有限差分法、边界元法和离散元法
岩土工程数值分析
土的本构模型
有效应力（也称应力强度、或广义剪应力）
1 3J2 2
(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1)2
在简单拉伸时，应力强度还原为简单拉应力
1
1 2 0 故
有效剪应力（也称剪应力强度）
T J 2 1 (1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1)2 6
实际上，多数岩石从开始破坏到完全失去承载能 力，是一个渐变过程，采用刚性试验机和伺服控制系 统，控制加载速度以适应时间变形能力，可以得到岩 石全程应力应变曲线。
土的本构模型
典型岩体应力应变曲线
土的本构模型
典型岩石应力应变曲线(三轴)
土的本构模型
二、土体变形特性
土具有应力应变的非线性、硬化或软化等特性。 压硬性：静水压力会产生剪切变形。 剪胀性：切应力会引起体积改变。 各向异性： SD效应：拉压强度不同。 应力路径及应力历史相关性 粘滞性：应力、应变、强度等与时间有关。
绪论
岩土工程数值分析方法发展过程
20世纪40年代：差分法，用差分网格离散求解域，用 差分公式将控制方程转化为差分方程。 20世纪60年代：有限元法 20世纪70年代：边界元法，离散元法
第一章 土的本构模型
岩土工程问题数值分析的精度很大程度上取决于 所采用本构模型的实用性和合理性。 本构模型：土的应力应变关系的数学表达式，也称本 构方程。 主要有：弹性模型、弹塑性模型、粘弹塑性模型、内 蕴时间塑性模型、损伤模型等。
f 1 2 k I1 2 3 k I1 3 1 k I1 0
J2 cos I1 k 0 广义Tresca准则在主应力空间是一个以静水压力线为轴
的等边六角锥体，在平面上为一正六边形。
土的本构模型
三、米塞斯(Mises)屈服准则
对有限元法--有限差分法-边界元法和模拟电荷法的粗略总结
word格式-可编辑-感谢下载支持对有限元法、有限差分法、边界元法和模拟电荷法的粗略总结:有限元法（finite element method）：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。
从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
缺点是有限元必须同时对所有域内节点和边界节点联立求解，待求未知数多，要求解的方程规模大，导致输入数据多，计算的准备工作量大。
有限差分法（finite difference method）：直接从微分方程出发，将求解区域划分为网格，近似地用差分、差商代替微分、微商，于是无限度的问题化成有限自由度的问题。
这种方法在解决规则边界的问题时极为方便，但是正是由于这种限制而增加了它的局限性，即对于非规则边界的问题适用性较差。
边界元法（boundary element method）：边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。
它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。
由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍
有限差分，有限元，有限体积等等离散方法的区别介绍一、区域离散化所谓区域离散化，实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。
实施过程是；把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积。
节点：需要求解的未知物理量的几何位置；控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。
一般把节点看成是控制容积的代表。
控制容积和子区域并不总是重合的。
在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。
网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。
大家都知道，常用的离散化方法有：有限差分法，有限元法，有限体积法。
1. 有限差分法是数值解法中最经典的方法。
它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。
这种方法发展比较早，比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。
用它求解边界条件复杂、尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。
2. 有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。
对椭圆型问题有更好的适应性。
有限元法求解的速度较有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。
目前的商用CFD软件中，FIDAP采用的是有限元法。
3. 有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。
其中的未知数十网格节点上的因变量。
子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。
