中考数学 图形的变化
2023年九年级中考数学易错题之图形的变化(含答案解析)
2023年九年级中考数学易错题之图形的变化（含答案解析）一．选择题（共10小题）1．（2022•徐州二模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1＝∠2＝44°，∠B为（）A．136°B．144°C．108°D．114°2．（2022•徐州二模）已知△ABC的一边BC＝5，另两边长分别是3，4，若P是△ABC边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．4B．3C．2D．1 3．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5）B．（﹣5，3），（5，﹣3）C．（﹣5，3），（3，﹣5）D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）4．（2022•邳州市一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，S△ACDS△ABC =13，则OAOC的值为（）A．13B．14C．23D．255．（2022•睢宁县模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝8，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（）A．35√10B．65√10C．2√10D．46．（2022•邳州市一模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（2021•徐州模拟）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝12cm，EF＝16cm，则边AD的长是（）A．12cm B．16cm C．20cm D．28cm 8．（2021•徐州模拟）如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（）A．817B．717C．4√213D．7√2269．（2022•睢宁县模拟）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．10．（2022•鼓楼区校级三模）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）11．（2022•徐州二模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为．12．（2022•贾汪区二模）如图，四边形纸片ABCD中，∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9，CD＝8，点E在BC上，且AE⊥BC．将四边形纸片ABCD沿AE 折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，C'D'与AB交于点F，则BF长为．13．（2022•泉山区校级三模）点P（﹣1，2022）关于x轴对称的点的坐标为．14．（2022•睢宁县模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B的值是．15．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，BP的最小值CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，AP+12为．16．（2021•徐州模拟）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为km．17．（2022•徐州一模）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是海里．三．解答题（共11小题）18．（2022•泉山区校级三模）某校开展艺术节，小明利用无人机对会场进行高空拍摄．如图，小明站在A处，操控无人机悬停在前上方高度为60m的B处，测得其仰角为60°；继续操控无人机沿水平方向向前飞行7s悬停在C处，测得其仰角为22°．求无人机的飞行速度．（结果精确到1m/s．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√3≈1.73）19．（2022•鼓楼区校级二模）如图，将长方形ABCD纸片沿MN折强，使A、C 两点重合．点D落在点E处，MN与AC交于点O．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）若BM＝4，∠BAM＝30°．求MN的长．20．（2022•鼓楼区校级二模）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A、D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN（结果精确到1米）．参考数据：tan33°≈0.65，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84．21．（2022•丰县二模）如图①，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在BC 上，CD＝4，过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE（点E不与点A、C重合）．（1）当点C'落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC'∥AB；（2）设△ABC'的面积为S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由；（3）当B，C'，E三点共线时，EC的长为.22．（2022•贾汪区二模）如图，在某单位拐角处的一段道路上，有施工队正在修路并在点M处放置了施工提示牌，小李骑电动自行车从点P出发，沿着路线PQ以2m/s的速度匀速行驶，其视线被办公楼遮挡．已知PB＝500m，∠QPB ＝20°，∠NBP＝25°，行驶3分钟后，小李能否发现点M处的施工提示牌？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）23．（2022•徐州二模）如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18m，它的坡角为45°．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为1：√3的斜坡AD，在CB方向距点B处9m处有一座房屋．（参考数据√6≈2.45；√2≈1.414）（1）求∠DAB的度数；（2）在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？24．（2022•睢宁县模拟）如图为某中学的学校门口“测温箱”截面示意图，身高1.77米的小聪在地面上的线段MN之间时能显示出额头温度．当他在地面M处时，额头在B处测得A的仰角为45°；当他在地面N处时，额头在C处测得A的仰角为60°．如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.5米，求B、C两点的距离．（结果保留一位小数）（参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41）25．（2022•邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝°；（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．26．（2022•鼓楼区校级二模）如图1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，4），∠MAN＝90°，AM＝AN．三角板AMN 绕点A逆时针旋转，AM、AN与x轴分别交于点D、E，∠AOE、∠AOD的角平分线OG、OH分别交AN、AM于点B、C．点P为BC的中点．（1）求证：AB＝AC；（2）如图2，若点D的坐标为（﹣3，0），求线段BC的长度；（3）在旋转过程中，若点D的坐标从（﹣8，0）变化到（﹣2，0），则点P 的运动路径长为（直接写出结果）．27．（2022•徐州二模）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （1，3），B（3，1），C（5，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O为位似中心，把△ABC按相似比2：1放大，得到对应的△A′B′C′．（1）请在第一象限内画出△A′B′C′；（2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D的坐标．28．（2022•睢宁县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB 上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2022•徐州二模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1＝∠2＝44°，∠B为（）A．136°B．144°C．108°D．114°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∠1＝22°，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC=12∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°．故选：D．2．（2022•徐州二模）已知△ABC的一边BC＝5，另两边长分别是3，4，若P是△ABC边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵△ABC的一边BC＝5，另两边长分别是3，4，∴32+42＝52，∴∠BAC＝90°，由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：B．3．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5）B．（﹣5，3），（5，﹣3）C．（﹣5，3），（3，﹣5）D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）【解答】解：∵正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，且A点的坐标为（3，5），∴C点的坐标为（﹣3，﹣5），B点的坐标为（﹣5，3），故选：D．4．（2022•邳州市一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，S△ACDS△ABC =13，则OAOC的值为（）A．13B．14C．23D．25【解答】解：∵AD∥BC，∴设AD与BC之间的距离为h，∴S△ACDS△ABC =12⋅AD⋅ℎ12⋅BC⋅ℎ=ADBC=13，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，∴△ADO∽△CBO，∴AOCO =ADBC=13，故选：A．5．（2022•睢宁县模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝8，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（）A．35√10B．65√10C．2√10D．4【解答】解：过点D作DH⊥AF于点H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∵tan∠ACB=ADCD=3，设CD＝x，∴AD＝3x，∴BC＝3x+x＝8，∴x＝2，∴CD＝2，AD＝6，∴AC=√CD2+AD2=√22+62=2√10，∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，∴DC＝DE，DA＝DF＝6，∠CDE＝∠ADF，∴∠DCE＝∠DAF，∴tan∠DAH＝3，设AH＝a，DH＝3a，∵AH2+DH2＝AD2，∴a2+（3a）2＝62，∴a=3√10，5，∴AH=3√105∴AF＝2AH=6√10．5故选：B．6．（2022•邳州市一模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．7．（2021•徐州模拟）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝12cm，EF＝16cm，则边AD的长是（ ）A ．12cmB ．16cmC ．20cmD ．28cm【解答】解：∵∠HEM ＝∠AEH ，∠BEF ＝∠FEM ，∴∠HEF ＝∠HEM +∠FEM =12×180°＝90°，同理可得：∠EHG ＝∠HGF ＝∠EFG ＝90°，∴四边形EFGH 为矩形，∴GH ∥EF ，GH ＝EF ，∴∠GHN ＝∠EFM ，在△GHN 和△EFM 中，{∠GNH =∠EMF ∠NHG =∠MFE HG =EF，∴△GHN ≌△EFM （AAS ），∴HN ＝MF ＝HD ，∴AD ＝AH +HD ＝HM +MF ＝HF ，在Rt △EHF 中，HF =√EH 2+EF 2=√122+162=20，∴AD ＝20厘米．故选：C ．8．（2021•徐州模拟）如图，已知A ，B 两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C ，F 分别是直线x ＝﹣5和x 轴上的动点，CF ＝10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取得最小值时，sin ∠BAD 的值是（ ）A ．817B ．717C ．4√213D ．7√226【解答】解：如图，设直线x ＝﹣5交x 轴于K ．由题意KD =12CF ＝5，∴点D 的运动轨迹是以K 为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD 与⊙K 相切时，△ABE 的面积最小，∵AD 是切线，点D 是切点，∴AD ⊥KD ，∵AK ＝13，DK ＝5，∴AD ＝12，∵tan ∠EAO =OE OA =DK AD ， ∴OE 8=512，∴OE =103，∴AE =√OE 2+OA 2=263，作EH ⊥AB 于H ． ∵S △ABE =12•AB •EH ＝S △AOB ﹣S △AOE ，∴EH =7√23， ∴sin ∠BAD =EH AE =7√23263=7√226． 故选：D ．9．（2022•睢宁县模拟）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上边看大正方形的左下角一个小正方形，故选：D．10．（2022•鼓楼区校级三模）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：．故选：A．二．填空题（共7小题）11．（2022•徐州二模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为3．【解答】解：如图，作点D 关于AB 的对称点G ，作点D 关于AC 的对称点H ，连接GH ，GA ，GE ，GB ，HA ，HF ，HC ，过点A 作AI ⊥BC 于I ，过点A 作AJ ⊥GH 于J ．∴GE ＝DE ，HF ＝DF ，AG ＝AD ，AH ＝AD ，∠GAB ＝∠DAB ，∠HAC ＝∠DAC ， ∴AG ＝AH ，C △DEF ＝DE +DF +EF ＝GE +HF +EF ，∴∠GAJ ＝∠HAJ =12∠GAH ，△DEF 周长的最小值是GH ．∵三角形ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°∴∠DAB +∠DAC ＝60°，∴∠GAB +∠HAC ＝60°，∴∠GAH ＝∠GAB +∠DAB +∠DAC +∠HAC ＝120°，∴∠GAJ ＝∠HAJ ＝60°，∴GJ ＝AG ×sin ∠GAJ =√32AG =√32AD ，J ＝AH ×sin ∠HAJ =√32AH =√32AD ， ∴GH ＝GJ +HJ =√3AD ，∴当AD 取得最小值时，GH 取得最小值，即△DEF 周长取得最小值． ∴当AD ⊥BC 时，即点D 与点Ⅰ重合时，ADEF 周长取得最小值为√3AI ， ∵AB ＝2，∴AI ＝AB ×sin ∠ABC =√3，∴√3AI ＝3．∴△DEF 周长的最小值是3．故答案为：3．12．（2022•贾汪区二模）如图，四边形纸片ABCD中，∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9，CD＝8，点E在BC上，且AE⊥BC．将四边形纸片ABCD沿AE 折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，C'D'与AB交于点F，则BF长为5．【解答】解：∵∠C＝∠D＝90°，AE⊥BC，∴四边形ADCE为矩形，∴AD＝CE＝3，CD＝AE＝8，由翻折可得CE＝C'E＝3，AD＝AD'＝3，∵BC＝9，∴BE＝BC﹣CE＝6，BC'＝BC﹣CE﹣C'E＝3，∴AB=√AE2+BE2=10，∵∠D'＝∠BC'F＝90°，∠D'F A＝∠BFC'，AD'＝BC'＝3，∴△AFD'≌△BFC'（AAS），AB＝5．∴BF＝AF=12故答案为：5．13．（2022•泉山区校级三模）点P（﹣1，2022）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2022）．【解答】解：点P（﹣1，2022）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2022），故答案为：（﹣1，﹣2022）．14．（2022•睢宁县模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B的值是35．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=√32+42=5，∴sin B=ACAB =35，故答案为：35．15．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，AP+12BP的最小值为√37．【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CDCP =CPCB=12，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴PDBP =12，∴PD=12BP，∴AP+12BP＝AP+PD．要使AP+12BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD最小，即：AP+12BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD=√AD2+CD2=√37，AP+12BP的最小值为√37．16．（2021•徐州模拟）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（30+10√3）km．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30√2km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30√2km，∴AE ＝BE =√22AB ＝30（km ）， 在Rt △CBE 中，∵∠ACB ＝60°，tan ∠ACB =BE CE ，∴CE =BE tan60°=√3=10√3（km ），∴AC ＝AE +CE ＝30+10√3（km ），∴A ，C 两港之间的距离为（30+10√3）km ，故答案为：（30+10√3）．17．（2022•徐州一模）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是 （30+30√3） 海里．【解答】解：过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD ＝30°，∠BCD ＝45°，AC ＝60海里．在Rt △ACD 中，AD =12AC ＝30海里，cos ∠ACD =CD AC ，∴CD ＝AC •cos ∠ACD ＝60×√32=30√3（海里）．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30√3海里，∴AB＝AD+BD＝（30+30√3）海里．答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+30√3）海里．故答案为：（30+30√3）．三．解答题（共11小题）18．（2022•泉山区校级三模）某校开展艺术节，小明利用无人机对会场进行高空拍摄．如图，小明站在A处，操控无人机悬停在前上方高度为60m的B处，测得其仰角为60°；继续操控无人机沿水平方向向前飞行7s悬停在C处，测得其仰角为22°．求无人机的飞行速度．（结果精确到1m/s．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√3≈1.73）【解答】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，由题意得：BC＝EF，BE＝CF＝60米，在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，∴AE=BEtan60°=√3=20√3≈34.6（米），在Rt△ACF中，∠CAF＝22°，∴AF=CFtan22°≈600.4=150（米），∴BC＝EF＝AF﹣AE＝150﹣34.6＝115.4（米），∴115.4÷7≈16（米/秒），∴无人机的飞行速度约为16米/秒．19．（2022•鼓楼区校级二模）如图，将长方形ABCD纸片沿MN折强，使A、C 两点重合．点D落在点E处，MN与AC交于点O．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）若BM＝4，∠BAM＝30°．