专题二;矢量合成的三角形法则
高中几何知识解析解析几何中的向量三角形法则
高中几何知识解析解析几何中的向量三角形法则解析几何是数学的一个分支，它通过向量的方法研究几何问题。
向量的三角形法则是解析几何中的一个重要概念，它可以用来求解向量的加法、减法、乘法等运算。
本文将解析讲解向量三角形法则及其应用。
一、向量的概念及表示方法在解析几何中，向量是表示位移或力的量，它由大小和方向组成，通常用有向线段表示。
向量的大小可以用数值表示，方向可以用箭头表示。
一个向量可以表示为"a"或"A"，其中"a"表示向量的大小，"A"表示向量。
向量的大小用加粗的小写字母表示，如"a"，向量用加粗的大写字母表示，如"A"。
二、向量的三角形法则向量的三角形法则是指两个向量相加所得向量的方法。
根据三角形法则，将两个向量的起点放在一起，将它们的终点连接起来，新的向量就是从第一个向量的起点到第二个向量的终点所得的向量。
换句话说，向量的三角形法则是将两个向量首尾相连，新的向量就是从第一个向量的起点到第二个向量的终点所得的向量。
三、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的运算。
根据向量的三角形法则，设有两个向量A和B，它们的起点都放在原点O上，将它们的终点连接起来，新的向量C就是从A的起点到B的终点所得的向量。
根据三角形法则，我们可以得出向量的加法公式："C = A + B"。
四、向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去得到一个新的向量的运算。
根据向量的三角形法则，设有两个向量A和B，它们的起点都放在原点O上，如果将B的起点放在A的终点上，将B的终点放在O上，新的向量C就是从A的起点到B的终点所得的向量。
根据三角形法则，我们可以得出向量的减法公式："C = A - B"。
五、向量的乘法向量的乘法是指一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量的运算。
在力学中巧用矢量三角形法则
在力学中巧用矢量三角形法则作者：刘卫东来源：《中学生数理化·教与学》2011年第03期一、矢量加、减运算的图示矢量的加、减运算，即矢量的合成与分解是处理物理问题必备的数学方法.矢量加减依据平行四边形法则，也可简化为三角形（或多边形）法则.其图解方法如图1.若已知矢量A、B,如图1（a），当求C＝A＋B，即作矢量的加法时，可将A、B两矢量依次首（有向线段箭头）尾（有向线段末端）相接后，由A的尾画到B的首的有向线段即为C，如图1（b）；当求C＝A－B，即作矢量的减法时，通常将表示A、B两矢量的有向线段末端重合，即从同一点出发分别画出两相减矢量，由B的有向线段箭头画到A矢量箭头的有向线段即为C，如图1（c）.运用这种方法也可以进行多个矢量连续相加或相减.我们可以归纳如下.图解方法求矢量和：相加各矢量依次首尾相接后，连接第一个“加数”尾与最后一个“加数”头的有向线段即为各矢量之和.图解方法求矢量差：末端共点分别作相减矢量，连接两箭头，方向指向“被减数”的有向线段即为该二矢量之差.二、运动的合成与分解当物体实际发生的运动较为复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际的分运动.这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法.运动的合成与分解遵循如下原理：1．独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律运动进行，不会因有其他运动的存在而发生变化.2．等时性原理合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义.3．矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则，即平行四边形定则作上述物理量运算.三、矢量三角形在共点力平衡中的运用物体在三个不彼此平行的力的作用下处于平衡状态，这三个力必在同一平面内共点，其合力为零.这三个力组成一个封闭的三角形，解答此类题目时用矢量三角形法则，分析一些动态变化时定性处理问题简捷、直观、明了.有时定量计算时也简捷、方便，避免大量用三角函数求极值的烦琐过程，能收到事半功倍的效果.1．共点力平衡时力变化的定性讨论例１如图２（a），DAB为半圆支架，两细绳OA、OB接于圆心O，其下悬重力为G的物体.若OA细绳固定不动，将细绳OB的B端沿半圆支架从水平位置逐渐缓慢移至竖直位置C 的过程中，细绳OA和细绳OB对节点O的拉力大小如何变化？解析：选节点O为研究对象，节点在拉力G、TA、TB三个力的作用下始终处于共点力的平衡状态，G的大小和方向都确定；TA的方向确定但大小不定；TB的大小和方向都不定，根据图2（b）中力的封闭矢量三角形可以看出，在OB向上靠近OC的过程中，TA一直减小，TB先减小后增大.2．共点力平衡时力变化的定量计算例２如图３，质量为m的物体放在水平地面上，用水平向右的拉力F拉物体，使物体沿水平向右匀速运动，已知物体和水平面间的动摩擦因数为，μ在保持拉力F大小不变的情况下改变其方向，但仍使物体沿原方向匀速运动，则拉力F′与原拉力F间的夹角θ为多大？解析：略.总之，凡遇到物体受三个共点力作用，处于平衡问题时，若一个力的大小与方向都确定，另一个力的方向也确定，求这个力的大小及第三个力的大小如何变化时，利用矢量三角形定性讨论比较方便.。
