经典导学案
一元二次方程、不等式(经典导学案及练习答案详解)
§1.5一元二次方程、不等式学习目标1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(√)(3)若ax 2＋bx ＋c >0恒成立，则a >0且Δ<0.( × ) (4)不等式x －ax －b ≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × )教材改编题1．若集合A ＝{x |x 2－9x >0}，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，则A ∪B 等于( ) A ．R B ．{x |x >－1} C ．{x |x <3或x >9} D ．{x |x <－1或x >3} 答案 C解析 A ＝{x |x >9或x <0}，B ＝{x |－1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |x <3或x >9}．2．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 依题意知⎩⎨⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝⎛⎭⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3．一元二次不等式ax 2＋ax －1<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－4,0)解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋4a <0，∴－4<a <0.题型一 一元二次不等式的解法 命题点1 不含参的不等式例1 (1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32<x <1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－32或x >1 答案 C解析 －2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0， 即(x ＋1)(2x －3)>0， ∴x <－1或x >32.(2)(多选)已知集合M ＝{}x ||x －1|≤2，x ∈R ，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪5x ＋1≥1，x ∈R ，则( ) A ．M ＝{}x |－1≤x ≤3 B ．N ＝{}x |－1≤x ≤4 C ．M ∪N ＝{}x |－1≤x ≤4 D ．M ∩N ＝{}x |－1<x ≤3 答案 ACD解析 由题设可得M ＝[－1,3]，N ＝(－1,4]， 故A 正确，B 错误；M ∪N ＝{x |－1≤x ≤4}，故C 正确； 而M ∩N ＝{x |－1<x ≤3}，故D 正确． 命题点2 含参的不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 延伸探究 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式． 解 当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1， 当a <0时，1a<1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1， 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1. 教师备选解关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0. 解 由题意知，Δ＝a 2－4， ①当a 2－4>0，即a >2或a <－2时，方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x ＝a ±a 2－42，∴原不等式的解为a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42.②若Δ＝a 2－4＝0，则a ＝±2.当a ＝2时，原不等式可化为x 2－2x ＋1≤0， 即(x －1)2≤0，∴x ＝1；当a ＝－2时，原不等式可化为x 2＋2x ＋1≤0， 即(x ＋1)2≤0，∴x ＝－1.③当Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2时， 原不等式的解集为∅.综上，当a >2或a <－2时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42； 当a ＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <2时，原不等式的解集为∅.思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)(多选)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |x ≤－3或x ≥4}，则下列说法正确的是( ) A ．a >0B ．不等式bx ＋c >0的解集为{x |x <－4}C ．不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13 D ．a ＋b ＋c >0 答案 AC解析 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)， 所以二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向向上，即a >0，故A 正确； 对于B ，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3,4，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－ba＝－3＋4，ca ＝－3×4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .bx ＋c >0⇔－ax －12a >0， 由于a >0，所以x <－12，所以不等式bx ＋c >0的解集为{}x |x <－12， 故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以cx 2－bx ＋a <0⇔－12ax 2＋ax ＋a <0⇔12x 2－x －1>0⇔x <－14或x >13，所以不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13，故C 正确； 对于D ，a ＋b ＋c ＝a －a －12a ＝－12a <0，故D 不正确． (2)解关于x 的不等式(x －1)(ax －a ＋1)>0.解 ①当a ＝0时，原不等式可化为x －1>0，即x >1； 当a ≠0时，(x －1)(ax －a ＋1)＝0的两根分别为1,1－1a .②当a >0时，1－1a<1，∴原不等式的解为x >1或x <1－1a .③当a <0时，1－1a >1，∴原不等式的解为1<x <1－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <1－1a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1－1a . 