一维射影变换剖析
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高等几何5.1节
a11 a21 a12 a22
0.
注：上面的推导即求解教材习题5.1.
12
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
三、射影坐标的特例
1.仿射坐标
取A1为直线上的无穷远点P，取A2为原点O，则
( A1 A2 , EP) ( P A2 , EP)
( PE , A2 P ) ( PEA2 ) A2 P OP A2 E OE
kx kx2 x x1
k 1
kx2 x
0
8
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
二、笛氏坐标与射影坐标的转换
kx kx2 由 ， x x1
k 1 kx2 x 0
知，同一点的笛氏坐标x和射影坐标λ 之间有一个 行列式不为0的双一次关系式,因此，它们之间的 关系是射影对应（见3.4节）即有： x . 于是由定理3.1知，四点的交比既等于它们笛氏坐 标的交比，也等于它们射影坐标的交比。
a2
p
a1 e
6
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5.1 一维射影坐标系
一、一维射影坐标系
2.线束的射影坐标系
说明: (1)设 0，则[u1 , u2 ]与[u1 , u2 ]代表同一线.
2 (0, 0)不代表任何线, u2 0与 相对应.
x1 sin(a1, e) sin(a2 , p) (3) (a1a2 , ep ) x2 sin(a1, p)sin(a2 , e)
4
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5.1 一维射影坐标系
一、一维射影坐标系 1.点列的射影坐标系 说明：
（1）对于任意的数 0，坐标( x1, x2 )和( x1, x2 )代表同一点;
0.
注：上面的推导即求解教材习题5.1.
12
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5.1 一维射影坐标系
三、射影坐标的特例
1.仿射坐标
取A1为直线上的无穷远点P，取A2为原点O，则
( A1 A2 , EP) ( P A2 , EP)
( PE , A2 P ) ( PEA2 ) A2 P OP A2 E OE
kx kx2 x x1
k 1
kx2 x
0
8
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5.1 一维射影坐标系
二、笛氏坐标与射影坐标的转换
kx kx2 由 ， x x1
k 1 kx2 x 0
知，同一点的笛氏坐标x和射影坐标λ 之间有一个 行列式不为0的双一次关系式,因此，它们之间的 关系是射影对应（见3.4节）即有： x . 于是由定理3.1知，四点的交比既等于它们笛氏坐 标的交比，也等于它们射影坐标的交比。
a2
p
a1 e
6
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5.1 一维射影坐标系
一、一维射影坐标系
2.线束的射影坐标系
说明: (1)设 0，则[u1 , u2 ]与[u1 , u2 ]代表同一线.
2 (0, 0)不代表任何线, u2 0与 相对应.
x1 sin(a1, e) sin(a2 , p) (3) (a1a2 , ep ) x2 sin(a1, p)sin(a2 , e)
4
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5.1 一维射影坐标系
一、一维射影坐标系 1.点列的射影坐标系 说明：
（1）对于任意的数 0，坐标( x1, x2 )和( x1, x2 )代表同一点;
第二章 射影变换-第四节 一维射影变换课件ppt课件
§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义 一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换. [π'], 且[π]=[π']. 则φ称为一维基本形[π]上的 即若φ: [π] 一个射影变换. 注：为方便理解, 常把一个 一维基本型看作两个“重叠” 的一维基本形. 据Steiner作图法, 一个一维 射影变换可由3次透视对应得 到.
a11 a12 0,
a21 a22
0
(2.10)
其中对应点的坐标是关于一维基本形[π]上的同一坐标系取得的.