三角形法则求合力公式
三角形法则求合力公式以三角形法则求合力公式为标题，我们来讨论一下这个重要的物理概念。
在物理学中，合力是指作用在物体上的多个力的合成效果。
当多个力作用在同一个物体上时，它们会产生一个合力，这个合力可以用三角形法则来求得。
三角形法则是一种图形法则，通过将力的大小和方向用矢量表示，利用向量的几何性质来求得合力。
三角形法则的基本原理是将力的向量按照大小和方向绘制在一个平面上，然后将它们按照顺序相连，形成一个闭合的三角形。
合力的大小和方向就可以通过测量三角形的边和角来确定。
假设有两个力F1和F2，它们的大小分别为F1和F2，方向分别为θ1和θ2。
首先，我们需要将这两个力的向量按照大小和方向绘制在一个平面上。
然后，将它们按照顺序相连，形成一个闭合的三角形。
合力的大小和方向可以通过测量三角形的边和角来确定。
根据三角形法则，合力的大小可以使用余弦定理来计算。
余弦定理表达了三角形的边与角之间的关系，它可以表示为：C^2 = A^2 + B^2 - 2ABcosθ，其中C表示合力的大小，A和B分别表示两个力的大小，θ表示两个力之间的夹角。
合力的方向可以通过测量三角形的角来确定。
假设合力的方向与力F1的方向夹角为α，那么合力的方向与力F2的方向夹角就可以通过θ2 - α来计算。
通过三角形法则，我们可以得到合力的大小和方向。
这个公式对于解决许多力的合成问题非常有用。
在实际应用中，我们经常需要求解多个力的合力，而不仅仅是两个力。
在这种情况下，我们可以将多个力的向量按照相应的大小和方向绘制在一个平面上，然后使用三角形法则求解合力。
需要注意的是，三角形法则只适用于平面力系统，即所有力都在同一个平面上。
如果有力不在同一个平面上，那么我们需要使用平行四边形法则来求解合力。
三角形法则是一种求解合力的有效方法。
通过将力的大小和方向用矢量表示，并利用三角形的几何性质，我们可以求解多个力的合力。
这个方法在物理学和工程学中有着广泛的应用，对于解决力的合成问题非常有帮助。
力的矢量三角形法则
力的矢量三角形法则矢量是物理学中非常重要的概念，它可以描述物体的方向和大小。
力作为一种矢量，也可以用矢量的三角形法则进行求解。
矢量的三角形法则是一种基本的矢量加法图解方法，通过它可以求解多个力矢量合成之后的合力。
假设有两个力矢量F1和F2，它们的起点都位于同一个点O，我们要求解它们的合力F。
首先，我们将F1和F2的起点都放在点O，然后将F1的终点与F2的起点相连接，得到一条直线OA。
然后将F2的终点与F1的起点相连接，得到一条直线OB。
最后，将OA和OB相连得到一条直线OC，这条直线OC 就表示了力矢量F的方向和大小。
根据三角形法则，我们可以得到以下几个结论：1.F1、F2和F三者共面。
这意味着这三个力矢量必须在同一个平面内，不会出现其中一个力矢量垂直于另外两个力矢量的情况。
2.F1、F2和F三者共起点。
这说明这三个力矢量都是从同一个起点O 出发的。
3.F1、F2和F三者闭合成一个三角形。
这是因为根据三角形法则，OC就是根据F1、F2和F三者的相对位置构成的三角形的边。
4.F的大小等于三角形OC的长度。
由于OC表示力矢量F的大小和方向，所以F的大小等于OC的长度。
5.F的方向可以由OC与OA的夹角决定。
夹角的方向由OA的方向决定，因此可以通过测量OA与OC的夹角来确定F的方向。
如果有更多的力矢量需要求和，我们可以继续使用三角形法则。
假设现在还有一个力矢量F3，我们可以先使用三角形法则求解F1和F2的合力F12，然后再使用三角形法则求解F12和F3的合力F123值得注意的是，三角形法则适用于平面上的力矢量求和。
如果力矢量位于空间中，我们需要使用平行四边形法则进行求解。
三角形法则的应用范围非常广泛，无论是力学领域还是其他领域，都可以使用三角形法则对矢量进行求解。
在物理学中，矢量是许多物理量，如力、速度、加速度等的表示方式，因此三角形法则在物理学中具有非常重要的作用。
总结起来，矢量的三角形法则是一种基本的矢量加法图解方法，通过它我们可以求解多个力矢量合成之后的合力。
专题2—13矢量三角形
专题2—13 矢量三角形基本结论：1．三个共点力平衡，依次将它们首尾连接，可以构成闭合的三角形。
