七章 相关关系分析法 简答题1.什么是相关关系？相关分析与回归分析的主要内容有哪些？相关关系：指现象之间客观存在的、不确定的数量依存关系。
主要内容：（1）确定变量之间是否相关；（2）确定变量之间的相关类型；关系的密切程度和方向（3）确定变量之间的相关关系的密切程度和方向；（4）建立变量之间的回归方程；（5）给定自变量的值，求因变量的值；（6）测定因变量的估计标准误差。
其中前三个属于相关关系，后三个属于回归关系。
2.什么是相关系数？r 的计算公式中，标准差和协方差分别起的作用是什么？ 相关系数：是说明两种现象之间直线相关关系密切程度的统计分析指标。
协方差的作用：显示x 与y 之间相关的性质，即是正相关、负相关； 显示x 与y 之间线性相关关系密切程度的大小。
标准差作用 ：消除离差积乘中两个变量原有计量单位的影响；将相关系数的值局限在-1到+1之间。
3.如何利用相关系数来判别现象之间的相关关系？（1）相关系数的取值范围为：-1≤r ≤1 。
（2）r ＞0，是正相关， r ＜0，是负相关。
（3）r 越接近0，相关程度越，为不相关。
（4）1=r ，为完全相关，0=r 。
（5）3.0<r ， 为不相关或微弱相关低；r 越接近1，相关程度越高。
5.03.0<≤r ，为低度相关； 8.05.0<≤r ，为显著相关； 18.0<≤r ， 为高度相关。
4.简述简单直线回归分析的特点。
（1）在两个变量之间必须根据研究的目的确定哪个是自变量，哪个是因变量。
（2）在没有明显因果关系的两个变量中，可配合两个回归方程。
值得注意的是，若两个变量存在明显的因果关系时，只能计算一条回归直线，另一条配合出来也没意义。
(3)回归方程的作用在于给出自变量的数值来估计因变量的可能值。
(4)直线回归方程中，自变量的系数b称为回归系数。
回归系数的符号为正时表示正相关,为负表示负相关。
(5) 回归分析中，因变量是随机的，而把自变量当作研究时可以控制的量。
【精品】统计学题目第七章相关与回归分析
1、填空题现象之间的相关关系按相关的程度分有________相关、________相关和_______相关；按相关的方向分有________相关和________相关;按相关的形式分有________相关和________相关；按影响因素的多少分有________相关和________相关。
2、对现象之间变量关系的研究中，对于变量之间相互关系密切程度的研究，称为_______；研究变量之间关系的方程式，根据给定的变量数值以推断另一变量的可能值,则称为_______。
3、完全相关即是________关系，其相关系数为________。
4、在相关分析中,要求两个变量都是_______；在回归分析中，要求自变量是_______，因变量是_______。
5、person相关系数是在________相关条件下用来说明两个变量相关________的统计分析指标。
6、相关系数的变动范围介于_______与_______之间,其绝对值愈接近于_______，两个变量之间线性相关程度愈高；愈接近于_______，两个变量之间线性相关程度愈低.当_______时表示两变量正相关；_______时表示两变量负相关.7、 当变量x 值增加，变量y 值也增加，这是________相关关系；当变量x值减少，变量y 值也减少，这是________相关关系。
8、 在判断现象之间的相关关系紧密程度时,主要用_______进行一般性判断，用_______进行数量上的说明。
9、 在回归分析中，两变量不是对等的关系，其中因变量是_______变量,自变量是_______量。
10、 已知13600))((=----∑y y x x ，14400)(2=--∑x x ，14900)(2=-∑-y y ,那么，x 和y 的相关系数r 是_______。
11、 用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标是________指标。
12、 已知1502=xy σ，18=xσ，11=y σ，那么变量x 和y 的相关系数r 是_______.13、 回归方程bx a y c +=中的参数b 是________,估计特定参数常用的方法是_________.14、 若商品销售额和零售价格的相关系数为-0。
第七章相关分析与回归分析
第七章相关分析与回归分析1.企业 编号 产量（千 件）生产费用 （千元）企业编 号 产量（千 件）生产费用 （千元） 1 40 130 7 84 165 2 42 140 8 100 170 3 49 155 9 110 167 4 49 150 10 114 183 550 154 11 125 175 65516012130189试根据上表材料： （1） 绘制散点图。
（2） 计算相关系数。
（3） 配合一条直线回归方程。
