24题 二次函数综合题

24题二次函数综合题1.二次函数图像与几何变换1.（2020•浙江宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．1.【解】（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1．∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．∴A（2，1）．∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称，∴C（3，0）．∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．2．（2020•浙江金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．（1）当m＝5时，求n的值．（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．2.【解】（1）当m＝5时，y＝﹣（x﹣5）2+4，．当x＝1时，n＝﹣×42+4＝﹣4．（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y＝﹣（x﹣m）2+4，得2＝﹣（1﹣m）2+4，解得m＝3或﹣1（舍弃），∴此时抛物线的对称轴x＝3．根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5．∴x的取值范围为1≤x≤5．（3）∵点A与点C不重合，∴m≠1．∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），∴抛物线的顶点在直线y＝4上，当x＝0时，y＝﹣m2+4，∴点B的坐标为（0，﹣m2+4）．抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，当点B与O重合时，﹣m2+4＝0，解得m＝2或﹣2．当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，∴点B（0，4），∴﹣m2+4＝4，解得m＝0．当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，∴B点在线段OD上时，m的取值范围是0≤m＜1或1＜m＜2．3．（2020•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A （﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接P A，PB，求△P AB面积的最大值．（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3.【解】（1）将点A，B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2+4x﹣1．（2）设直线AB的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线AB的表达式为y＝x﹣1，如答图1，过点P作y轴的平行线交AB于点H．设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），△P AB面积S＝×PH×（x B﹣x A）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x．∵＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为．（3）抛物线的表达式为y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，则平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣5（如答图2）．联立上述两式并解得，故点C（﹣1，﹣4）．设点D（﹣2，m），点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1），（﹣1，﹣4）；①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③．当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，联立①③并解得s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，2）；联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，故点E（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）；②当BC为菱形的的对角线时，由中点公式得﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，联立⑤⑥并解得s＝1，t＝2，故点E（1，2）．综上，点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）或（1，2）．2.二次函数与特殊三角形、四边形的判定4．（2020•山东菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积．（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N 为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4.【解】（1）∵OA＝2，OB＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6．（2）如答图1，过D作DG⊥x轴于点G，交BC于点H．当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6）．设BC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣6．设D（x，x2﹣x﹣6），则H（x，x﹣6），∴DH＝x﹣6﹣（x2﹣x﹣6）＝﹣．∵△BCD的面积是，∴．∴，解得x＝1或3．∵点D在直线l右侧的抛物线上，∴D（3，﹣）．∴△ABD的面积＝＝＝．（3）分两种情况：①如答图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形．∵B（4，0），D（3，﹣），且M在x轴上，∴N的纵坐标为．当y＝时，即x2﹣x﹣6＝，解得x＝1+或1﹣，∴N（1﹣，）或（1+，）．②如答图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，∴N（﹣1，﹣）．综上，点N的坐标为（1﹣，）或（1+，）或（﹣1，﹣）．3.二次函数与图形面积5．（2020•山东泰安）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m＝时，求点P的坐标；②求m的最大值．5.【解】（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A，C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3）．将点A，B，C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，∵CD∥x轴交抛物线于点D，∴点D（2，﹣3）．由点B，C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°．∵BC恰好平分∠DBE，∴∠MBC＝∠DBC．又∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCM（AAS），∴CM＝CD＝2，∴OM＝3﹣2＝1，∴点M（0，﹣1）．设直线BE的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线BE的表达式为y＝x﹣1．