2．三个共点力平衡，做矢量三角形形时，一般都是从重力边开始。
3．三角形三个角度和三个边长，跟三个力的方向和大小相对应。
4．力的方向变化，体现在三角形里面就是相应的角度发生变化。
5．矢量三角形本质上说来源于平行四边形（平行四边形的一半），6.题目中若有现成的固定竖直线段，优先以它为重力边。
7。
只要三个边的方向与三个力的方向完全吻合，该三角形就是正确的矢量三角形。
************************************************************************************例1．如图所示，细绳一端与光滑小球连接，另一端系在竖直墙壁上的A 点，当缩短细绳小球缓慢上移的过程中，细绳对小球的拉力、墙壁对小球的弹力如何变化？例2。
光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的力F 由A 点缓慢拉到顶端的过程中，试分析绳的拉力F 及半球面对小球的支持力F N 的变化情况(如图12)．例3．如图所示，用轻线悬挂的球放在光滑的斜面上，开始时 很小．在将斜面缓慢向左推动一小段距离的过程中，关于线对球的拉力及球对斜面的压力的大小，下述说法中正确的是 ( )A ．拉力变小而压力变大B ．拉力变大而压力变小C ．拉力和压力都变大D ．拉力和压力都变小例4．半圆形支架BCD 上悬着两细绳OA 和OB ，结于圆心O ，下悬重为G 的物体，使OA 绳固定不动，将OB 绳的B 端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中，如图所示，分析OA 绳和OB 绳所受力的大小如何变化？例6．一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图2-1所示。
现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆A O 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( )A ．F N 先减小，后增大B .F N 始终不变C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变例7． 如图4所示，质量为m 的物体与水平地面的动摩擦因数为μ，物体在与水平面成θ角的斜向上的拉力F 作用下沿水平面匀速运动，问θ为多大时F 有最小值？F 的最小值是多少？例6 如图2所示，一轻杆O 端用铰链固定于墙壁上，A 端用轻绳拉紧使OA 杆保持水平，若在A 端挂重物G ，当把B 点逐渐缓慢移动时，绳对A 点的拉力和杆的弹力如何变化？图2-1例7．如图，一个均质球重为G，放在光滑斜面上，倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球。
力学三角形定则
结点A所受三力平 衡,力三角形与对应的 几何三角形相似，与 重力对应的各几何三 角形竖直边长为不变 的一段；Ｔ1对应与绳 平行的一段，T2对应 与杆平行的一段．.
T2
A
C
T1
C B
本题答案:B
G G
建筑工人常通过如图所示的安装 在楼顶的一个定滑轮，将建筑材料运送到高处， 为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工 人还另外用绳CD拉住材料，使它与竖直墙面总保 持距离l．不计两根绳的重力，在建筑材料上升的 过程中，绳AB和绳CD上的拉力T1和T2的大小变 化 A. T1增大，T2增大 B. T1增大，T2不变 C. T1增大，T2减小 D. T1减小，T2减小 T2 T1
球
专题1-例6 如图所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA
T2 A 不变 T1 G
T1
α
B
O
G
T2
如图所示,一个表面光滑的半球固定在水平面上,其球心的正 上方一定高度处固定一小滑轮,一根细绳一端拴一小球,置于球面上 A点,另一端绕过定滑轮,现缓慢地拉动细绳的一端,使小球从A点运 动到D点,在此过程中,小球所受的球面支持力FN及细绳拉力FT的变 化情况是 A. FN变大,FT变小 A. FN变小,FT变大 C. FN不变,FT变小 D. FN变大,FT不变 O
N
专题1-例5 如图所示，绳子a一端固定在杆上C点，另一端通过
自结点C先作表示确定力Fb的有向线段 ； A 作表示绳、杆对C作用力的有向线段：方 向沿绳a与沿杆BC，大小与Fb构成闭合三 角形； 找到与力三角形相似的几何三角形及对应边： B
FT a
C
b
Fb
由几何边长的变化判定对应力大小的变化
水平，现将两绳同时顺时针缓慢转过90°，始终保持α角大小 不变，且物体始终静止，设绳OA的拉力为T1，绳OB的拉力为 T2，则在此旋转过程中 A. T1先减小后增大 B. T1先增大后减小 C. T2逐渐减小 D. T2最终变为零
