几何体的截面、三视图、平面展开图
立体几何中的截面(解析版)
立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。
总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。
我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
圆柱体的基本截面也有其特殊性质。
我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。
此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。
建立函数模型也是求最值问题的一种方法。
在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。
其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。
水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。
因此，正确的命题序号为①③④。
一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。
若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。
进一步地，截面也不能为正五边形。
这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。
因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。
而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。
这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。
我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。
但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。
初中数学精品课件： 三视图与表面展开图
A． 国 C． 中
【答案】 B
图 33-4
B． 的 D． 梦
5．(2019·淄博)下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完
全相同的是
()
A．
B
C．
D．
【答案】 D
题型一 判断物体的三视图
三视图是分别从正面、左面、上面三个方向看同一个物体 所得到的平面图形，判断三视图时应注意尺寸的大小，即三个 视图的特征：主视图体现物体的长和高，左视图体现物体的宽 和高，俯视图体现物体的长和宽．
【典例 2】 (2018·青岛)一个由 16 个完全相同的小立方
体搭成的几何体，其最下面一层摆放了 9 个小立方体，
它的主视图和左视图如图 33-7 所示，则这个几何体的
搭法共有
种．
图 33-7
【解析】 这个几何体的搭法共有 10 种，如解图所示．
【答案】 10
(典例 2 解)
【类题演练 2】 如图 33-8 所示的三视图所对应的几何体是 ( )
图 33-9
A． 25π
B． 24π
C． 20π
D． 15π
【解析】 由主视图可知圆锥的底面直径为 8，
∴底面半径 r＝4.
由左视图可知圆锥的高为 3，
∴母线长 l＝ 32＋42＝5，
∴S 圆锥侧＝πrl＝20π.
【答案】 C
【类题演练 3】 (2019·甘肃)已知某几何体的三视图如图 33-10 所示，其
的小立方体搭成，下列说法正确的是
()
A． 主视图的面积为 4
B． 左视图的面积为 4
C． 俯视图的面积为 3
D． 三种视图的面积都为 4
【答案】 A
图 33-18
4．若一个几何体的三视图如图 33-19 所示，则该几何 ( ) A． 直三棱柱 B． 长方体 C． 圆锥 D． 立方体
第二讲立体图形的截面与三视图
第二讲立体图形的截面与三视图知识要点1．截面：一个平面与一个几何体相交所截得的图形叫做截面。
2. 截同一几何体截面形状截面的形状是平面图形,它可能是三角形,四边形,五边形,六边形或其他平面图形.同一几何体被截后,截面形状与所截角度有关.若所截角度不同,则截面形状随之不同.3．三视图法：（1）主视图：从正面看到的图形叫做主视图；（2）左视图：从左面看到的图形叫做左视图；（3）俯视图：从上面看到的图形叫做俯视图。
4．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形。
多边形可以分解成若干个三角形,并且每条对角线可把一个n边形分成(n-2)个三角形(n>2,n是自然数)5．欧拉公式：顶点数＋面数－边数=2典型例题例1一个几何体被平面所截后,得一圆形截面,则原几何体可能是什么形状?例2一正方体截出一角后,剩下的几何体有多少条棱?多少个面?多少个顶点?例3 用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是哪些图形？请分别画出。
例4 用一个平面去截三棱柱最多可以截得五边形；用一个平面去截四棱柱最多可以截得六边形，用一个平面去截五棱柱最多可以截得七边形；如果用一个平面去截n个棱柱，最多能截得几边形？例5 从一个正方体上截去一角（一个四面体）使得剩下部分的棱分别为12条、13条、14条、15条，问应该怎样去截，并画出示意图。
例6 如图2-1是由小立方体搭成的几何体的俯视图，小立方体的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出它的主视图和左视图。
练习题12 13 1 图2-11．一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（ ）A ．长方形B ．三角形C ．梯形D ．七边形 2．三棱柱的表面展开图形是________形和_________形。
3．正方体的截面中，边数最多的多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形 4．把一个正方体截去一个角剩下的几何体最多有（ ）A ．4个面B ．5个面C ．6个面D ．7个面5．用一个平面去截一个三棱柱，截出的面可能是什么形状？可能是三角形吗？可能是四边形吗？可能是五边形吗？可能是六边形吗？先做一做，再想一想。
三视图课件
B
A. 32 B. 16 16 2 C. 48 D. 16 32 2
5.2010湖南高考
4
6. (2007宁夏理•8) 已知某个几何体的三视图 如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）， 可得这个几何体的体积是（ B）