题型二 一元二次不等式恒(能)成立问题 命题点1 在R 上恒成立问题例3 (2022·漳州模拟)对∀x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a ≤2 B ．－2≤a ≤2 C ．a <－2或a ≥2 D ．a ≤－2或a ≥2答案 A解析 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立，满足题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ<0，即有⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]． 命题点2 在给定区间上恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，67 解析 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法： 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6， x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0在x ∈[1,3]上恒成立， 所以m <6x 2－x ＋1在x ∈[1,3]上恒成立．令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3，当0≤p ≤4时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[－1,3] B ．(－∞，－1] C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 不等式x 2＋px >4x ＋p －3 可化为(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，由已知可得[(x －1)p ＋x 2－4x ＋3]min >0(0≤p ≤4)， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3(0≤p ≤4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝x 2－4x ＋3>0，f (4)＝4(x －1)＋x 2－4x ＋3>0，∴x <－1或x >3.教师备选函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，则实数x 的取值范围是________________． 答案 [－7,2](－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)解析 若x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2<－2，g (－2)＝7－3a ≥0.或③⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2>2，g (2)＝7＋a ≥0，解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈∅， 解③得－7≤a <－6.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)． 思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2 (1)已知关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1}答案 A解析 因为关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，即x 2－4x ＋a 2－3a ≤0在R 上有解，只需y ＝x 2－4x ＋a 2－3a 的图象与x 轴有公共点， 所以Δ＝(－4)2－4×(a 2－3a )≥0， 即a 2－3a －4≤0，所以(a －4)(a ＋1)≤0， 解得－1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤4}．(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0， 解得m ≤－5.课时精练1．不等式9－12x ≤－4x 2的解集为( ) A ．RB ．∅C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠32 答案 C解析 原不等式可化为4x 2－12x ＋9≤0， 即(2x －3)2≤0， ∴2x －3＝0，∴x ＝32，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝32. 2．(2022·揭阳质检)已知p ：|2x －3|<1，q ：x (x －3)<0，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件 答案 B解析 ∵p ：|2x －3|<1，则－1<2x －3<1， 可得p ：1<x <2，又∵q ：x (x －3)<0，由x (x －3)<0，可得q ：0<x <3， 可得p 是q 的充分不必要条件．3．(2022·南通模拟)不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅，则m 的取值范围是( ) A ．m <－1 B ．m ≥233C ．m ≤－233D ．m ≥233或m ≤－233答案 B解析 ∵不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅， ∴不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0恒成立．①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式化为x －2≥0， 解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立，舍去； ②当m ＋1≠0，即m ≠－1时，对任意x ∈R ， 要使(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0，只需m ＋1>0且Δ＝(－m )2－4(m ＋1)(m －1)≤0， 解得m ≥233.综上，实数m 的取值范围是m ≥233.4．(2022·合肥模拟)不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈[1,3]恒成立，则a 的最小值是( ) A ．－5 B ．－133 C ．－4 D ．－3答案 C解析 ∵x ∈[1,3]时，x 2＋ax ＋4≥0恒成立， 则a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 恒成立， 又x ∈[1,3]时，x ＋4x ≥24＝4，当且仅当x ＝2时取等号．∴－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤－4， ∴a ≥－4.故a 的最小值为－4.5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4)D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案 AD解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD. 6．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x 2＋ax ＋b >0(a >0)的解集是{x |x ≠d }，则下列四个结论中正确的是( )A ．