就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。
计算流体力学常用的五大类数值方法简介
计算流体力学常用的五大类数值方法简介流体力学数值方法有很多种，其数学原理各不相同，但有二点是所有方法都具备的，即离散化和代数化。
总的来说其基本思想是：将原来连续的求解区域划分成网格或单元子区域，在其中设置有限个离散点(称为节点)，将求解区域中的连续函数离散为这些节点上的函数值；通过某种数学原理，将作为控制方程的偏微分方程转化为联系节点上待求函数值之间关系的代数方程(离散方程)，求解所建立起来的代表方程以获得求解函数的节点值。
不同的数值方法，其主要区别在于求解区域的离散方式和控制方程的离散方式上。
在流体力学数值方法中，应用比较广泛的是有限差分法、有限元法、边界元法、有限体积法和有限分析法，现简述如下。
一、有限差分法这是最早采用的数值方法，它是将求解区域划分为矩形或正交曲线网格，在网格线交点(即节点)上，将控制方程中的每一个微商用差商来代替，从而将连续函数的微分方程离散为网格节点上定义的差分方程，每个方程中包含了本节点及其附近一些节点上的待求函数值，通过求解这些代数方程就可获得所需的数值解。
有限差分法的优点是它建立在经典的数学逼近理论的基础上，容易为人们理解和接受；有限差分法的主要缺点是对于复杂流体区域的边界形状处理不方便，处理得不好将影响计算精度。
二、有限元法有限元法的基本原理是把适定的微分问题的解域进行离散化，将其剖分成相连结又互不重叠的具有一定规则几何形状的有限个子区域(如：在二维问题中可以划分为三角形或四边形；在三维问题中可以划分为四面体或六面体等)，这些子区域称之为单元，单元之间以节点相联结。
函数值被定义在节点上，在单元中选择基函数(又称插值函数)，以节点函数值与基函数的乘积的线性组合成单元的近似解来逼近单元中的真解。
利用古典变分方法(里兹法或伽辽金法)由单元分析建立单元的有限元方程，然后组合成总体有限元方程，考虑边界条件后进而求解。
由于单元的几何形状是规则的，因此在单元上构造基函数可以遵循相同的法则，每个单元的有限元方程都具有相同的形式，可以用标准化的格式表示，其求解步骤也就变得很规范，即使是求解域剖分各单元的尺寸大小不一样，其求解步骤也不用改变，这就为利用计算机编制通用程序进行求解带来了方便。
关于岩土工程的数值计算方法的综述
关于岩土工程的数值计算方法的综述学院：资源与土木工程学院专业：岩土工程学号：姓名：数值计算方法其主要有有限单元法、有限差分法、边界元法、离散元法和流形元法等。
有限单元法：有限单元法发展非常迅速，至今已经成为求解复杂工程问题的有力工具，并在岩土工程领域广泛的采用，主要的分析软件ANSYS。
有限单元法的最基本的元素是单元和节点，基本计算步骤的第一步为离散化，问题域的连续体被离散为单元与节点的组合，连续体内部分的应力及位移通过节点传递，每个单元可以具有不同的物理特征，这样，便可以得到在物理意义上与原来的连续体相近似的模型。
第二步为单元分析，一般以位移法为基本方法，建立单元的刚度矩阵。
第三步由单元的刚度矩阵集合成总体刚度矩阵，并由此建立系统的整体方程组。
第四步进入计算模型的边界条件，求解方程组，求得节点位移。
第五步求出各单元的应变、应力及主应力。
有限差分法：有限差分法在岩土工程中是应用非常广泛的方法，在数值计算模拟上有很大的贡献，主要的应用软件为FLAC3D。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
边界单元法：边界单元法在岩土工程领域也有很大优势，主要的应用软件是二维边界元法软件THBEM2和三维边界元法软件THBEM3，它们在复杂工程问题的线弹性应力分析以及弹性力学辅助教学等方面的应用有很大优势。
积分法统称为边界单元法，有直接法和间接法两类，它们都是利用了简单奇异问题的解析解，并可近似满足每个边界单元的应力和位移边界条件。
该法仅仅限定和离散问题的边界，可把问题的重点转移到边界上，可以有效地使已知条件降维，从而减小方程组的规模，大大提高计算效率。
MDFlow理论
求解域用差分的方法将其离散为一个个单元节点，依强隐式法和超松驰因子法，解算。
有限差分水质模型是利用空间和时间坐标离散为有限结点，能连续的偏微分方程变为差分的代数方程式的水质模型。
有限差分可采用向前、向后、中心差分三种格式来近似代替水质模型基本方程中的浓度对位置的偏微商和浓度对时间的偏微商。
差分格式的位置步长与时间步长之间，应保持一定的关系，使计算中的数值能稳定（即舍入误差保持有限或逐渐消失）和收敛（即差分方程的近似解能收敛或趋近于原微分方程的精确解）。
有限差分法(FDM)的起源,讨论其在静电场求解中的应用.以铝电解槽物理模型为例,采用FDM对其场域进行离散,使用MATLAB和C求解了各节点的电位.由此,绘制了整个场域的等位线和电场强度矢量分布.同时,讨论了加速收敛因子对超松弛迭代算法迭代速度的影响,以及具有正弦边界条件下的电场分布.有限差分法有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
分类对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
尾矿库渗流稳定分析的数值模拟方法选择
尾矿库渗流稳定分析的数值模拟方法选择尾矿库渗流稳定分析是评估尾矿库工程的关键环节，为确保尾矿库工程的安全稳定运行，选择合适的数值模拟方法进行分析具有重要意义。
本文将从数值模拟方法的选择角度，为尾矿库渗流稳定分析提供一些建议。
