矢量三角形
高一物理竞赛讲义五——动态平衡的矢量三角形法则
不变， 使线的 B 端沿半径等于 OA 的圆周向 C 移动， 则在移动过程
中 OB 线的拉力的变化情况是 ( )， (A) 先减小后增大
O
C
(B) 先增大后减小
(C) 总是减小
(D) 总是增大
3、如图所示，在《验证力的平行四边形定则》的实验中，使
b 弹簧秤从图示位置开始
顺时针缓慢转动，在这过程中，保持 O 点的位置和 a 弹簧秤的拉伸方向不变，则在整
小于 90O，现保持弹簧秤 A 的示数不变而改变其拉力方向使
角
B
减小，那么要使结点仍在位置 O，就应调整弹簧秤 B 的拉力大
小及 β角，则下列调整方法中可行的是 ( )， (A) 增大 B 的拉力，增大 β角
β O
(B) 增大 B 的拉力， β角不变
A
(C) 增大 B 的拉力，减小 β角
(D)B 的拉力大小不变，增大 β角
OA
拉力 T1 和绳 OB拉力 T2 的变化情况：有向线段②从Ｏ′Ｃ 到
Ｏ′Ｃ1 到Ｏ′Ｃ2……弦长增大到成为一条直径再逐渐减小， 转
过 90°时为Ｏ′ O； 有向线段③一开始处于直径位置， 以后一
直减小，到转过 90°时减为零．故 T1 是先增大后减小； T2 则
一直减小直至零．正确答案为选项 BCD．
分析与解 由于绳 AC以不同方向拉杆，使杆 AB有一系列可能的平
衡状态．我们考察两绳系在直立杆顶端的结点
A，它在绳 AC的拉力
T、重物通过水平绳的拉力 F（ F=G）和杆 AB的支持力作用下平衡． 三
力中，水平绳拉力不变，杆支持力方向不变，总是竖直向上，大小
如何变化待定； 而绳 AC的拉力大小、 方向均不确定． 用代表这三个
力学动态平衡专题含答案
力学动态平衡专题一、矢量三角形法特点：物体受三个力作用，一为恒力，大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力）；一为定力，方向不变，大小变化；一为变力，大小、方向均发生变化。
分析技巧：正确画出物体所受的三个力，先作出恒力F3，通过受力分析确定定力F1的方向，并通过F3作一条直线，与另一变力F2构成一个闭合三角形。
看这个变力F2在动态平衡中的方向变化，画出其变化平行线，形成动态三角形，三角形长短的变化对应力的变化。
1．如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设球对墙面的压力大小为N1，球对木板的压力大小为N2，以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从水平位置开始缓慢地转到图示位置．不计摩擦，在此过程中（）A．N1始终增大，N2始终增大B．N1始终减小，N2始终减小C．N1先增大后减小，N2始终减小D．N1先增大后减小，N2先减小后增大2．如图所示，重物G系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形支架上．若固定A端的位置，将OB绳的B端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖直位置OC的过程中（）A．OA绳上的拉力减小B．OA绳上的拉力先减小后增大C．OB绳上的拉力减小D．OB绳上的拉力先减小后增大3．质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中（）A．F逐渐变大，T逐渐变小B．F逐渐变小，T逐渐变小C．F逐渐变大，T逐渐变大D．F不变，T逐渐变小4．如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点。
现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力F N以及绳对小球的拉力F T的变化情况是（）A．F N不断增大，F T不断减小B．F N保持不变，F T先增大后减小C．F N不断增大，F T先减小后增大D．当细绳与斜面平行时，F T最小二、相似三角形法特点：物体所受的三个力中，一为恒力，大小、方向不变（一般是重力），其它两个力的方向均发生变化。
三角形和差公式的矢量表达
三角形和差公式的矢量表达
三角形和差公式是一个基本的数学公式，用于计算两个向量的和或差。
这个公式在物理学、工程学和许多其他领域中都有广泛的应用。
在矢量表达中，三角形和差公式可以表示为：
向量A + 向量B = 向量C