(ad bc 0)
§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示 定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素 的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a 'b c 'd 0 (ad bc 0) (2.13) 证 “=>”. 见教材, 略. “<=”. 设一维基本形(P)上的一个变换φ使得任一对对应元素的 参数λ,λ' 满足双线性方程(2.13). 显然φ是一个双射,只要证φ保交比. 设λi ,λi' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数. 则 b1 d b3 d (ad bc)(1 3 ) 1 '3 ' . a1 c a3 c (a1 c)(a3 c) 同法可以求出λ2'–λ4', λ2'–λ3', λ1'–λ4', 得到 (1 '3 ' )(2 '4 ' ) (1 3 )(2 4 ) . (2 '3 ' )(1 '4 ' ) (2 3 )(1 4 )
一、一维射影变换
1、定义 一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换. [π'], 且[π]=[π']. 则φ称为一维基本形[π]上的 即若φ: [π] 一个射影变换. 注：为方便理解, 常把一个 一维基本型看作两个“重叠” 的一维基本形. 据Steiner作图法, 一个一维 射影变换可由3次透视对应得 到.
a11 a12 0,
a21 a22
0
(2.10)
其中对应点的坐标是关于一维基本形[π]上的同一坐标系取得的.
(ad bc 0)
§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示 定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素 的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a 'b c 'd 0 (ad bc 0) (2.13) 证 “=>”. 见教材, 略. “<=”. 设一维基本形(P)上的一个变换φ使得任一对对应元素的 参数λ,λ' 满足双线性方程(2.13). 显然φ是一个双射,只要证φ保交比. 设λi ,λi' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数. 则 b1 d b3 d (ad bc)(1 3 ) 1 '3 ' . a1 c a3 c (a1 c)(a3 c) 同法可以求出λ2'–λ4', λ2'–λ3', λ1'–λ4', 得到 (1 '3 ' )(2 '4 ' ) (1 3 )(2 4 ) . (2 '3 ' )(1 '4 ' ) (2 3 )(1 4 )
高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换
{ a, b, c, d,} a/ //{a//, b//, c//, d//, } 与 //{a//, b//, c//, d//, } a /{a/, b/, c/, d/, }
的乘积．
➢ 注意：定理6的证明表明，虽然射影对应可传递， 但透视一般是不可传递的．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
1 1
u1 u2
t1 t2
v1 v2
1 2
u1 u2
1 2
v1 v2
t1 t2
x vI x/ v/ II
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
令
u1 u2
t1 t2
v1 v2
t1 t2
，则
/1 /2
v21 u21
v12， u12
从而
u21 u12 /2
v21 v12 /1
c
证明：如图，设
p
(ab/)(a/b)，q
(bc/)(b/c)，
b a
s
t
q
r (ca/)(c/a)， s (ac/)(ba/)， p r
t (bc/)(ca/)，d /． d
因 {a/, p, s, b} a {a/, b/, c/, d} c {t, q, c/, b}a，/ b/ / c/
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得
的乘积．
➢ 注意：定理6的证明表明，虽然射影对应可传递， 但透视一般是不可传递的．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
1 1
u1 u2
t1 t2
v1 v2
1 2
u1 u2
1 2
v1 v2
t1 t2
x vI x/ v/ II
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
令
u1 u2
t1 t2
v1 v2
t1 t2
，则
/1 /2
v21 u21
v12， u12
从而
u21 u12 /2
v21 v12 /1
c
证明：如图，设
p
(ab/)(a/b)，q
(bc/)(b/c)，
b a
s
t
q
r (ca/)(c/a)， s (ac/)(ba/)， p r
t (bc/)(ca/)，d /． d
因 {a/, p, s, b} a {a/, b/, c/, d} c {t, q, c/, b}a，/ b/ / c/
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得
第四节射影对应代数表示
§4 一维射影对应的代数表示