求MN的长．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD纸片折叠，使点C与点A重合，∴∠AMN＝∠CMN，∵AD∥BC，∴∠CMN＝∠ANM，∴∠ANM＝∠AMN，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；（2）解：在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，BM＝4，∴AM＝2BM＝8，∠AMB＝60°，∴∠AMN＝（180°﹣∠AMB）÷2＝60°，由（2）知：△AMN是等腰三角形，∴△AMN是等边三角形，∴MN＝AM＝8．20．（2022•鼓楼区校级二模）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A、D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN（结果精确到1米）．参考数据：tan33°≈0.65，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84．【解答】解：延长BC交MN于点F，则DE＝AB＝FN＝1.6米，BE＝AD＝3.5米，∠MFB＝90°，设MF＝x米，在Rt△MFE中，∠MEF＝45°，∴EF=MFtan45°=x（米），∴BF＝BE+EF＝（x+3.5）米，在Rt△BFM中，∠MBF＝33°，∴tan33°=MFBF =xx+3.5≈0.65，解得：x＝6.5，经检验：x＝6.5是原方程的根，∴MF＝6.5米，∴MN＝MF+FN＝6.5+1.6≈8（米），∴电池板离地面的高度MN约为8米．21．（2022•丰县二模）如图①，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在BC 上，CD＝4，过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE（点E不与点A、C重合）．（1）当点C'落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC'∥AB；（2）设△ABC'的面积为S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由；（3）当B，C'，E三点共线时，EC的长为2√13−2.【解答】（1）证明：补全图形，如图②所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE，∴∠DC′C＝∠C＝60°，∴∠DC′C＝∠A＝60°，∴DC'∥AB；（2）解：S存在最小值，如图③，过点D作DF⊥AB于F，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝12，又∵CD ＝4，∴BD ＝8，由折叠可知，DC ′＝DC ＝4，∴点C ′在以D 为圆心，4为半径的圆上，∴当点C ′在DF 上时，点C ′到AB 的距离最小，S △ABC 最小，∵Rt △BDF 中，DF ＝DB •sin ∠ABD ＝8•sin60°＝8×√32=4√3，∴S 最小=12×12×（4√3−4）＝24√3−24；（3）解：EC ＝2√13−2，理由如下：如图④，连接BC ′，过点D 作DG ⊥C ′E 于点G ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，则∠DGC ′＝∠EHC ＝90°，设CE ＝x ，由翻折得：DC ′＝DC ＝4，C ′E ＝CE ＝x ，∠DC ′E ＝∠DCE ＝60°，C ′G ＝DC ′•cos ∠DC ′E ＝4cos60°＝2，DG ＝DC ′•sin ∠DC ′E ＝4sin60°＝2√3，CH ＝CE •cos ∠DCE ＝x •cos60°=12x ，EH ＝CE •sin ∠DCE ＝x •sin60°=√32x ， ∴BH ＝BC ﹣CH ＝12−12x ，∵B，C'，E三点共线，∴∠DBG＝∠EBH，BG＝BE﹣C′E+C′G＝BE﹣x+2，∴△BDG∽△BEH，∴BDBE =BGBH=DGEH，即：8BE =BE−x+212−12x=√3√32x∴BE＝2x，∴82x =2x−x+212−12x，∵x＞0，∴x＝2√13−2，∴EC的长为2√13−2，故答案为：2√13−2．22．（2022•贾汪区二模）如图，在某单位拐角处的一段道路上，有施工队正在修路并在点M处放置了施工提示牌，小李骑电动自行车从点P出发，沿着路线PQ以2m/s的速度匀速行驶，其视线被办公楼遮挡．已知PB＝500m，∠QPB ＝20°，∠NBP＝25°，行驶3分钟后，小李能否发现点M处的施工提示牌？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）【解答】解：如图，过点B作BA⊥PQ于点A，∵PB＝500m，∠QPB＝20°，∠NBP＝25°，∴∠BNA＝∠QPB+∠NBP＝45°，∴AN＝AB，在Rt△P AB中，AB＝PB•sin∠QPB＝500×sin20°≈500x0.34＝170m，AP＝PB•cos∠QPB≈500×0.94＝470m，∴PN＝AP﹣AN＝470﹣170＝300m，∵300÷2＝150秒＝2.5分钟＜3分钟，∴行驶3分钟后，小李能发现点M处的施工提示牌．23．（2022•徐州二模）如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18m，它的坡角为45°．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为1：√3的斜坡AD，在CB方向距点B处9m处有一座房屋．（参考数据√6≈2.45；√2≈1.414）（1）求∠DAB的度数；（2）在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？【解答】解：（1）∵坡度为1：√3的斜坡AD，∴tan∠ADC=ACDC =√3=√33，∴∠ADC＝30°，∴∠DAC＝60°，∵AB的坡角为45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵AB＝18m，∠BAC＝∠ABC＝45°，∴BC＝AC=√22×18＝9√2（m），∴tan30°=ACDC =9√2DC=√33，解得：DC＝9√6，故DB＝DC﹣BC＝9√6−9√2≈9.324（米），∵9.324＞9，∴在背水坡改造的施工过程中，此处房屋需要拆除．24．（2022•睢宁县模拟）如图为某中学的学校门口“测温箱”截面示意图，身高1.77米的小聪在地面上的线段MN之间时能显示出额头温度．当他在地面M处时，额头在B处测得A的仰角为45°；当他在地面N处时，额头在C处测得A的仰角为60°．如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.5米，求B、C两点的距离．（结果保留一位小数）（参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41）【解答】解：延长BC交AD于点E，则DE＝NC＝1.77米，∠AEC＝90°，∵AD＝3.5米，∴AE＝AD﹣DE＝3.5﹣1.77＝1.73（米），在Rt△ABE中，∠ABE＝45°，∴BE=AEtan45°=1.731=1.73（米），在Rt△AEC中，∠ACE＝60°，∴EC=AEtan60°=√3≈1（米），∴BC＝BE﹣EC＝1.73﹣1≈0.7（米），∴B、C两点的距离约为0.7米．25．（2022•邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝60°；（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．【解答】（1）解：如图1中，∵OM ⊥ON ，∴∠EOF ＝90°，∵AE ＝AF ，∴OA ＝AE ＝AF ，∵ED ∥ON ，∴∠AGE ＝∠AOF ，在△AGE 和△AOF 中，{∠AGE =∠AOF∠EAG =∠FAO AE =AF，∴△AGE ≌△AOF （AAS ），∴AG ＝OA ，∴EF ＝OF ，∵DE ＝DF ，OG ＝EF ，∴DE ＝DF ＝EF ，∴△DEF 是等边三角形，∴∠EDF＝60°．故答案为：60；（2）解：图形如图2所示．理由：∵∠EOF＝90°，AE＝AF，∴OA＝AF＝AE，∴∠AOF＝∠AFO，∴DE∥OF，∴∠AFO＝∠DEF，∵DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE，∴∠AOF＝∠AFO＝∠DEF＝∠DFE，∴△DEF∽△AOF；（3）解：如图2﹣1中，当点G在DF上时，设DF＝DE＝x，AE＝AF＝OA ＝AT＝y．过点A作AK⊥FG于点K，AH⊥OF于点H．∵△DEF∽△AOF，∴DEOA =EFOF，∴xy =2yOF，∴OF=2y 2x，∵∠AFO＝∠AFG，AH⊥OF，AK⊥FG，∴AH＝AK，∴S△AOFS△AFG =OAAG=12⋅OF⋅AH12⋅FG⋅AK=OFFG，∴y4=2y2xx+2，∴x2+2x＝8y，∵DT∥OF，∴GTTO =DGDF，∴4−y2y =2x，∴y=4xx+4，∴x2+2x=32xx+4，解得x＝﹣3+√33或﹣3−√33或0，经检验x＝﹣3+√33是分式方程的解，且符合题意．∴DF＝﹣3+√33．如图3中，当点G在DE上时，由题意AE＝AF＝AO＝AG＝4，设DF＝DE＝y．由△DEF∽△AOF可得DEAO =EEOF，∴y4=8y−2，∴y2﹣2y﹣32＝0，∴y＝1+√33或1−√33，经检验y＝1+√33是分式方程的解，且符合题意，∴DF＝1+√33，综上所述，满足条件的DF的值为：﹣3+√33或1+√33．26．（2022•鼓楼区校级二模）如图1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，4），∠MAN＝90°，AM＝AN．三角板AMN 绕点A逆时针旋转，AM、AN与x轴分别交于点D、E，∠AOE、∠AOD的角平分线OG、OH分别交AN、AM于点B、C．点P为BC的中点．（1）求证：AB ＝AC ；（2）如图2，若点D 的坐标为（﹣3，0），求线段BC 的长度；（3）在旋转过程中，若点D 的坐标从（﹣8，0）变化到（﹣2，0），则点P 的运动路径长为43（直接写出结果）．【解答】（1）解：过点A 作AF ⊥OH 于点F ，AT ⊥OG 于点T ，∵OG ，OH 分别平分∠AOE ，∠AOD ，∴∠COA ＝∠BOA ＝45°，∴AF ＝AT ，∵∠CAB ＝∠COB ＝90°，∴∠ACO +∠ABO ＝180°，∵∠ACO +∠ACF ＝180°，∴∠ACF ＝∠ABO ，在Rt △ACF 和Rt △ABT 中，{∠ACF =∠ABT∠AFC =∠ATB AF =AT，∴△AFC ≌△ATB （AAS ），∴AC ＝AB ；（2）解：由题意知，l OH ：y ＝﹣x ，l OG ：y ＝x ，设l AD ：y ＝kx +b ，∵D （﹣3，0），A （0，4），∴{b =4−3k +b =0， 解得：{b =4k =43，∴l AD ：y =43x +4，∵AN ⊥AM ，∴l AN ：y =−34x +4，联立方程得：{y =43x +4y =−x， 解得：{x =−127y =127， ∴点C 的坐标为（−127，127），同理可得：点B 的坐标为（167，167），∴BC =√(167+127)2+(167−127)2=20√27； （3）解：设直线AM 的表达式为：y ＝mx +4，则AN 的表达式为：y =−1m x +4，联立方程得：{y =−x y =mx +4，解得：{x =−4m+1y =4m+1， ∴点C 的坐标为：（−4m+1，4m+1），同理可得：点B 的坐标为（4m m+1，4m m+1），设点P 的坐标为（x P ，y P ），∵P 为BC 的中点，∴{x P =4m m+1−4m+12=2m−2m+1y P =4m+1+4m m+12=2，∴点P的坐标为：（2m−2m+1，2），即点P始终在直线y＝2上运动，由此可知P点的运动路径长度为起始横坐标之差，当D的坐标为（﹣8，0）时，代入y＝mx+4中，得：m=12，此时点P的坐标为（−23，2），当点D的坐标为（﹣2，0）时，代入y＝mx+4，得：m＝2，此时点P的坐标为（23，2），∴点P的运动路径长为：23−(−23)=43．故答案为：43．27．（2022•徐州二模）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （1，3），B（3，1），C（5，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O为位似中心，把△ABC按相似比2：1放大，得到对应的△A′B′C′．（1）请在第一象限内画出△A′B′C′；（2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D的坐标．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）如图，满足条件的点D的坐标为（3，4）或（﹣1，2）或（7，0）．28．（2022•睢宁县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB 上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠BDF，∴∠OED＝∠BFD，∴OE∥BF，∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC，∵OE为半径，∴AC为⊙O的切线；（2）解：如图，连接BE，∵tan∠EDB＝2，∠EDB＝∠F ∴tan F=CECF=2，∵CF＝1，∴CE＝2，∴EF=√CF2+CE2=√5，∵BD是直径，∴∠BED＝90°，∴∠BEF＝90°，又∵∠ECF＝90°，∠F＝∠F，∴△ECF∽△BEF，∴EFBF =CFEF，∴√5BF =√5，∴BF＝5，∴⊙O的半径=12BD=12BF=52.。
2021年江苏省中考数学真题分类汇编：图形的变化(附答案解析)
2021年江苏省中考数学真题分类汇编：图形的变化一．选择题（共10小题）1．（2021•泰州）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．2．（2021•常州）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（）A．它是轴对称图形，不是中心对称图形B．它是中心对称图形，不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．（2021•无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2021•盐城）如图是由4个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．5．（2021•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于（）A．128°B．130°C．132°D．136°6．（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．7．（2021•苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．8．（2021•南通）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥9．（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB ＝8，AD＝4，则MN的长是（）A．B．2C．D．410．（2021•连云港）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．（2021•常州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝．12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比．13．（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝．14．（2021•苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d ＝．15．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．16．（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A 作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC 的面积是．17．（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．18．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD ＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．19．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝．20．（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．三．解答题（共10小题）21．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝P A•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝3P A，求的值．22．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）23．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）24．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）25．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．锐角A13°28°32°三角函数sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.6226．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．（1）求证：∠PBA＝∠OBC；（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．27．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．28．（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）29．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H 与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．（1）四边形EBHP的面积四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．30．（2021•常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是（填“B”、“C”或“D”）；②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．2021年江苏省中考数学真题分类汇编：图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•泰州）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【解答】解：从左边看，是一列两个矩形．故选：C．【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．2．（2021•常州）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（）A．它是轴对称图形，不是中心对称图形B．它是中心对称图形，不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【考点】轴对称图形；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．【解答】解：该图是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．3．（2021•无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（2021•盐城）如图是由4个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【考点】展开图折叠成几何体；简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据主视图的意义画出相应的图形，再进行判断即可．【解答】解：该组合体的主视图如下：故选：A．【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解主视图的意义是正确判断的前提．5．（2021•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于（）A．128°B．130°C．132°D．136°【考点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，又由折叠可知，∠GEF＝∠DEF，可求出∠DEG的度数，进而得到∠EGB的度数．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，由折叠可知∠GEF＝∠DEF＝64°，∴∠DEG＝128°，∴∠EGB＝∠DEG＝128°，故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质等，掌握折叠前后角度之间的关系是解题的基础．