其中，向量A、向量B和向量C是矢量，表示空间中的方向和大小。
这个公式表明，当两个向量相加时，它们形成一个新的向量，这个新向量的方向和大小可以通过三角形法则计算出来。
除了基本的三角形和差公式外，还有许多其他的矢量运算公式，如向量的数乘、向量的点乘、向量的叉乘等。
这些公式在解决实际问题时非常重要，可以帮助我们更好地理解和应用矢量运算。
矢量三角形的应用
解答静力平衡类问题的重要手段——构建矢量三角形□庄盛文力学知识是物理学的基石，也是进入物理殿堂的门庭，要想学好高中物理，学好力学是关键。
静力平衡类问题又是力学中的重点和难点，处理该类问题有一重要的手段，那就是构建矢量三角形。
一、矢量三角形的建立矢量三角形1：两分力F F 12、的合力为F 3，构成平行四边形，如图1甲，该平行四边形含有两个全等的三角形，每一个三角形都包含了三个矢量的大小和方向，因此，如果我们只取其中的一个三角形，如图1乙，利用三角形知识求力的问题，则很多力学问题就会变的简单的多了。
图1乙中矢量三角形的数学表达式为：F F F 123→+→=→。
矢量三角形2：三个力F F F 123、、使物体处于平衡状态，如图2甲，由力的平衡知识知道，F 1、F 2合力F 3'与力F 3等大、反向，如果把F 3平移到F 3'的位置上，则构成如图2乙的三角形。
图2乙中矢量三角形的数学表达式为F F F 1230→+→+→=。
二、矢量三角形的解题应用1. 构建矢量三角形，直接求力的大小例1. 如图3所示，一个物体受到七个力的作用，其中F F F F F F 123456、、、、、构成一个等六边形，已知F N 75=，则求物体受到的合外力的大小。
图3解析：根据矢量三角形1可以知道力F 1、F 2合力大小等于力F 8，力F 8与力F 3合力大小等于力F 7，即F F F 123、、合力的大小等于力F 7；同理可知F F F 456、、合力的大小等于力F 7，所以物体受到的合外力的大小等于3157F N =。
例2. 一个木块在三个共点力F F F 123、、作用下静止，有如图4所示的四种情况，其中F F 12、是恒力，F 3是变力，则对木块受力分析正确的是（ ）A. 木块在甲图中，受到的合力为0NB. 木块在乙图中，受到的合力为4NC. 木块在丙图中，受到的合力为1ND. 木块在丁图中，受到的合力为1N解析：由矢量三角形1我们可以知道F F 12、的合外力的大小等于F 3，且与F 3同向，所以在甲图中木块受到的合力为243F N =；在乙图中，木块受到的合力为0N ；在丙图中，木块受到的合力为3N ；在丁图中，木块受到的合力为1N 。
用矢量三角形解三力平衡问题
相似应用
O
T L H
X
B
T
A
G
对小球进行受力分析：
左图中出现了几何三角形， 且几何三角形三条边分别跟 小球受到的三个力方向一致。
建立与几何三角形明显相
F
似的矢量三角形，如图
由比例关系知：
G T HL
L 不变， 则 T 不变;
G F X 减小， H X 则 F 减小。
F
矢量三角形与圆的知识结合
如图，一个小物块静止的放 在长木板上，现缓慢增大木 板与水平方向的夹角，假设 物块始终相对木板静止。试 利用矢量三角形判断物块所 受支持力 FN 和摩擦力 f 大小 的变化情况。
对小球进行受力分析：
T
H
L
左图中出现了几何三角形， 且几何三角形三条边分别跟 小球受到的三个力方向一致。
FN
建立与几何三角形明显相 似的矢量三角形，如图
R
T
由比例关系知：
G T L 减小， H L 则 T 减小；
G FN R 不变，
G
FN H R 则 FN 不变。
相似应用
O
A
如图，A球固定于空间一点，B 球用不可伸长的绝缘轻线拴住， 悬挂于A球正上方的O点，两球 因带有同种电荷而互相排斥，斥 力方向沿两球连线方向。随着时 间的推移，两球因电量损失而缓 B 慢靠近，试判断在两球缓慢靠近 的过程中，绳对小球的拉力 T 和 A对B的斥力 F 大小变化情况。
FNf Βιβλιοθήκη NG f对物块进行受力分析： 不难看出：随着挡板倾角的增大， FN 和 f 的方向都会随着变化，不 过，FN 和 f 的夹角始终是90º。
构建矢量三角形，如图
可见，FN 一直减小， f 一直增大。
矢量三角形的应用
5．矢量三角形在牛顿定律中的应用两种矢量三角形三个力的合力为零 F 是F 1和F 2的合力在牛顿定律问题当中，当物体只受两个力时，并且加速度与其中一个力垂直时，应用矢量三角形比较简单。