1. 射影对应 设
l (A, B, C, ……)
l ( A, B, C , )
(1) 几何表示 (2) 代数表示
(I )
（AB，CX）=（A’B’，C’X ’）
xa )( x xb ) ( xc xa )( x xb ) ( xc ; )( x xa ) ( xc xb )( x xa ) ( xc xb
（实）
标准型在解题中有重要且巧妙的应用。
习题选解 例1 设A1A2A3为坐标三点形, O(1, 1, 1). A2O×A1A3=A, P是
A2A3上的动点, PO×A1A2=Q, QA×A2A3=P‘. 若P, P’的齐次坐标分
别为(0,λ,1), (0,λ',1). 求(P)到(P')的射影变换的方程和不变元素. 解. 由题设各点的坐标，可得
( II )
x xb x xb k ; x xa x xa
( III )
xx x x 0
( 0) ;
a b ax b ( IV ) x ( 0) ; cx d c d a11 x1 a12 x2 a11 a12 x1 (V ) ( 0) 。 a21 a22 2 a 21 x1 a 22 x 2 x
( XY , PQ) ( XY , P Q)
( XYP) ( XYP ) ( XYQ) ( XYQ) ( XYP ) ( XYQ) ( XYP ) ( XYQ)
( XY , PP) ( XY , QQ)
( XY , PP' ) k （常数）。
2 x n 1 3 , x1 0, 例3 设数列的递推公式为 xn x n 1 6
1. 射影对应 设
l (A, B, C, ……)
l ( A, B, C , )
(1) 几何表示 (2) 代数表示
(I )
（AB，CX）=（A’B’，C’X ’）
xa )( x xb ) ( xc xa )( x xb ) ( xc ; )( x xa ) ( xc xb )( x xa ) ( xc xb
（实）
标准型在解题中有重要且巧妙的应用。
习题选解 例1 设A1A2A3为坐标三点形, O(1, 1, 1). A2O×A1A3=A, P是
A2A3上的动点, PO×A1A2=Q, QA×A2A3=P‘. 若P, P’的齐次坐标分
别为(0,λ,1), (0,λ',1). 求(P)到(P')的射影变换的方程和不变元素. 解. 由题设各点的坐标，可得
( II )
x xb x xb k ; x xa x xa
( III )
xx x x 0
( 0) ;
a b ax b ( IV ) x ( 0) ; cx d c d a11 x1 a12 x2 a11 a12 x1 (V ) ( 0) 。 a21 a22 2 a 21 x1 a 22 x 2 x
( XY , PQ) ( XY , P Q)
( XYP) ( XYP ) ( XYQ) ( XYQ) ( XYP ) ( XYQ) ( XYP ) ( XYQ)
( XY , PP) ( XY , QQ)
( XY , PP' ) k （常数）。
2 x n 1 3 , x1 0, 例3 设数列的递推公式为 xn x n 1 6
高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 例1 设 abcd 为平行四边形，过顶点 a 作直线
ae 与对角线 bd 平行．证明：直线 ab、ad
与直线 ac、ae 成调和共轭．
证明：因 ae 与 bd 平行，故 a
设二者交点为无穷远点 p．
o
p e
d
记(ac)(bd) o．则
的线性变换：
T:
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)
0．
(3.1)
证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列．
在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依
Hale Waihona Puke 次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 同类一维基本形间的透视：
若两个点列是同一线束的 若两个线束是同一点列的
截影，则称这两个点列是 投影，则称这两个线束是
透视的．
透视的．
线束的心称为透视中心． 点列的底称为透视轴．
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得
11 0 0 11
高等几何3.3—3.4节
注 上述定义、定理表明线束的交比与点列的交比 具有完全相同的形式.
5
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3.3 线束的交比
二、线束交比的几何意义
1. 斜率表示 如图, 在以S(x0,y0)为束心的线束 中，取定二直线x=x0, y=y0. 则直线的 (负)斜率k可以作为参数来表示线束. 由定理3. 8，可得
对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有
定理3.9的证明（留作练习）
15
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3.4 一维射影对应
二、一维射影几何基本定理：
定理3.10 设两个一维基本图形成射影对应， 则对应四元素的交比相等。
证明思路分析：由于四元素的交比等于对应 参数的交比，因此，若设两个一维几何图 形的对应参数分别为：
1、2、3、4， 1、2、3、4， 则证明：（12，3 4）=（12，3 4）.
上式也可写为： x1 ' a11 a12 x1 , x2 ' a21 a22 x2 或
X ' AX ,
| A | 0.