a 2＝4bB ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析 由题意，知Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ，所以A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当a 2＝4a 2，即a ＝2时等号成立， 所以B 正确；对于C ，由根与系数的关系，知x 1x 2＝－b ＝－a 24<0，所以C 错误； 对于D ，由根与系数的关系，知x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ＝a 24－c ， 则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝a 2－4⎝⎛⎭⎫a 24－c ＝2c ＝4， 解得c ＝4，所以D 正确．7．不等式3x －1>1的解集为________．答案 (1,4)解析 ∵3x －1>1， ∴3x －1－1>0，即4－x x －1>0， 即1<x <4.∴原不等式的解集为(1,4)．8．一元二次方程kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝k 2－4k >0，1k<0，解得k <0. 9．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ， 解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅； 当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．10．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (0)＝2，得c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ，又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16，4a ＋2b ＝0，故a ＝4，b ＝－8， 所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立，令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2，即m 的取值范围为(－∞，－2)．11．(多选)已知函数f (x )＝4ax 2＋4x －1，∀x ∈(－1,1)，f (x )<0恒成立，则实数a 的取值可能是( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3答案 CD解析 因为f (x )＝4ax 2＋4x －1，所以f (0)＝－1<0成立．当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，由f (x )<0可得4ax 2<－4x ＋1，所以4a <⎝⎛⎭⎫1x 2－4x min ，当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，1x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 所以1x 2－4x ＝⎝⎛⎭⎫1x－22－4≥－4， 当且仅当x ＝12时，等号成立， 所以4a <－4，解得a <－1.12．(2022·南京质检)函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________． 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c >0，即x 2－2x －c <0的解集为(m ，m ＋4)，所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝2，m (m ＋4)＝－c ，解得m ＝－1，c ＝3. 13．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．答案 [－4,3]解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.14．若不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 解析 对于方程x 2＋ax －2＝0，∵Δ＝a 2＋8>0，∴方程x 2＋ax －2＝0有两个不相等的实数根，又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f (x )＝x 2＋ax －2，于是不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，即5a ＋23>0，解得a >－235. 故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞.15．(2022·湖南多校联考)若关于x 的不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0恰有两个整数解，则a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ 32<a ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤－12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤－12或32≤a <2 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ －1≤a <－12或32<a ≤2 答案 D解析 令x 2－(2a ＋1)x ＋2a ＝0，解得x ＝1或x ＝2a .当2a >1，即a >12时， 不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |1<x <2a }，则3<2a ≤4，解得32<a ≤2； 当2a ＝1，即a ＝12时， 不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0无解，所以a ＝12不符合题意； 当2a <1，即a <12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |2a <x <1}， 则－2≤2a <－1，解得－1≤a <－12. 综上，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1≤a <－12或32<a ≤2. 16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧ 0＋5＝－b 2，0×5＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0， 解得－14≤t ≤16， 所以0<t ≤16； 当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14， 即－14≤t <0， 综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。
《仁义礼智,我固有之》 导学案
《仁义礼智，我固有之》导学案一、学习目标1、理解孟子“仁义礼智，我固有之”的观点。
2、学习孟子运用比喻、举例等论证方法进行说理的技巧。
