一 定义新运算
定义新运算
定义新运算专题简析：定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“∆、#、*、·”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
例题1。
假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。
练习1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。
例题2。
设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6).练习2设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。
那么7*4=？，210*2=？练习3如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，…..那么，4*4=？，18*3=？例题4。
规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1⑥ －1⑦ =1⑦×A ，那么A 是几？练习4规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……..如果1⑧ －1⑨ ＝1⑨×A ，那么A=？。
例题5设a ⊙b=4a-2b+12ab,求x ⊙（4⊙1）＝34中的未知数x 。
(完整)第一讲定义新运算(精)
第一讲定义新运算【专题解析】定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算.【教学重点】解答定义新运算，关键是要正确理解新定义的算式含义，并严格按照新定义的计算程序进行数值带入,转化为常规的四则运算算式进行计算。
【知识梳理】定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：□、※、△、＊、⊕、⊙等，这是与四则运算中的“+、-、x、÷”不同的.新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合各种运算定律的.本节课主要涉及4个方面：(1 找位置。
找准数字对应字母的位置，并注意运算顺序。
（2 找规律.一些题目不是直接给出定义的运算内容，需要总结归纳出算式的规律，方可运用.(3 解方程。
小升初常考内容，将数字带入定义的运算式子里，求x。
因此本节内容还会涉及去括号、乘法分配律和移项的知识。
（4 综合应用。
课外练习（12道配套作业+3道小升初链接）1. 设a*b=（a+bx（a-b，求27*9是多少。
2。
a*b=4xa-b，求（5＊4）＊(10*6）。
3. 设p、q是两个数，规定p△q=4xq—(p+q÷2，求5△(6△4。
4。
设x*y= - ，求18*3-.5. 对两个整数a和b,定义新运算“▽”：a▽b=，求6▽4+9▽8。
6. x、y是自然数，规定x*y=4x—3y，如果5*a=8,那么a是几？7。
规定A▽3=A+AA+AAA,已知2▽x=2468,求x。
8。
设a⊙b=5a—3b，已知x⊙（3⊙2）=18，求x。
9。
如果1＊5=1+11+111+1111+11111,2＊4=2+22+222+2222，3*3=3+ 33+333，……那么，4*4=?，18*3=?10. 规定a*3=a+（a+1)+（a+2），如果x*5=45，那么x=？11. x，y，x＇,y＇是自然数，定义(x，y，x＇，y＇）= xy+ x＇y＇，计算(1，2,3，4)，（3,4,1,2），（2,3,4,1），(4，1，2，3）,（14，10，14,10）的值。
定义新运算
定义新运算新运算是一种数学运算方式，通过对数字进行特定的计算规则和操作，得到一个新的数字结果。
下面将介绍新运算以及它的特点和应用。
新运算的定义：新运算是一种基于数字的运算方式，其计算规则和操作不同于传统的四则运算。
它通过对数字的排列、组合和变换，产生出一个全新的数字结果。
新运算的特点：1. 创新性：新运算采用了全新的计算规则和操作方式，与传统的四则运算不同，具有很高的创新性和独特性。
2. 多样性：新运算具有多种不同的运算规则和操作方式，可以根据需要进行选择和应用，适用于各种不同的计算问题。
3. 灵活性：新运算的计算规则和操作可以根据具体需求进行调整和扩展，具有很高的灵活性和可定制性。
4. 应用广泛：新运算可以在各个领域和行业中应用，如科学研究、工程设计、数据分析等，能够解决各种复杂的计算问题。
新运算的应用：1. 科学研究：新运算可以应用于物理学、化学、生物学等领域的科学研究中，可以处理大量的实验数据，分析数据间的关联和规律。
2. 工程设计：新运算可以用于工程设计中的优化问题，通过对不同参数的组合和变换，找到最优解决方案。
3. 数据分析：新运算可以应用于大数据分析中，通过对庞大的数据集进行排列和组合，发现数据中的隐藏规律和趋势。
4. 金融领域：新运算可以应用于金融领域中的风险管理和投资决策，通过对市场数据的分析和计算，提供决策支持和风险评估。
总之，新运算是一种具有创新性和独特性的数学运算方式，通过对数字的排列、组合和变换，产生出一个全新的数字结果。
它具有多样性、灵活性和广泛的应用领域，在科学研究、工程设计、数据分析和金融领域等方面都具有重要的应用价值。
小学数学竞赛：定义新运算.教师版解题技巧 培优 易错 难
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】 表示
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】19
【答案】
【例 2】“△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【答案】
【巩固】设 △ ，那么，5△ ______，(5△2)△ _____.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
,
【答案】
【巩固】 、 表示数， 表示 ，求3 (6 8)
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1, ,那么
可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312
【答案】
【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
1定义新运算
1定义新运算定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，这是与四则运算中的加减乘除符号是不一样的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算的。
