量子光学试题解答
量子光学实验习题
量子光学实验习题量子光学是研究光作为粒子（光子）的性质和行为的学科。
在量子光学领域，我们探索着光子的波粒二象性、光子之间的量子纠缠、光与物质之间的相互作用等重要问题。
为了深入理解量子光学的基本概念和实验技术，下面将提出几道习题，希望读者能够思考并解答。
习题一：波粒二象性1. 解释光的波粒二象性是什么意思？2. 请列举一些证明光的波粒二象性的实验证据。
习题二：光子统计1. 什么是玻色统计和费米统计？2. 请简要阐述为什么光子服从玻色统计。
习题三：量子纠缠1. 解释量子纠缠现象是什么。
2. 描述一个量子纠缠的实验过程。
习题四：相干与干涉1. 解释相干性在光学中的重要性。
2. 描述一个干涉实验并说明产生干涉条纹的原因。
习题五：光与物质相互作用1. 解释光与物质相互作用的基本原理。
2. 举例说明光与物质相互作用的应用。
解答一：波粒二象性1. 光的波粒二象性指的是光既可以表现出波动性，如干涉和衍射现象，又可以表现出粒子性，如光子的能量量子化。
2. 证明光的波粒二象性的实验证据包括双缝干涉实验、单缝衍射实验、康普顿散射实验等。
解答二：光子统计1. 玻色统计和费米统计描述了粒子的行为概率。
玻色统计适用于由整数自旋的粒子组成的系统，如光子；费米统计适用于由半整数自旋的粒子组成的系统，如电子。
2. 光子服从玻色统计是因为光子是无质量的粒子，不受泡利不相容原理的限制，可以占据同一个量子态。
解答三：量子纠缠1. 量子纠缠指的是在量子系统中，两个或多个粒子之间的状态相互依赖，无法用单个粒子的状态来描述。
2. 量子纠缠的实验过程可以包括将两个纠缠粒子分开，然后对其中一个进行测量，测量结果会瞬间传递到另一个粒子上，使其纠缠状态发生变化。
解答四：相干与干涉1. 相干性在光学中非常重要，它决定了干涉现象的出现。
相干性表示光波振动的一致性，包括相位和幅度的一致性。
2. 干涉实验可以通过将光分为两束，经过不同路径再次交叉，观察光的叠加效果来实现。
第二章习题答案量子光学（中科院研究生院）
(∆X1)n
=
n m=0
: (∆X1)m :
n!
1
m!(
n−m 2
)!
8
n−m 2
.
由于对于相干态，如果 m = 0，则 : ∆X1m : = 0，所以上式右边在相干态下不为零的 展开项仅为首项
(∆X1)n
=
n!
(
n 2
)!8n/2
=
1·2·3····n
1
·
2
·
3
·
·
·
·
n 2
·
8n/2
=
1·2·3····n
ν π
1/2
exp
−ν
q2 − 2qq0 cos νt + q02 cos2 νt
ν π
1/2
exp
− ν (q − q0 cos νt)2
.
习题 2.4.
习题 2.5.