3、思考并探讨“仁义礼智”在现代社会中的价值和意义。
二、学习重难点1、重点（1）理解孟子关于“仁义礼智，我固有之”的论述。
（2）掌握文中重要的实词、虚词和句式。
2、难点（1）领悟孟子思想的现实意义。
（2）借鉴孟子的说理方法，提升自己的论说能力。
三、知识链接1、孟子简介孟子（约公元前 372 年公元前 289 年），名轲，字子舆，战国时期邹国（今山东邹城）人。
伟大的思想家、教育家，儒家学派的代表人物之一，与孔子并称“孔孟”。
2、《孟子》其书《孟子》一书是孟子的言论汇编，由孟子及其弟子共同编写而成，记录了孟子的治国思想、政治观点和政治行动，属儒家经典著作。
其学说出发点为性善论，主张德治。
四、文本研读（一）整体感知1、朗读课文，注意字音和停顿。
2、对照注释，疏通文意，理解文章的大致内容。
（二）具体分析1、孟子认为“仁义礼智，我固有之”，他是如何论证这一观点的？（1）以“恻隐之心，仁之端也；羞恶之心，义之端也；辞让之心，礼之端也；是非之心，智之端也”为例，指出人皆有“四端”，就像人皆有四肢一样，这是与生俱来的。
（2）通过“孺子将入于井”的例子，说明人在紧急情况下都会产生“怵惕恻隐之心”，这种同情心是“仁”的开端。
（3）以“人皆有所不忍，达之于其所忍，仁也；人皆有所不为，达之于其所为，义也”来说明，将不忍之心、不为之心推广扩充，就能够成就仁义。
2、文中运用了哪些论证方法？有何作用？（1）比喻论证如“人之有是四端也，犹其有四体也”，将“四端”比作人的四肢，形象生动地说明了“四端”是人天生就有的。
（2）举例论证“孺子将入于井”的例子，具体直观地论证了人皆有恻隐之心，从而论证了“仁之端也”。
3、思考：孟子所说的“仁义礼智”与我们今天所理解的“仁义礼智”有何异同？（三）深入探究1、孟子认为“仁义礼智，我固有之”，那么在现实生活中，我们应该如何培养和发扬这些品质？（1）要善于反省自身，发现自己内心的善端，并加以呵护和培养。
得道多助失道寡助导学案
得道多助，失道寡助导学案一、学习目标 (1)二、学习重难点 (2)三、预习检测 (2)四、中心思想 (3)五、段落划分 (4)六、写作手法 (5)七、读文感知 (6)八、经典语句解读 (7)九、预习检测答案 (9)十、全文翻译 (10)一、学习目标《得道多助失道寡助》这篇古文，是孟子政治主张的集中体现，强调了道义在政治和军事中的重要作用。
学习本文，首要目标是理解孟子提出的“得道多助，失道寡助”的深刻内涵，体会其中蕴含的哲理，并将其应用于日常生活和工作中。
学习目标还包括掌握本文的文言基础知识，如重点词汇、句式结构等，提高文言文阅读理解能力。
同时，通过深入分析文本，培养批判性思维，学会辩证看待问题，理解道义与力量之间的关系，以及道义在人际交往和社会治理中的重要性。
学习《得道多助失道寡助》，旨在深入理解孟子的政治主张，提升个人素养，培养正确的价值观和道德观。
二、学习重难点《得道多助失道寡助》一文的学习重难点主要聚焦于两方面。
首先，深入理解并把握孟子提出的“得道多助，失道寡助”的政治主张，这是本文的核心思想，也是理解孟子政治哲学的重要入口。
需要仔细揣摩文中的每一句话，体会其中的深刻内涵。
其次，本文是一篇文言文，对于文言词汇、句式结构等基础知识的掌握和运用也是学习的一大难点。
这需要我们通过反复阅读和练习，逐步提高文言文的阅读理解能力。
通过攻克这些重难点，我们能够更好地理解和运用孟子的政治主张，也能提升我们的文言文素养。
三、预习检测一、填空题1.《得道多助失道寡助》一文的作者是_______，他是_______时期的思想家、教育家，是_______家学派的代表人物。
2.“得道多助，失道寡助”中的“道”指的是__________________。
3.文章的中心论点是__________________。
二、选择题1.下列句子中加点词解释有误的一项是（）A.天时不如地利（有利于作战的天气、时令）B.委而去之（离开）C.寡助之至，亲戚畔之（内外亲属）D.威天下不以兵革之利（武器）2.下列句子中加点词的意义和用法相同的一项是（）A.环而攻之而不胜/委而去之B.三里之城/多助之至C.寡助之至/天下顺之D.然而不胜者/天时不如地利三、翻译题1.天时不如地利，地利不如人和。
应用举例(一)(优秀经典导学案)
1.2解三角形应用举例第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学设想新课讲授（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75。
求A、B两点的距离(精确到0.1m)51，∠ACB=︒提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C南偏东60︒，则A、B之间的距离为多少？例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒3、学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
4、课堂练习：课本第14页练习第1、2题5、归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
《孔乙己》导学案(精选6篇)
《孔乙己》导学案 篇1 [教学目标] 1、认识封建科举制度的罪恶，教育学生珍惜现在的学习生活 2、在具体的自然环境和社会环境的描写中，去分析人物的性格特征，从而揭示孔乙己悲剧生活的社会根源。
[教学重点和难点]： 把握主题 [教学时数] 四教时 一、导语： 二、时代背景介绍 本文写于1918年冬天，发表于1919年4月的《新青年》杂志，后来收入短篇小说集《呐喊》。
在当时的文化教育领域，虽然在1906年就废止了封建科举制度，但封建复古逆流仍然很猖獗。
封建教育仍然是社会教育的核心内容。
鲁迅先生针对现状，写了二十多年前的社会现实，启发人们将其与当时现状进行对照，懂得批判与取舍。
三、作者介绍： 鲁迅是一位伟大的文学家、思想家和革命家。
从文学创作方面讲，鲁迅前期创作成熟和影响最大的是小说，而他后期则主要从事杂文创作。
小说集：《呐喊》《彷徨》，《狂人日记》是新中国第一篇白话文小说，他写的第二部就是《孔乙己》。
散文集：《从百草园到三味书屋》，杂文集：《》诗集：《野草》 四、读课文 1、检查预习，正字注音 阔绰（chu）阔气。
绰：宽绰，如绰绰有余 羼（chàn）混和，掺杂 绽出（zhàn）突露出来。
比较“绽”“淀”字 间或（jiàn）偶然，有时候。
注音“中间”读jian 拭（shì）擦蘸（zhàn）打折（shé）打断附和（hè）（言语动作）追随别人（多含贬义）。
比较：和平he 不屑置辩（xiè）：认为不值得争辩 颓唐（tuí）精神萎靡，不振作 戕害（qiāng）伤害。
戕：杀害。
2、听录音，要求用一句话概括全文内容。
通过“我”——咸亨酒店小伙计的口述，记叙了清末下层知识分子孔乙己一生的不幸遭遇和悲惨结局。
五、理清小说结构 1、指名回顾小说情节的四个组成部分。
（开端、发展、高潮、结局） 2、按照小说情节的开端、发展、高潮、结局划分课文结构。
《伊索寓言》 导学案
《伊索寓言》导学案一、学习目标1、了解《伊索寓言》的基本知识，包括作者、创作背景、文学地位等。
2、能够读懂并理解《伊索寓言》中的经典故事，领会其中蕴含的道理。
3、学习通过寓言故事培养思考能力、道德观念和人生智慧。
4、掌握分析寓言故事的方法和技巧，提高文学鉴赏能力。
二、学习重难点1、重点（1）理解寓言故事中的深刻寓意和人生哲理。
（2）掌握分析寓言故事的方法，如通过人物形象、情节发展、语言表达等来揭示寓意。
2、难点（1）如何将寓言故事中的道理与现实生活相结合，指导自己的行为和思想。
（2）对于一些较为复杂或隐晦的寓言故事，准确把握其寓意。
三、知识链接1、作者简介伊索，相传为公元前 6 世纪古希腊的奴隶，善于讲寓言故事来讽刺权贵。