24
柱体
夯实基础 1．棱柱 (1)定义：有两个面互相平行，而且夹在这两个平行 平面间的每相邻两个面的交线都 互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱． 稳固根基
(如图)
1° 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆． 2° 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆．
(3)球面距离： 1° 定义：在球面上两点之间的最短距离，就是经过这 两点的 大圆 在这两点间的一段 劣弧 的长度， 这个弧长 叫做两点的球面距离． 2° 地球上的经纬线 当把地球看作一个球时， 经线是球面上从北极到南极 的半个大圆，纬线是与地轴垂直的平面与球面的交线，其 中赤道是一个大圆，其余纬线都是一个小圆．
5．球的概念与性质 (1)定义： 半圆绕它的直径所在直线旋转所成的曲面叫 做球面，球面所围成的几何体叫做球．球面也可以看作空 间中到定点的距离等于定长的点的集合． (2)球的截面性质 ①用一个平面去截球，截面是圆面．
②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r，有下面的关系：
r＝ R2－d2
空间几何体的结构、三 视图和直观图、表面积 和体积
椎体
2
2．棱锥及其分类 (1)定义： 有一个面是多边形， 其余各面是 有一个公共顶点 的三 角形．由这些面所围成的几何体叫做棱锥． (2)正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形， 顶点在过底面中心且与 底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质： ①各侧棱相等， 各侧面都是全等的等腰三角形． 这些 等腰三角形的高叫做棱锥的斜高． ②棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直 角三角形； 棱锥的高、 侧棱和侧棱在底面内的射影也组成 一个直角三角形．
空间几何体的结构、三视图、直观图课件
1 V Sh 3
旋转体
圆柱 圆锥 圆台 球
分别以矩形、直角三角形的直角边、 直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋
柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构 识 图 空 间 几 何 体
画 图
简单几何体的结构特征
柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影
直观图
斜二测画法 空间几何体
柱、锥、台、球的表面积与体积
概念 棱柱
多面体
柱 锥 台 球 旋转体
棱锥
性质 侧面积
棱台
体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积
在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
我们把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影． 斜投影：投 射线倾斜于 投影面
正投影：投 射线垂直于 投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方 便，在作图中应用最广泛． 斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，在作图 中只是作为一种辅助图样．
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
O
Z
y
Q
x
M
D
O
C
A
N
立体几何体的截面及三视图
立体几何专题（部分内容）一.圆柱的截面用一个平面去截（分三种情形：①用与圆柱的底面平行的平面去截；②用与圆柱的底面垂直的平面去截；③用与圆柱的底面不垂直的平面去截.），观察图1，很容易得出它们分别是：圆、长方形、椭圆.图1二.圆锥的截面用一个平面去截一个圆锥体，圆、三角形、椭圆.图2三.球的截面用一个平面去截一个球体图3四.三棱锥的截面请同学们尝试用一个平面去截一个三棱锥，试判断所截得的平面图形是什么？观察图4图4五.正方体的截面（需补充两面截图）补充：三视图或投影经典考题公式：空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2Srl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24SR π=扇形的面积公式2211=36022n R S lr r πα==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积 柱体的体积 ：VS h =⨯底锥体的体积 ：13V S h =⨯底 台体的体积 ： 1)3V S S S S h =++⨯下下上上（ 球体的体积：343V R π=空间几何体的三视图和直观图：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
1、线线平行的判断：（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（12）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
空间几何体的三视图
轴截面：过轴的截面，分别是全等的矩形，等腰三角形， 等腰梯形。
球的结构特征
1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半
圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。
（1）半圆的半径叫做球的半径。 （2）半圆的圆心叫做球心。
A O
（3）半圆的直径叫做球的直径。 半径 2、球的表示：用 球心
表示球心的字母表
1、边长为a的正三角形应用斜二测画法得到的直观图 的面积为___________.
6 2 a 16
变式：一个三角形应用斜二测画法得到的直观图是正三 角形，则原三角形的面积为____。
6 2 a 2
练
习
2、如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直 观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB ∥CD，AD CD，且BC与y轴平行，若AB 6, DC 4,
2 A. 4
2 B. 2
C .1
D.
