基于鞍点逼近的车辆零部件可靠性优化设计

收稿日期:2008 12 03基金项目:国家自然科学基金资助项目(50875039);国家高技术研究发展计划项目(2007AA04Z442)作者简介:金雅娟(1980-),女,辽宁锦州人,东北大学博士研究生;张义民(1958-),男,吉林长春人,东北大学教授,博士生导师第30卷第11期2009年11月东北大学学报(自然科学版)Journal of Northeastern U niversity(Natural Science)Vol 30,No.11Nov. 2009基于鞍点逼近的车辆零部件可靠性优化设计金雅娟,张义民,张艳林,王新刚(东北大学机械工程与自动化学院,辽宁沈阳 110004)摘 要:将可靠性理论与优化技术相结合,讨论了车辆零部件的可靠性优化设计问题,提出了可靠性优化设计的数值计算方法 在基本随机参数概率分布已知的前提下,应用鞍点逼近技术,得到了外载荷作用下随机响应的概率密度函数和分布函数 通过与Mo nte Carlo 方法对比分析,可知利用该方法得到的计算结果精度高,并且计算速度快 因此用鞍点逼近法计算车辆零部件的可靠度为车辆零部件的可靠性优化设计奠定了理论基础,保障了在车辆零部件的可靠性优化设计中迅速、准确地得到车辆零部件的设计信息 关 键 词:鞍点逼近;车辆零部件;概率分布;可靠性;优化设计中图分类号:U 463;T H 122 文献标识码:A 文章编号:1005 3026(2009)11 1641 04Reliability based Optimization Design of Vehicle Parts by Saddlepoint ApproximationJIN Ya j uan,ZHAN G Yi m in ,Z H ANG Yan lin,WANG X in gang(School of M echanical Engineering &Automatio n,N ortheastern University,Shenyang 110004,China.Correspondent:ZHAN G Yi min,E mail:zhang ymneu @sina.co m)Abstract :Combining the reliability theory w ith optimization technique,the reliability based optimization design for vehicle parts is em phatically discussed,then a numerical method is proposed for the reliability based optimization design.Based on the premise that the probability distribution of random parameters has been know n,the probability density function and probability distribution function of random structural response under ex ternal loading are accurately and quickly obtained by w ay of saddlepoint approx im ation and,as a result,the saddlepoint approx imation method is proved accurate w ith higher computing speed in comparison w ith the Monte Carlo method.Therefore,the reliability of vehicle parts computed by the saddlepoint approximation lays a theoretical foundation for the reliability based optimization of vehicle parts,and it can accurately and quickly acquire the design information.Key words:saddlepoint approx imation;vehicle parts;probability distribution;reliability ;optimization desig n从设计方法来说,单纯地进行车辆零部件可靠性设计或优化设计都不能达到最佳的可靠性设计总目标:一方面车辆零部件可靠性设计有时并不等于优化设计,例如一个车辆零部件在经过可靠性设计后,并不能保证它的工作性能或参数就一定具有最佳状态;另一方面车辆零部件优化设计并不一定包含可靠性设计,可见要使车辆零部件既保证具有可靠性要求,又保证具有最佳的工作性能和参数,必须将可靠性设计和优化设计有机地结合起来 目前,车辆零部件可靠性优化设计方法已有了较大的发展[1-3]鞍点逼近理论是由Daniels 于1954年首先提出的[4]它的一个很大的特点就是在小样本情况下,逼近效果依然很精确 H uang 等[5-6]应用鞍点逼近技术在概率不确定性方面做了大量的研究 本文将鞍点逼近技术和可靠性设计方法相结合,讨论了车辆零部件的可靠性设计问题,发展了车辆零部件的可靠性设计理论1 鞍点逼近原理在本文中设X 为随机变量,X 表示随机变量向量,f X (x )表示随机变量X 的概率密度函数,M X (t)表示随机变量X 的矩母函数,则随机变量X 的矩母函数可以表示为M X (t)=-e txf X (x )d x(1)那么随机变量X 的累积生成函数(CGF )[7-9]为K X (t)=ln [M X (t )](2)随机变量X 的累积生成函数(CGF )有如下两个性质[5]1)假设X 