例题1：在一根绳下串联着两个质量不同的小球，上面小球比下面小球质量大，当手提着绳端沿着水平方向并使两球一起作匀加速直线运动时（空气阻力不计），则下面图中正确的是（ ）答案：A例题2：如图所示，小车向右做匀加速运动的加速度大小为a,bc 是固定在小车上的水平横杆，物块M 穿在杆上，M 通过细线悬吊着小球m ，M 、m 均相对小车静止，细线与竖直方向的夹角为θ。
若小车的加速度逐渐增大到2a 时，M 、m 仍与小球保持相对静止，则（ ） A ．M 受到的摩擦力增加到原来的2倍 B ．细线的拉力增加到原来的2倍 C ．细线与竖直方向的夹角增加到原来的2倍D ．细线与竖直方向的夹角的正切值增加到原来的2倍答案：AD例题3：如图，小车内用两根细线系着质量为m=4kg 的小球，其中细线CD 水平方向，细线AB 与竖直方向的夹角α=370求：（1）小车以加速度a 1=5m/s 2向右加速运动时，两细线的拉力分别是多少？（2）小车以加速度a 2=10m/s 2向右加速时，两细线拉力又是多少？（g =10m/s 2）例题4：如图所示，小球与光滑斜面一起在水平面上运动，小球的质量m=1kg，细线与斜面平行，求：A B C D F 1F 2FF 3F 2F 1A B D C αθmθm c b M a（1）当斜面加速度a 1=5m/s 2时细线的拉力为多少？（2）当斜面加速a 2=20m/s 2时细线的拉力为多少？（3）当细线恰好无拉力时，求斜面的加速度？ 答案：临界加速度g 3例题5：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线、悬挂一为ｍ的小球，圆锥顶角为２θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧斜面，此时绳的拉力是多少？若要小球离开斜面，则小球的角速度至少是多少？答案：θωθ22sin cos L m mg +θcos /L g 例题6：求下列情况下的加速度：例题7：如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量不等的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则( )A ．球A 的角速度一定大于球B 的角速度B ．球A 的线速度一定大于球B 的线速度C ．球A 的运动周期一定小于球B 的运动周期D ．球A 对筒壁的压力一定大于球B 对筒壁的压力解析：选B 对A 、B 两个小球进行受力分析，如图所示，由于弹力垂直于接触面，因此两个弹力的方向相同，且弹力的竖直分量等于重力，在两小球质量大小不明确的情况下两个弹力的大小也无法判断，选项D 错误；弹力的水平分力提供向心力且和小球的质量成正比，也就是说两小球的向心加速度相等，根据a ＝ω2R ，由于A 球的轨道半径大于B 球的轨道半径，因此A 球的角速度小于B 球的角速度，选项A 错误；根据a ＝v 2R由于A 球的轨道半径大于B 球的轨道半径，可知A 球线速度大于B 球的线速度，选项B 正确；根据a ＝4π2T 2R ，由于A 球的轨道半径大于B 球的轨道半径，因此A 的运动周期大于B 球的运动周期，选项C 错误． m θ2θA。
三角形矢量运算公式
三角形矢量运算公式三角形是几何学中常见的图形，矢量是物理学中重要的概念。
在计算与分析三角形时，可以使用矢量运算公式来简化问题。
本文将介绍三角形的矢量运算公式，并给出相关的应用示例。
一、三角形的基本概念与表示三角形是由三条边和三个内角组成的平面图形。
在矢量表示中，可以使用三个位置矢量来表示三角形的三个顶点。
假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，则可以使用矢量OA、OB、OC来表示。
二、矢量的基本运算在了解三角形的矢量运算公式之前，我们首先需要了解矢量的基本运算。
矢量的基本运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
1. 矢量加法矢量加法是指将两个矢量按照顺序相加，得到一个新的矢量。
例如，矢量OA加上矢量AB，可以得到矢量OB。
矢量加法满足交换律和结合律。
2. 矢量减法矢量减法是指将一个矢量减去另一个矢量，得到一个新的矢量。
例如，矢量OA减去矢量OB，可以得到矢量AB。
矢量减法可以看作是矢量加法的逆运算。
3. 数量乘法数量乘法是指将一个矢量乘以一个标量，得到一个新的矢量。
标量可以是实数或复数。
数量乘法改变了矢量的大小，但不改变其方向。