（3）如答图2，过点P作PN∥x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则．又S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得m＝PN．①当m＝时，则PN＝2．设点P（t，t2﹣2t﹣3）．由点B，C的坐标知，直线BC的表达式为y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，∴点N（t﹣2，t﹣5），∴t﹣5＝t2﹣2t﹣3，解得t＝1或t＝2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）．②m＝PN＝[t﹣（t2﹣2t）]＝﹣（t﹣）2+．∵＜0，∴m的最大值为．4.二次函数与三角形相似6．（12分）（2020•江苏连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．6.【解】（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或x=4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）．由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如答图1，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点．∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）．（3）由题意，AB＝5，CB＝2，CA＝，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，CB＝2CA．∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点D（，﹣）．由题意，∠PDQ不可能是直角．第一种情形：当∠DPQ＝90°时．①如答图3﹣1，当△QDP∽△ABC时，＝＝．设Q（x，x2﹣x﹣2），则P（，x2﹣x﹣2），∴DP＝x2﹣x﹣2﹣（﹣）＝x2﹣x+，QP＝x﹣．∵PD＝2QP，∴2x﹣3＝x2﹣x+，解得x＝或（舍弃），∴P（，）．②如答图3﹣2，当△DQP∽△ABC时，同法可得QO＝2PD，x﹣＝x2﹣3x+，解得x＝或（舍弃），∴P（，﹣）．第二种情形：当∠DQP＝90°时．①如答图3﹣3，当△PDQ∽△ABC时，＝＝，过点Q作QM⊥PD于点M．则△QDM∽△PDQ，∴＝＝，由图3﹣1可知，M（，），Q（，），∴MD＝8，MQ＝4，∴DQ＝4．由＝，可得PD＝10．∵D（，﹣）∴P（，）．②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于点M，如答图3-4．同法可得M（，﹣），Q（，﹣），∴DM＝，QM＝1，QD＝．由＝，可得PD＝，∴P（，﹣）．5.二次函数与特殊三角形判定6.二次函数与最值问题7．（2020•浙江绍兴）如图1，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1 m，边线0.5 m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）7.【解】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣7）2+2.88．将x＝0，y＝1.9代入上式并解得a＝﹣．故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣7）2+2.88．当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了．（2）如答图，分别过点作底线、边线的平行线PQ，OQ交于点Q．在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17．故PQ＝6＝8.4．∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1 m处．8．（2020•浙江台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式，并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．8.【解】（1）∵s2＝4h（H﹣h），∴当H＝20cm时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，∴当h＝10cm时，s2有最大值400，∴当h＝10cm时，s有最大值20cm．∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm．（2）∵s2＝4h（20﹣h），∴设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），∴20a﹣a2＝20b﹣b2，∴a2﹣b2＝20a﹣20b，∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，∴a﹣b＝0或a+b﹣20＝0，∴a＝b或a+b＝20．（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4+（20+m）2，∴当h＝cm时，s max＝20+m＝20+16，∴m＝16cm，此时h＝＝18cm．∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．9．（2020•山东滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式．（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d．（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．9.【解】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1．∵抛物线经过B（0，﹣），∴﹣＝4a﹣1，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．（2）证明：∵P（m，n），∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣，∴P（m，m2﹣m﹣），∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+．∵F（2，1），∴PF＝＝．∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+，∴d2＝PF2，∴PF＝d．（3）如答图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF＝QH，∴DQ+DF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为2+6，此时Q（4，﹣）．10．（2020•山东德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段P A与PM的数量关系为，其理由为：．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…（﹣2，0）（0，0）（2，0）（4，0）…P的坐标…（0，﹣1）（2，﹣2）…猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段P A与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．10.【解】（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，∴GH是AM的垂直平分线．∵点P是GH上一点，∴P A＝PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），（2）当点M（﹣2，0）时，设点P（﹣2，a）（a＜0）．