Y1
=
1 2
Y2
=
1 2i
e−i
θ 2
a
+
ei
θ 2
a†
e−i
θ 2
a
−
ei
θ 2
a†
(∆Y1)2 = Y12 − Y1 2 由此可得
a cosh r − a†eiθ sinh r
a cosh r − a†eiθ sinh r
e−iθ a† cosh r − ae−iθ sinh r a† cosh r − ae−iθ sinh r
a† cosh r − ae−iθ sinh r a cosh r − a†eiθ sinh r
a cosh r − a†eiθ sinh r a† cosh r − ae−iθ sinh r |0
量子物理基础参考答案(改)
量子物理基础参考答案一、选择题参考答案：1. D ；2. D ；3. D ；4. C ；5. D ；6. C ；7. C ；8. A ；9. A ；10. D ；11. D ；12. C ；13. C ；14. A ；15. D ；16. E ；17. C ；18. C ；19. B ；20. A ；21. D ；22. C ；23. B ；24. B ；25. A ；26. C ；27. D ；28. A ；29. A ；30. D ；31. C ；32. B ；33. C ；34. C ；35. C ；36. D ；37. C ；38. D ；39. A ；40.D二、填空题参考答案：1、J 261063.6-⨯，1341021.2--⋅⋅⨯s m kg2、>，>3、14105⨯，24、V 45.1，151014.7-⋅⨯s m5、θφcos cos P c v h c hv+'=6、2sin 2sin 2212ϕϕ7、π，︒08、定态，（角动量）量子化，跃迁9、（1）4 , 1 （2）4 ,310、10 ,311、6.13 , 4.312、913、1:1, 1:414、122U em he15、m 101045.1-⨯, m 291063.6-⨯16、231033.1-⨯， 不能17、241063.6-⨯18、≥19、（1）粒子在t 时刻在()z y x ,,处出现的概率密度；（2）单值、有限、连续；（3）12*=ψ=ψψ⎰⎰⎰⎰dxdydz dV V20、不变 21、a x n a π2sin 2， dx a x n a a π230sin 2⎰三、计算题参考答案：1、分析 光子的能量、动量和质量与波长的关系为c h cE m h c E p hc E λλλ=====2 解： 利用上面的公式，当nm 001.0 nm,20 nm,1500=λ时，分别有 J 1099.1 J,1097.9 J,1033.1131919---⨯⨯⨯=Em/s kg 1063.6 m/s,kg 1031.3 m/s,kg 1043.4222628⋅⨯⋅⨯⋅⨯=---p kg 1021.2kg,1010.1kg,1048.1303436---⨯⨯⨯=m2、解： 由光电效应方程可得V 45.1=-=eW h U a ν m/s 1014.725max ⨯==meU a v3、解： 康普顿散射公式得散射光的波长为2sin 22sin 22C 0200ϕλλϕλλ+=+=c m h 其中m 1043.212C -⨯=λ，则当︒︒︒=90 ,60 ,30ϕ时，代入上式得波长分别为 nm 0074.0nm,0062.0nm,0053.0=λ4、解： 氢原子从基态1=f n 激发到3=i n 的能级需要的能量为eV 1.12Δ13=-=E E E对应于从3=i n 的激发态跃迁到基态1=f n 的三条谱线的光子能量和频率分别为 Hz 1092.2eV 1.12 :1315⨯===→=νE n n f iHz 1046.2eV 2.10 Hz1056.4eV 89.1 :12315221411⨯==⨯===→=→=ννE E n n n f i5、解： 经电场加速后，电子的动量为meU p 2=根据德布罗意关系，有m 1023.111-⨯==Ph λ6、解： 一维无限深阱中概率密度函数（定态）为)2cos 1(1sin 2)(*)()(2ax n a a x n a x x x ππψψρ-=== 当12cos -=a x n π时，即 ,212,,.23,2212a nk n a n a a n k x +=+=时，发现粒子的概率最大．当∞→n 时，趋近于经典结果．7、解：分析 在一维无限深井区间],[21x x 发现粒子的概率为 ⎰=21d )(*)(x x x x x P ψψ 在区间]43,0[a 发现粒子的概率为 909.0d sin 2d )(*)(4302430===⎰⎰a ax ax a x x x P πψψ。
第七章光的量子性习题及答案
1第七章 光的量子性１. 在深度远大于表面波波长的液体中，表面波的传播速度满足如下规律：v =224()2Fg l p p l r +式中g 为重力加速度，r 为液体密度，Ｆ为表面波的波长．试计算表面波的群速度．解：u = v - l vd dl = ｖ－l dv d l ＝224()2g l p p l r + －l 224(()2d g d r lp p l l +＝3422g F g F l p p lrl p p lr ++ ２. 测量二硫化碳的折射率实验数据为：当＝589 nm .n ¢ = 1.629:当"l =656nm 时，n ¢¢=1.620 试求波长589nm 的光在二氧化硫的相速度、群速度和群折射率。