22
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3.4 一维射影对应
例1. 求射影对应式, 使l上的点(1, 0), (2, 1), (4, 1)依次 对应于l'上的点(1, 0), (–1, 1), (1, 1). 解. 设所求对应式为
17
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3.4 一维射影对应
二、一维射影几何基本定理：
定理3.11 若两个一维基本图形对应四元素的 交比相等，则必成射影对应。 （证明见教材P.34-35）
定理3.10和定理3.11 说明：两个一维基本图 形成射影的充要条件是：对应元素的交比 相等。同时，这两个定理说明了：交比是 射影不变量。
一维射影变换
§ 6.1 一维基本形的射影对应
例3. 如果三点形ABC的边CB, CA, AB分别通过在同 一直线上的三点P, Q, R, 又顶点B, C各在一条定直线上. 求证：顶点A也在一条定直线上. 证明 显然,
(B,B1,B2,…) 于是, R(B,B1,B2,…)
(P )
(C,C1,C2,…) Q(C,C1,C2,…)
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(4) Steiner作图法 已知两点列间射影对应的三对相异 的对应元素, 求作任一元素的对应元素.
(5) 思考：将(4)中 “点列” 改为 “一维基本形”. (6) 定理2.2 两个一维基本形间的射影对应可由已知相 异的三对对应元素唯一确定.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(3). 线束↔线束. 对应直线交点共线.
S (a, b, c,...)
(s)
S ' (a' , b' , c' ,...)
透视轴
注
(1)透视关系具有对称性，但它不具有传递性. (2) 透视对应是一个保交比的双射. (3) 连续两次透视对应的结果不一定仍是透视对应 .
§ 6.1 一维基本形的射影对应
一、透视对应(中心射影)
定义 以下三种对应称为一维基本形之间的透视对应
(1). 点列↔线束. 对应元素是关 联的.
s( A, B, C ,...) S (a, b, c,...)
透视中心
(2). 点列↔点列. 对应点连线共点.
s( A, B, C ,...)
(S)
s' ( A' , B' , C' ,...)
A恰为上述两射影点列对应直线 的交点.
第三章一维射影几何学
k 3 k1 k 4 k 2 k 4 k1 k 3 k 2
O
tg Q 2 tg Q 2
A x
ab, cd
tg Q 3 tg Q 1 tg Q 4 tg Q 4 tg Q 1 tg Q 3
2
2
5 8
作业：
P5 4
1，4，5，6
§3.3线束的交比
设a,b,c,d为一线束中的四直线，取a和b作为基线，把它们的齐次坐 标依次表示为 a , b , c a 1b , d a 2 b （a,b既代表直线，又代表它 们的坐标向量）
设以一直线S截此四线于点A，B，C，D，则这四点的坐标顺序为：
AC BD
交比可由简比求得
AD BD
ABC ABD
定理1 ：设取A和B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为：
a , b , a 1b , a 2 b
则
AB CD
1 2
定理2： 设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+ i q i 1, 2, 3, 4
s in a c s in
bd
例1：试证一角的两边与其内外角平分线的交比等于-1。 证明：如图，设角的两边为a,b，内外角平分线分别为c,d.