1,X 2, ,X n 为相互独立的随机变量,并且用K X i (t )(i =1,2, ,n)表示它们的累积生成函数,那么Y =ni=1X i 的累积生成函数为K Y (t)=ni=1K X i (t ) (3)2)假设随机变量X 的累积生成函数为K X (t),那么Y =aX +b 的累积生成函数表示为K Y (t )=K X (at)+bt(4)式中a 和b 是常数Y =g (X )概率密度函数(PDF )[4]为f Y (y )=12 K Y (t s )e [K Y (t s )-t s y ](5)t s 为鞍点,t s 的值为式(6)的解,K Y (t)=y (6)Lug annani 和Rice 给出计算Y =g (X )累积分布函数CDF 的精确公式[10]:F Y (y )=P {Y y } (w )+(w )1w -1v(7)式中, ( )和 ( )分别表示标准正态分布函数的累积分布函数CDF 和概率密度函数PDFw =sgn (t s ){2[t s y -K Y (t s )]}(8)式中,sg n (t s )=+1,0或-1,取决于鞍点t s 是正值,负值或者是零v =t s K Y (t s )(9)2 可靠性优化设计车辆零部件可靠性优化设计的基本思想是:要求结构或零部件在满足一定性能的条件下,使其可靠度达到最大;或者使结构或零部件达到最佳性能指标时,要求它的工作可靠度不低于某一规定水平,后一种方法更为实用 当设计要求为P {g(X )>0} R 0,(10)则有R =P {g(X )>0} R 0 (11)式(10)和式(11)中:X 表示随机变量向量;R 0是给定约束应满足的概率值;可靠度R 由上述鞍点逼近法求得概率优化设计模型就可以近似地转化为如下的确定型模型来求解,即min f (X )=E [f (X )]=f ( X )s.t.R R 0q i ( X ) 0 i =1,2, ,l h i ( X )=0 i =1,2, ,m(12)式中: X 为取随机变量向量中各随机变量的均值;q i ( X )和h i ( X )分别为不等式约束和等式约束3 螺栓的力学模型螺栓连接是紧固件的可靠性设计之一 圆形螺栓的工作应力为 =4pN d 2式中:p 为螺栓承受的剪切载荷;d 为螺栓截面的直径;N 为剪切面数根据应力-强度干涉理论,以应力极限状态表示的状态函数为g (X )=r - (13)g (X )为状态函数,可表示零部件的两种状态:g(X ) 0,(14)为失效状态;g(X )>0,(15)为安全状态式中:r 为螺栓的许用剪切强度;基本随机变量向量X =r p d T,这里X 的均值E (X )和方差Var (X )是已知的,并且可以认为这些随机变量是服从正态分布的、相互独立的 根据可靠性优化设计方法,把以上各式和已知条件代入相应的计算公式,即可对螺栓进行可靠性优化设计4 前轴的力学模型为了合理利用材料,并保证各处近似等强度,前轴中部采用所谓的工字梁,在两车轮和两个弹簧间传递力和力矩,致使前轴是受弯扭联合作用的零部件(图1)1642东北大学学报(自然科学版) 第30卷图1 前轴结构F i g.1 Constructi on of front axle前轴截面系数W x =a (h -2t )36h +b 6hh 3-(h -2t)3(16)前轴极截面系数W =0 8bt 2+0 4(h -2)a 3t(17)危险点的最大正应力和最大剪应力分别为s =M W x ,(18) =T W(19)这里M 和T 分别为弯矩和扭矩 根据第四强度理论,前轴的合成应力为=s 2+3 2(20)则以应力极限状态表示的状态方程为g (X )=r -(21)式中:r 为前轴材料的强度值;基本随机向量X =(r ,M ,T ,a,t ,h,b )T ,这里X 的均值E (X )和方差Var (X )是已知的,并且可以认为这些随机变量是服从正态分布的相互独立的随机变量;g (X )为状态函数,可表示零部件的两种状态:g(X ) 0,(22)为失效状态;g(X )>0,(23)为安全状态5 数值算例5.1 螺栓的可靠性优化设计某螺栓承受剪切载荷的均值和标准差为( P , P )=(24,1 44)kN ,截面直径( d , d )=(12 5,0 062)m m ,材料的强度的均值和标准差为( r , r )=(40,11 5)MPa 可以认为载荷、强度和截面直径分别独立服从正态分布,剪切面数N =2 设所求的可靠度R 0=0 999,试用可靠性优化方法设计螺栓截面直径d首先,建立目标函数 要求螺栓的质量最小,即求截面A 的面积为最小f (x ):f (x )= 4x 2(24)取设计变量x =d第二,建立约束条件,约束条件为R -R 0 0(25)第三,优化求解:本文选用约束随机方向法进行优化设计,选取初值为d =15mm ,用本文方法对螺栓进行可靠性优化设计,得到螺栓设计的直径d =13 4669mm ,可靠度R =0 9909,R MCS =0 9909 其中R 表示由鞍点逼近法计算的优化后的螺栓的可靠度,R MCS 代表由M onte Carlo 法求得的可靠度,随机响应的概率密度函数、分布函数曲线分布如图2,图3所示图2 功能函数的概率密度函数比较曲线Fig.2 Com parison of PDF with perform ance function图3 功能函数的分布函数比较曲线F i g.3 Comparison of CDF with perform ance function5.2 前轴的可靠性优化设计国产某种汽车前轴的危险截面的几何尺寸的均值和标准差分别为( a , a )=(12,0 06)mm ,( t , t )=(14,0 07)mm ,( h , h )=(80,0 4)mm ,( b , b )=(60,0.3)mm ;危险截面承受的弯矩和扭矩为服从正态分布的随机变量,均值和标准差为( M , M )=(3517220,319715)N mm ,( T , T )=(3026710,245160)N mm ,材料强度的均值和标准差为( r , r )=(550,25 3)M Pa 设所要求的可靠度R 0=0 999,试用可靠性优化方法设计此前轴的工字形截面尺寸a,t,h,b首先,建立目标函数:要求前轴的重量最轻,即求截面A 的面积为最小1643第11期 金雅娟等:基于鞍点逼近的车辆零部件可靠性优化设计minf (X )=x 1(x 3-2x 2)+2x 4x 2(26)取设计变量为X =[x 1x 2x 3x 4]T=[a t h b]T第二,建立约束条件,约束条件为R -R 0 0,x 3-2x 2 0,x 4-2x 1 0,g(X )=r - 0(27)第三,优化求解:选取初值为a =12mm ,t =14mm ,h =80mm ,b =60mm ,求得前轴设计处截面的最小尺寸为A =2158 701mm 2,a =10 90255mm ,t =13 99377mm ,h =79 12705mm ,b =57 20938mm 可靠度为R =0 9993,R M CS =0 9993 其中R 为由鞍点逼近法求得的优化后前轴可靠度,R MCS 为由Monte Carlo 方法求得的可靠度 随机响应的概率密度函数、分布函数曲线分布如图4所示图4 功能函数的概率密度函数比较曲线Fig.4 Comparison of PDF with perform ance function图5 功能函数的分布函数比较曲线F i g.5 Comparison of CDF with perform ance function计算结果表明,由本文方法求得的随机响应的概率密度曲线和累积分布函数曲线能够和M onte Carlo 方法求得的结果很好吻合,为可靠性优化设计奠定了基础,并且,通过对比鞍点逼近法与M onte Carlo 方法的计算结果,可知优化后的螺栓、前轴可靠度较高且准确度高6 结 论1)利用鞍点逼近技术求得了随机响应的概率密度函数和分布函数,通过与Monte Carlo 方法计算的结果进行对比,可知具有较好的尾部分布,计算结果精度高;并且在计算机程序实现的过程中,由于避免了繁琐的迭代优化和微积分运算,所以计算速度较快,为可靠性的优化设计提供了必要的先决条件2)通过实例计算,利用文中所述方法对车辆零部件进行可靠性优化设计,可提高设计水平,节省材料,提高车辆零部件的可靠性,故文中方法发展了车辆零部件可靠性优化设计理论 参考文献:[1]张义民 汽车零部件可靠性设计[M ] 北京:北京理工大学出版社,2000:64-93(Zhang Yi m i n.Reli abili ty of automobile part[M ].Beijng:Beijing Institute of T echnology Press,2000:64-93.)[2]张义民 任意分布参数的机械零部件的可靠性灵敏度设计[J] 机械工程学报,2004,40(8):100-105(Zhang Yi min.Reliability design for mechanical elements w ith arbitrary distri bution parameters[J].Chinese Jour nal of M e chanical Engineer ing ,2004,40(8):100-105.)[3]张义民,贺向东,刘巧玲 扭杆的可靠性优化设计[J] 汽车技术,2002(5):5-7 (Zhang Yi min,He Xiang dong,Li u Qiao ling.Reliabilitydesign of torsion bar[J].A utomobile Technology ,2002(5):5-7.)[4]Daniel s H E.Saddlepoint approximations in statistics [J ].A nn M ath S tatist ,1954,25:631-50.[5]Huang B Q,Du X P.Probabilistic uncertainty analysis by m ean value firs t order s addlepointapproximation [J ].Reliability Engineering and System Safety ,2008(93):325-336.[6]DuXP.Saddlepoi ntapprox i mationforsequentialoptimization and reliabi lity analysis [J ].Jou rnal ofM echanical De sig n ,2008(130):1-11.[7]Gatto R,Ronchetti E.General saddlepoi nt approximation of marginal densities and tail probabilities [J ].J A m Statist Assoc ,1996,91(433):666-673.[8]Wang S.General saddlepoint approximation in the bootstrap [J].S tatist Probab Le tt ,1992(13):61-66.[9]Lugannani R,Rice S O.Saddlepoint approxi mation for the distributi on of the s um of i n dependent random variables [J ].Adv App l Probab ,1980,12:475-490.[10]Breitung K.Asymptotic approximations for multinomial integrals[J].J Eng M e ch ,1984,110(3):357-367.1644东北大学学报(自然科学版)第30卷。