北师大版九年级数学上册 4.5：相似三角形判定定理的证明 导学案(含答案)

北师大版九年级数学上册第四章 4.5相似三角形判定定理的证明导学案一、预习目标
相似三角形的判定：
1．相似三角形的定义．
2．如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
3．如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
4．如果两个三角形的两条边成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
5．如果一条直线平行于三角形的一边，那么所截得的三角形与原三角形相似．
6．两个直角三角形，如果一条直角边与一条斜边对应成比例，那么这两个三角形相似．7．如图，用“∽”表示下列基本图形中的相似三角形．
二、课堂精讲精练
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上．
(1)已知：AC＝4，BC＝2，∠CBD＝∠A，求BD的长；
(2)取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD.
解：(1)∵∠CBD＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△CBD∽△CAB.
∴CD CB ＝CB CA ，即CD 2＝24. ∴CD ＝1.
∴在Rt △BCD 中，BD ＝CD 2
＋BC 2
＝ 5.
(2)证明：∵E ，F 分别AB ，BD 的中点，∠ACB ＝90°， ∴CF ＝12BD ，CE ＝12AB ，EF ＝12AD.
∴CF BD ＝EF AD ＝CE AB ＝12. ∴△CEF ∽△BAD.
【跟踪训练1】如图，在▱ABCD 中，AC ＝CD.点E ，F 分别为边BC ，CD 上的两点，且∠EAF ＝∠CAD ，求证：
(1)∠D ＝∠ACB ； (2)△ADF ∽△ACE ； (3)AE ＝EF.
证明：(1)∵AC ＝CD ， ∴∠D ＝∠CAD.
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴BC ∥AD. ∴∠ACB ＝∠CAD. ∴∠D ＝∠ACB.
(2)∵∠EAF ＝∠CAD ，∴∠EAC ＝∠DAF. 又∵∠D ＝∠ACB ，∴△ADF ∽△ACE. (3)∵△ADF ∽△ACE ， ∴AD ∶AF ＝AC ∶AE.
∵∠EAF ＝∠CAD ， ∴△EAF ∽△CAD. ∴∠EFA ＝∠D.
∴∠EAF ＝∠EFA.∴EA ＝EF.
【例2】如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝24，BC ＝12，点E 沿BC 边从点B 开始向点C 以每秒2个单位长度的速度运动；点F 沿CD 边从点C 开始向点D 以每秒4个单位长度的速度运动．如果E ，F 同时出发，用t(0≤t ≤6)表示运动的时间．
(1)当t 为何值时，△CEF 是等腰直角三角形？
(2)当t 为何值时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似？
解：(1)当CE ＝CF 时，△CEF 是等腰直角三角形， ∴4t ＝12－2t ，解得t ＝2.
(2)①当△ECF ∽△ADC 时，则CE AD ＝CF
CD ，
即
12－2t 12＝4t
24
，解得t ＝3. ②当△FCE ∽△ADC 时，则CE CD ＝CF AD ，
即
12－2t 24＝4t 12，解得t ＝6
5
. 综上所述，当t 的值为6
5或3时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似．
【跟踪训练2】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.点P 从点A 出发，沿AB 边以2 cm/s 的速度向点B 匀速移动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以1 cm/s 的速度向点C 匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t s.
(1)当PQ ∥AC 时，求t 的值；
(2)当t 为何值时，△PBQ 的面积等于245
cm 2
.
解：(1)由题意，得BQ ＝t cm ，AP ＝2t cm. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ， AB ＝AC 2
＋BC 2
＝82
＋62
＝10(cm)． ∴BP ＝(10－2t)cm. ∵PQ ∥AC ，
∴BP BA ＝BQ BC ，即10－2t 10＝t 6. 解得 t ＝3011
.
(2)过点Q 作QE ⊥AB 于点E ，则∠QEB ＝∠C ＝90°. ∵∠B ＝∠B ，∴△BQE ∽△BAC. ∴BQ BA ＝QE AC ，即t 10＝QE 8.解得 QE ＝45t. ∴S △PBQ ＝12BP ·QE ＝245.
即12·(10－2t)·45t ＝24
5. 解得t 1＝2，t 2＝3. ∵0＜t ＜5，
∴当t 的值为2或3时，△PBQ 的面积等于245 cm 2.
三、课堂巩固训练
1．如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 相交于点E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于点F ，AD 交PC 于点G ，则下列结论中错误的是(A)
A ．△CGE ∽△CBP
B ．△APD ∽△PGD
C ．△APG ∽△BFP
D ．△PCF ∽△BCP
2．如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，当△ACP ∽△PDB 时，∠APB 的度数为(B)
A ．100°
B ．120°
C ．115°
D ．135°
3．如图，在四边形ABCD 中，已知∠A ＝∠CBD ，AB ＝15，AD ＝20，BD ＝18，BC ＝24，则CD 的长为1085
．
4．如图，ABCD 是平行四边形，点E 在边BC 延长线上，连接AE 交CD 于点F ，如果∠EAC ＝∠D ，试问：AC ·BE 与AE ·CD 是否相等？
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠D ＝∠B ，AB ＝CD. ∵∠EAC ＝∠D ， ∴∠EAC ＝∠B.
∵∠E ＝∠E ，∴△ACE ∽△BAE. ∴AC ∶AB ＝AE ∶BE.即AC ·BE ＝AE ·AB. ∵AB ＝CD ， ∴AC ·BE ＝AE ·CD. 四、课堂总结
1．判断两个三角形是否相似，首先看角的相等，哪个角与哪个角对应；再看边是否成比例，通常两个三角形相似，小边与小边比，大边与大边比，剩余两边相比，若比值相等，就相似，
若比值不等，就不相似．
2．证明等积式时，一般情况下将其转化为比例式，看比例式中的四条线段能否构成相似三角形的对应边，若直接找不到相似三角形时，可通过“中间比”过渡．
3．找中间比一般要由图形和已知条件来确定，常从以下两方面入手找中间比：①把相等线段与同一线段的比当作中间比；②把相等线段和相等线段的比当作中间比．。