小学六年级奥数中体现，解题方法较简单。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义。
然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
简介定义新运算是一种特殊设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、Δ等，这是与四则运算中的加减乘除不同的。
注意（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例题定义新运算可以作为数学问题，如：例1、x,y表示两个数，规定新运算"*"及"△"如下:,其中m,n,k均为自然数，已知的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求的值，首先我们要计算,根据"△"的定义:,由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后,的值也就计算出来了，我们设,按"*"的定义:,在只有求出m,n时，我们才能计算的值。
因此要计算的值，我们就要先求出k,m,n的值。
通过可以求出m,n的值，通过求出k的值.解因为,所以有.又因为m,n均为自然数，所以解出:。
定义新运算附答案
定义新运算附答案定义新运算附答案我们学过的常⽤运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算⽅式不同，实际是对应法则不同.可见⼀种运算实际就是两个数与⼀个数的⼀种对应⽅法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有⼀个唯⼀确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这⼀讲中，我们定义了⼀些新的运算形式，它们与我们常⽤的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表⽰数，规定a△b＝3×a－2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：⽤运算符号前⾯的数的3倍减去符号后⾯的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例⼦可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第⼆步39△2＝3 × 39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例⼦可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为 a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第⼆步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例⼦可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ⊕ b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕ 2，2 ⊕ 6；②求（1 ⊕ 2）⊕ 3，1 ⊕（2 ⊕ 3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ⊕ 2＝6×2＋6＋2＝20，2 ⊕ 6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ⊕ 2）⊕ 3＝（1×2＋1＋2）⊕ 3＝5 ⊕ 3＝5×3＋5＋3＝231 ⊕（2 ⊕ 3）＝1 ⊕（2×3＋2＋3）＝1 ⊕ 11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“⊕”是否满⾜交换律：a ⊕ b＝a×b＋a＋bb ⊕ a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ⊕ b＝b ⊕ a，因此“⊕”满⾜交换律.再看“⊕”是否满⾜结合律：（a ⊕ b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.a ⊕（b ⊕ c）＝a ⊕（b×c＋b＋c）＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）所以（a ⊕ b）⊕ c＝a ⊕（b ⊕ c），因此“⊕”满⾜结合律.说明：“⊕”对于普通的加法不满⾜分配律，看反例：1 ⊕（2＋3）＝1 ⊕ 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ⊕（2＋3）≠ 1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3.例4、有⼀个数学运算符号“?”，使下列算式成⽴：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？解：通过对2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25这⼏个算式的观察，找到规律： a ?b ＝2a ＋b ，因此7?3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表⽰两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、 n 、k 均为⾃然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采⽤分析法，从要求的问题⼊⼿，题⽬要求1△2）*3的值，⾸先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以⾸先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.⼜因为m 、n 均为⾃然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4 =8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是⾃然数⽭盾，因此m=3，n =1，k=971 这组值应舍去. 