2
空间几何体的三视图
1.三视图的概念
前面向后面 （1）光线从几何体的___________正投影所得到的投 影图，叫做几何体的正视图. （2）光线从几何体的___________正投影所得到的投 左面向右面 影图，叫做几何体的侧视图. 上面向下面 （3）光线从几何体的___________正投影所得到的投 影图，叫做几何体的俯视图.
例.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
y
F
A
M
E D
y
A
x
B
F M E
N
O
O
D
C
x
B
N C
问题1：如何画正六棱锥？
问题2：如何画正六棱柱？ 问题3：如何画正六棱台？
第7讲 三视图与平面展开图
五年级寒假A版课件
三视图与平面展 开图
数学教研组 编写
知识要点： 还记得我们之前学过的观察物体吗？
从左面看
从正面看
从上面看
正视图
俯视图
左视图
知识要点：
想一想，怎么样用4个同样的小正方 体，摆出的正视图是 的图形。
知识要点：
如果再增加1个同样的小正方体，要保 证从正面看到的形状不变，你可以怎 样摆？
例题4
（1）下面的四个展开图中，（ D ）是下图所示的正方体的展开 图．
C AB
ABC
C
B
A
C A
B
C
B
A
例题4
（2）在下图所示的正方体的三个面上，分别画了不同的圆，下 面的4个图中，是这个正方体展开图的有（ A ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习4
下图表示正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是 （ ）．
A
B
C
D
选讲题
※ 下图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图 和俯视图．
（1）请你画出这个几何体的一种左视图Байду номын сангаас （2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的 所有可能值．
(1)略（2）n=8、9、10、11
主视图
俯视图
A
B
C
D
小热身
2． 由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则 这个积木可能是（ A ）．
A
B
C
D
例题1
下图中的几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的，请你分 别画出它的正视图、左视图和俯视图．
略
练习1
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1.截面可能是圆的几何体，请打“√”
正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、三棱锥
2.截面可能是三角形的几何体，请打“√”
正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、三棱锥
3.截面可能是矩形的几何体，请打“√”
正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、三棱锥
4.截面可能是梯形的几何体，请打“√”
正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、三棱锥
5.截面可能是平行四边形的几何体，请打“√”
正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、三棱锥
6.用一个平面截下面的几何体，截面不可能是三角形的是_______
A 圆锥B圆柱C长方体 D 六棱柱
7. 正方体的截面不可能是________
A 三角形
B 四边形
C 五边形
D 六边形
E 七边形
8. 基本几何体的三视图(主视图反映物体的长和高，俯视图是长和宽，左视图是高和宽）几何体主视图左视图俯视图
圆柱
圆锥
四棱锥
空心圆柱
9.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图
如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为___,最少为____。
___．
10. 如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的
俯视图和左视图，则小立方体的个数不可能是( )
A．6个B．7个C．8个D．9个
11. 如图是由若干个大小相同的正方体搭成的几何体 的三视图，则该几何体所用的正方形的个数是________
12.由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图 如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是
13. 几个棱长为1的正方体组成的几何体的 三视图如图所示，则这个几何体的体积是＿＿＿＿
14．几个立方块所搭几何体的俯视图如图所示，小正方形的数字表示在该位置小立方块的
个数
.请画出这个几何体的主视图和左视图
.
15.下图，该几何体是_______. 16. 下图，则这个几何体是______
17. 下图，该几何体是_______. 18. 下图,三视图表示的几何体是________
19.主视图、俯视图和左视图都是．．长方形的几何体是_________(填一个即可) 20. 三视图都相同的几何体可能是_________、____________.(有两种类型)
3 2 1 1 2 2
4 1 3
主视图
左视图
2 2 1 3
4
21.下列四个水平放置的几何体中，三视图如图所示的是( )
A．B．C．D
22.中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型
摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )
A．B．C．D．
23.如图所示，下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是( )
A．B．C．D．
24. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是( )
A．B．C．D．
25. 下列几何体中，俯视图相同的是( )
A①② B①③
C②③ D ②④
26.下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有 ( )
A 1 个
B 2个
C 3个
D 4个
27.下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
28.球和圆柱在水平面上紧靠在一起，组成如图所示的几何体，托尼画出了它的三视图，其中他画的俯视图应该是( )