他所创作的寓言故事经后人整理，成为了《伊索寓言》。
2、创作背景《伊索寓言》产生于希腊的古典时期，当时社会矛盾尖锐，人们需要通过一种简单易懂的方式来表达对社会现象的看法和思考。
寓言这种形式短小精悍、寓意深刻，正好满足了这一需求。
3、文学地位《伊索寓言》是世界上最早的寓言集之一，对后来的欧洲寓言文学产生了深远影响，也是人类文化宝库中的重要组成部分。
四、学习过程1、自主阅读选择几篇《伊索寓言》中的经典故事，如《狐狸和葡萄》《农夫和蛇》《龟兔赛跑》等，进行自主阅读。
在阅读过程中，思考以下问题：（1）故事的主要情节是什么？（2）故事中的主要人物或动物有怎样的特点？（3）故事想要传达的道理是什么？2、小组讨论将同学们分成小组，交流自己对所读寓言故事的理解和感悟。
每个小组推选一名代表，在全班进行发言。
3、寓意分析以《狐狸和葡萄》为例，引导同学们分析故事的寓意。
狐狸因为够不着葡萄，就说葡萄是酸的。
这反映了一种怎样的心理？在生活中，我们是否也有过类似的经历？通过这样的分析，让同学们明白，这个故事告诉我们，有些人能力小，做不成事，就借口说时机未成熟，不要为自己的无能找借口。
4、联系生活让同学们思考，在现实生活中，如何避免像寓言中的人物或动物那样犯错？比如，在面对困难时，是像兔子一样骄傲自大，还是像乌龟一样坚持不懈？通过这样的思考，将寓言中的道理运用到实际生活中。
集 合(经典导学案及练习答案详解)
§1.1集合学习目标1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示 运算集合语言 图形语言 记法并集{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B交集 {x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B 补集{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A常用结论1．若集合A 有n (n ≥1)个元素，则集合A 有2n 个子集，2n －1个真子集． 2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x ∈N |x 3＝x }，用列举法表示为{－1,0,1}．( × ) (2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若1∈{x 2，x }，则x ＝－1或x ＝1.( × ) (4)对任意集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )．( √ ) 教材改编题1．(多选)若集合A ＝{x ∈N |2x ＋10>3x }，则下列结论正确的是( ) A ．22∉A B ．8⊆A C ．{4}∈A D ．{0}⊆A答案 AD2．已知集合M ＝{a ＋1，－2}，N ＝{b ,2}，若M ＝N ，则a ＋b ＝________. 答案 －1解析 ∵M ＝N ，∴⎩⎨⎧a ＋1＝2，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－1.3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∩B ＝____________，A ∪(∁U B )＝____________.答案 {x |2≤x ≤3} {x |－2<x ≤3}解析 ∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}＝{x |x ≤－2或x ≥2}， ∴∁U B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，A ∪(∁U B )＝{x |－2<x ≤3}.题型一 集合的含义与表示例1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素． (2)若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案 0或1解析 ①当a －3＝－3时，a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}， ②当2a －1＝－3时，a ＝－1， 此时A ＝{－4，－3，－3}舍去，③当a 2－4＝－3时，a ＝±1，由②可知a ＝－1舍去，则当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}， 综上，a ＝0或1. 教师备选若集合A ＝{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k 的取值集合是________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，14解析 依题意知，方程kx 2＋x ＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝1－4k ＝0，∴k ＝0或k ＝14，∴k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，14.思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1 (1)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪4x －2∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 ∵4x －2∈Z ，∴x －2的取值有－4，－2，－1,1,2,4， ∴x 的值分别为－2,0,1,3,4,6， 又x ∈N ，故x 的值为0,1,3,4,6. 故集合A 中有5个元素．(2)已知a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则a 2 023＋b 2 023＝________.答案 0解析 ∵{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b 且a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ， ∴{1,0，－b }＝{0，－1，b }， ∴b ＝1，a ＝－1， ∴a 2 023＋b 2 023＝0.题型二 集合间的基本关系例2 (1)设集合P ＝{y |y ＝x 2＋1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}，则集合M 与集合P 的关系是( ) A ．M ＝P B ．P ∈M C ．M P D ．PM答案 D解析 因为P ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R ，因此P M .(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1，＋∞) 解析 ∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，解得m >2； ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．延伸探究 在本例(2)中，若把B ⊆A 改为B A ，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1，＋∞)解析 ①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，∴m >2；②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1<4或⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1>－3，m ＋1≤4.