1. 有限元法（Finite Element Method，FEM）有限元法是一种被广泛应用于土木工程、水利工程等领域的数值模拟方法。
它通过将复杂的尾矿库渗流问题离散化为一系列简化的元素，以及节点之间的连续性方程，求解得到尾矿库内部渗流场分布。
有限元法具有较高的数值精度和灵活性，适用于复杂尾矿库的渗流分析。
2. 有限差分法（Finite Difference Method，FDM）有限差分法是一种常用的数值模拟方法，它通过将尾矿库渗流域离散化为网格，然后利用差分近似代替微分计算，求解尾矿库渗流问题。
有限差分法具有计算速度较快、易于实施的优点，适用于尾矿库渗流问题的初步分析和快速评估。
3. 边界元法（Boundary Element Method，BEM）边界元法是一种基于边界积分方程的数值模拟方法，适用于具有边界问题的尾矿库渗流稳定分析。
边界元法将尾矿库渗流问题转化为边界条件的求解过程，通过求解边界积分方程得到尾矿库内部的渗流场。
边界元法在尾矿库的渗流问题中具有较高的计算精度和较小的计算量。
4. 离散元法（Discrete Element Method，DEM）离散元法是一种适用于多相介质渗流问题的数值模拟方法，尾矿库可看作为一个多相介质体系。
离散元法通过将尾矿库划分为离散的颗粒，在考虑颗粒间相互作用的基础上，模拟尾矿库渗流过程。
离散元法适用于尾矿库的颗粒流动分析和渗流稳定性评估。
选择合适的数值模拟方法需要综合考虑尾矿库工程的具体情况和分析目标。
以下几个因素应被考虑：1. 尾矿库的规模和几何形状：对于大型和复杂的尾矿库，有限元法和边界元法可以提供更精确的结果，但计算量较大；对于小型和简单的尾矿库，有限差分法可以得到较为合理的结果，并且计算速度较快。
有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍
有限差分，有限元，有限体积等等离散方法的区别介绍一、区域离散化所谓区域离散化，实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。
实施过程是；把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积。
节点：需要求解的未知物理量的几何位置；控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。
一般把节点看成是控制容积的代表。
控制容积和子区域并不总是重合的。
在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。
网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。
大家都知道，常用的离散化方法有：有限差分法，有限元法，有限体积法。
1. 有限差分法是数值解法中最经典的方法。
它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。
这种方法发展比较早，比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。
用它求解边界条件复杂、尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。
2. 有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。
对椭圆型问题有更好的适应性。
有限元法求解的速度较有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。
目前的商用CFD软件中，FIDAP采用的是有限元法。
3. 有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。
其中的未知数十网格节点上的因变量。
子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。
就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。
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有限差分法
已经发展的一些近似数值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以处理一些相当困难的问题。
但对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到限制，甚至发生困难。
作为60年代最重要的科技成就之一的有单元法。
在理论和工程应用上都_得到迅速发展，几乎所有用经典力学解析方法难以解决的工程力学问题郁可以用有限元方法求解。
它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，解析地模拟或逼近求解区域。
由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可有不同的几何形状，因此可以适应几何形状复杂的求解域。
相限元的另一特点是利用每一单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。
单元内的近似函数由未知场函数在各个单元结点上数值以及插值函数表达，这就使未知场函数的结点值成为新的未知量，把一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，只要结点来知量解出，便可以确定单元组合体上的场函数。
