中考数学复习图形三大变换

中考数学复习（二）图形的位置变换图形的平移例1、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2, 0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）．A．（4，B．（3，C．（4，D．（3，例2如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 6)，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线34 y x =-上，则点B与其对应点B′间的距离为______．例3已知直线y＝2x＋(3－a)与x轴的交点在A(2,0)，B(3,0)之间（包括A、B两点）则a的取值范围是_____________．例4两个三角板ABC，DEF按如图Z7－1所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝6 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE 方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时，x＝________cm；(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N，直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．图Z7－1例5如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A 、B 、C 分别与D 、E 、F 对应，若以点A 、D 、E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是__________．图形的翻折例1、如图Z7－2①，将矩形ABCD 沿DE 折叠使顶点A 落在点A′处，然后将矩形展平，沿EF 折叠使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处，再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处，如图②.(1)求证EG ＝CH ；(2)已知AF ＝2，求AD 和AB 的长．图Z7－2例2、如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，AC ＝2，点D 在BC 上，将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 落在点E 处，边AE 交边BC 于点F ，如果DE//AB ，那么的值是______．例3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，cosC ＝，BD 是中线，将△CBD 沿直线BD 翻折，点C 落在点E ，那么AE 的长为_______．例4、如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，tan ∠B ＝，将△ABC 翻折，使点C 与点A 重合，折痕DE 交边BC 于点D ，交边AC 于点E ，那么的值为_________．例5、Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，DE ⊥AB ，垂足为E ，将△ADE 沿直线DE 翻折，翻折后点A 的对应点为点P ，当∠CPD 为直角时，AD 的长是___________．CFBF1413BDDC例6、如图1，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和边BC分别交于点E、F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图2，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”的面积最大时，点E的坐标是___________．图1 图2例7、如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的点E处，EQ与BC相交于F，若AD＝8cm，AB＝6cm，AE＝4cm．则△EBF的周长是cm．例8、如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝_________．例9、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF折叠，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是________．图形的旋转【经典母题】已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．图Z15－1【中考变形】例1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数是图Z15－2图Z15－3例2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝()A．1∶ 2 B．1∶2C.3∶2 D．1∶ 3例3．如，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连结DC，DB.(1)线段DC＝__；(2)求线段DB的长度．图Z15－4例4．如图Z15－5①，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连结BD，CD.(1)判断BD与AC的位置关系和数量关系，并给出证明；(2)如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？(3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．图Z15－5例5．阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题：如图Z15－6①，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图②，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连结PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图①中∠APB＝____；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(2)如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝22，PB＝1，PD＝17，求∠APB的度数和正方形的边长．图Z15－6例6、(1)如图Z15－7①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高线AG与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；(2)如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连结NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由；(3)在图①中，若EG＝4，GF＝6，求正方形ABCD的边长．图Z15－7例7、如图Z7－3①，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连结BD.(1)求证：BD＝AC；(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连结AE.(ⅰ)如图②，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC＝4，tanC＝3，求AE的长；(ⅱ)如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连结GH，试探究线段GH与EF 之间满足的等量关系，并说明理由．图Z7－3例8、如图，已知AD是等腰三角形ABC底边BC上的高，AD∶DC＝1∶3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，那么S△AOF∶S△DOC＝__________．例9、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，联结BM，那么BM的长是___________．例10、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，那么BE∶CE＝___________．例11、如图，点D在边长为6的等边三角形ABC的边AC上，且AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°，若此时点A和点D的对应点分别记为点E和点F，联结BF交边AC于点G，那么tan∠AEG＝__________．例12、如图，底角为α的等腰三角形ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与BC边上的点D重合，点C与点E重合，联结AD、CE，已知tanα＝34，AB＝5，则CE＝_________．12题图13题图例13如图，将等边三角形CBA绕点C顺时针旋转∠α得到三角形CB′A′，使得B、C、A′三点在同一条直线上，则∠α的大小是_________．