解: （ 1）(2) 企业编号产量（千件）x生产费用（千元）yxy x2 y2 1 40 130 **** **** 16900 2 42 140 5880 1764 19600 3 49 155 **** **** 24025 4 49 150 **** **** 22500 5 50 154 7700 2500 23716 6 55 160 8800 3025 25600 784 165 138607056272258 100170 17000 10000 28900 911016718370 12100 278896080040200 150 100产量与生产费用散点图512x159062 -948x1938.12 88368 -9482、12 316190 -19382(3)设回归方程为? = a bxb』甞7n Z x 一(送 x)12 159062-948 1938 12y -bx =1^ -0.4423948=126.558312 12所以回归方程为$ =126.5583 0.4423x2.某县城研究居民月家庭人均生活费支出和月家庭收入的相互关系，随机抽样 10利用上表材料：(1) 绘制散点图并观察两变量之间是否存在线性关系 (2) 计算相关系数，建立回归方程。
(3) 计算估计标准误差。
(4) 测算人均收入为200时，其人均生活费应为多少元 解: ( 1)12 88368-9482_ n 瓦xy-任x)任y) n' x 2 -r x)2. n' y 2 -(' y)2 71520 78838.84-0.907271520 161712二 0.4423(2) 家庭序号月人均收入（元）x月人均生活费（元）yxy x2y21 100 85 8500 10000 72252 110 88 968012100 77443 120 90 10800 14400 81004 130 94 12220 16900 88365 140 96 13440 19600 9216 6 150 100 15000 22500 100007 160 106 16960 25600 112368 170 118 20060 28900 13924 9180 120 21600 32400 14400 10 190 124 23560 36100 15376合计14501021151820 218500 106057n' xy-C x)(' y)10 151820 -1450 1021设回归方程为bxn £ xy-(£ x)(£ y) 10 汇 151820 —1450 乂 1021 n' x 2-C x)2 n' y 2-(' y)2 _ 10 218500 -14502a-bx=1021-0.45761450=35.74810 10所以回归方程为? =35.748 0.4576x (3)、10 218500 -14502 一 10 106057 -10212费活生均人月200-C x)2 .. n'y 2-c y)2 3775038673.54= 0.97613775082500 = 0.4576月人均生活费与人均收入散点图120140160月人均收入180oo oooooo 4 2 0 8 6 4 2' y2-a' y-b' xy _ 106057-35.748 1021-0.4576 151820 目二n-2 「10-2= 3.2684(4)当x=200 时，人均生活费为：y =35.748 0.4576 200 =127.2683. 已知x、y两变量的相关系数r = 0.8 , X =20, y = 50,二y为二x的两倍，求y 对x 的回归方程。
第7章 相关与回归分析课后习题解答
所以，Yf的置信度为 95％的预测区间为
所以，区间预测为
3.讨论以下几种场合的回归方程：
中回归系数的经济意义和应取的
符号。
（1）Yt为商业利润率；X2t他为人均销售额；X3t为流通费用率； （2）Yt为粮食销售量；X2t为人口数；X3t为人均收入； （3）Yt为工业总产值；X2t为占用的固定资产；X3t为职工人数； （4）Yt为国内生产总值；X2t为工业总产值；X3t为农业总产值。 答：
图 7—1
1 如果“数据分析命令”没有出现在“工具”菜单，则需要先运行“加载宏”命令，加载“分析工具库”。
图 7—2 在“回归”窗口中确定因变量 Y 值和自变量 X 值的区域后，点击“确定”。见图 7—3。回归结果见图 7—4。
图 7—3
图 7—4
从计算结果可知，拟合的样本回归方程为 （2）由图 7—4 可知，回归估计的标准误差为 638.7076；决定系数为 0.9987。 （3）回归系数的 5％显著性检验。 首先对β1的显著性进行检验2：
构造 t 统计量： 查t分布表可知：显著性水平为 5％，自由度为 21 的双测t检验的临界值为 2.080，t值小于临界值，故 无法拒绝零假设，说明β1在 5％的显著性水平下没有通过检验。 同理，可对β2进行显著性检验： t值远大于临界值 2.080，故拒绝零假设，说明β2在 5％的显著性水平下通过了显著性检验。 （4）预测： 点估计：Xf=104880 亿元，代入回归方程，Yf=62024.16 亿元。 置信度 95％的预测区间为： 计算Sef：
图 7—5 的消费” 步骤二：进行回归分析。 选择“工具”→“数据分析”→“回归”，在该窗口中选定自变量和因变量的数据区域，最后点击“确 定”完成操作。 得到回归分析的输出结果见图 7—6。