随着单元数目的增加，近似解收敛于精确解。
但是有限元方法常常需要很大的存贮容量，甚至大得无法计算；由于相邻界面上只能位移协调，对于奇异性问题(应力出现间断)的处理比较麻烦。
这是有限单元法的不足之处。
边界元法
边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。
与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
降低了问题的维数，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
上述两种数值方法的主要区别在于，边界元法是“边界”方法，而有限元法是“区域”方法，但都是针对连续介质而言，只能获得某一荷载或边界条件下的
稳定解。
对于节理裂隙发育的岩体或颗粒散体的处理则要麻烦得多，更无法进行大变形、分离、回转及塌落过程的模拟。
这就使得人们去探索和寻求适合模拟节理岩体和颗粒散体运动变形特性的有效数值方法。
离散元法
离散元法是由Cundall P A (1971) 首先提出并应用于岩土体稳定性分析的一种数值分析方法。
它是一种动态的数值分析方法,可以用来模拟边坡岩体的非均质、不连续和大变形等特点,因而,也就成为目前较为流行的一种岩土体稳定性分析数值方法。
该方法在进行计算时,首先将边坡岩体划分为若干刚性块体(目前已可以考虑块体的弹性变形) ,以牛顿第二运动定律为基础,结合不同本构关系,考虑块体受力后的运动及由此导致的受力状态和块体运动随时间的变化。
它允许块体间发生平动、转动,甚至脱离母体下落,结合CAD 技术可以在计算机上形象地反应出边坡岩体中的应力场、位移及速度等力学参量的全程变化。
该方法对块状结构、层状破裂或一般碎裂结构岩体比较适合。
caoyb19822009-05-24 09:09
的数值方法有很多，可以分为两大类：一类是连续介质力学数值方法，另一类是非连续介质力学数值方法。
其中连续介质力学数值方法将岩体简化成数学意义上的连续体来进行分析，主要有：有限差分法、有限元法、边界元法、无单元法等等。
有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是求解偏微分方程的最重要的数值方法之一，其主要思想是将微分方程近似地用相应的差分方程来替代，从而将求解偏微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题。
有限元分析（finite element analysis ，fea）是使用有限元方法来分析静态或动态的物理物体或物理系统，是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件)，从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
然而，当岩体中存在着大量结构面时，将为上述接触单元和接触模型的使用带来困难，处理连续介质力学的有限单元法对于需要考虑大量结构面的非连续介质力学问题如岩石边坡稳定等，就显现出其局限性。
边界积分方程－边界元法（Boundary Integral Equation-BoundaryElement Method）简称边界元
法（BEM）是继有限元之后发展起来的一种有效的数值分析方法。
其基本思想是以边界积分方程为数学基础，同时采用与有限元法类似的离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界
积分方程离散为线性代数方程组，再由数值方法求解线性代数方程组，从而得到原问题的边界积分方程解。
无单元法（Element-free/Mesh-less Method）是Nayroles[80]等于1992年针对有限元法的一些缺点，如网格依赖性、奇异边界等提出的一种新的数值方法。
其基本方法是采用节点信息及其局部支撑域上的权函数实行局部精确逼近，通过配点法或伽辽金法得到微分方程弱形式，再选用合适的积分方案聚合整体平衡方程，从而实现对问题的求解。
扩展有限元法[87]（eXtended Finite Element Method，X-FEM）是近年来新发展起来的数值方法之一，该方法基于单位分解（PU）理论对传统有限元方法进行了扩展，引入完全独立于网格划分的非连续位移模式来表征裂纹尖端不连续界面的演化，因此计算过程中不需要预设开裂路径和调整计算网格。
连续介质力学数值方法均采用连续体假定，必须满足应力平衡和位移协调条件，因此，在模拟岩石工程计算中，如滑坡体的变形破坏、坝基、隧道工程的失稳等方面均有一定的局限。
随着计算技术的发展，出现了很多新的处理非连续介质力学的方法
极限平衡法是岩土工程稳定分析中最为广泛使用的一种方法。
该法以摩尔库仑的抗剪强度理论为基础，对滑动岩体进行力平衡分析，结合结构面的强度参数得到抗滑稳定安全系数刚体弹簧元法（Rigid
Body-Spring Model, RBSM）首先将结构体离散化为一系列块体，每个块体包含六个自由度，块体与块体之间用弹簧连接，每个块体本身均是一个刚性体。
该方法本质上是由有限元法演绎而来的，
与有限元不同的是，刚体弹簧元在块体形心处插值，用块体形心的位移作为基本未知量，用分片的刚体位移去逼近实际整体位移场
离散单元法（Discrete/Distinct Element Method，DEM）是1971 年由Cundall[115]提出的一种分析节理岩体的数值计算方法，最初是为了模拟岩质边坡的破坏过程。