4. 点乘法点乘法是指将两个矢量的对应分量相乘，并将结果相加。
点乘法得到的是一个标量，表示两个矢量之间的夹角的余弦值。
点乘法还可以用来计算矢量的模长和矢量之间的投影关系。
三、三角形的矢量运算公式1. 三角形的边长公式三角形的边长可以通过矢量表示来计算。
假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的位置矢量分别为OA、OB、OC。
则三角形的边长可以通过以下公式计算：AB = ||OB - OA||BC = ||OC - OB||CA = ||OA - OC||其中，||.||表示求矢量的模长。
2. 三角形的面积公式三角形的面积可以通过矢量表示来计算。
假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的位置矢量分别为OA、OB、OC。
则三角形的面积可以通过以下公式计算：S = 1/2 * ||(OB - OA) × (OC - OA)||其中，×表示矢量的叉乘运算，1/2表示求结果的一半。
高中矢量三角形
高中矢量三角形矢量三角形是指以矢量为边所构成的三角形。
在高中数学中，矢量三角形是一个重要的概念，它涉及到向量的加法、减法、数量积、向量积等多个知识点。
本文将从以下几个方面详细介绍高中矢量三角形的相关知识。
一、矢量三角形的定义矢量三角形是由三个非共线向量所构成的三角形。
其中，非共线指的是这三个向量不在同一条直线上。
二、矢量三角形的性质1. 矢量三角形任意两边之和等于第三边。
即若$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$，则$\triangle ABC$为矢量三角形。
2. 矢量平移不改变其性质。
即若$\triangle ABC$为矢量三角形，则$\triangle A'B'C'$也是一个矢量三角形，其中$\vec{A'B'}=\vec{a}$，$\vec{B'C'}=\vec{b}$，$\vec{C'A'}=\vec{c}$。
3. 矩形四边形的对角线互相平分。
即若$\triangle ABC$为矩形，则对于任意一点$M$，有$\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MC}=\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MD}$。
三、矢量三角形的运算1. 向量加法设$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$为三个向量，则有$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$（交换律）、$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$（结合律）。
2. 向量数量积设$\theta$为两个向量之间的夹角，则有$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot |\vec b|\cos \theta$。
3. 向量积设$\theta$为两个向量之间的夹角，则有$|\vec a\times \vecb|=|\vec a|\cdot |\vec b|\sin \theta$。
矢量三角形法则
矢量三角形法则矢量三角形法则是矢量运算中的一个重要原理，它描述了矢量之间的关系和运算规律。
矢量三角形法则是矢量代数的基础，它在物理学、工程学、数学等领域都有着广泛的应用。
矢量是具有大小和方向的量，它可以用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
矢量之间的运算包括加法、减法、数量乘法等，而矢量三角形法则就是描述了矢量加法的规律。
矢量加法的规律可以用三角形法则来表示。
假设有两个矢量a 和b，它们的起点都在原点O处，终点分别为A和B。
那么a+b的矢量和就是从O到C的矢量，其中C是由A和B的终点构成的三角形的第三个顶点。
这个三角形就是矢量三角形，而矢量三角形法则就是描述了矢量和的大小和方向。
根据矢量三角形法则，矢量和的大小等于矢量a和b的大小的几何和，即|a+b| = |a| + |b|。
而矢量和的方向则是由矢量a和b 的方向决定的，具体来说，矢量和的方向是由矢量a和b的夹角决定的，如果夹角为锐角，那么矢量和的方向与矢量a和b的方向相同；如果夹角为钝角，那么矢量和的方向与矢量a和b的方向相反。