6．（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．【考点】正方形的性质；中心投影．【专题】投影与视图；空间观念；几何直观．【分析】根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，则在地面上的投影关于对角线对称，因为灯在纸板上方，所以上方投影比下方投影要长．【解答】解：根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，∴在地面上的投影关于对角线对称，∵灯在纸板上方，∴上方投影比下方投影要长，故选：D．【点评】本题主要考查中心投影的知识，弄清题目中光源和纸板的相对位置是解题的关键．7．（2021•苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt △A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】本题主要考查旋转的性质，旋转过程中图形形状和大小都不发生变化，根据旋转性质判断即可．【解答】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；故选：B．【点评】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握并应用旋转的性质是解题的关键，重点注意旋转的方向和角度．8．（2021•南通）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】从正视图以及左视图都为一个长方形，俯视图三角形来看，可以确定这个几何体为一个三棱柱．【解答】解：根据三视图可以得出立体图形是三棱柱，故选：A．【点评】本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，应从所给几何体入手分析得出是解题关键．9．（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB ＝8，AD＝4，则MN的长是（）A．B．2C．D．4【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由折叠的性质可得BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，可证四边形BMDN 是菱形，在Rt△ADM中，利用勾股定理可求BM的长，由菱形的面积公式可求解．【解答】解：如图，连接BD，BN，∵折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，∴BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，∵AB∥CD，∴∠BMN＝∠DNM，∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN，∴DN＝DM＝BM＝BN，∴四边形BMDN是菱形，∵AD2+AM2＝DM2，∴16+AM2＝（8﹣AM）2，∴AM＝3，∴DM＝BM＝5，∵AB＝8，AD＝4，∴BD＝＝＝4，∵S菱形BMDN＝×BD×MN＝BM×AD，∴4×MN＝2×5×4，∴MN＝2，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形判定和性质，勾股定理，求出BM的长是解题的关键．10．（2021•连云港）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】三角形；几何直观．【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得＝＝，由AD＝AC，AB＝2，可求出CE的长，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，则∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积．【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，则∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝＝，∵AD＝AC，∴＝，∴＝＝＝，则CE＝，∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝CE＝，∴BD＝BE＝，∴S△BCD＝•BD•CE＝×＝．故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键．二．填空题（共10小题）11．（2021•常州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由四边形CDFE是边长为1的正方形可得AD＝2，BE＝3，根据勾股定理求出AB＝5，AF＝，BF＝，设BG＝x，利用勾股定理求出x＝3，可得FG＝1，即可得sin∠FBA的值．【解答】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，∵四边形CDFE是边长为1的正方形，∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，∵AC＝3，BC＝4，∴AD＝2，BE＝3，∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝，设BG＝x，∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，∴5﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得：x＝3，∴FG＝＝1，∴sin∠FBA＝＝．故答案为：．【点评】此题综合考查了正方形、锐角三角函数的定义及勾股定理．根据勾股定理求出BG的长是解题的关键．12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】三角形；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】先由＝＝，设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，证明＝，又∠B＝∠B，可证明△DBE～△ABC．进而可得相似比为，面积比＝＝，从而可得S△DBE：S四边形ADEC＝4：21．【解答】解：∵＝＝，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，∴＝，＝，∴＝，又∠B＝∠B，∴△DBE～△ABC．相似比为，面积比＝＝，设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，∴S四边形ADEC＝25a﹣4a＝21a，∴S△DBE：S四边形ADEC＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△DBE～△ABC得出相似比是解题的关键．13．（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】由折叠的性质可得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EG＝3，由锐角三角函数可求EH，HF的长，在Rt△AHF 中，由勾股定理可求AF．【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，∴EG＝＝＝3，∵sin∠FEG＝，∴，∴HF＝，∵cos∠FEG＝，∴，∴EH＝，∴AH＝AE+EH＝，∴AF＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键．14．（2021•苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d＝．【考点】线段垂直平分线的性质；旋转的性质．【专题】综合题；推理填空题；平移、旋转与对称；应用意识．【分析】设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，过A'作A'H⊥ON于H，过C'作C'D⊥ON于D，过A'作A'E⊥DC'于E，由OA＝8，AB＝5，BC是OA的垂直平分线，可得OB＝5，OC＝AC ＝4，BC＝3，cos∠BOC＝＝，sin∠BOC＝＝，证明∠BOC＝∠B'C'D＝∠C'A'E，从而在Rt△B'C'D中求出C'D＝，在Rt△A'C'E中，求出C'E＝，得DE＝C'D+C'E ＝，即可得到A'到ON的距离是．【解答】解：设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，过A'作A'H⊥ON于H，过C'作C'D⊥ON于D，过A'作A'E⊥DC'于E，如图：∵OA＝8，AB＝5，BC是OA的垂直平分线，∴OB＝5，OC＝AC＝4，BC＝3，cos∠BOC＝＝，sin∠BOC＝＝，∵线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，∴B'C'＝BC＝3，A'C'＝AC＝4，∠BOC＝∠B'OC'，∵∠B'C'D＝∠B'C'O﹣∠DC'O＝90°﹣∠DC'O＝∠B'OC'，∴cos∠B'C'D＝，Rt△B'C'D中，＝，即＝，∴C'D＝，∵AE∥ON，∴∠B'OC'＝∠C'A'E，∴sin∠C'AE＝sin∠B'OC'＝sin∠BOC＝，Rt△A'C'E中，＝，即＝，∴C'E＝，∴DE＝C'D+C'E＝，而A'H⊥ON，C'D⊥ON，A'E⊥DC'，∴四边形A'EDH是矩形，∴A'H＝DE，即A'到ON的距离是．故答案为：．方法二：过A作AC⊥OB于C，如图：由旋转可知：点A′到射线ON的距离d＝AC，∵OB•AC＝OA•BD，∴AC＝＝．【点评】本题考查线段的垂直平分线及旋转变换，涉及三角函数及矩形等知识，解题的关键是在Rt△B'C'D中和Rt△A'C'E中，求出求出C'D＝，C'E＝．15．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为25海里（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点P作PC⊥AB，在Rt△APC中由锐角三角函数定义求出PC的长，再在Rt △BPC中由锐角三角函数定义求出PB的长即可．【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝P A•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及锐角三角函数定义；熟练掌握锐角三角函数定义，求出PC的长是解题的关键．16．（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A 作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC 的面积是12．【考点】数学常识；三角形的面积；三角形中位线定理；矩形的判定；图形的剪拼．【专题】作图题；应用意识．【分析】根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．【解答】解：由题意，BG＝CH＝AF＝2，DG＝DF，EF＝EH，∴DG+EH＝DE＝3，∴BC＝GH＝3+3＝6，∴△ABC的边BC上的高为4，∴S△ABC＝×6×4＝12，故答案为：12．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．17．（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝或时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】分类讨论；推理能力．【分析】设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x．当AE＝EC′时，由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2；当AE＝AC’时，作AH⊥EC’，由∠AEF＝90°，EF平方∠CEC′可证得∠AEB＝∠AEH，则△ABE≌△AHE，所以BE＝HE＝x，由三线合一得EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解方程即可．【解答】解：设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，当AE＝EC′时，AE＝4﹣x，∵矩形ABCD，∴∠B＝90°，由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2，解得：，当AE＝AC′时，如图，作AH⊥EC′∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，∴∠BEA+∠FEC＝90°，∵△ECF沿EF翻折得△ECF，∴∠FEC′＝∠FEC，∴∠AEB＝∠AEH，∵∠B＝∠AHE＝90°，AH＝AH，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴BE＝HE＝x，∵AE＝AC′时，作AH⊥EC′，∴EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解得，综上所述：BE＝或．故答案为：或．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当AE＝AC′时如何列方程，有一定难度．18．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD ＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S＝S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．△AEF【解答】解：连接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴＝＝2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEF＝S△ABD，∵BD＝BC＝，∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××4＝，∴△AEF的面积的最大值＝×＝，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明DE∥AB，推出S△AEF＝S△ABD，属于中考常考题型．19．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝．【考点】平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】过点E作EG∥DC交AD于G，可得△AGE∽△ADC，所以，得到DC＝2GE；再根据△GFE∽△DFB，得＝＝，所以，即＝．【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，∴点E是AC的中点，∴＝，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作EG∥DC，构造相似三角形是解题的关键．20．（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．【考点】平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形的应用．【专题】三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．BM＝B′M＝，由勾股定理可得，AM＝＝，由等面积法可得，BN＝，由勾股定理可得，AN＝＝＝，由题可得，△AMB∽△EGC，△ANB∽△B′GE，则＝＝，＝＝，设CG＝a，则EG＝a，B′G＝3+a，则＝，解得a＝．最后由勾股定理可得，EC＝＝＝．【解答】解：法一、如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∵BB′＝1，AM⊥BB′，∴BM＝B′M＝，∴AM＝＝，∵S△ABB′＝＝，∴××1＝•BN×3，则BN＝，∴AN＝＝＝，∵AB∥DC，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△AMB∽△EGC，∴＝＝＝，设CG＝a，则EG＝a，∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∴∠BAB′＝∠C′B′C，∵∠ANB＝∠EGC＝90°，∴△ANB∽△B′GE，∴＝＝＝，∵BC＝4，BB′＝1，∴B′C＝3，B′G＝3+a，∴＝，解得a＝．∴CG＝，EG＝，∴EC＝＝＝．故答案为：．法二、如图，连接DD'，由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，∴△BAB′∽△DAD′，∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，∴DD′＝，又∵∠D′＝∠AB′C′＝∠B，∠B＝∠AB′B，∴∠D′＝∠B，即点D′，D，C′在同一条直线上，∴DC′＝，又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，∴△CEB’∽△C'ED，∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：，设CE＝x，B'E＝y，∴x：（4﹣y）＝y：（3﹣x）＝3：，∴x＝．故答案为：．【点评】本题主要考考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键．三．解答题（共10小题）21．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝P A•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝3P A，求的值．【考点】圆周角定理；点与圆的位置关系；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由PC2＝P A•PB得，可证得△P AC∽△PCB，根据相似三角形的性质得∠PCA＝∠B，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OC 得∠CAB＝∠OCA，等量代换可得∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；（2）由AB＝3P A可得PB＝4P A，OA＝OC＝1.5P A，根据勾股定理求出PC＝2P A，根据相似三角形的性质即可得出的值．【解答】（1）证明：连接OC，∵PC2＝P A•PB，∴，∵∠P＝∠P，∴△P AC∽△PCB，∴∠PCA＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠PCA+∠OCA＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝3P A，∴PB＝4P A，OA＝OC＝1.5P A，PO＝2.5P A，∵OC⊥PC，∴PC＝＝2P A，∵△P AC∽△PCB，∴＝＝＝．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定等知识点的综合运用．22．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，由已知△BCE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BE＝x，DE＝（80﹣x）m，在Rt△BDE中，可得＝1.5，解得BE＝CE＝48m，在Rt△ACD中，解得AC＝28m，根据四边形ACEF是矩形，可得AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，BF＝20m，即可在Rt△ABF中，求出AB＝＝52（m）【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：∵∠BCD＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BE＝x，∵CD＝80m，∴DE＝（80﹣x）m，Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，∴tan56°19'＝，即＝1.5，解得x＝48（m），∴BE＝CE＝48m，Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，∴tan19°17'＝，即＝0.35，解得AC＝28m，∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，∴四边形ACEF是矩形，∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，∴BF＝BE﹣EF＝20m，Rt△ABF中，AB＝＝＝52（m），答：A，B两点之间的距离是52m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、矩形判定及性质等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造直角三角形．23．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出DE，FG 即可．【解答】解：如图，过点B、C分别作CE⊥DG，BF⊥DG垂足为E、F，延长CB交AG 于点H，由题意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50m，∴BH＝AB＝25（m）＝FG，在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，∴DE＝sin∠DCE•CD≈0.33×180＝59.4（m），∴DG＝DE+EF+FG＝59.4+30+25＝114.4≈114（m），答：山顶D的高度约为114m．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键..24．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）。