专题训练（一）1．如图Z7－4，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是() A．55°B．60°C．65°D．70°图Z7－4图Z7－52．如图Z7－5，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(1，1)．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是()A．向左平移1个单位，在向下平移1个单位B．向左平移(2－1)个单位，再向上平移1个单位C．向右平移(2－1)个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位3．如图Z7－6，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为()A．115°B．120°C．130°D．140°图Z7－6图Z7－74．如图Z7－7，一张三角形纸片ABC，其中∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处，将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处，再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A．c>a>b B．b>a>c C．c>b>a D．b>c>a5．如图Z7－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连结PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是()A．4 B．3 C．2 D．1图Z7－8图Z7－96．如图Z7－9，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB，BC上(含端点)，且AB＝6，BC＝10.设AE＝x，则x的取值范围是________．7．如图Z7－10，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°.若BD＝2CE，则DE的长为________．Z7－108．如图Z7－11，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C1的距离是________．图Z7－11图Z7－129．如图Z7－12，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕点C逆时针旋转60°得到△FEC，延长BD交EF于H，已知∠ABC ＝30°，∠BAC＝90°，AC＝1，则四边形CDHF的面积为________．10．一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12 cm(如图Z7－13①)，点G为边BC(EF)的中点，边FD与AB相交于点H，现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转(如图Z7－13②)，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，观察点H的位置变化，点H相应移动的路径长共为________．(结果保留根号)图Z7－1311．如图Z7－14①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(－1，0)，点B(0，3)．(1)求∠BAO的度数．(2)如图①，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当点A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？(3)若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图Z7－14②所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．图Z7－1412．△OPA和△OQB分别是以OP，OQ为直角边的等腰直角三角形，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．(1)当∠AOB＝90°时，如图Z7－15①，连结PE，QE，直接写出EP与EQ的大小关系；(2)将△OQB 绕点O 逆时针方向旋转，当∠AOB 是锐角时，如图Z7－15②，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．(3)仍将△OQB 绕点O 旋转，当∠AOB 为钝角时，延长PC ，QD 交于点G ，使△ABG 为等边三角形，如图Z7－15③，求∠AOB 的度数．图Z7－15专题训练（二）1、在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a )，B(a ，O)(a >0).（1）结合坐标系用坐标填空．点C 与C′关于点对称; 点C 与C″关于点对称; 点C 与D 关于点对称 （2）设点C 关于点(4，2)的对称点是点P ，若△PAB 的面积等于5，求a 值．图1图22、如图1，四边形ABCD 是边长为23的正方形，长方形AEFG 的宽AE 72=,长EF =AEFG 绕点A 顺时针旋转15°得到长方形AMNH (如图2)，这时BD 与MN 相交于点O ．（1）求DOM ∠的度数；（2）在图2中，求D 、N 两点间的距离；（3）若把长方形AMNH 绕点A 再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B 在矩形ARTZ 的内部、外部、还是边上？并说明理由．3、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90º，小敏将一块三角板中含45º角的顶点放在点A 处，从AB 边开始绕点A 顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠MAB，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；(2)当0º＜α≤45º时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)；小亮的方法：将△ABD 绕点A逆时针旋转90º得到△ACG，连接EG(如图3)．请你从中任选一种方法进行证明；(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45º＜α≤135º且α≠90º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立．现请你继续探究：当135º＜α＜180º时(如图4)，等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由．4、矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．（1）当A′与B重合时（如图1），EF=；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．5、如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；(3) 如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠ABO ，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．6、如图，点O 为坐标原点，直线l 绕着点A （0,2）旋转，与经过点C （0,1）的二次函数21y x h 4=+交于不同的两点P 、Q. （1）求h 的值；（2）通过操作、观察算出△POQ 面积的最小值（不必说理）；（3）过点P 、C 作直线，与x 轴交于点B ，试问：在直线l 的旋转过程中四边形AOBQ 是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.7、已知：点C 、A 、D 在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD 、CE 交于点M ．（1）如图1，若AB=AC ，AD=AE ①问线段BD 与CE 有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC 的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC=（用α表示）；（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M.则∠BMC=（用α表示）．8、（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．9、已知△ABC是等边三角形．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；②当△ABC 旋转到如图b 所在位置时，求∠BOE 的度数；（2）如图c ，在AB 和AC 上分别截取点B′和C′，使，，连接B′C′，将△AB′C′绕点A 逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE ，BD 和EC 所在直线相交于点O ，请利用图c 探索∠BOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．10、已知，在△ABC 中，AB=AC 。