解：由v = c n 得 v 1 =2997924581.629= 1.840×108 m ／s.v 2 =2997924581.620=1.8506×108 m ／s所以△v = v 2 – v 1 = 1.057×106 m ／s由一般瑞利公式由一般瑞利公式 u = v - l vl ¶¶=1.840×108 - 589 ×1.507×1.507×10106 ／(656 – 589) = 1.747 ×108 m ／sn = c ／v = 299792458 ／1.747×108 = 1.7163. 在测定光速的迈克尔逊旋转棱镜法中，设所用棱镜为正n 面棱柱体。
试导出：根据棱镜的转速、反射镜距离等数据计算光速公式。
解：设反射镜间距离为L 转速V 0 则n 面棱柱每转过面棱柱每转过 一个面，一个面，光往返一个来回。
所用时间光往返一个来回。
所用时间t = 1n ／V 0 = 01nV 所以所以c = 2L ／t = 021LnV = 2LnV 04.试用光的相速度v 和dvd l 来表示群速度u= d dk w，再用v 和dnd l 表示群速度u = d dk w解：(1) 由u = d dk w= v - l v l ¶¶ (2) 由 u = v - l vl¶¶<1 v = c ／n <2>→ dvd l =()cd n d l = －223,(1)c dnn d c dn v dn v dv v v v dn n d n d n d ll l l l l l<>=+=+=+把〈把〈33〉代入〈〉代入〈11〉得dv u =v -d5.计算在下列各种色散介质中的传播的各种不同性质的波的群速度：（1）v = 常量 （2）v = al , ( a 为常量) （3）v = a ／l （在水面上的表面张力波） （4）v = a ／l (5)222v c b l =+(电离层的电磁波，其中c 是真空中的光速，l 是介质中的波长) （6）222c v c a ww em =-(在充满色散介质的直波导管中的电磁波,式中c 为真空中的光速,a 是与波导管有关的常量,()e e w =是介质的介电常数,()m m w =是介质的磁导率)解:(1)l ld dvv u -= ，0,==dv v 常量 所以常量==v u (2)l ld dv v u -=, l l l d a dv a v 2,==，所以222v a a a u ==-=l l l l (3)l l l2/32,ad dv av -==，所以v av u 2322/3=+=l l(4)dv uv d l l =-=()2ad a ad l l l l l -=v 2= (5)dv u v d ll =-=2222222222()d c b c c b d c b l l l l l ++-=+v c 2= (6)kv dk d u ==w w,，)1(11w ww d dvv v d dk u -== 而)(),(,222w m m w e e em w w==-=ac c v2/3222)(])(2[a c d d v v d dv -+-=em w w em w em w w w所以])(21[1w em em w em d d v cu +=6.利用维恩公式求:辐射的最概然频率v m ,辐射的最大光谱密度()m l e 辐射出射度M0(T)与温度的关系. 解: 由维恩位移定律T T b b T m m m 1×Þ=Þ=l l l 由斯沁藩公式()()44T T M T T M ×Þ=s7.太阳光谱非常接近于480m nm l =的绝对黑体的光谱.试求在1 s 内太阳由于辐射而损失的质量,并估算太阳的质量减少1% (由于热辐射)所经历的时间(太阳的质量m 0为2.0×1030千克,太阳的半径r 是7.0×108m) 解：由维恩位移公式解：由维恩位移公式m m bT b T l l =Þ=:由斯沁藩公式由斯沁藩公式34484()92.897810() 5.6705110()48010b b M T m s s l ---´===´´´=7.35×107瓦()()()瓦总262872106357.4100.714.341053.74´=´´´´´==×=r T M S T M P b b p由方程由方程P 总t =m 0×1%×c 221800.01 3.8810m c t sP ´´Þ==´总所以在1s 内kg 1015.5109106357.41916262´=´´=×=D c s P m 总损 8.地球表面每平方厘米每分钟由于辐射而损失的能量平均值为0.546J.如有有一黑体,它在辐射相同的能量时，温度应为多少？ 解：解：4()0.546109160bM=´=()s m W ×/由斯沁藩公式由斯沁藩公式11()444()891()()()200.145.670510b bM M T T T Ks s-=Þ===´9.若有一黑体的辐出度等于5.70W ／cm 2,试求该辐射最大光谱强度相对应的波长。