2023中考数学易错题专练07图形的变化(9大典型易错变式练及详析)(原卷版)
备战2023年中考数学考试易错题易错点07图形的变化01图形的平移平移的性质（1）平移的条件平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．1．（2022春•新城区校级期中）在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣2），那么点B的对应点B′的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，2）D．（2，1）2．（2022秋•定远县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动1个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是（）A．（505，1009）B．（﹣506，1010）C．（﹣506，1011）D．（506，1011）3．（2022•南京模拟）如图，从起点A到终点B有多条路径，其中第一条路径为线段AB，其长度为a，第二条路径为折线ACB，其长度为b，第三条路径为折线ADEFGHIJKLB，其长度为c，第四条路径为半圆弧ACB，其长度为d，则这四条路径的长度关系为（）A．a＜b＜c＜d B．a＜c＜d＜b C．a＜b＝c＜d D．a＜b＜c＝d4．（2022秋•拱墅区期末）以A（﹣1，7），B（﹣1，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为：（﹣1，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移5个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在图中画出△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位的△A1B1C1；（2）写出点A1，B1，C1的坐标：A1，B1，C1；（3）设点P在x轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．02 轴对称轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．1．（2022秋•福州月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝55°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°2．（2022春•天桥区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．2.4B．4.8C．5.2D．63．（2022•上虞区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝，点P是斜边AB上一动点，连结CP，将△BCP以直线CP为对称轴进行轴对称变换，B点的对称点为B'，连结AB'，则在P点从点A出发向点B运动的整个过程中，线段AB'长度的最小值为（）A．1B．C．﹣1D．3﹣4．（2021秋•讷河市期末）如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA、OB的对称点，连接CD交OA、OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为10，则线段OP＝（）A．8B．9C．10D．115．（2021秋•思明区校级期末）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C 关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG、BG，则S△BEG＝（）A．B．C．16D．326．（2022秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AC边的垂直平分线交BC于E，交AC于D，F为上一点，连接EF，点C关于EF的对称点C'恰好落在ED的延长线上，则C'D的长为．7．（2022秋•东丽区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠F AC的角平分线交BC边于点G，连接FG．∠BAD＝θ，当θ的值等于时，△DFG为等腰三角形．03 轴对称与坐标变化坐标与图形变化-对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m-a，b）②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n-b）1．（2022•清城区一模）在平面直角坐标系中，点A（x2+2x，1）与点B（﹣3，1）关于y轴对称，则x的值为（）A．1B．3或1C．﹣3或1D．3或﹣12．（2021秋•花都区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（3﹣n，﹣m+1），则（m﹣n）2022的值为（）A．32022B．﹣1C．1D．03．（2022•金水区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（0，4），点C与坐标原点O关于直线AB对称．将△ABC沿x轴向右平移，当线段AB扫过的面积为20时，此时点C的对应点C'的坐标为（）A．B．C．D．4．（2022秋•渠县期末）在平面直角坐标系中，对△MBC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 的坐标是（，），则经过第2022次变换后所得的点A的坐标是．5．（2022秋•谢家集区期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，3）．①若△ABC是关于直线y＝1的轴对称图形，则点B的坐标为；②若△ABC是关于直线y＝a的轴对称图形，则点B的坐标为．6．（2022秋•温江区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线可以记作直线y＝m，平行于y轴的直线可以记作直线x＝m，我们给出如下的定义：点P（x，y）先关于x轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y＝m对称得点P′，则称点P′为点P关于x轴和直线y＝m的二次反射点．已知点P（2，3），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P1，Q1，点M（2，3）关于直线x＝m对称的点为M1，则当三角形P1Q1M1的面积为1时，则m＝．04 图形的翻折1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．1．（2022秋•二七区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点F是CD上一点，连结BF，然后沿着BF将矩形对折，使点C恰好落在AD边上的E处．若AE：ED＝4：1，则tan∠EBF的值为（）A．4B．3C．D．2．（2022秋•南岸区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边AD上一动点，连接BF，将△ABF沿BF翻折得到△GBF，连接GE．当GE的长最小时，DF的长为（）A．B．C．D．3．（2022秋•运城期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，若AB＝a（取＝1.4，＝1.7），则BE等于（）A．B．C．D．4．（2023•市南区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．B．C．D．5．（2022秋•徐汇区期末）如图所示，在△ABC中．沿着过点C的直线折叠这个三角形，使顶点A 落在BC边上的点E处，折痕为CD，并联结DE．如果BC＝9cm，且满足＝，边AC ＝．6．（2022秋•浦东新区期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边CD上的一点，将正方形ABCD沿直线AE翻折后，点D的对应点是点D'，联结CD'交正方形ABCD的边AB于点F，如果AF＝CE，那么AF的长是．05 中心对称中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．1．（2022春•嘉鱼县期末）如图，点O为矩形ABCD的两对角线交点，动点E从点A出发沿AB边向点B运动，同时动点F从点C出发以相同的速度沿CD边向点D运动，作直线EF，下列说法错误的是（）A．直线EF平分矩形ABCD的周长B．直线EF必平分矩形ABCD的面积C．直线EF必过点OD．直线EF不能将矩形ABCD分成两个正方形2．（2022秋•莱西市期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形B．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形3．（2021秋•中牟县期末）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得到的图形与图①～④中相同的（）A．图①B．图②C．图③D．图④4．（2022•仙居县二模）如图，把正方形ABCD绕着它的对称中心O沿着逆时针方向旋转，得到正方形A′B′C′D′，A′B′和B'C′分别交AB于点E，F，在正方形旋转过程中，∠EOF的大小（）A．随着旋转角度的增大而增大B．随着旋转角度的增大而减小C．不变，都是60°D．不变，都是45°5．（2022春•连城县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式（）A．y＝x﹣2B．y＝2x﹣4C．D．y＝3x﹣606 轴对称与最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．1．（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．80°2．（2022秋•南沙区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，点E是BC上的一动点，点P是BD上一动点，连接PC，PE，若AB＝6，S△ABC＝15，则PC+PE的最小值是（）A．B．6C．D．103．（2022秋•和平区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分别是BC，AB 边上的动点，∠B＝58°，当△DMN的周长最小时，∠MDN的度数是（）A．122°B．64°C．62°D．58°4．（2022秋•长安区校级期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC 为（）A．10B．12C．13D．145．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，等腰三角形ABC的底边AB长为8，面积为24，腰BC的垂直平分线EF交边AB于点E，若D为AB边的中点，P为线段EF上一动点，则三角形DPB的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．106．（2022秋•番禺区校级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若三角形CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（）A．78B．39C．42D．30A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③④⑤07 旋转的性质旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．1．（2022秋•武昌区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A'B'C'D'．若边A'B交线段CD于H，且BH＝DH，则DH的值是（）A．B．C．D．2．（2022秋•泰山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，O为BC的中点，将△ABC 绕点O顺时针旋转得到△DEF，当点D，E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD＝3，则△OFC的面积是（）A．B．C．D．3．（2022秋•泰山区期末）如图，点P是等边三角形ABC内部一点，连接AP、BP、CP，且AP2＝BP2+CP2，现将△APC绕点A顺时针旋转到△ADB的位置，对于下列结论：①△ADP是等边三角形；②△ABP≌△CBP；③∠DBP＝90°；④∠BDA+∠BP A＝210°．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022秋•遵义期末）如图，已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝3，矩形GBEF是由矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得到的，点H为CD边上一点，现将四边形ABHD沿BH折叠得到四边形A'BHD'，当点A'恰好落在EF上时，DH的长是（）A．B．C．D．5．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，正方形ABCD中，AB＝5cm，以B为圆心，1cm为半径画圆，点P是⊙B上一个动点，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′，在点P 移动的过程中，BP′长度的取值范围是cm．6．（2022秋•达川区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），点M为x轴上方一动点，且MA＝3，以点M为直角顶点构造等腰直角三角形BMP，当线段AP取最大值时，AP＝，点M的坐标为．08 旋转与坐标变换坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（-x，-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．1．（2022秋•南宫市期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（2，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝4．将△ABC绕点C逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标为（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（2，2）D．（4，2）2．（2022秋•金华期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，AO ＝AB，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B 的坐标为（）A．（﹣，3）B．（，0）C．（，3）D．（﹣2，0）3．（2022秋•汕尾期中）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（）A．（﹣22020，﹣×22020）B．（22021，﹣×22021）C．（22020，﹣×22020）D．（﹣22011，﹣×22021）09 几何变换综合问题1．（2022秋•商河县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．点D是△ABC所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接AD、BE．（1）如图1，当α＝60°时，线段BE与AD的数量关系是；直线BE与AD相交所成的锐角的度数是．（2）如图2，当α＝90°时，①（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；②当BE∥AC，AB＝8，AD＝时，请直接写出△DCE的面积．2．（2022秋•中原区期末）已知，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1，D，E分别在BC，AC边上，F是BE的中点，连接CF．（1）求证：△ACD≌△BCE．（2）请猜想AD与CF的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）如图2，将△ABC固定不动，△DEC由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角∠BCD＝α，（0°＜a＜90°），旋转过程中，其他条件不变．试判断，AD与CF的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论．3．（2022秋•顺义区期末）如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP（∠BAP＜30°），点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）设∠BAP＝α，求∠BCE的大小（用含α的代数式表示）；（3）用等式表示EA，EB，EC之间的数量关系，并证明．4．（2023•临川区校级一模）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2＝MN2．（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，若BC＝4，CD ＝3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）5．（2022•兴庆区校级一模）已知：如图，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动．速度为1cm/s；同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM∥BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN∥BC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列各题：（1）当PQ⊥BD时，求t的值；（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式．6．（2022秋•晋中月考）综合与实践．项目式学习小组研究了一个问题，如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E，F分别是AB，AD的中点，四边形AEGF是矩形，连接CG．（1）请直接写出CG与DF的长度比为；（2）如图2，将矩形AEGF绕点A按顺时针方向旋转至点G落在AB边上，求点F到AD的距离；（3）将矩形AEGF绕点A按顺时针方向旋转至如图3所示的位置时，猜想CG与DF之间的数量关系，并证明你的猜想．7．（2022秋•淮北月考）在等腰△ABC中，BC＝AC，点D在BC上，延长AC至点E，使CE＝CD，连接AD，DE，BE．（1）若∠ACB＝90°，①如图1，求证：BE＝AD；②如图2，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，使点A，D，E三点在一条直线上，判定△ABE的形状，并说明理由．（2）若∠DCE＝∠ACB≠90°，如图3，（1）中①的结论是否成立？若不成立，请给出AD，BE 之间的数量关系；若成立，请给出证明．8．（2022秋•沙河口区期末）如图1，平面直角坐标系中，AB∥x轴，OA＝AB，C是点A关于x轴的对称点，BC∥OA，交x轴于点E，连接OB．（1）求证：①OB平分∠AOE，②△OCE是等边三角形；（2）如图2，若F在OB上，∠BAF＝45°，连接CF．点B的坐标为（a，b），直接写出点F的坐标（用a、b表示）．。
中考数学第七章 图形的变化 第一节 尺规作图
(4)“三三”型
考点 3 几何体的展开与折叠
3.立体图形的折叠 一个几何体能展开成一个平面图形,这个平面图形就可以折叠成相应的
几何体,展开和折叠是一个互逆的过程.
《安徽·中考》数学
安徽中考考点过关
第七章 图形的变化
第三节 图形的对称、平移、 旋转与位似
目录（安徽·中考）
考点
• 考点 1 轴对称与轴对称图形 • 考点 2 图形的中心对称 • 考点 3 图形的平移与旋转变换 • 考点 4 位似图形
图示:
方法
命题角度1 图形的对称
例 [2021重庆A卷]如图,在▱ABCD中,AB>AD. (1)用尺规完成以下基本作图:在AB上截取AE,使AE=AD; 作∠BCD的平分线交AB于点F.(保留作图痕迹,不写作法 ) (2)在(1)所作的图形中,连接DE交CF于点P,猜想△CDP 按角分类的类型,并证明你的结论. 【思路分析】 (1)根据“等线”“角平分线”的尺规作图方法作图 即可;(2)根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的 性质求得∠CPD为直角,从而可得△CDP为直角三角形.
考点 1 轴对称与轴对称图形
3.常见的轴对称图形及其对称轴
图形 对称轴数量
对称轴
角
㉕ 1 条 角平分线所在的直线
等腰三角形 ㉖ 1 条 顶角平分线所在的直线(或底边上的高所在的直线或底边上的中线所 在的直线)
等边三角形 ㉗ 3 条 三个内角平分线所在的直线(或任一条边上的高或中线所在的直线)
矩形
㉘ 2 条 相邻两边的垂直平分线
中心投影
由一点(点光源)发出的光线所形成的投影.如:物体在灯泡发出的光的 照射下形成的影子.