∵P A＝PM，∴﹣a＝，∴a＝﹣2，∴点P（﹣2，﹣2）．当点M（4，0）时，设点P（4，b）（b＜0）．∵P A＝PM，∴﹣b＝，∴b＝﹣5，∴点P（4，﹣5）．（3）依照题意，画出图像如答图2．猜想曲线L的形状为抛物线．（4）∵P A＝PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），∴﹣y＝，∴y＝﹣x2﹣1．（5）∵点B（﹣1，），C（1，），∴BC＝2，OB＝＝2，OC＝＝2，∴BC＝OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°．如答图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，∴∠BEC＝30°．设点E（m，n），∵点E在抛物线上，∴n＝﹣m2﹣1．∵OE＝OB＝2，∴＝2，∴n1＝2﹣2，n2＝2+2（舍去）．如答图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，∴点D的纵坐标y D的取值范围为y D＜2﹣2．11．（2020•山东青岛）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m．（1）按如图①的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2 m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？11.【解】（1）∵长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m．∴OH＝AB＝3，∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，∴E（0，1），D（2，0），∴该抛物线的函数表达式y＝kx2+1．把点D（2，0）代入，得k＝﹣，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+1．（2）∵GM＝2，∴OM＝OG＝1．∴当x＝1时，y＝，∴N（1，），∴MN＝．∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，∴每个B型活动板房的成本是425+×50＝500（元）．答：每个B型活动板房的成本是500元．（3）根据题意，得w＝（n﹣500）[100+]＝﹣2（n﹣600）2+20000．∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+≤160，解得n≥620．∵﹣2＜0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n＝620时，w有增大值为19200元．答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．7.二次函数与几何图形12．（2020•江苏泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线P A与C2在y轴左侧的交点为B．（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；（2）设直线P A与y轴所夹的角为α．①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，的值不变；（3）若P A＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．12.【解】（1）由题意m＝2，n＝4，∴y1＝a（x﹣2）2+4．把（0，2）代入得到a＝﹣．（2）①如答图1，过点A作AN⊥x轴于点N，过点P作PM⊥AN于点M．∵y1＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n，∴P（0，am2+n）．∵A（m，n），∴PM＝m，AN＝n．∵∠APM＝45°，∴AM＝PM＝m，∴m+am2+n＝n．∵m＞0，∴am＝﹣1．②如答图2，由题意AB⊥y中．∵P（0，am2+n），当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，解得x＝±m，∴B（﹣m，am2+n），∴PB＝m．∵AP＝2m，∴＝＝2．（3）如答图3，过点A作AH⊥x轴于点H，过点P作PK⊥AH于点K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于点E．设B（b，6ab2+n）．∵P A＝2PB，∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]．∵BE∥AK，∴＝＝，∴AK＝2BE，∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n），整理得m2﹣2bm﹣8b2＝0，∴（m﹣4b）（m+2b）＝0．∵m﹣4b＞0，∴m+2b＝0，∴m＝﹣2b，∴A（m，n），∴点A是抛物线C1的顶点．13．（2020•江苏苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．13.【解】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），∴抛物线的对称轴为x＝2，即b＝2，解得b＝﹣4，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x．（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，∴点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2．∵四边形PBCQ为平行四边形，∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2．又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，∴|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）＝2，|x1+x2﹣4|＝1．∴x1+x2＝5或x1+x2＝﹣3．由，解得．由，解得．14．（2020•江苏无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB ＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．（1）若点A的横坐标为8．①用含m的代数式表示M的坐标；②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．14.【解】如答图．（1）①∵点A在y＝x2的图象上，横坐标为8，∴A（8，16），∴直线OA的解析式为y＝2x．∵点M的纵坐标为m，∴M（m，m）．②假设能在抛物线上．∵∠AOB＝90°，∴直线OB的解析式为y＝﹣x．∵点N在直线OB上，纵坐标为m，∴N（﹣2m，m），∴MN的中点的坐标为（﹣m，m），∴P（﹣m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m＝．（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，a2），∴直线OA的解析式为y＝ax，∴M（，2）．∵OB⊥OA，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，可得N（﹣，2），∴P（﹣，4），代入抛物线的解析式得到，﹣＝4，解得a＝4±4，∴直线OA的解析式为y＝（±1）x．②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，∴直线OA的解析式为y＝﹣x＝﹣（±1）x，综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（±1）x或y＝﹣（±1）x．。