所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上⾯这⼀类定义新运算的问题中，关键的⼀条是：抓住定义这⼀点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代⼊数值.还有⼀个值得注意的问题是：定义⼀个新运算，这个新运算常常不满⾜加法、乘法所满⾜的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运⽤这些运算律来解题.课后习题m=1n =2m=2n =23（舍去）m=3 n =11.a*b 表⽰a 的3倍减去b 的21，例如： 1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6；②7*（2*1）. 2.定义新运算为 a ⼀b ＝b1a +，①求2⼀（3⼀4）的值；②若x ⼀4＝1.35，则x ＝？ 3.有⼀个数学运算符号○，使下列算式成⽴： 21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值.4.定义两种运算“⊕”、“?”，对于任意两个整数a 、b ， a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；②若x ⊕（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”， x △y=y×2x ×m y×x ×6+（其中m 是⼀个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成⽴，求a 的值.7.“*”表⽰⼀种运算符号，它的含义是： x*y=xy 1＋））（（A y 1x 1++，已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值.8.a ※b=b÷a ba +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为⾃然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表⽰选择两数中较⼤数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表⽰选择两数中较⼩数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++&&=？课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1） =10x +（1+2+3+?+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2.欢迎您的下载，资料仅供参考！致⼒为企业和个⼈提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全⽹⼀站式需求。
第一讲 定义新运算(1)
定义新运算（一）例1：规定a☆b=a+b+1,求2☆5和3☆（4☆5）例2：假设：1※5=1+11+111+1111+11111，2※4=2+22+222+2222，3※2=3+33，那么6※4应等于什么？2006※2又等于什么？例3：因为狼和羊在一起时狼会吃掉羊，所以规定：狼△狼=狼羊△羊=羊狼△羊=狼羊△狼=狼这个运算的意思是：狼与狼在一起是还是狼；羊与羊在一起时还是羊；狼与羊在一起时，狼吃掉了羊，就只剩下狼了。
因为善良的小朋友总希望羊能战胜狼，所以又规定：狼■狼=狼羊■羊=羊狼■羊=羊羊■狼=羊这个运算的意思是：狼与狼在一起是还是狼；羊与羊在一起时还是羊；狼与羊在一起时，羊会赶走狼，就只剩下羊了。
现在，请聪明的你算一算下面的式子，看看最后是狼吃掉了羊，还是羊赶走了狼？羊■（狼△狼）△羊■（狼△羊）例4 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
根据以上的规定，求10△6的值。
例5、规定a▽b=a＋b－1，a□b=a×b－1，计算5▽（4□3）例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×…×n。
例如4！=1×2×3×4。
那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
例8 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
例9 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。
比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。
问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？例10 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a ☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
第一讲 定义新运算
五年级春季第一讲定义新运算对于＋、－、×、÷四则运算，我们已经熟知它们的运算规则和计算方法，还学会了四则混合运算，以及速算与巧算。
这一讲我们要学习一种新的运算，简称为定义新运算。
所谓定义新运算就是用一种新的符号来自主定义或规定一种运算规则，然后按照这一规则进行计算。
典例精讲例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3。
②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2， 17△（6△2）。
④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b。
【思路点拨】解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面数的2倍。
【详细解答】例2 对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”“☉”：a☆b＝a＋b－1，a☉b＝a×b－1，计算4☉[（6☆8）☆（3☆5）]的值。
【思路点拨】这题是两种新运算的混合运算，首先要弄清楚每一种运算的运算规则，再确定运算顺序；在新运算中，也是按照先算括号内再算括号外的运算顺序进行计算，先将定义的新运算符号前后运算好后再进行新运算，计算时可以分步进行。
【详细解答】例3 定义x☉y＝a×x＋2×y，并且已知5☉6＝6☉5，求a是几？【思路点拨】先根据对新运算的定义，把等式5☉6＝6☉5转化成含有未知数的等式，然后，再求出未知数a的值。