a b , cd
sin a c sin sin a d
sin Q 3 sin Q 1 c o s Q 3 c o s Q1
sin Q 4 sin Q 2 cos Q 4 cos Q 2
一维射影几何学
一、点列中四点的交比
例1（习题3.4）：求四点(2,1,-1),(1,-1,1), (1,0,0),(1,5,-5)顺这次序的交比。
解：取(2,1,-1),(1,-1,1)为基点，将其余两点表为它 们的线性组合。易求 (1,0,0) ∝ (2,1,-1)+ (1,-1,1)，
(1,5,-5)∝ (2,1,-1)- 3/2(1,-1,1)，
( ABC ) ( AB, CD) . ( ABD)
8
西南大 学
一、点列中四点的交比 定理3.1. 设取A,B为基底，将这四点的齐次坐标顺次 表为a, b, a 1b, a 2b 则 ( AB, CD) 1 . (3.2)
2
3.2 点列的交比
证明思路分析：由于交比是简比的比，而简比又是分 割比的相反数，可以先将这四点的齐次坐标化为非齐 次坐标，再用A,B的非齐次坐标线性表示C,D的非齐次 坐标，利用定比分割公式，易求点C、D分割A、B的 分割比分别是： b b
3
本章内容
3.1
一、一维基本图形
点列和线束
(1) 点列(同一直线上点 的集合)
(1)' 线束(平面上过同一 点的直线的集合)
记号 l(A,B,C,…) 或 l(P) 底 元素
记号 L(a,b,c,…) 或 L(p) 束心 元素
4
3.1 一、一维基本图形
西南大 学
点列和线束
（2）点列和线束统称为一维几何图形（流 形），它们互为对偶图形。 （3）取定直线l上的两点A(a)、B(b)[a= (a , a b= (b , b , b )],则l上任一点M（x）可表为：
1
3
a3
2
3
a3
( ABC ) 1 因此， ( AB, CD) . ( ABD) 2
第三章射影变换
第三章 射影变换与射影坐标本章首先引入射影不变量——交比。
然后在此基础上，讨论了一维基本形之间的射影对应与射影变换，以及二维射影对应和射影变换，还定义了一维和二维射影坐标。
§1 交比与调和比点列中四点的交比与调和比定义1.1 共线的四个不同点A ，B ，C ，D 的交比等于单比（ABC ）与单比（ABD ）的比，记作：（AB ，CD ），即（AB ，CD ）=)()(ABD ABC其中A ，B 叫基点偶，C ，D 叫分点偶。
交比又称交叉比和复比。
由交比和单比的定义，我们可AD BC BDAC BDAD BC ACABD ABC CD AB ⋅⋅===)()()(， 其中AC ，BC ，AD ，BD 是有向线段的数量。
我们不难得出：（1） 点偶C ，D 不分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹥0； （2） 点偶C ，D 分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹤0； （3） 当C ，D 重合时，（AB ，CD ）=1； （4） 当A ，C 重合时，（AB ，CD ）=0。
定理1.1 基点偶与分点偶交换，交比值不改变，即 （AB ，CD ）=（CD ，AB ） 证明 由定义1.1，（CD ，AB ）=),(CD AB BCAD BDAC CB DA DB CA =⋅⋅=⋅⋅ 定理1.2 基点偶的两个字母交换或分点偶的两个字母交换，交比的值变成原来的交比值的倒数，即（BA ，CD ）=（AB ，DC ）=),(1CD AB证明（AB ，DC ）=),(1)()(1)()(CD AB ABD ABC ABC ABD == 又（BA ，CD ）=（CD ，BA ）=),(1),(1CD AB AB CD =推论 同时交换每个点偶里的字母，交比的值不改变，即 （AB ，CD ）=（BA ，DC ） 定理1.3 交换中间的两个字母或两端的两个字母，交比的值等于1减去原来的交比值，即（AC ，BD ）=（DB ，CA ）=1－（AB ，CD ）证明（AC ，BD ）AD CB CD AB ⋅⋅=AD CB BD CB BC AC ⋅++=))(( AD CB BDAC CB BD CB AC ⋅⋅+++=)(AD CB BD AC ⋅⋅+=1=1+)(ADBC BDAC ⋅⋅-=1－（AB ，CD ）共线四点1，2，3，4一共有4！=24中不种的排列，所以有24个交比，根据交比的运算性质，它们只有6个不同的交比值，即（12，34）=（34，12）=（21，43）=（43，21）=m（21，34）=（34，21）=（12，43）=（43，12）=m1（13，24）=（24，13）=（31，42）=（42，31）=1－m（13，42）=（42，13）=（31，24）=（24，31）=m-11（14，23）=（23，14）=（41，32）=（32，41）=1－m 1（14，32）=（32，14）=（41，23）=（23，41）=1-m m例1 已知（P 1P 2，P 3P 4）=3，求（P 4P 3，P 2P 1）和（P 1P 3，P 2P 4）的值解 （P 4P 3，P 2P 1）= （P 2P 1 ，P 4P 3）=（P 1P 2，P 3P 4）=3 （P 1P 3，P 2P 4）=1－（P 1P 2，P 3P 4）=1－3=－2下面研究交比的代数表示定理1.4 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1。
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一维基本形的射影变换
一、一维射影坐标系
定义. 在射影直线 l 上取定一个有序三点组 P*、P0、E，则
称 [P*, P0, E] 为射影坐标系。直线 l 上任意一点 P 的非齐次射影
坐标规定为
x (P*P0 , EP).