量子光学答案
量子光学答案一 1：单模光场相干态定义为光子湮灭算符的本征态，即a ααα=。
相干态的三个主要性质：（1） 相干态是非正交和超完备的； （2） 相干态是最小测不准量子态，因而也是量子理论所容许的最接近经典极限的量子态；（3） 相干态下能量的起伏最小，即零点能。
任何相干态的量子起伏都相等，相干态的量子起伏实质上是真空的起伏。
2： 通常引用密度算符来统一地描述量子系统中两类性质不同的系统状态（纯态和混合态）的统计平均。
n n n nP ρψψ≡∑密度算符的物理含义：密度算符ρ包含了有关此系统的所有物理上有意义的信息。
求解量子力学的问题实际上归结为求出系统的密度算符ρ。
3： 压缩态是一类最小测不准态，但在某一正交分量上具有更小的起伏噪音（小于真空起伏）。
两个正交相位算符的均方起伏乘积为最小，但不相等的态称为压缩相干态，俗称压缩态。
4： 利用相干态的对角化矩阵可以将密度算符表示为：*2(,)P d ρααααα=⎰上式中分布函数称*(,)P αα为 Glauber-Sudarshan 表示，即 密度算符的P 表示。
在分布函数的积分形式中，存在以下傅里叶变换形式：22***221(,)P eeed αββαβαααβρββπ--=-⎰其中积分2**221ee d ββαβαβρββπ--⎰存在奇异性，通过比较βρβ-与2eβ-的下降速度的快慢，即可以判断场所处的状态（经典态、纯量子态、相干态）。
由此可见，密度算符的P 表示可以作为非经典场的判据。
5： HBT 实验原理如下图所示：SMP1P2相关器t图 实验HBT来自光源S 的光束经一半透半反的分束器M 后，分成两束光，并分别用两个光电探测器P1和P2测量，探测器输出的光电信号被反馈到一个相关器（符合计数器），其中一路光电信号经过了τ时间的延迟器。
这个装置测量的是在两个不同时空点光场强度的起伏I ∆的关联，而不再是以往光学实验所测量的场本身的关联。
相关器测量到得物理量是在P1和P2处强度起伏的关联。
量子光学题目
第一章一、电磁场量子化的基本思想答：找出描述经典场的一组完备的正则“坐标”和 “动量”，然后把它们视为相应的算符，满足正则坐标和正则动量的对易式，从而使其量子化。
先将势量子化，在将场量子化。
二、福克态答：定义：频率为ν的单模电磁场的本征态为|n>,相应的本征能量为E n,本征方程为11ˆˆˆˆ|()|()||22ˆˆˆn H n a a n N n E n N a a νν++>=+>=+>=>= 真空态，0ˆ|0|0H E >=>ˆ|00a >= 1ˆ()|002H ν->= 最低能量012E ν=粒子束态：态|n>可视为具有n 个量子或准粒子的集合的态。
11ˆˆ|()||()|22n H n N n E n n n νν>=+>=>=+> 福克态的性质：1、光子数趋于无限大时，量子理论——》经典理论。
2、光子数的测不准关系为∆n=0。
3、量子化的电磁场的位相与光子数不可能同时确定三、光子态解释零点能为什么不等于电磁场的涨落可以用其方差来表示,从中可以看出,即使对于真空态(n=0),电场的方差也不等于零，也就是说真空涨落不为零，从而解释了零点能不为零。
第二章、相干态和压缩态相干态：是位移算符作用在真空态上得来的，是谐振子基态的位移形式。
相干态是湮灭算符的本征态，具有和真空态一样的最小测不准关系。
相干度是1。
压缩态：考虑两个厄米算符A，B，如果，，如果满足，则系统所处的态叫压缩态。
第三章一、Schrodinger 薛定谔表象、heisenberg 海森堡表象、liouville相互作用表象三个方程分别为ˆ1ˆˆˆ[,]Ht iρρρ∂=+Λ∂三个表象之间的变换Schrodinger表象————Heisenberg表象Schrodinger 表象————相互作用表象二、近似二能级近似、电偶极近似、慢变振幅近似和旋转波近似以及绝热近似等二能级近似：如果原子中的两个能级与所加激光场共振或近共振，而其他能级都与场高度失谐，则可以近似地将原子看作二能级原子。
福州培训-光学和量子物理题目
1、用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。
2、用计算法求出此像的位置和大小。
提示与答案：1.用作图法求得物 ，的像 及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。说明：平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 和与它密接的平面镜 的组合 ，如图预解16-5所示．图中 为 的光心， 为主轴， 和 为 的两个焦点， 为物，作图时利用了下列三条特征光线：
题10图
提示与答案：本题发生的现象称为圆折射，在金星的大气中可发生.要求光线一直在高度为 的波道内传播，可看作是光线在高度为 到 的一薄层内传播，不断地在高度为 处发生全反射（例如P点）.