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第七章 相关分析与回归分析
例1、有10个同类企业的固定资产和总产值资料如下：
根据以上资料计算(1)协方差和相关系数;(2)建立以总产值为因变量的一元线性回归方程；(3)当固定资产改变200万元时，总产值平均改变多少？(4)当固定资产为1300万元时，总产值为多少？
解：计算表如下：
（1）协方差——用以说明两指标之间的相关方向。
2
2)
)((n
y
x xy n n
y y x x xy
∑∑∑∑-
=
-
-=
σ
35.126400100
9801
6525765915610>=⨯-⨯=
计算得到的协方差为正数，说明固定资产和总产值之间存在正相关关系。
（2）相关系数用以说明两指标之间的相关方向和相关的密切程度。
∑∑∑
∑∑∑∑---
=
]
)(][)
([2
2
2
2
y y n x x n y
x xy n r 95
.0)
980110866577
10()6525566853910(9801
65257659156102
2
=-⨯⨯-⨯⨯-⨯=
计算得到的相关系数为0.95，表示两指标为高度正相关。
(3)
2
2
26525
56685391098016525765915610)
(-⨯⨯-⨯=
--=
∑∑∑∑∑x x
n y x xy n b
90
.014109765
126400354257562556685390
6395152576591560==
--=
85
.39210
65259.010
9801=⨯
-=
-=x b y a
回归直线方程为：
x y
9.085.392ˆ+=
(4)当固定资产改变200万元时，总产值平均改变多少？
x y ∆=∆9.0,180
2009.0|200=⨯=∆=∆x y 万元
当固定资产改变200万元时，总产值平均增加180万元。
(5)当固定资产为1300万元时，总产值为多少？
85
.156213009.085.392|1300=⨯+==x y 万元
当固定资产为1300万元时，总产值为1562.85万元。
例2、试根据下列资产总值和平均每昼夜原料加工量资料计算相关系数。
解：【分析】本题中“企业数”应看成资产总值和平均每昼夜原料加工量两变量的次数，在计算相关系数的过程，要进行“加权”。
计算列表如下：
相关系数
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑---=
]
)(][)([2
2
2
2
f y f
y f f x f x
f
yf xf xyf f r 84
.0)
331.2842()21600
11740000
42(33
2160017960422
2
=-⨯⨯-⨯⨯-⨯=
例3、检查5位同学统计学的学习时间与成绩分数如下表：
要求：（1）编制直线回归方程；（2）由此计算出学习时数与学习成绩之间的相关系数。
解：先列出计算表：
解：（1）bx
a y c
+=
2.540
37053104027405)
(2
2
2
=-⨯⨯-⨯=
--=
∑∑∑∑∑x x
n y
x xy n b
4
.205402.55
310=⨯
-=
-=x b y a
回归直线方程为：
x y c 2.54.20+=
（2）
∑∑∑
∑∑∑∑---
=
]
)(][)
([2
2
2
2
y y n x x n y
x xy n r 956
.002
.8681.151300)
310207005()403705(310
40274052
2
=⨯=
-⨯⨯-⨯⨯-⨯=
计算得到的相关系数为0.95，表示两指标为高度正相关。
956
.09135.02
==
=
r r
说明学习时数x 与成绩得分y 之间有高度的相关关系。
例3、检查5位同学统计学的学习时间与成绩分数如下表：
要求：（1）编制直线回归方程；（2）计算估计标准误差；（3）对学习成绩的方差进行分解分析，指出总误差平方和中有多少比重可由回归方程来解释；（4）由此计算出学习时数与学习成绩之间的相关系数。
解：先列出计算表：
解：（1）bx
a y c
+=
2.540
37053104027405)
(2
2
2
=-⨯⨯-⨯=
--=
∑∑∑∑∑x x
n y
x xy n b
4
.205402.55
310=⨯
-=
-=x b y a
回归直线方程为：
x y c 2.54.20+=
（2）53
.63
2740
2.53104.20207002
2
=⨯-⨯-=
---=
∑∑∑n xy b y a y
S yx
（3）总误差分解列表如下：
63
5
310==
y
∑∑∑-+
-=
-2
2
2
)()()
(y y
y
y y y c
c
1480=128+1352
9135.01480
1352)
()(2
2
2
==
--=
∑∑y y y y r c
计算总误差平方和中有91.35%可以由回归方程来解释，学习时数x 与成绩得分y 之间有高度的相关。
如果用理论分数c y 来估计实际分数
y
，平均将发生6.53分的误差，这个数字与平均成绩62分对比约占
10.5%。
（4）956
.09135.02
==
=
r r
说明学习时数x 与成绩得分y 之间有高度的相关关系。