【详细解答】例4 有一个数学运算符号“◎”使下列算式成立：2◎4＝8，5◎3＝13，3◎5＝11，9◎7＝25，求7◎3＝？【思路点拨】题目没有明确告知对新运算进行定义，该如何进行运算呢？我们可以通过对题目提供的算式进行观察、分析，找出规律，从而确定新运算的运算规则。
可以看出“◎”表示前面的数的2倍加上后一个数。
【详细解答】达标练习1.定义一种新的运算“△”，规定：a△b＝a×b＋a＋b。
5△8是多少？2.定义新运算“□”为x□y等于2xy－（x＋y）。
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一定义新运算
1．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①f（a，b）=（﹣a，b）．如：f（1，3）=（﹣1，3）；
②g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）；
③h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如，h（1，3）=（﹣1，﹣3）．
按照以上变换有：f（g（h（2，﹣3）））=f（g（﹣2，3））=f（3，﹣2）=（﹣3，﹣2），那么f（g（h（﹣3，5）））等于（）
A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（5，﹣3）D．（﹣5，3）
2．对于点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（）
A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点
二找规律问题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=．在直线l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交直线l于点A2，继续操作：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，依次这样得到双曲线上的点B1，B2，B3，B4，…，B n．记点A1的纵坐标为2，则B2016的坐标为．
2如图，已知A1，A2，A3，…，A n，A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1，A2，A3，…，A n，A n+1作x轴的垂线交直线y=x于点B1，B2，B3，…，B n，
B n+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，A n B n+1，B n A n+1，依次相交于点P1，P2，P3，…，P n，△A1B1P1，△A2B2P2，…，△A n B n P n的面积依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S n=（请用含n的代数式表示）．
3如图所示，⊙O的面积为1，点P为⊙O上一点，令记号[n，m]表示半径OP从如图所示的位置开始以点O为中心连续旋转n次后，半径OP扫过的面积．旋转的规则为：第1次旋转m度；第2次从第1次停止的位置向相同的方向再次旋转m/2度；第3次从第2次停止的位置向相同的方向再次旋转m/4度；第4次从第3次停止的位置向相同的方向再次旋转m/8度；…依此类推．例如[2，90]=3/8，则[2016，180]=．
4．对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）=（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）=P1（P n
（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）=
﹣1
（3，﹣1），P2（1，2）=P1（P1（1，2））=P1（3，﹣1）=（2，4），P3（1，2）=P1（P2（1，2））=P1（2，4）=（6，﹣2）．则P2011（1，﹣1）=（）
A．（0，21005）B．（0，﹣21005） C．（0，﹣21006） D．（0，21006）
5下面是一个某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是．（用含n的代数式表示）
一1【点评】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）=（﹣a，b）．g（a，b）=（b，a）．h （a，b）=（﹣a，﹣b）是解题关键．新定义．：B．
2【分析】如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=﹣x+k上．
∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故选A．
二．1a1=2时，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣，
b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，b5=﹣，
∵=671，∴a2016=a3=﹣．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．
2解：∵A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、
B n+1，
∴依题意得：B1（1，），B2（2，1），B3（3，），…，B n（n，）
∵A1B1∥A2B2，∴△A1B1P1∽△A2B2P1，
∴==，∴△A1B1P1与△A2B2P1对应高的比为：1：2，
∵A1A2=1，∴A1B1边上的高为：，
∴S A1B1P1=××==，同理可得：S A2B2P2==，∴S n=
【分析】主要是读懂[2，90]=，它反应的是开始第一次以90°旋转，第二次以旋转，3
旋转两次．
【解答】解：由题意可得：[2016，180]=．故答案为．
【点评】本题是扇形面积的计算，解决本题的关键是读懂这个新定义．
4解：P1（1，﹣1）=（0，2），P2（1，﹣1）=（2，﹣2）
P3（1，﹣1）=（0，4），P4（1，﹣1）=（4，﹣4）P5（1，﹣1）=（0，8），P6（1，﹣1）=（8，﹣8）…当n为奇数时，P n（1，﹣1）=（0，），
∴P2011（1，﹣1）应该等于（0，21006）．故选D．
5解：第1行的最后一个被开方数2=1×2
第2行的最后一个被开方数6=2×3
第3行的最后一个被开方数12=3×4
第4行的最后一个被开方数20=4×5，
…
第n行的最后一个被开方数n（n+1），
∴第n行的最后一数为，
∴第n行倒数第二个数为．。