其中P0 叫原点，E叫单位点.
在这坐标系下， P0的非齐次射影坐标为0，E的非齐次射
一维基本形的射影变换
例1 设A, B, C为相异的共线点且有
(A, B, C, P, Q, R)
(B, C, A, Q, R, X).
求证：X=P.
证明. 因为
ABCPQR
所以
BCAQRX
(AB, CP) = (BC, AQ) =(CA, BR) = (AB, CX) . 从而有X=P.
一维基本形的射影变换
的参数,' 满足一个双线性方程
a ' b c ' d 0
(ad bc 0)
(*)
即在一维基本形[]上取定基元素AB, 则对应元素为A+B A+'B.
一维基本形的射影变换
三、一维射影变换的分类与性质
1、一维射影变换的分类
设有射影变换
a ' b c ' d 0
(ad bc 0)
(*)
影坐标为1， P*没有非齐次射影坐标。
如果把P*看成是无穷远点，则非齐次射影坐标就变成非
齐次仿射坐标，此时 x (P*P0 ,
EP)
(PEP0 )
P0 P P0 E
.
如果把P*看成是无穷远点，且P0E=1，则非齐次射影坐标
就变成非齐次笛卡儿坐标，此时 x=P0P。
有了非齐次射影坐标系，就可定义齐次射影坐标系，P0
例2 设P, P'与 Q, Q'为点列l(P)上射影变换的两对对应点, E 是不变点, V, V'是过E的直线l'上任意两点. PVP'V'=P'', QVQ'V'=Q''. 求证：P''Q''l=F为另一个不变点.
证明. 如图有
(P,Q, E, F) (V) (P '',Q '', F ', F) (V') (P ',Q ', E, F)
证明. 代数法. 设E, P', P, R的参数依次为1, 2, 3, 4. 由抛
物型射影变换的性质, 有
P P':
1
1
k.
3 1 2 1
P' R: 1 1 k.
2 1 4 1
由此二式，得 2 11.
2 1 3 1 4 1
经过直接计算, 得(EP', PR) = –1.
k
k
令射影变换式为 a b c d 0. 因为α是自对应元的参数，
所以是方程 2 (b c) d 0 的重根，因此有
2 d , 2 b c .
a
a
代入射影对应式得 (2 c ) c 2 0, 即
aa
(
c a
)
(
c a
)
2
0,
于是
1 c
k
a
是常数。
' '
1
b c 0 b .
( XY , PP ')
1
c b
常数。
c
一维基本形的射影变换
(2). 抛物型射影变换
定理. 抛物型射影变换的不变元参数与任一对相异的对应
元素的参数, '满足
1 1 k.
'
证明. 要证明的式子等价于 ( 1) ( 1) 2 0.
立刻可得结论. 据此可得一维射影变换的分类：
0
相异实根
相异实不变元 双曲型
0 (*)有两个相同实根 (*)有两个相同实不变元 称为抛物型
0
共轭虚根
共轭虚不变元 椭圆型
一维基本形的射影变换
2、一维射影变换的性质
(1). 双曲型、椭圆型射影变换
定理. 对于双曲、椭圆型射影变换，任一对相异的对应元 素与两个不变元素的交比为定值，该定值称为双曲、椭圆型射 影变换的特征不变量.
所以, E, F为两个不变点.