考点 2 三视图
图形的变化——轴对称备战2023年中考数学考点微专题
考向5.2 图形的变化——轴对称[知识要点] 1、定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3、判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
例题1．在ABC 中，90ACB ∠=︒，ACm BC=，D 是边BC 上一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED ，连接BE ．（1）特例发现：如图1，当1m =，AE 落在直线AC 上时， ①求证：DAC EBC ∠=∠； ②填空：CDCE的值为______； （2）类比探究：如图2，当1m ≠，AE 与边BC 相交时，在AD 上取一点G ，使ACG BCE ∠=∠，CG 交AE 于点H ．探究CGCE的值（用含m 的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用：在（2）的条件下，当22m =，D 是BC 的中点时，若6EB EH ⋅=，求CG 的长．解：（1）①证明：延长AD 交BE 于点F ．由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．∴90DAC ADC BDF EBC ∠+∠=∠+∠=︒． ∵ADC BDF ∠=∠， ∴DAC EBC ∠=∠． ②当1m =，即1ACBC=时， 可知AC =BC ， 在ACD △和BCE 中， 90DAC EBC ACD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ACD ≌BCE (AAS )， ∴CD CE =， ∴1CDCE=． 故答案为：1； （2）解：CGm CE=． 理由：延长AD 交BE 于点F ，由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．∴90ADC DAC BDF CBE ∠+∠=∠+∠=︒， ∵ADC BDF ∠=∠，∴DAC CBE ∠=∠， ∵ACG BCE ∠=∠， ∴ACG BCE △∽△， ∴CG ACm CE BC==． （3）解：由折叠得90AFB ∠=︒，BF FE =， ∵D 是BC 的中点， ∴//DF CE ，∴90BEC BFD ∠=∠=︒，AGC ECG ∠=∠，GAH CEA ∠=∠， 由（2）知ACG BCE △∽△， ∴90AGC BEC ∠=∠=︒， 22AG CG AC m BE CE BC ====， D 是BC 的中点，2,BC CD ∴=∴2ACCD=， ∴1tan 2CG DC GAC AG AC =∠==， 设CG x =，则2AG x =，2CE x =，2BE x =， ∴AG CE =，,,GAH HEC AHG CHE ∠=∠∠=∠∴AGH ECH ≌△△， ∴AH EH =，GH CH =， ∴12GH x =， 在Rt AGH 中，由勾股定理得2232AH AG GH x EH =+==， ∵6EB EH ⋅=， ∴3262x x ⋅=，解得2x =±（负值舍去）， ∴2CG =． 【点拨】本题．1、轴对称图形和折叠的关系：折叠形成的图形就是轴对称图形，其中折痕所在的直线就是对称轴；2、“对称点的连线被对称轴垂直平分”这个知识点常常是解题的突破口；3、 本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键一、单选题1．（2022·重庆·模拟预测）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,4A -关于y 轴对称的点B 的坐标是（ ） A ．()3,4-B ．()3,4--C ．()3,4-D ．()3,43．（2021·山东青岛·中考真题）如图，在四边形纸片ABCD 中，//AD BC ，10AB =，60B ∠=︒．将纸片折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，折痕为EF ．若45BFE ∠=︒，则BF 的长为（ ）A ．5B ．35C ．53D 34．（2021·山东滨州·中考真题）在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．345．（2018·四川内江·中考真题）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 处，BF 交AD 于点E ．若∠BDC ＝62°，则∠DEF 的度数为（ ）A ．31°B ．28°C ．62°D ．56°6．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．主视图B ．左视图C ．俯视图D ．不存在7．（2021·四川凉山·中考真题）如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254 D ．748．（2011·甘肃天水·中考真题） 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是( )A ．85°B ．90°C ．95°D ．100°9．（2020·山东济南·中考真题）如图，在ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（ ）A ．52B ．3C ．4D ．5二、填空题10．（2021·四川内江·中考真题）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 __．11．（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =．第一步，在AB 边上找一点D ，将纸片沿CD 折叠，点A落在A '处，如图2，第二步，将纸片沿CA '折叠，点D 落在D 处，如图3．当点D 恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A D ''的长为__________．12．（2014·贵州黔西·中考真题）如图．将长方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为_____ .13．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若//CD BE ，1=20∠︒，则2∠的度数是____．14．（2021·湖南株洲·中考真题）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中ABD △和CBD 为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P 处，点P 与点A 关于直线DQ 对称，连接CP 、DP ．若24ADQ ∠=︒，则DCP ∠= ___________度．15．（2014·四川德阳·中考真题）如图，△ABC 中，∠A=60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE 的度数为___．16．（2017·山东泰安·中考真题）如图，30BAC ∠=︒，M 为AC 上一点，2AM =，点P 是AB 上的一动点，PQ AC ⊥，垂足为点Q ，则PM PQ +的最小值为_________．17．（2015·四川内江·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为____．18．（2012·山东潍坊·中考真题）点P 在反比例函数ky x= (k ≠0)的图象上，点Q (2，4)与点P 关于y 轴对称，则反比例函数的解析式为____ 三、解答题19．（2021·湖北武汉·二模）如图，在下列88⨯的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，ABC 的顶点的坐标分别为()3,0A ，()0,4B ，()4,2C ．（1）直接写出ABC 的形状；（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将ABC 绕点B 逆时针旋转角度2α得到11A BC ，其中ABC α=∠，A ，C 的对应点分别为1A ，1C ，请你完成作图；（3）在网格中找一个格点G ，使得1C G AB ⊥，并直接写出G 点的坐标； （4）作点1C 关于BC 的对称点D ．20．（2021·北京东城·二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，直线l过点A．点B与点D 关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD=∠ADC．21．（2017·山东威海·中考真题）如图，四边形为一个矩形纸片，，，动点自点出发沿方向运动至点后停止.以直线为轴翻折，点落到点的位置.设，与原纸片重叠部分的面积为.（1）当为何值时，直线过点？（2）当为何值时，直线过的中点？（3）求出与的函数关系式.一、单选题1．（2021·湖北荆门·中考真题）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将边BC 沿CN 折叠，使点B 落在AB 上的点B ′处，再将边AC 沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点N 、M ，则线段A M '的长为（ ）A ．95B ．85C ．75D ．653．（2021·黑龙江绥化·中考真题）已知在Rt ACB 中，90,75C ABC ∠=︒∠=︒，5AB =．点E 为边AC 上的动点，点F 为边AB 上的动点，则线段FE EB +的最小值是（ ）A 53B ．52C 5D 34．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB C '，B C '交AD 于点E ，连接B D '，若60B ∠=︒，45ACB ∠=︒，6AC =则B D '的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．625．（2021·湖北湖北·中考真题）若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ） A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-6．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，DBC △和ABC 关于直线BC 对称，连接AD ，与BC 相交于点O ，过点C 作CE CD ⊥，垂足为C ，与AD 相交于点E ．若8AD =，6BC =，则2+OE AEBD的值为（ ）A ．43B ．34C ．53D ．547．（2021·河北·中考真题）如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能．．是（ ）A ．0B ．5C ．6D ．78．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒9．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（ ）A ．2B ．74C ．322D ．3二、填空题10．（2021·山东青岛·中考真题）已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 上一点，连接AE 并延长，交BC 的延长线于点F ，过点D 作DG AF ⊥，交AF 于点H ，交BF 于点G ，N 为EF 的中点，M 为BD 上一动点，分别连接MC ，MN ．若14DCG FCE S S =△△，则MN MC +的最小值为__________．11．（2021·青海西宁·中考真题）如图，ABC 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的一个动点，连接,BM MN ，则BM MN +的最小值是________．12．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，90POQ ∠=︒，定长为a 的线段端点A ，B 分别在射线OP ，OQ 上运动（点A ，B 不与点O 重合），C 为AB 的中点，作OAC 关于直线OC 对称的OA C '，A O '交AB 于点D ，当OBD 是等腰三角形时，OBD ∠的度数为_____________．13．（2021·广东广州·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，38B ∠=︒，点D 是边AB 上一点，点B 关于直线CD 的对称点为B '，当//B D AC '时，则BCD ∠的度数为________．14．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2BC =，120C ∠=︒，Q 为AB 的中点，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP PQ +的最小值为_____________．15．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 在边BC 上，将ABE △沿直线AE 翻折180°，得到'AB E △，点B 的对应点是点B '若AB BD '⊥，2BE =，则BB '的长是__________．16．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，40MON ∠=︒，以O 为圆心，4为半径作弧交OM 于点A ，交ON 于点B ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点C ，画射线OC 交AB 于点D ，E 为OA 上一动点，连接BE ，DE ，则阴影部分周长的最小值为_________．17．（2021·山东聊城·中考真题）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________． 18．（2021·四川广安·中考真题）如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 、C 都与点A 重合，折痕分别为DE 、FG .已知15ACB ∠=︒，AE EF =，3DE =，则BC 的长为_______．19．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．三、解答题20．（2021·辽宁阜新·中考真题）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ，G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G ．则将图形1G 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形2G ．（2）在图2中分别画出．．．．G 关于 y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G ．将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形2G ．（3）综上，如图3，直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，如果图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用α表示），可以得到图形2G ．21．（2021·山东济宁·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． （1）阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体ABCD A B C D ''''-（图1）．因为在平面AA C C ''中，//CC AA ''，AA '与AB 相交于点A ，所以直线AB 与AA '所成的BAA '∠就是既不相交也不平行的两条直线AB 与CC '所成的角． 解决问题如图1，已知正方体ABCD A B C D ''''-，求既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小．（2）如图2，M ，N 是正方体相邻两个面上的点．①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ； ②在所选正确展开图中，若点M 到AB ，BC 的距离分别是2和5，点N 到BD ，BC 的距离分别是4和3，P 是AB 上一动点，求PM PN +的最小值．22．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，交y 轴于点(0,3)C -，点Q 为线段BC 上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求||||QO QA +的最小值；（3）过点Q 作//PQ AC 交抛物线的第四象限部分于点P ，连接P A ，PB ，记PAQ △与PBQ △的面积分别为1S ，2S ，设12S S S =+，求点P 坐标，使得S 最大，并求此最大值．1．C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C【点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．2．D【解析】【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．【详解】解：点A（-3，4）关于y轴对称的点的坐标是（3，4），【点拨】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标，明确关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键 3．C 【解析】【分析】过点A 作AH BC ⊥ 于H ，由折叠知识得：90BFG ∠=︒ ，再由锐角三角函数可得53AH =，然后根据//AD BC ，可证得四边形AHFG 是矩形，即可求解．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥ 于H ，由折叠知：BF =GF ，∠BFE =∠GFE ，45BFE ∠=︒， 90BFG ∴∠=︒ ，在Rt ABH 中，10AB =，60B ∠=︒， 3sin sin 60101053AH B AB =⨯=︒⨯==， //AD BC ，90GAH AHB ∴∠=∠=︒ ， 90GAH AHB BFG ∴∠=∠=∠=︒ ，∴ 四边形AHFG 是矩形， 3FG AH ∴==， 3BF GF ∴==．故选：C ．【点拨】本题主要考查了折叠变换，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．A 【解析】【分析】首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：∵线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，分别用A 、B 、C 、D 表示线段、等边三角形、平行四边形和正六边形，∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为612=12， 故选：A ．【点拨】本题考查概率公式、轴对称图形，解答本题的关键是写出题目中的图形是否为轴对称图形，明确两张都是轴对称图形是同时发生的． 5．D 【解析】【分析】先利用互余计算出∠BDE ＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD ＝∠BDE ＝28°，接着根据折叠的性质得∠FBD ＝∠CBD ＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DEF 的度数，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，∵90906228BDE BDC ∠︒-∠︒-︒︒＝＝＝， ∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠BDE ＝28°， ∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠， ∴∠FBD ＝∠CBD ＝28°，∴∠DEF ＝∠FBD +∠BDE ＝28°+28°＝56°． 故选：D ．【点拨】本题考查了矩形的性质，平行线和折叠的性质，综合运用以上性质是解题的关键． 6．C 【解析】【分析】根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形进行判断即可．【详解】解：该几何体的三视图如下：三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，故选：C．【点拨】本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提．7．D【解析】【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB22AC BC+，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=254，∴CE=2584-=74，故选：D．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．8．B 【解析】【分析】根据折叠性质可得∠EMB′=∠EMB＝12∠BMC′，∠FMB′＝∠FMC＝12∠CMC′，再根据平角定义即可解答．【详解】解：∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝12∠BMC′＋12∠CMC′＝12×180°＝90°，故选：B．【点拨】本题考查折叠的性质、平角定义，熟练掌握折叠的性质求角度是解答的关键．9．D【解析】【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵110,2ABCS BC AD==∴1025,4AD⨯==∴BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．10．45【解析】【分析】卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，再根据概率公式P =满足条件的样本个数÷总体的样本个数，可求出最终结果．【详解】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，根据概率公式，P （轴对称图形）45=． 故答案为：45． 【点拨】本题主要考查概率问题，属于基础题，掌握轴对称图形的性质以及概率公式是解题关键．11．12或2【解析】【分析】因为点D 恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当D 落在AB 边上和BC 边上两种情况分析，勾股定理求解即可．