.
11、电子衍射实验曾经获得1937年诺贝尔物理学奖，实验原理如图所示：电子束垂直入射到镍单晶的表面，晶体点阵（原子间距 ）可视为衍射光栅。假设电子的加速电压为 ，请问加速后电子相应的德布罗意波长 是多少？根据光栅衍射方程 ，请问第一级衍射主极大对应的衍射角 为多少?（电子质量 ，元电荷 ）
像高为物高的 。
9、两个焦距分别是 和 的薄透镜 和 ，相距为 ，被共轴地安置在光具座上。1.若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？2.根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。
提示与答案：
10、某行星上大气的折射率随着行星表面的高度 按照 的规律变化，行星的半径为 ，行星的表面某一高度 处有光波道，它始终在恒定的高度，光线沿着该光波道绕行星传播，试求高度 。
提示与答案：根据德布罗意公式可知，对应的电子波长
。
再根据光栅衍射公式，衍射角 。
量子考试题及答案
量子考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的创始人是：A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 薛定谔答案：C2. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C3. 海森堡不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量可以同时准确测量B. 粒子的位置和动量不能同时准确测量C. 粒子的位置和能量可以同时准确测量D. 粒子的动量和能量可以同时准确测量答案：B4. 量子力学中的泡利不相容原理适用于：A. 电子B. 质子C. 中子D. 所有基本粒子答案：A5. 量子纠缠是指：A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的引力相互作用D. 两个粒子之间的电磁相互作用答案：B6. 量子力学中的薛定谔方程是一个：A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案：C7. 量子力学中的隧道效应是：A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子通过势垒的概率为零C. 粒子通过势垒的概率为一D. 粒子通过势垒的概率为负答案：A8. 量子力学中的叠加态是指：A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子处于确定的状态D. 粒子处于随机的状态答案：A9. 量子力学中的测量问题涉及：A. 粒子的测量结果B. 粒子的测量过程C. 粒子的测量设备D. 粒子的测量结果和过程答案：D10. 量子力学中的退相干是指：A. 量子态的相干性消失B. 量子态的相干性增强C. 量子态的相干性不变D. 量子态的相干性随机变化答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出______的性质，也表现出______的性质。
答案：波动；粒子2. 量子力学中的德布罗意波长公式为：λ = ______ / p，其中λ表示波长，p表示动量。
答案：h / p3. 量子力学中的能级是______的，这是由量子力学的______决定的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、二能级原子与单模光场发生共振相互作用，系统的哈密顿量为
()a a H ++−+=σσλℏ。
如果原子t=0时刻处于激发态|e>，而光场处于相
干态|α>，计算任意时刻t 原子处于基态|g>的概率P g (t)，并作出图形（横坐标表示时间，纵坐标为概率。
为方便取α=1）。
解：用光子数态可将|α>展开为
()∑∞
=〉
=〉0n ||n n F α其中：n!
2||-exp n F n
2αα）（）
（=为光子数的统计分布在相干态|ɑ>中，观察到n 个光子的概率P（n）满足泊松分布：
()(
)
2
2exp !