平面向量的三角形法则
平面向量的三角形法则平面向量是数学中的一种重要概念，用来描述平面上的位移和运动。
平面向量的操作可以通过三角形法则来进行计算和分析。
三角形法则是指通过将向量的起点和终点相连接，形成一个三角形，通过三角形的相关性质来计算向量的和、差以及数量乘法等运算。
1. 平面向量的定义平面向量是由两个有序实数对表示，分别表示向量在水平和垂直方向上的分量。
通常表示为a = (a₁, a₂)。
其中a₁表示向量的水平分量，a₂表示向量的垂直分量。
2. 平面向量的表示平面向量可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小（模）。
平面向量也可以用点阵图表示，将向量的起点放置在坐标原点，根据向量的分量在坐标系中绘制向量的终点。
3. 平面向量的加法根据三角形法则，平面向量的加法可以通过将两个向量的起点相连接，形成一个三角形，并且将第二个向量平移到第一个向量的尾部，形成一个新的向量。
新向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
这个新的向量就是两个向量的和。
例如，对于向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，其和向量c = a +b可以通过三角形法则得到，c的起点为a的起点，终点为b的终点。
4. 平面向量的减法平面向量的减法可以通过三角形法则和相反向量来进行计算。
向量a减去向量b等价于向量a加上向量-b。
向量-b的起点与b的终点相同，终点与b的起点相同。
根据三角形法则，可以将向量a和向量-b进行相加来得到向量c = a - b。
例如，对于向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，其差向量c = a -b可以通过三角形法则得到，c的起点为a的起点，终点为b的起点。
5. 平面向量的数量乘法平面向量可以与实数进行数量乘法运算，即将向量的每个分量乘以同一个实数。
假设向量a = (a₁, a₂)，实数k，则向量ka = (ka₁, ka₂)。
数量乘法可以理解为改变向量的大小和方向。
第六课时—受力分析方法之整体-矢量三角形法
第六课时：受力分析方法之矢量三角形法重要知识点讲解矢量三角形法：把三力平衡中的三个力平移构成矢量三角形，根据矢量三角形的边长来确定力的大小。
过程分析：①在力变化前，把平衡中的三个力平移构成矢量三角形；②在力变化后，把把平衡中的三个力平移构成矢量三角形；③比较前后两个三角形对应的边长大小来判断力的大小。
注意：前后两次组成矢量三角形过程中，要保持重力那条边不变（长度和方向都不变），平移时注意不要改变力的方向。
优缺点分析：优点：对解决力的变化问题非常直观，且非常容易；缺点：必须是由三个力组成的平衡。
例题1 用两根绳子吊起一重物，使重物保持静止，逐渐增大两绳之间的夹角，则两绳对重物的拉力的合力变化情况是（ ），每根绳子的拉力变化情况是（ ）；A ．保持不变B ．逐渐增大C ．逐渐减小D ．以上说法都有可能变式1（2012山东理综，17,5分）如图所示，两相同轻质硬杆12,OO OO 可绕其两端垂直纸 面的水平轴12,,O O O 转动，在O 点悬挂一重物M ，将两相同木块m 紧压在竖直挡板上， 此时整个系统保持静止；f F 表示木块与挡板间摩擦力的大小，N F 表示木块与挡板间正压 力的大小；若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且12,O O 始终等高，则（ ）A. f F 变小B. f F 不变C. N F 变小D. N F 变大变式1图 例题2图 变式2图 例题2 如图所示，在倾角为 的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜坡及挡板间均无摩擦，当档板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，则有（ ）A ．斜面对球的支持力逐渐增大B ．斜面对球的支持力先减小后增大C ．档板对小球的弹力先减小后增大D ．档板对小球的弹力一直增大变式2 用绳把球挂靠在光滑墙面上，绳的另一端穿过墙孔拉于手中，如图所示。
当缓缓拉动绳子把球吊高时，绳上的拉力T 和墙对球的弹力N 的变化是（）O αA ．T 和N 都不变B ．T 和N 都变大C ．T 增大，N 减小D ．T 减小，N 增大 变式3 如图所示，有两个光滑球，半径均为3cm ，重均为8N ,静止在半径为8cm 的光滑半球形碗底，两球之间的相互作用力的大小为 ______ N ,当碗的半径增大时，两球间的相互作用力变____，球对碗的压力变_________ 。