【详解】解：当D 落在AB ：设DD '交AB 于点E ，由折叠知：60EA D A '∠=∠=︒, AD A D A D '''==,DD A E ''⊥,A C AC '=90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =2,AB BC ∴==设AD x =，则在Rt A ED '中，12A E x '=在Rt ECB 中，12EC BC ==A C AC '=112x ∴=即2x =当D 落在BC 边上时，如图（2）因为折叠，30,ACD A CD A CD '''∠=∠=∠=︒∴ 11,122A D A C A B A C A B AC ''''''===== 12AD A D ''∴==．故答案为：12或23【点拨】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中30的性质，正确的作出图形是解题的关键．12．45°【解析】【分析】根据折叠的性质可以得出∠EBD=12∠ABD, ∠FBD=12∠CBD,即可求出∠EBF.【详解】解：将长方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF 得到∠EBD=∠ABE=12∠ABD, ∠FBD=∠CBF=12∠CBD∵ ∠ABC=90°∴∠EBF=∠EBD+∠FBD=12∠ABD+12∠CBD=12∠ABC=45°故答案为：45°【点拨】本题主要考查了折叠的性质及角度的计算，掌握概念是解题的关键.13．40°【解析】【分析】如图，由折叠的性质可得1=20BAF ∠=∠︒，进而可得40CHB HAB HBA ∠=∠+∠=︒，然后易得四边形CHBD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解．【详解】解：如图所示：∵1=20∠︒，由折叠的性质可得1=20BAF ∠=∠︒，∵//CD BE ，∴20HBA BAF ∠=∠=︒，∴40CHB HAB HBA ∠=∠+∠=︒，∵//CH BD ，∴四边形CHBD 是平行四边形，∴240CHB ∠=∠=︒；故答案为40°．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键．14．21【解析】【分析】由题意易得四边形ABCD 是正方形，进而根据轴对称的性质可得AD =DP ，24PDQ ADQ ∠=∠=︒，则有CD =DP ，然后可得138CDP ∠=︒，最后根据等腰三角形的性质可求解．【详解】解：∵CBD ABD ≌，且都为等腰直角三角形，∴四边形ABCD 是正方形，∴90,CDA CD AD ∠=︒=，∵点P 与点A 关于直线DQ 对称，24ADQ ∠=︒，∴24PDQ ADQ ∠=∠=︒，AD =DP ，∴CD =DP ，48ADP ∠=︒，∴138CDP ∠=︒， ∴180212CDP DCP DPC ︒-∠∠=∠==︒， 故答案为21．【点拨】本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．15．65°．【解析】【详解】试题分析：：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，又∵∠A′ED=∠AED=12∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED ﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．故答案是65°．考点：翻折变换（折叠问题）．16． 【解析】【详解】试题分析：作点M 关于AB 的对称点N ，过N 作NQ ⊥AC 于Q 交AB 于P ，则NQ 的长即为PM+PQ 的最小值，连接MN 交AB 于D ，则MD ⊥AB ，DM=DN ，∵∠NPB=∠APQ ，∴∠N=∠BAC=30°，∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD=AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN•cos∠N=2×=，故答案为．考点：轴对称﹣最短路线问题17．6．【解析】【详解】试题分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．考点：翻折变换（折叠问题）．.18．8yx=-．【解析】【分析】根据轴对称的定义，利用点Q（2，4），求出P点坐标，将P点坐标代入解析式，即可求出反比例函数解析式．【详解】解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数∴P点坐标为（－2，4）．将（－2，4）解析式kyx=得，k=xy=－2×4=－8．∴函数解析式为8yx=-．故答案为：8yx=-．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟悉待定系数法是解题的关键．19．（1）ABC 是直角三角形；（2）见解析；（3）图见解析，()0,3G ；（4）见解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题即可．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．（3）利用数形结合的思想解决问题即可．（4）取格点T ，作直线1TC ，取格点P ，连接OP 交1TC 于点D ，点D 即为所求作．【详解】解：（1）∵()3,0A ，()0,4B ，()4,2C ， ∴22345AB =+=，22521AC =+=，224225BC =+=，∴222AB AC BC =+，∴90ACB ∠=︒，∴ABC 是以AB 为斜边的直角三角形．（2）11A BC 如图所示．先将AB 绕点B 逆时针旋转2α到达1BA ，点1(5,4)A ；再将CB 绕点B 逆时针旋转2α到达1BC ，点1(4,6)C ， 连接11A C ，即可得到11A BC ；（3）如图，过点1C 作直线1C G AB ⊥ 交y 轴于点G ，由图可知：点()0,3G ． （4）如图，取格点T （1，0），作直线1TC ，取格点P （4，-2），连接OP 交1TC 于点D ，点D 即为所求作．【点拨】本题考查作图-旋转变换，轴对称，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．20．证明见解析【解析】【分析】要证明∠ACD=∠ADC，只需证明AD=AC，又AB=AD，AB=AC，等量代换即可．【详解】证明：∵点B与点D关于直线l对称，∴AB=AD，又∵AB=AC，∴AD=AC．∴∠ACD=∠ADC．【点拨】本题考查的是等腰三角形的相关定理，能根据要求进行条件的等量转换是解题关键．21．（1）当x=时，直线AD1过点C（2）当x=时，直线AD1过BC的中点E（3）当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=【解析】【详解】试题分析：（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．试题解析：（1）如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，∵直线AD1过C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC=，CD1=﹣2，在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得：x=，∴当x=时，直线AD1过点C；（2）如图2，连接PE，∵E为BC的中点，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，AE==，∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，∴D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，解得：x=，∴当x=时，直线AD1过BC的中点E；（3）如图3，当0＜x≤2时，y=x，如图4，当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3（根据折叠），∴∠2=∠3，∴AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，解得：a=，所以y==，综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=．考点：1、勾股定理，2、折叠的性质，3、矩形的性质，4、分类推理思想1．C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．B 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C ．【点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．2．B【解析】【分析】利用勾股定理求出AB =10，利用等积法求出CN ＝245，从而得AN ＝325，再证明∠NMC ＝∠NCM ＝45°，进而即可得到答案．【详解】解：∵90,8,6ACB AC BC ∠=︒==∴AB 10，∵S △ABC ＝12×AB ×CN ＝12×AC ×BC∴CN ＝245，∵AN 325=， ∵折叠∴AM ＝A'M ，∠BCN ＝∠B'CN ，∠ACM ＝∠A'CM ，∵∠BCN +∠B'CN +∠ACM +∠A'CM =90°，∴∠B'CN +∠A'CM ＝45°，∴∠MCN ＝45°，且CN ⊥AB ，∴∠NMC ＝∠NCM ＝45°，∴MN ＝CN ＝245， ∴A'M ＝AM ＝AN −MN ＝325-245=85． 故选B ．【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．3．B【解析】【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB=EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：由对称性可知，EF=EF’，此时EF+EB= EF’+EB，由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，∴∠BAF0=30°，由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，BF0=12AB=15522⨯=，故选：B．【点拨】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．4．B【解析】【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出B D'；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，∴△AEC为等腰直角三角形。
2024年中考数学总复习：图形的变化(附答案解析)
B．
C．
D．
4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（3，2）
6．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
23．如图所示，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．21cm2B．24cm2C．27cm2D．30cm2
24．如图，在▱ABCD中，E为边AB上一点，连结DE、AC交于点F．若 ，则下列说法错误的是（ ）
A．16mB．15mC．14mD．13m
2024年中考数学总复习：图形的变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
1．若点M与点N关于x轴对称，点M的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
【分析】根据关于x轴对称的点的横纵坐标的特点解答即可．
A．3：2B．4：3C．5：3D．5：4
15．已知△ABC的周长为1，BC＝1﹣2AB，则下列直线一定是△ABC的对称轴的是（ ）
A．△ABC的边AB的垂直平分线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边AC上的高所在的直线
D．△ABC的边BC上的中线所在的直线
16．已知a＝3b，则a：b的值是（ ）
A．
B．△AEF与△CDF的周长比为1：4
C．△AEF与△CDF的面积比为1：4
中考数学复习----《图形变化规律》专项练习题(含答案)
中考数学复习----《图形变化规律》专项练习题（含答案）练习题1、（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297 B．301 C．303 D．400【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．【解答】解：观察图形可知：摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；…第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．故选：B．2、（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A．252 B．253 C．336 D．337【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，当8n﹣2＝2022时，解得n＝253，故选：B．3、（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（）A．4 B．23C．2 D．0【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论．【解答】解：∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，∴红跳棋每过6秒返回到A点，2022÷6＝337，∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，∴黑跳棋每过18秒返回到A点，2022÷18＝112•6，∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，连接AE，过点F作FM⊥AE，由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，∴∠FAE＝30°，在Rt△AFM中，AM＝AF＝，∴AE＝2AM＝2，∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2．故选：B．4、（2022•荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n ∁n D n 的面积是（ ）A ．nab 2B ．12−n ab C ．12+n ab D ．nab 22【分析】连接A 1C 1，D 1B 1，可知四边形A 1B 1C 1D 1的面积为矩形ABCD 面积的一半，则S 1＝ab ，再根据三角形中位线定理可得C 2D 2＝C 1，A 2D 2＝B 1D 1，则S 2＝C 1×B 1D 1＝ab ，依此可得规律．【解答】解：如图，连接A 1C 1，D 1B 1，∵顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1， ∴四边形A 1BCC 1是矩形， ∴A 1C 1＝BC ，A 1C 1∥BC ， 同理，B 1D 1＝AB ，B 1D 1∥AB ， ∴A 1C 1⊥B 1D 1， ∴S 1＝ab ，∵顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，∴S2＝C1×B1D1＝ab，……依此可得S n＝，故选：A．5、（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【解答】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3＝10，故选：B．6、（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32 B．34 C．37 D．41【分析】根据图形的变化规律得出第n个图形中有4n+1个正方形即可．【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，…，第n个图案中有4n+1个正方形，∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，故选：C．7、（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15 B．13 C．11 D．9【分析】根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第n个图案中菱形有（2n﹣1）个，从而得出答案．【解答】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，即1+2＝3，第③个图案中有5个菱形即1+2+2＝5，……则第n个图案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）个，∴第⑥个图案中有2×6﹣1＝11个菱形，故选：C．8、（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料根．【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，据此可得答案．【解答】解：由图可知：第一个图形有木料1根，第二个图形有木料1+2＝3（根），第三个图形有木料1+2+3＝6（根），第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），.....．第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝（根），故答案为：．9、（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是．【分析】从数字找规律，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，..．∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，故答案为：49．10、（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为．【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出前几项，然后即可得到P n K n的式子，从而可以写出线段P2023K2023的长．【解答】解：由题意可得，P1K1＝OP1•tan60°＝1×＝，P2K2＝OP2•tan60°＝（1+）×＝（1+），P3K3＝OP3•tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，P4K4＝OP4•tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，…，P n K n＝（1+）n﹣1，∴当n＝2023时，P2023K2023＝（1+）2022，故答案为：（1+）2022．11、（2022•德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，…………由此类推，图④中第五个正六边形数是．【分析】根据前三个图形的变化寻找规律，即可解决问题．【解答】解：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4＝5，第三个五边形数是1+4+7＝12，……由此类推，图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17＝45．故答案为：45．12、（2022•遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为．【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个），故答案为：127．13、（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线上．【分析】根据规律得出每6个数为一周期．用2013除以6，根据余数来决定数2013在哪条射线上．【解答】解：∵1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OA上，……每六个一循环，2013÷6＝335……3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，∴所描的第2013个点在射线OC上．故答案为：OC．。
中考数学总复习图形的变化尺规作图省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖课件
【自主解答】作图如解图4，△ABC即为所求；
百变例题6解图4
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(5)作已知角∠MON平分线． 【自主解答】解：作图如解图5，OC即为所求．
百变例题6解图5
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(6)求作Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b. 【自主解答】作图如解图6，Rt△ABC即为所求；
百变例题6解图6
第七章 图形改变 第一节 尺规作图
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考点 常见尺规作图 百变例题6 已知线段a，b，∠MON. (1)画一条线段，使其长度等于a＋2b.
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【分析】所要画线段等于a＋2b，实质上就是a＋b＋b. 【自主解答】解：作图如解图1，AC即为所求线段；
百变例题6解图1
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(2)画一条线段，使其长度等于2a－b. 【分析】所画线段等于2a－b，实质上就是a＋a－b. 【自主解答】作图如解图2，AD即为所求线段；
百变例题6解图2
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(3)作一个角等于已知∠MON. 【自主解答】解：作图如解图3，∠CO1D即为所求；
百变例题6解图3
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(4)求作以已知∠MON为底角，已知线段a为底边等腰三角形 ． 【分析】先假设等腰三角形已经作好，依据等腰三角形性质 知两底角∠B＝∠C，底边BC＝a，故能够先作∠B＝∠MON或 先作底边BC＝a.