解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)． 教师备选已知M ，N 均为R 的子集，若N ∪(∁R M )＝N ，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ⊆∁R N D ．∁R N ⊆M答案 D解析 由题意知，∁R M ⊆N ，其Venn 图如图所示，∴只有∁R N ⊆M 正确．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |x 2－6x <0}，则满足A C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．8答案 C解析 ∵A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}， 且A C ⊆B ，∴集合C 的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．(2)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为________． 答案 0，±1解析 ∵M ＝{－1,1}，且M ∩N ＝N ，若N ＝∅，则a ＝0；若N ≠∅，则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，∴1a ＝1或1a ＝－1， ∴a ＝±1综上有a ＝±1或a ＝0. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2021·全国乙卷)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T 等于( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z 答案 C解析 方法一 在集合T 中，令n ＝k (k ∈Z )，则t ＝4n ＋1＝2(2k )＋1(k ∈Z )，而集合S 中，s ＝2n ＋1(n ∈Z )，所以必有T ⊆S ， 所以T ∩S ＝T .方法二 S ＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T ＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T ⊆S ，所以T ∩S ＝T .(2)(2022·济南模拟)集合A ＝{x |x 2－3x －4≥0}，B ＝{x |1＜x ＜5}，则集合(∁R A )∪B 等于( ) A ．[－1,5) B ．(－1,5) C ．(1,4] D ．(1,4)答案 B解析 因为集合A ＝{x |x 2－3x －4≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥4}， 又B ＝{x |1＜x ＜5}， 所以∁R A ＝(－1,4)， 则集合(∁R A )∪B ＝(－1,5)．命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)例4 (1)(2022·厦门模拟)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{x |log 2x <1}，且A ∩B 有2个子集，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．(0,1)∪(1,2] C ．[2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)解析 由题意得，B ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}， ∵A ∩B 有2个子集， ∴A ∩B 中的元素个数为1； ∵1∈(A ∩B )，∴a ∉(A ∩B )，即a ∉B ，∴a ≤0或a ≥2， 即实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A ＝{x |3x 2－2x －1≤0}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－103或a >12B ．a ≤－103或a ≥12C ．a <－16或a >2D ．a ≤－16或a ≥2答案 B解析 A ＝{x |3x 2－2x －1≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤1， ①B ＝∅，2a ≥a ＋3⇒a ≥3，符合题意； ②B ≠∅，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ＋3≤－13或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a ≥1， 解得a ≤－103或12≤a <3.∴a 的取值范围是a ≤－103或a ≥12.教师备选(2022·铜陵模拟)已知A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，若A ∩(∁R B )≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．1≤a ≤2 B ．1<a <2 C ．a ≤1或a ≥2 D ．a <1或a >2答案 D解析 A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，所以∁R B ＝{x |a －1<x <a ＋1}； 又A ∩(∁R B )≠∅， 所以a －1<0或a ＋1>3， 解得a <1或a >2，所以实数a 的取值范围是a <1或a >2.思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3 (1)(2021·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N 等于( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <4 C ．{x |4≤x <5} D ．{x |0<x ≤5}答案 B解析 因为M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤5， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <4. (2)(2022·南通模拟)设集合A ＝{1，a ＋6，a 2}，B ＝{2a ＋1，a ＋b }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝________，b ＝________. 答案 2 2解析 由题意知，4∈A ，所以a ＋6＝4或a 2＝4， 当a ＋6＝4时，则a ＝－2，得A ＝{1,4,4}，故应舍去； 当a 2＝4时，则a ＝2或a ＝－2(舍去)， 当a ＝2时，A ＝{1,4,8}，B ＝{5,2＋b }， 又4∈B ，所以2＋b ＝4，得b ＝2. 所以a ＝2，b ＝2.题型四 集合的新定义问题例5 (1)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．21 答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.