长沙市周南中学2020届高三第2次月考理科数学试题

长沙市周南中学2020届高三第2次月考理科数学试题
时量： 120分钟 总分： 150 命题： 审题：
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合M={x ||x -1|＞1}，N={x |x ²+x -6＜0}，则M ∩N=（ ） A ．{x |2＜x ＜3} B ．{x |-3＜x ＜0} C ．{x |0＜x ＜2} D ．{x |-3＜x ＜2} 2．已知31i
z i
=-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．32
-
B ．32
C ．32i -
D ．32
i
3．已知0.2
2x =，2lg 5y =，7
525z ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则下列结论正确的是（ ） A ．x y z << B ．y z x << C ．z y x << D ．z x y <<
4．若,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式
2
1.36
v L h ≈
它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式22
75v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为
（ ） A.
227 B.258 C.15750 D.355
113
6．函数()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣1，则判断框①中可以填入的条件是（ ） A ．n ≥999 B ．n ≤1000 C ．n ＜999 D ．n ＞1000
{}{}(
)
项和等于的前数列，则中数列在各项均为正数的定比10log 4.826
5n n
a a a a =
A ．20
B ．10
C ．5
D ．2+log 25
9．袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A ，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经18
由此可以估计事件A 发生的概率为（ ） A ．19
B ．2
9
C ．
518
D ．
718
10．已知圆O 1和圆O 2的半径分别为2和4，且|O 1O 2|＝8，若动圆M 与圆O 1内切，与圆O 2外切，则动圆圆心M 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线
11．已知*121
(0)()()(
)(1)()n n a f f f f f n N n
n
n
-=+++
++∈，又函数1
()()12
F x f x =+-是R 上的奇函数，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A ．
n a n = B ．2n a n = C ．1n a n =+ D ．223n a n n =-+
12．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的
余弦值为13
-，当三棱锥A BCD -球的表面积为（ ） A ．5π B ．6π
C ．7π
D ．8π
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线l 是曲线x x y +=33
1的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程是
14．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 17=170，a 20=20，则S 28=______.
15．在一次无平局的比赛中，当比赛进行到其中一人比另一人多胜2场时结束，且胜场多者获胜。

已知在第奇数场时，甲获胜的概率为3
5
；在第偶数场时，乙获胜的概率为35
.则比赛结束时恰进行了四场比赛且甲获胜的概率为________.
16．12,F F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，直线l 为
双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点为M ，且点M 在以
2F 为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角. （1）证明：；
（2）求的取值范围. 18．（本小题满分12分）
如图1，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，CD ⊥AD ，
AD =2DC =2CB=2，△PAD 沿着AD 折起，如图2，使得PC =3． （1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）求二面角A —PB —C 大小的余弦值．
ABC ∆A B C a b c tan a b A =B 2
B A π
-=
sin sin A C +//BC AD
图1 图2
图1
三化螟是水稻的主要害虫之一，在水稻分蘖期危害稻株产生枯心苗. 每只三化螟
.
表中i i y z ln =，∑==1
7i i z z
（1）根据数据判断，bx a y +=与dx ce y =（其中 718.2=e 为自然对数的底数）哪个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程. （计算结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到C 280以上时三化螟虫会造成严重危害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，假设该地区每年平均温度达到C 280以上的概率为p （10<<p ）.
（i ）该地区今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值，并求出相应概率0p
（ii ）当)(p f 取最大值时，记该地区今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差.
附：对一组数据),(),,(),,(772211y x y x y x ，其回归直线bx a z +=的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：,)
()
)((2
7
1
7
1
^
∑∑==---=i i
i
i i
x x z z
x x b x b z a ^
^-=.
已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线y+2=0相切．
（1）求M 的轨迹方程；
（2）曲线M 在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ．直线y=3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论． 21．（本小题满分12分）
已知0≥a ，函数，记为的从小到大的第个极值点.
（1）当0=a 时，若t s x
x f <<
)(对(0,)2
x π
∈恒成立，求s 的最大值与t 的最小值.
（2）当时，证明数列是等比数列.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞n x ()f x n *()n N ∈0a >{()}n f x
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos 3y x （α为参数），以坐标原
点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+
）=2
．
（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，且的解集为． （1）求的值；
（2）若都为正数，且，证明：．
()|21|f x m x =--m ∈R 1()02
f x +≥{|11}x x -≤≤m ,,a b c 111232
m
a b c +
+=239a b c ++≥。