(8)作出一个以线段a和线段b为对角线菱形ABCD. 【分析】依据菱形两条对角线相互垂直平分，可知需作a与b 中垂线，再在一条线段上截取另一条二分之一即可．
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【自主解答】解：作图如解图8，菱形ABCD即为所求．
百变例题6解图8
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(7)点A在射线OM上，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线 上点，且AC＝OC. 【分析由题意知，点C不但要在∠MON平分线上，且点C到O 、A两点距离要相等，所以点C应是∠MON平分线与线段OA垂 直平分线交点．
2024中考数学易错题专题易错07图形的变化(七大易错分析+举一反三+易错题通关)(原卷版)
易错07图形的变化易错点一：弄错平移方向和距离平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等易错提醒：平移时弄错方向和距离，注意是对应点之间的距离为平移的距离例1．如图，在ABC V 中，5,7,60AB BC B ==Ð=°，将ABC V 沿射线BC 的方向平移2个单位后，得到A B C ¢¢¢V ，连接A C ¢，则线段A C ¢的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．7例2．如图，将周长为16cm 的三角形ABC 沿BC 方向平移，得到三角形DEF ，若四边形ABFD 的周长为22cm ，则平移距离为 ．变式1．如图，平面直角坐标系中，长为2的线段CD （点D 在点C 右侧）在x 轴上移动，()()0203A B ，，，，连接AC BD ，，则AC BD +的最小值为 ．变式2．如图，点I 为ABC V 的内心，6AB =，4AC =，3BC =，将ACB Ð平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为 ．变式3．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A ，B ，B 的坐标分别为1140A B （，），（，），请解答下列问题：(1)直接写出点C 的坐标；(2)将ABC V 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到DEF V ，（点A ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ），画出DEF V ；(3)直接写出（2）中四边形DBCF 的面积为 ．变式4．如图，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为()30A -，；()12B -，，()12C -，．将三角形ABC 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形111A B C ．(1)画出三角形111A B C ，顶点1A 的坐标为 ，顶点1C 的坐标为 ；(2)求三角形111A B C 的面积；(3)已知点P 在x 轴上，以11B C P ，，为顶点的三角形的面积为6，请直接写出点P 的坐标．1．如图，将边长为5的正方形ABCD 沿BC 的方向平移至正方形DCEF ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．25B ．30C ．35D ．502．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,3，OAB V 沿x 轴向右平移后得到O A B ¢¢¢△，点A 的对应点A ¢在直线34y x =上，则点B 与其对应点B ¢间的距离为 ．3．如图，将直角ABC V 沿边AC 的方向平移到DEF V 的位置，连结BE ，若3,7CD AF ==，则BE 的长为 ．4．在平面直角坐标系中，点()A m n ，满足n =．(1)直接写出点A 的坐标；(2)如图1，将线段OA 沿y 轴向下平移a 个单位后得到线段BC （点O 与点B 对应），过点C 作CD y ^轴于点D ，若43OD BD =，求a 的值；(3)如图2，点()05E ，在y 轴上，连接AE ，将线段OA 沿y 轴向上平移3个单位后得到线段FG （点O 与点F 对应），FG 交AE 于点P ，y 轴上是否存在点Q ，使6APQ S =△，若存在，请求Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿竖直方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对(),a b 叫做这一平移的“平移量”．例如：点A 按“平移量”()1,3（向右平移1个单位，向上平移3个单位）可平移到点B ；点B 按“平移量”()1,3--可平移到点A ．(1)填空：点B 按“平移量”（________，________）可平移到点C ；(2)若把图中三角形M 依次按“平移量”()()3,41,1--、平移得到三角形N ．①请在图中画出三角形N （在答题卡上画图并标注N ）；②观察三角形N 的位置，其实三角形M 也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形N ．6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC V 的三个顶点的位置如图所示．现将ABC V 沿着点A 到点D 的方向平移，使点A 变换为点D ，点E 、F 分别是B 、C 的对应点．(1)画出ABC V 中AC 边上的高BH ；画出AB 边上的中线CM ；(2)请画出平移后的DEF V ；(3)若连接AD ，BE ，则这两条线段之间的关系是______．7．如图，ABC V 三个顶点的坐标分别为()1,1A ，()4,2B ，()3,4C .(1)请画出将ABC V 向左平移4个单位长度后得到的图形111A B C △；(2)请画出ABC V 关于原点O 成中心对称的图形222A B C △；(3)在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，请直接写出点P 的坐标．易错点二：区分不了各种对称轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，易错提醒：轴对称和中心对称是两个图形之间的位置关系，轴对称图形和中心对称图形是一个图形的特征例3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．例4．下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（）A．B．C．D．变式1．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A．三叶玫瑰线B．四叶玫瑰线C．心形线D．笛卡尔叶形线变式2．甲骨文是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，最早出土于河南省安阳市殷墟．下列甲骨文中，可以看作中心对称图形的是（）A．B．C．D．变式3．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是．变式4．下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有．1．下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．等边三角形D ．正方形2．如图，直线l 是正方形的一条对称轴，l 与AB ，CD 分别交于点M ，N ．AN ，BC 的延长线相交于点P ，连接BN ．下列三角形中，与NCP V 成中心对称的是（ ）A ．NCB △B ．BMN VC ．AMN VD ．NDA△3．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．我们学习的文言文《木兰辞》中就有“对镜贴花黄”的诗句，这个花黄就是剪纸．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在正方形网格中，与ABC V 成轴对称的三角形可以画出 个．5．一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 ．6．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC V 的顶点均在格点上．(1)画出ABC V 关于原点O 的中心对称图形111A B C △；(2)将DEF V 绕点E 顺时针旋转90°得到11D EF △，画出11D EF △；(3)若DEF V 由ABC V 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．7．如图，在76´的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在格点上，请你按要求画出图形．(1)在图甲中作出111A B C △，使111A B C △和ABC V 关于点D 成中心对称；(2)在图乙中分别找两个格点2C 、2D ，使得以A 、B 、2C 、2D 为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为ABC V 面积的4倍．易错点三：对位似的定义不理解，已识别错误位似：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ,'P 所在的直线都经过同一点O ，且有'OP =()0k OP k ×¹，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心易错提醒：注意位似多边形对应顶点都会经过同一个点，切不可通过主观感觉进行判断例5．如图，在直角坐标系中，点P 的坐标是()1,0，点A 的坐标是()0,1，线段CD 是由线段AB 以点P 为位似中心放大3倍得到的，则点C 的坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,4-C ．()3,3-D ．()3,4-例6．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O M N ，，分别是边AB AD ，的中点，连接OM ON MN ，，，则下列叙述不正确的是（ ）A ．AMO V 与ABC V 位似B ．AMN V 与BCD △位似C ．ABO V 与CDO V 位似D ．AMN V 与ABD △位似变式1．由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，AOB BOC COD LOM Ð=Ð=Ð=×××=Ð30=°．若1AOB S =V ，则图中与BOA △位似的三角形的面积为（ ）A ．343æöç÷èøB ．743æöç÷èøC ．643æöç÷èøD ．634æöç÷èø变式2．如图，ABC V 和A B C ¢¢△是以点C 为位似中心的位似图形，且A B C ¢¢△和ABC V 的面积之比为1:4，点C 的坐标为()1,0，若点A 的对应点A ¢的横坐标为2-，则点A 的横坐标为 ．变式3．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，已知点()2,1A --，点()3,3B --，点()1,2C --．(1)画出ABC V ；(2)画出ABC V 关于x 轴对称的111A B C △；(3)请以原点O 为位似中心在第一象限内画出222A B C △，使它与ABC V 位似，且相似比是2:1，并写出222A B C △三个顶点的坐标．变式4．（1）如图，AD BE CF ∥∥，直线1l ，2l 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若2,6, 1.5AB AC DE ===，求EF 的长．（2）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点的坐标分别为(4,1)A ，()2,3B ，(1,2)C ．①画出ABC V 绕原点O 逆时针旋转90°得到111A B C △；②以原点O 为位似中心，在第三象限内画一个222A B C △，使它与ABC V 的相似比为2:1，并写出点2B 的坐标．1．如图，在平面直角坐标系中，已知点()4,2A ，()3,0B ，以坐标原点O 为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB 的相似比为1:2，正确的画法是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC V 外任取一点O ，连接AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、DF 得到DEF V ，则下列说法错误的是（ ）A ．ABC V 与DEF V 是位似图形B ．ABC V 与DEF V 是相似图形C ．ABC V 与DEF V 的周长比是2:1D ．ABC V 与DEF V 的面积比是1:43．下面四个图中，ABC V 均与A B C ¢¢¢V 相似，且对应点交于一点；则ABC V 与A B C ¢¢¢V 成位似图形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在正方形网格中，以点O 为位似中心，ABC V 的位似图形是 （用图中字母表示），ABC V 与该三角形的位似比为 ．5．如图，已知O 是坐标原点，B C ，两点的坐标分别为(3,1)(2,1)-，．(1)以O 点为位似中心在y 的左侧将OBC △放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；并分别写出B C ，的对应点B C ¢¢，的坐标；(2)若OBC △内部有一点(),M m n ，则其对应点M ¢的坐标是____________．6．如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出111A B C △和222A B C △．(1)先作ABC V 关于直线l 成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到111A B C △；(2)以图中的点O 为位似中心，将111A B C △作位似变换且放大到原来的两倍，得到222A B C △．7．如图，A ，B ，O 三点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．(1)在图1中以点O 为位似中心，作线段AB 的位似图形CD ，使其长度为AB 的2倍．(2)已知OPQ △的三边比为1:2，在图2中画格点ABD △，使ABD △与OPQ △相似．易错点四：混淆平行投影和中心投影平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．易错提醒：根据不同点区分平行投影和中心投影：平行投影中，物体上的每个点与其影子上的对应点的连线互相平行（或在同一直线上）；中心投影中，物体上的每个点与其影子上的对应点的连线所在的直线交于一点，且交点时光源所在的位置例7．在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影子是圆形，当把球竖直向上靠近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ）A ．越来越小B ．越来越大C ．大小不变D ．不能确定例8．如图，小明家的客厅有一张高0.75米的圆桌，直径BC 为1米，在距地面2米的A 处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D ，E ，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D 的坐标为(2,0)，则点E 的坐标是（ ）A ．(4,0)B ．(3.6,0)C ．()2.75,0D ．(3,0)变式1．太阳光线与地面成60°的角，当太阳光线照射在地面上的一只皮球上时，皮球在地面上的投影长是20cm ，则皮球的直径为（ ）A ．10cmB ．12cmC ．15cmD ．变式2．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影可能是 （填序号）．变式3．如图，一墙墩（用线段AB 表示）的影子是BC ，小明（用线段DE 表示）的影子是EF ，在M 处有一棵大树，它的影子是MN ．(1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P 表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线；(2)在图中画出表示大树高的线段；(3)若小明的身高是1.8m ，他的影长18m EF =.．大树的高度为7.2m ，它的影长7.2m MN =．且大树与小明之间的距离16.2m ME =，求路灯的高度．变式4．如下图，路灯下，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．(1)试确定路灯的位置（用点P表示）；(2)在图中画出表示大树高的线段．1．如图，小明夜晚从路灯下的甲处走到乙处的过程中，他在地面上的影子（）A．逐浙变长B．逐渐变短C．先变长后变短D．先变短后变长2．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）A．B．C．D．3．在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是（）A．A的左侧B．A、B之间C．C的右侧D．B，C之间．4．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD上，则CE的长为（）A．4m B．8m C．12m D．16m5．如图，文文应用所学的三角形相关知识测量河南广播电视塔的高度，她站在距离塔底A点120m处的D 点，测得自己的影长DE为0.4m，此时该塔的影子为AC，她测得点D与点C的距离为23m，已知文文的身高DF为1.6m，求河南广播电视塔AB的高．（图中各点都在同一平面内，点A，C，D，E在同一直线上）6．如图，正方形纸板ABCD 在投影面α上的正投影为1111D C B A ，其中边AB CD ，与投影面平行，AD BC ，与投影面不平行，若正方形ABCD 的边长为4厘米，145BCC Ð=°，求投影1111D C B A 的面积．7．树甲在阳光下的影子如图所示.(1)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子（用线段表示并说明）；(2)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里，那么树甲至少要多高？请画图表示并说明．易错点五：画视图时易出错几何体的三视图：画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．易错提醒：画物体的三视图时，一是要正对物体，而不能斜看向物体;二是看得见部分的轮廓线要画成实线，看不到部分的轮廓线要画成虚线;三是要把看得见的边缘、棱、顶点等等都要画出来，否则会产生错误视图，从而导致解题出错例9．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．五棱柱B．圆柱C．长方体D．五棱锥例10．如图是由一个圆柱体和一个正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）A．B．C．D．变式1．如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．变式2．请画出如图所示的正三棱柱的三种视图．V），请解答下列问题：变式3．一个几何体的三视图如图（其俯视图是等边ABC(1)这个几何体的名称是 ；(2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的体积．变式4．（1）解方程：2(23)160x +-=；（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．1．如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）．A ．B ．C ．D ．2．如图的几何体是一个工件的立体图，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是（ ）A．B．C．D．3．一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的（）A．