(2)非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝2x，x ∈[1，4]，其中是“互倒集”的序号是________． 答案 ②③解析 ①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意； ②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}， 即{x |3－22≤x ≤3＋22}， 显然0∉A ， 又13＋22≤1x ≤13－22，即3－22≤1x ≤3＋22，故1x也在集合中，符合题意； ③中，⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝2x，x ∈[1，4]， 易得⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪12≤y ≤2，0∉A ， 又12≤1y ≤2，故1y 也在集合A 中，符合题意． 教师备选对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝____________. 答案 {x |－3≤x ＜0或x >3}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}， ∴A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x ＜0}． ∴A *B ＝{x |－3≤x ＜0或x >3}． 思维升华 解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4 若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2＝A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1＝A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)是集合A 的同一种分拆．若集合A 有三个元素，则集合A 的不同分拆种数是________． 答案 27解析不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆．课时精练1．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则∁U(M∪N)等于()A．{5} B．{1,2}C．{3,4} D．{1,2,3,4}答案 A解析方法一(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．方法二(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3,4,5}，∁U N＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＋3>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁U B)等于() A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)答案 C解析A＝{x|x＋3>2}＝(1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴∁U B＝(－∞，2)，∴A∩(∁U B)＝(1,2)．3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为() A．2 B．3 C．8 D．9答案 B解析 由题意知，集合N ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N 的元素个数为3.4．(2022·青岛模拟)已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a 1＋a 2＋a 3等于( )A ．1B ．2C ．3D ．6 答案 C解析 集合A ＝{a 1，a 2，a 3}的所有非空真子集为{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 2，a 3}，则所有非空真子集的元素之和为a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＋a 1＋a 3＋a 2＋a 3＝3(a 1＋a 2＋a 3)＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3.5．(2022·浙江名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－2B ．a ≤－2C ．a >－4D ．a ≤－4 答案 D解析 集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤－a 2，由A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图．可知－a 2≥2，即a ≤－4. 6．(多选)已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则下列说法正确的是( )A ．P ∪Q ＝RB ．P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}C ．P ∩Q ＝{(x ，y )|x ＝0或1，y ＝0或1}D ．P ∩Q 的真子集有3个答案 BD解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， ∴P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}，故B 正确，C 错误；又P，Q为点集，∴A错误；又P∩Q有两个元素，∴P∩Q有3个真子集，∴D正确．7．(多选)(2022·重庆北碚区模拟)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为()A．{2,3,4} B．{3,4,5}C．{4,5,6} D．{3,5,6}答案BD解析由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；对于A选项，若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确；对于B选项，若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；对于D选项，若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确．8．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的是()A．A∩B＝∅B．A∩B＝BC．A∪B＝U D．(∁U B)∪A＝A答案CD解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知∁U A⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故C，D均正确．9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.解析 由题意可知，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x 2＋mx ＝0的两个根，所以m ＝－3.10．