A．两个相交的圆B．两个内切的圆
C．两个外切的圆D．两个外离的圆
29.我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( )。
30.画出下列几何体的主视图：
31.画出下列几何体的俯视图：
32.画出下列几何体的左视图：
33. 如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A向右平移2个单位，
向后平移1个单位后，所得几何体的视图【】
A．主视图改变，俯视图改变B．主视图不变，俯视图不变
C．主视图不变，俯视图改变D．主视图改变，俯视图不变
34. 某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，如图所示，则该几何组合体的
俯视图不可能
．．．是【】
A. B. C. D.
35. 如图①是一个几何体的主视图和左视图．某班同学在探究它的俯视图时，画出了如图
②的几个图形，其中，可能是该几何体俯视图的共有【】
A．3个B．4个C．5个D．6个
36.如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是【】
A．B．C．D．
37.李师傅做了一个零件，如图，请你告诉他这个零件的主视图是【】
A．B．C．D．
38.某物体的侧面展开图如图所示，那么它的左视图为（）
39.底面半径为3，高为5的圆柱，它的体积是_______.
40. （1）三边长分别为3，4，5的直角三角形..绕长为3的直角边旋转一周得圆锥，请画出圆锥，则母线长为______，求圆锥的体积.
（2）三边长分别为3，4，5的直角三角形..绕长为5的斜边旋转一周（即360°）得到双圆锥，请画出这个几何体，且求这个几何体的体积.
41．如图所示的图形绕虚线旋转一周形成的几何体是( )
42.如图，矩形绕它的一条边MN所在的直线旋转一周形成的几何体是( )
A B．C．D．
43. 将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是( )
A．B．C．D．
44.一个长方体的左视图、俯视图及相关
数据如图所示，则其主视图的面积为________
45.如图是一个几何体的三视图，
则这个几何体的侧面积是___________
46.如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请根据图中
数据，计算这个密封纸盒的表面积为 _____ cm2．
47. 长方体的主视图、俯视图
如图所示，则其左视图面积为( )
48.一个圆锥的三视图如图所示，
则此圆锥的底面积为______________.
49. 如图所示，水平放置的长方体底面是长为4和宽为2的
矩形，它的主视图的面积为12，则长方体的体积等于_________
50.从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，
得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为．
51. 正方体有11种展开图，411，312，222，33，以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是（）
A、B、C、D、
52.下列图形中，经过折叠不能围成一个立方体的是（）
A. B. C. D.
53. 若下列只有一个图形不是右图的展开图，则此图为（）
A B C D
54.表面展开图，则这个几何体是．55. 如图可以折叠成的几何体是_____________
56 圆柱的侧面展开图是__________(填形状名称)
57. 将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）
A B C D
58.将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（）A．面CDHE B．面BCEF
C．面ABFG D．面ADHG
59. 将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，平面展
开图如图所示，那么在这个正方体中，和“创“相对的字是＿＿＿＿
60. 正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，
“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是( )
61.一个正方体的每一个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，
那么在该正方体中和“城”字相对的字是＿＿＿＿
62.如图，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上 所标之数的和相等，则这六个数的和为 63.将如图所示的正方体的展开图重新折叠
成正方体后，和“应”字相对面上的汉字是 ．
64. 右图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是 ． 65. 如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个 底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为_________. 66. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只 蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的 最短路径长为_______cm ．(请在卷上画部分展开图，用于解题) 67. 如图圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC = 6cm ， 点P 是母线BC 上一点且PC =
2
3
BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的 表面爬行到点P 的最短距离是________
68. 一个圆锥形的圣诞帽，母线长是30cm,底面半径是10cm ，她想在帽子 上缠一根漂亮的丝带，从A 出发绕帽子侧面一周，至少需要丝带＿＿＿cm.
69.如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13
圆周的一个扇形，将留
下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为＿＿＿＿＿
70. 一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是＿＿＿＿＿＿
71. 如图，用高为6cm ，底面直径为4cm 的圆柱A 的侧面积展开图，再围成不同于A 的另一个圆柱B ， 则圆柱B 的体积为__________
A
A
B C
P
剪创
联城四
东丹。