B．C．D．4．在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：cm）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表1cm．5．画出如图所示组合体的三视图6．如图是一个三棱柱的三视图，其俯视图为等边三角形，则其侧面积为．7．某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是___________．(2)请你根据图中的数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）易错点六：立体感不强，数的过程易出错易错提醒：解答此类由视图还原几何体的问题，一般情况下都是由俯视图确定几何体的位置(有几行几列)，再由另外两个视图确定几第几行第几列处有多少个小正方体，简便的方法是在原俯视图上用标注数字的方法来解答例11．在一张桌子上摆放着一些形状、大小都相同的碟子，从3个方向看到的图形如图所示，则这个桌子上的碟子总个数是（ ）A．11B．12C．13D．14例12．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图、左视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数是．变式1．由大小相同的小正方体搭成一个几何体，若搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则所需小正方体的最少个数为．变式2．一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成，从正面，左面，上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体一共有个小立方块．变式3．由m个相同的正方体组成一个立体图形，如图的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，设m能取到的最大值是a，则多项式2--的值是a a252变式4．如图，在平整的地面上，将若干个边长均为1cm的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角．(1)请画出这个几何体的主视图和俯视图；(2)若将其露在外面的面涂上一层漆（不包括与墙和地面接触的部分），则其涂漆面积为2cm；(3)添加若干个上述小正方体后，所成几何体的左视图和俯视图不变，则有 种添加方式．1．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有个．2．如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几何体中，小正方体的个数是．3．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，下图分别是从正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块最多有个．4．已知由多个小立方体搭一个几何体，从正面看和从上面看到的图形如图所示，则要组成这样的几何体所需的小立方体的块数最少块．5．如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．(1)图中有______块小正方体；(2)该几何体从正面看到的形状图已画出，请在方格纸中分别画出从左面和从上面看到的该几何体的形状图．6．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，依次完成下列问题．(1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图；(2)继续添加相同的小立方块与原几何体搭成一个新的几何体，使新几何体从正面、左面看到的形状图与原几何体从正面、左面看到的形状图相同，则最多可以添加________个．7．如图，在平整的地面上，用若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成了一个几何体．(1)分别在方格纸中画出这个几何体的主视图和左视图；(2)若在原几何体上再添加一些小正方体，且得到的新几何体与原几何体的主视图和俯视图不变，则最多可以添加__________个小正方体；(3)若在原几何体上再添加一些小正方体，且得到的新几何体与原几何体的左视图和俯视图不变，则最多可以添加__________个小正方体．易错点七：把握不准图形变换前后的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
中考数学复习《图形的变化》测试题(含答案)
中考数学复习《图形的变化》测试题（含答案）一、填空题1.下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )2.将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是( )3.用若干个大小相同的小正方体组合成的几何体的主视图和俯视图如图所示，下面所给的四个选项中，不可能是这个几何体的左视图的是( )第3题图 第4题图 第5题图4.一个长方体的三视图如图所示，则这个长方体的体积为( )A . 30B . 15C . 45D . 205.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H. 下列叙述正确的是( )A . BH 垂直平分线段ADB . AC 平分∠BAD C . S △ABC ＝BC·AH D . AB ＝AD6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)、B(－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是( )A ．(－1，2)B ．(－9，18)C ．(－9，18)或(9，－18)D ．(－1，2)或(1，－2)第6题图 第7题图7.如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE.下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODES △ADE ＝13.其中正确的个数有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个二、填空题8.如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是________________________．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)9.下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是________．(填序号)10.如图，已知线段AB ，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点，作直线CD 交AB 于点E.在直线CD 上任取一点F ，连接FA ，FB.若FA ＝5，则FB ＝________．第10题图 第11题图 第12题图11.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CFCD＝________．12.如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB 、AC 、BC 上，DE∥BC，EF ∥AB ，若AB ＝8，BD ＝3，BF ＝4，则FC 的长为________．13.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE ＝1，F 为AB 上一点，AF ＝2，P 为AC 上一点，则PF ＋PE 的最小值为________．第13题图 第14题图 第15题图14.如图，矩形ABCD 中，BC ＝2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、C 分别落在点A′、C′处，如果点A′、C′、B 在同一条直线上，那么tan ∠ABA ′的值为________．15.如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，CD ＝1，CH ⊥BD 于H ，点O 是AB 中点，连接OH ，则OH ＝________． 三、解答题16.如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点．(1)请用尺规作图法作边AC 的中点E ，并连接DE(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，若DE ＝4，求BC 的长．17.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°.(1)尺规作图：作⊙C，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E.(保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．) (2)在你按(1)中要求所作的图中，若BC ＝3，∠A ＝30°，求DE ︵的长．18.如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，延长CE 到点F ，使∠FBC＝∠DCE. (1)求证：∠D＝∠F；(2)用直尺和圆规在AD 上作出一点P ，使△BPC∽△CDP(保留作图的痕迹，不写作法)．19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)． (1) 请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2) 以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在y 轴右侧画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．20.如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G. (1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．21.如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；(2)求证：OA2＝OE·OF.22.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm.(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．23.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．答案与解析：1. A2. A 【解析】根据从正面看得到的视图是主视图，将一根圆柱形的空心钢管任意放置时，易得它的主视图可以是选项B 、C 、D ，但不可能是选项A ，故选A.3. C 【解析】由主视图和左视图的高相等，故C 选项不可能是该几何体的左视图．4. A 【解析】由几何体的三视图可知，该长方体长、宽、高分别为3、2、5，∴这个长方体的体积是3×2×5＝30.5. A 【解析】逐项分析如下表：，故点A (－3，6)以原点O 为位似中心的对应点坐标的绝对值为：3×13＝1，6×13＝2，当点A ′在第二象限时A ′(－1，2)，在第四象限时A ′(1，－2)，故答案为D.7. C 【解析】∵BE 、CD 都是中线，∴点D 、点E 分别是边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，结论①正确．∵DE ∥BC ∴△DOE ∽△COB ，其相似比为1∶2，面积比为相似比的平方，为1∶4，∴结论②错误．∵DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ，OE OB ＝DE CB ＝12，由△ADE ∽△ABC 可知AD AB ＝DE BC ＝12，∴AD AB ＝OEOB ，结论③正确．在△ABE 中，点D 是边AB 的中点，∴△ADE 和△BDE 等底共高，两个三角形面积相等．在△BDE 中，△ODE 和△ODB 共高，底边比为OE OB ＝DE CB ＝12，∴△ODE 和△ODB 面积比为1∶2，∴△ODE和△EDB 面积比为1∶3，故结论④正确，正确的个数有3个．8. AC ∥DF (答案不唯一) 【解析】由已知可得∠A ＝∠D ，所以添加一个角相等或是夹这个角的两边对应成比例都可以使△ABC ∽△DEF.当AC ∥DF ，则有∠ACB ＝∠F.9. ①②③④ 10. 511. 13 【解析】在矩形ABCD 中，∵AB ＝3，AD ＝6，∴BD ＝3，∵BE ＝1.8，∴ED ＝BD －BE＝3－1.8＝1.2，∵AB ∥DC ，∴△ABE ∽△FDE ，∴DF AB ＝DE BE ，即DF 3＝1.21.8，解得DF ＝233，∴CF ＝DC －DF ＝33，∴CF CD ＝333＝13.12. 2.4 【解析】∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形BFED 是平行四边形，∴EF ＝BD ＝3.∵EF ∥AB ，∴EF AB ＝FC BC ，∵BC ＝BF ＋FC ＝4＋FC ，∴38＝FC 4＋FC ，解得FC ＝2.4. 13. 17 【解析】如解图，第13题解图作E 关于直线AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为所求．过F 作FG ⊥CD 于G ，在Rt △E ′FG 中，GE ′＝CD －DE′－CG ＝CD －BE －BF ＝4－1－2＝1，GF ＝4，所以E′F ＝FG 2＋E′G 2＝12＋42＝17.第14题解图14.5－12【解析】设AB ＝x ，则C′D ＝CD ＝x ，由旋转性质可知A′D ＝BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴△A ′DC ′∽△A ′CB ，∴A′D A′C ＝C′D BC ，即2x ＋2＝x2，解得x ＝5－1，∴AB ＝CD ＝5－1，A ′C ＝2＋5－1＝5＋1，∵AB ∥CD ，∴∠ABA ′＝∠BA′C ，∴tan ∠ABA ′＝tan ∠BA ′C ＝BC A′C ＝25＋1＝5－12.第15题解图15.355【解析】如解图，取BC 的中点E ，连接HE ，OE ，又∵O 是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝12AC ＝32，OE ∥AC ，∵CH ⊥BD ，CE ＝BE ，∴HE 是Rt △BCH 的斜边中线，∴HE ＝12BC ＝32，∴CE ＝HE ＝OE ＝BE ，∴C 、H 、O 、B 都在以E 为圆心，EO 为半径的圆上，∵∠ACB ＝90°，OE ∥AC ，∴∠BEO ＝90°，∴∠BHO ＝12∠BEO ＝45°＝∠A ，又∵∠1＝∠1，∴△BOH ∽△BDA ，∴OHAD ＝OB BD ，又∵AD ＝AC －CD ＝2，OB ＝12AB ＝12AC 2＋BC 2＝322，BD ＝BC 2＋CD 2＝10，∴OH2＝32210，∴OH ＝355.16. 解：(1)作图如解图所示：第16题解图(2)∵D 是AB 的中点，E 是AC 的中点， ∴BC ＝2DE ， ∵DE ＝4，∴BC ＝2×4＝8.17. (1)【思路分析】由于求作的⊙C 与AB 相切于点D ，由切线的性质知CD ⊥AB 于点D.因此作⊙C 时，先过C 作AB 的垂线，与AB 交于点D ，再以C 为圆心，CD 为半径画圆即可．解：作图如解图所示：第17题解图【作法提示】①以C 为圆心，以大于点C 到AB 的距离而不大于BC 长度为半径画弧，使得该弧与线段AB 交于M 、Q 两点；②分别以M 、Q 为圆心，以大于12MQ 的长为半径画弧，交CD 延长线于点N ；③连接CN ，与AB 交于点D ；④以C 为圆心，CD 为半径画圆得到⊙C.(2)【思路分析】由⊙C 切AB 于点D ，易得∠ADC 的度数，再结合∠ACB 、∠A 的度数可得到∠B 和∠ACD 的度数，再利用锐角三角函数及BC 的值，求出CD ，利用弧长公式求值即可得解．解：∵⊙C 切AB 于点D. ∴CD ⊥AB ，∠ADC ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠B ＝∠ACD ＝60°，在Rt △BCD 中，∵BC ＝3，sin B ＝CD BC ，∴CD ＝BC· sin B ＝3×32＝ 332， ∴DE ︵的长为：60π×332180＝3π2.18. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠CED ＝∠BCF ，∵∠CED＋∠DCE＋∠D＝180°，∠BCF＋∠FBC＋∠F＝180°，∴∠D＝180°－∠CED－∠DCE，∠F＝180°－∠BCF－∠FBC，又∵∠DCE＝∠FBC，∴∠D＝∠F.(2)解：如解图，点P即为所求作的点．第18题解图【作法提示】1. 作线段BC的垂直平分线，线段BF的垂直平分线，相交于点O；2. 以点O为圆心，OB为半径作圆即可．19. 解：(1)△A1B1C1如解图①所示．第19题解图①(2)△A2B2C2如解图②所示.第19题解图②由解图②可知，A2D＝1，C2D＝3，则A2C2＝A2D2＋C2D2＝12＋32＝10，∴sin∠A2C2B2＝A2DA2C2＝110＝1010.20. (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，∴DF∥BE，又∵DF＝BE，∴四边形DFEB为平行四边形，∴BD∥EF.(2)第20题解图解：如解图，∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠1，又∵∠2＝∠3，∴△DFG ∽△CEG ， ∴DF EC ＝DG GC ＝23， 又∵BE ＝DF ＝4， ∴4EC ＝23， ∴EC ＝6.21. 证明：(1)∵EC ∥AB ，∴∠C ＝∠ABF ，∵∠EDA ＝∠ABF ，∴∠C ＝∠EDA ，∴DA ∥CF ，∴四边形ABCD 是平行四边形.(2)∵DA ∥CF ，∴OA OF ＝OD OB， 又∵EC ∥AB ， ∴OE OA ＝OD OB， ∴OA OF ＝OE OA ， 即OA 2＝OE·OF.22. (1)证明：∵四边形EHGF 为正方形，∴EH ∥BC ，∴∠AHE ＝∠ACB ，在△AEH 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AHE ＝∠C ∠EAH ＝∠BAC ， ∴△AEH ∽△ABC.第22题解图(2)解：设正方形边长为x cm ，如解图，设AD 与EH 交于P 点，则AP ＝AD －PD ＝30－x.由(1)得△AEH ∽△ABC ， ∴AP AD ＝EH BC ， 即30－x 30＝x 40， 解得x ＝1207， ∴S 正方形EFGH ＝(1207)2＝1440049(cm 2)， 故正方形的边长为1207 cm ，面积为1440049cm 2. 23. 解：(1)由折叠可知△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM ，∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝13∠DAB ＝30°， ∴DM ＝AD·tan ∠DAM ＝3×33＝ 3.第23题解图①(2)如解图①，延长MN 交AB 的延长线于点Q ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠可知△ANM ≌△ADM ，∴∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ ，设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x ，在Rt △ANQ 中，AQ 2＝AN 2＋NQ 2，第23题解图②∴(1＋x)2＝32＋x 2，解得x ＝4，∴NQ＝4，AQ＝5，∵AB＝4，AQ＝5，∴S△ABN＝45S△ANQ＝45×12AN·NQ＝245.(3)如解图②，过点A作AH⊥BF于点H，则△ABH∽△BFC.∴BHAH＝CFBC，第23题解图③∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴当点N、H重合(即AH＝AN)时，DF最大，(AH最大，BH最小，CF最小，DF最大)此时点M、F重合、B、N、M三点共线，△ABH≌△BFC(如解图③)，∴CF＝BH＝AB2－AH2＝42－32＝7，∴DF的最大值为4－7.。