矢量三角形法则还可以推广到多个矢量的情况。
如果有多个矢量a1, a2, ..., an，它们的起点都在原点O处，终点分别为A1,A2, ..., An，那么这些矢量的和就是从O到P的矢量，其中P是由A1, A2, ..., An构成的多边形的重心。
这个多边形就是矢量多边形，而矢量多边形法则就是描述了多个矢量和的大小和方向。
根据矢量多边形法则，多个矢量的和的大小等于这些矢量的大小的几何和，即|a1+a2+...+an| = |a1| + |a2| + ... + |an|。
而多个矢量的和的方向则是由这些矢量的方向决定的，具体来说，多个矢量的和的方向是由这些矢量的夹角决定的，如果夹角为锐角，那么矢量和的方向与这些矢量的方向相同；如果夹角为钝角，那么矢量和的方向与这些矢量的方向相反。
矢量三角形法则和矢量多边形法则是矢量运算中的基本原理，它们描述了矢量之间的关系和运算规律，为矢量运算提供了重要的理论基础。
矢量三角形法在力学问题中的妙用
05
结论与展望
结论
矢量三角形法在力学问题中具 有广泛的应用，能够简化复杂
的问题，提高解题效率。
通过矢量三角形法，可以直 观地理解力的合成与分解， 以及速度和加速度的变化。
矢量三角形法在解决动力学、 静力学和运动学问题中表现出 色，为解决实际问题提供了有
力工具。
展望
随着物理学和工程学的发展，矢量三 角形法将在更多领域得到应用，如流 体力学、电磁学和量子力学等。
详细描述
通过构建矢量三角形，可以将动量和冲量的问题转化为简单的几何问题，从而快速找到动量和冲量的方向和大小。 这种方法能够避免复杂的代数运算，简化解题过程。
弹性力学问题实例
总结词
矢量三角形法在解决弹性力学问题时具 有直观性和通用性，可以广泛应用于各 种弹性力学问题。
VS
详细描述
通过构建矢量三角形，可以清晰地表示出 弹性力的大小和方向，从而快速判断出物 体的变形情况。这种方法能够避免复杂的 受力分析，简化解题过程。
未来需要进一步研究矢量三角形法的 理论基础和实际应用，以更好地解决 复杂问题，促进科学技术的发展。
随着计算技术和可视化技术的发展， 矢量三角形法将更加直观和易于理解， 有助于推动物理学和工程学的发展。
THANKS
矢量三角形法的基本原理
矢量三角形法基于平行四边形法则和三角形法则，通过构建矢量三角形来描述力和 运动的合成与分解。
在力的合成与分解中，根据平行四边形法则，两个力可以合成一个合力或一个力可 以分解为两个分力，其效果是等效的。
在速度和加速度的合成与分解中，根据三角形法则，一个运动可以分解为多个分运 动或多个运动可以合成一个总运动，其效果也是等效的。
适用范围广
矢量三角形法适用于多种 类型的力学问题，如静力 学、动力学、弹性力学等。
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3
F3
F2
F1
F2
用矢量三角形解动态平衡问题
矢量三角形的建立
矢量三角形1
B
F2
C
F
F1
C
o
A
F
B
F2
o
F1
A
F2
F1
F
C
o
图1
在 图1甲中， 是共点力 和 的合力，构成平行四边 形，该平行四边形含有两个全等的三角形，每一 个三角形都包含了三个矢量的大小和方向，因此， 如果我们只取其中的一个三角形，如图1乙所示， 从 点出发，把代表 和 的线段 、 首尾相接地画出 来，连接 和 ，从 指向 的矢量就表示合力 的大小 和方向。上述作图法叫做力的三角形定则，其合 矢量与分矢量的关系是：两个分矢量首尾相接， 分矢量与合矢量首首相接，尾尾相接，作三角形 ， 如图1丙所示，同样可以求出 和 的合力 。图1乙、 丙中矢量三角形的数学表达式为: 。
第1章 力 物体的平衡 1.4 共点力作用下物体的平衡 1.4.2 矢量三角形
矢量
矢量三角形
物体受三个共点力作用而平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一 个闭合的三角形，这就是矢量三角形！
在运用法时，常常用到一些数学知识：三角函数法、三角形定则、正弦定 理以及相似三角形法。在分析矢量的动态变化时，常采用此法。尤其在合 矢量不变，一个矢量的方向不变，分析另一个分矢量的大小和方向变化时， 更适合用法！其实，此法是由平行四边形定则变化而来的，但比平行四边 形法应用更广泛。因为，平行四边形法无法应用在共线力的合成。还有一 点很重要：矢量可以平移，但前提是不能改变它的方向以及箭头的指向！