(2022·石家庄模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ∈Z ||x －1|<3}，N ＝{－4，－2,0,1,5}，则下列Venn 图中阴影部分的集合为________．答案 {－1,2,3}解析 集合M ＝{x ∈Z ||x －1|<3}＝{x ∈Z |－3<x －1<3}＝{x ∈Z |－2<x <4}＝{－1,0,1,2,3}， Venn 图中阴影部分表示的集合是M ∩(∁R N )＝{－1,2,3}．11．已知集合A ＝{m 2，－2}，B ＝{m ，m －3}，若A ∩B ＝{－2}，则A ∪B ＝________. 答案 {－5，－2,4}解析 ∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈B ，若m ＝－2，则A ＝{4，－2}，B ＝{－2，－5}，∴A ∩B ＝{－2}，A ∪B ＝{－5，－2,4}；若m －3＝－2，则m ＝1，∴A ＝{1，－2}，B ＝{1，－2}，∴A ∩B ＝{1，－2}(舍去)，综上，有A ∪B ＝{－5，－2,4}．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(a －x )}，B ＝{x |1<x <2}，且(∁R B )∪A ＝R ，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 由已知可得A ＝(－∞，a )，∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(∁R B )∪A ＝R ，∴a ≥2.13．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．32D ．256解析 由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1,1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24－1＝15. 14．已知集合A ＝{x |8<x <10}，设集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，若(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，92解析 当B ＝∅时，2a －1≤a ，解得a ≤1，此时∁U B ＝U ，(∁U B )∩A ＝U ∩A ＝{x |8<x <9}，符合题意；当B ≠∅时，2a －1>a ，解得a >1，因为集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，所以∁U B ＝{x |0<x ≤a 或2a －1≤x <9}，因为(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，所以2a －1≤8，解得a ≤92，所以B ≠∅时，1<a ≤92，综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，92.15．(多选)设集合A ＝{x |x ＝m ＋3n ，m ，n ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，x 1x 2∈A ，则运算可能是( )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法答案 AC解析 由题意可设x 1＝m 1＋3n 1，x 2＝m 2＋3n 2，其中m 1，m 2，n 1，n 2∈N *，则x 1＋x 2＝(m 1＋m 2)＋3(n 1＋n 2)，x 1＋x 2∈A ，所以加法满足条件，A 正确；x 1－x 2＝(m 1－m 2)＋3(n 1－n 2)，当n 1＝n 2时，x 1－x 2∉A ，所以减法不满足条件，B 错误；x 1x 2＝m 1m 2＋3n 1n 2＋3(m 1n 2＋m 2n 1)，x 1x 2∈A ，所以乘法满足条件，C 正确；x 1x 2＝m 1＋3n 1m 2＋3n 2，当m 1m 2＝n 1n 2＝λ(λ>0)时，x 1x 2∉A ， 所以除法不满足条件，D 错误．16．对班级40名学生调查对A ，B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成，另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A ，B 都赞成的学生有___________人．答案 18解析 赞成A 的人数为40×35＝24，赞成B 的人数为24＋3＝27，设对A ，B 都赞成的学生有x 人，则13x ＋1＋27－x ＋x ＋24－x ＝40， 解得x ＝18.。
函数的单调性导学案(经典)
《函数的单调性》导学案
一、教学目标
（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，并能从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法．
（2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
（3）情感态度价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程,也培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．
二、教学重难点
教学重点：（1）函数单调性的概念及其应用；
（2）常见函数的单调区间的求法．
教学难点：利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．
三、课堂导学。
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2013-2014高二语文选修导学案编号使用时间：2015年1月日
第三单元
苏幕遮（周邦彦）
【学习目标】
1.诵读全词，把握其中的情感。
2.掌握本词“反客为主”的表现手法。
3.背诵全词。
【学习重点】
词中蕴含的情感
【学习难点】
“反客为主”的表现手法
预习案
一. 积累描写荷花诗句
1. ，。
2. ，。
3. , 。
4. ，。
二.作家名片
周邦彦（1056—1121），字美成，号清真居士，人。
少年时落拓不羁，二十四岁时入太学读书，后来当过一些地方官和
编制人：计艳霞审核人：语文组班级姓名小组评价校书郎等职。
他精通音律、善作词，其作品善铺叙而含蓄，富丽精细，格律精严。
周邦彦是继苏轼之后北宋中后期词坛领袖，他不同于苏轼追求创作自由，注重抒情言志，而是强调精心勾画，法度井然，注重词境的开拓。
他是继柳永之后北宋最有影响力的派词人。
三.解释下列句子中加点的词。
1.燎．沉香
2.消溽．暑
3.侵．晓窥檐语
4.叶上初阳干宿雨
．．．
5.小楫．轻舟
6.梦入芙蓉浦．。
四.整体赏析
这首词上片：下片：（写景或抒情）。
这首词主要抒发词人
的情感。
【我的疑惑】：
探究案
1.这首词上片是如何写景的？请用优美的语言描绘上片的景。
2.下片是如何抒情的？
3. 这首词上片写景，下片抒情，情景关联密切,想想二者有什么关
系。
请结合诗句分析。
【学法归纳】鉴赏诗词情感的答题步骤：
1. 2. 3.
训练案
除夜作
高适
旅馆寒灯独不眠，客心何事转凄然？
故乡今夜思千里，双鬓明朝又一年。
“故乡今夜思千里”，诗人运用什么表现手法抒写思乡之情的？【自我评价】
探究非常好好一般
探究1
探究2
探究3
【我的收获】
【布置作业】
完成《学习指导》57页的练习。
【预习新课】
预习《过小孤山大孤山》。