思考. 已知P, P'; Q, Q'为点列l(P)上双曲
型射影变换的两对相 异的对应点， E为一 个不变点, 如何作的
另一个不变点F？
一维基本形的射影变换
例3. 设点列l(P)上射影变换为抛物型的, E是不变点, P, P'为 一对相异的对应点, 且(P')=R. 求证：(EP', PR)= –1.
定理. 在一维非齐次射影坐标系下，交比的表达式为
(P1P2 ,
P3P4 )
( x1 ( x1
x3 )(x2 x4 )(x2
x4 ) x3 )
.
注记. 交比的这个表达式与它在一维非齐次笛卡儿坐标系 下的表达式一样。
一维基本形的射变换
2、一维射影变换的代数表示 (1). 坐标表示 a. 非齐次坐标表示 x ' ax b , ad cb cx d
若存在 0 R, 使a02+(b+c)0+d=0, 则称A+0B为的一个不变元素.
定理. 在实-复射影平面上, 任一个一维射影变换至少有一个 不变元素. 非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素.
证明 在(*)中, 令='. 则有一维射影变换的不变元素方程
a2 (b c) d 0,
(ad bc 0)
证明 设X, Y为两个不变元素, PP'为任一对相异的对应元
素. 设X, Y, P, P'的坐标依次为x, y, x+y, x+y. 则这四元素的参 数依次为0, , 1, . 于是
0 0 a ' b c ' d 0 d 0.
从而,
a b 1 c 1 d 1 0 a 0.
其中对应点的坐标是关于一维基本形[]上的同一坐标系取得的.
b. 齐次坐标表示
x1 x2
' '
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
a11 a12 0, a21 a22
0
其中对应点的坐标是关于一维基本形[]上的同一坐标系取得的.
一维基本形的射影变换
(2). 参数表示
定理 . 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素
的齐次射影坐标为(0,1)，E的齐次射影坐标为(1,1)，并规定P*
的齐次坐标系为(1,0)。
一维基本形的射影变换
二、一维射影变换
1、一维射影变换的定义
定义. 一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变
换. 即若 : [] [']，且[]=[']，则称为一维基本形[]
上的一个一维射影变换。
一维射影变换是特殊的射影对应. 一个一维射影变换可由不超过3次透视对应得到.
一、一维射影坐标系
定义. 在射影直线 l 上取定一个有序三点组 P*、P0、E，则
称 [P*, P0, E] 为射影坐标系。直线 l 上任意一点 P 的非齐次射影
坐标规定为
x (P*P0 , EP).
其中P0 叫原点，E叫单位点.
在这坐标系下， P0的非齐次射影坐标为0，E的非齐次射
一维基本形的射影变换
例1 设A, B, C为相异的共线点且有
(A, B, C, P, Q, R)
(B, C, A, Q, R, X).
求证：X=P.
证明. 因为
ABCPQR
所以
BCAQRX
(AB, CP) = (BC, AQ) =(CA, BR) = (AB, CX) . 从而有X=P.
一维基本形的射影变换
的参数,' 满足一个双线性方程
a ' b c ' d 0
(ad bc 0)
(*)
即在一维基本形[]上取定基元素AB, 则对应元素为A+B A+'B.
一维基本形的射影变换
三、一维射影变换的分类与性质
1、一维射影变换的分类
设有射影变换
a ' b c ' d 0
(ad bc 0)
(*)
影坐标为1， P*没有非齐次射影坐标。
如果把P*看成是无穷远点，则非齐次射影坐标就变成非
齐次仿射坐标，此时 x (P*P0 ,
EP)
(PEP0 )
P0 P P0 E
.
如果把P*看成是无穷远点，且P0E=1，则非齐次射影坐标
就变成非齐次笛卡儿坐标，此时 x=P0P。
有了非齐次射影坐标系，就可定义齐次射影坐标系，P0
例2 设P, P'与 Q, Q'为点列l(P)上射影变换的两对对应点, E 是不变点, V, V'是过E的直线l'上任意两点. PVP'V'=P'', QVQ'V'=Q''. 求证：P''Q''l=F为另一个不变点.