α
α
−=
n n P n
在t=0时原子处于激发态|e>,所以系统在0时刻的态矢可以表示为：
()()∑∞
=〉
=〉〉=〉0n n e |n e ||0|，F αψ在t 时刻，由于光场与原子之间的相互作用，假设系统的态矢演化为：
()()()()[]
∑∞
=+++=0n 11,,a n t n g t b n e t F n n ψ由薛定谔方程()()t H t i ψψ=（取1=ℏ），根据初始条件
()()⎩⎨
⎧==+001
01
n n b a 易解得系数为：()(
)
()(
)
⎩⎨
⎧+−=+=+1
sin 1cos 1n t i t b n t t a n n λλ处于基态|g>的概率为：
()()
(()
2
2
n 20
2
10
2
1sin )n!2||-exp ()(+==∑∑∞
=+∞
=n t t b n F t P n n n g λαα）（
作图：
取λ=0.1，ɑ=1用mathematics作图如下
取λ=1，ɑ=1用mathematics作图如下
取λ=1，ɑ=5用mathematics作图如下
取λ=1，ɑ=10用mathematics作图如下
23、压缩态的另一种定义：|α>g =D(α)S(ξ)|0>。
.我们学过的压缩态为|β>g =S(ξ)D(β)|0>。
若|α>g =|β>g ，利用它们关于X 1=1/2(a+a +)和X 2=-i/2(a-a +
)的涨落图，求出α和β的关系。
解：平移算符为：
()()a a D *exp ααα−=+其中φααi e =()()
a a D *exp βββ−=+其中ϕ
ββi e =压缩算符为：
()⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛−=+22*2121exp a a S ξξξ其中θ
ξi e r =由压缩相干态的两种定义可知：
()()0ξααS D g
=()()0
βξβ
D S g
=其中
()()()
n
n n r e r
S n n n
i g
22!!2tanh cosh 100
02
1
∑
∞
=−==θξ()()()
)()k m n k m n m n n n r e r
e
D n
m k k
m
n n n
i g
g +−−−−==∑∑=∞=∞
=−2!!2!!22!!2tanh cosh 10
200
212
1
2
αααα
θα()∑∞
=−==0
2
1
!0n n
n n e
D αββ
α()()()∑∑∞
==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
−−⎟⎟⎠
⎞⎜
⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛==020
cosh 2sinh 21
2
1g
!
2!sinh ·cosh 22!)1(cosh sinh )cosh !(2
*
2
n m i m r
r e n i n
m n m r e r n e
r r e r n S i πθ
ββθβ
β
ξβ
θ
定义两个厄米算符：
X 1=1/2(a+a +)X 2=-i/2(a-a +
)
X 1，X 2是描述光场的两个正交分量的振幅，且有：
[]2
,21i
X X =计算求得光场g α、β和g β的X 1，X 2分量的量子涨落和期望值分别为：
()⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=∆−2sin 2
cos 412
22221θθr r e e X ()⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=∆−2cos 2
sin 41222222θθr r e e X φαααα
cos 11==g
g X X φ
αα
ααsin 22==g
g X X ϕββββ
cos 111==X
X ϕββββ
sin 212==X X ()[]r hr X X g
g sinh cos cos cos 11ϕθϕββββ
−−==()[]
r hr X X g
g sinh sin cos sin 22
ϕθϕββ
ββ−−==用图像描述压缩相干态的产生过程如下：
1
1
因为g α=g β，所以g α和g β的期望值相等，即：
⎪⎩⎪⎨⎧==β
α
βα2
2
1
1X X X X 即：
()[]()[]
⎩⎨
⎧−−=−−=r r r r sinh sin cosh sin sin sinh cos cosh cos cos ϕθϕβφαϕθϕβφα因为φαφααsin i cos +=，将上式代入，有：
()[]()[]
r r r r sinh sin cosh sin i sinh cos cosh cos ϕθϕβϕθϕβα−−+−−=可化为：
r
e i sinh coshr *θββα−=。