证明. 如图有
(P,Q, E, F) (V) (P '',Q '', F ', F) (V') (P ',Q ', E, F)
证明. 代数法. 设E, P', P, R的参数依次为1, 2, 3, 4. 由抛
物型射影变换的性质, 有
P P':
1
1
k.
3 1 2 1
P' R: 1 1 k.
2 1 4 1
由此二式，得 2 11.
2 1 3 1 4 1
经过直接计算, 得(EP', PR) = –1.
k
k
令射影变换式为 a b c d 0. 因为α是自对应元的参数，
所以是方程 2 (b c) d 0 的重根，因此有
2 d , 2 b c .
a
a
代入射影对应式得 (2 c ) c 2 0, 即
aa
(
c a
)
(
c a
)
2
0,
于是
1 c
k
a
是常数。
' '
1
b c 0 b .
( XY , PP ')
1
c b
常数。
c
一维基本形的射影变换
(2). 抛物型射影变换
定理. 抛物型射影变换的不变元参数与任一对相异的对应
元素的参数, '满足
1 1 k.
'
证明. 要证明的式子等价于 ( 1) ( 1) 2 0.
立刻可得结论. 据此可得一维射影变换的分类：
0
相异实根
相异实不变元 双曲型
0 (*)有两个相同实根 (*)有两个相同实不变元 称为抛物型
0
共轭虚根
共轭虚不变元 椭圆型
一维基本形的射影变换
2、一维射影变换的性质
(1). 双曲型、椭圆型射影变换
定理. 对于双曲、椭圆型射影变换，任一对相异的对应元 素与两个不变元素的交比为定值，该定值称为双曲、椭圆型射 影变换的特征不变量.
所以, E, F为两个不变点.
思考. 已知P, P'; Q, Q'为点列l(P)上双曲
型射影变换的两对相 异的对应点， E为一 个不变点, 如何作的
另一个不变点F？
一维基本形的射影变换
例3. 设点列l(P)上射影变换为抛物型的, E是不变点, P, P'为 一对相异的对应点, 且(P')=R. 求证：(EP', PR)= –1.
定理. 在一维非齐次射影坐标系下，交比的表达式为
(P1P2 ,
P3P4 )
( x1 ( x1
x3 )(x2 x4 )(x2
x4 ) x3 )
.
注记. 交比的这个表达式与它在一维非齐次笛卡儿坐标系 下的表达式一样。
一维基本形的射变换
2、一维射影变换的代数表示 (1). 坐标表示 a. 非齐次坐标表示 x ' ax b , ad cb cx d
若存在 0 R, 使a02+(b+c)0+d=0, 则称A+0B为的一个不变元素.
定理. 在实-复射影平面上, 任一个一维射影变换至少有一个 不变元素. 非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素.
证明 在(*)中, 令='. 则有一维射影变换的不变元素方程
a2 (b c) d 0,
(ad bc 0)
证明 设X, Y为两个不变元素, PP'为任一对相异的对应元
素. 设X, Y, P, P'的坐标依次为x, y, x+y, x+y. 则这四元素的参 数依次为0, , 1, . 于是
0 0 a ' b c ' d 0 d 0.
从而,
a b 1 c 1 d 1 0 a 0.
其中对应点的坐标是关于一维基本形[]上的同一坐标系取得的.
b. 齐次坐标表示
x1 x2
' '
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
a11 a12 0, a21 a22
0
其中对应点的坐标是关于一维基本形[]上的同一坐标系取得的.
一维基本形的射影变换
(2). 参数表示
定理 . 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素
的齐次射影坐标为(0,1)，E的齐次射影坐标为(1,1)，并规定P*
的齐次坐标系为(1,0)。
一维基本形的射影变换
二、一维射影变换
1、一维射影变换的定义
定义. 一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变
换. 即若 : [] [']，且[]=[']，则称为一维基本形[]
上的一个一维射影变换。
一维射影变换是特殊的射影对应. 一个一维射影变换可由不超过3次透视对应得到.