射影变换基础
• 点列、线束和面束都是射影几何研究的基 本结构。常称它们为基本形（fundamental forms）。它们互相之间能建立1-1对应的事 实，常用它们为同阶（same order）的这 一术语来表达，并说它们都是一阶（first order）的。
仿射变换与射影变换的几何表达 一维射影变换
Define 3.1
m11 x m12 y m21 x m22
射影变换中，非齐次坐标的变换关系是非 线性的一般地，n维射影变换的矩阵等式中 包含了n+1个方程，消去 后，得到变换前 后非齐次坐标的n个方程。
• 射影变换由M矩阵决定，而M矩阵有
(n 1)
2
个参数，但M与kM表示同一变换(因等式两边 (n 1)2 1 都是齐次坐标)，故M的独立参数为
1 T
1
1 1 1
1
k2 1 1 A2 B2 k . A2 B2 k1
k2 (k is a scalar) k1
MA B M so
1 1 1
1 1 1
1
k . A B2 ,
1 2
1 2
A B and A B2 are similar matrices
根据相似矩阵的性质，这两个矩阵具有相同 的特征值。再假定B1也为可逆矩阵，则相 应的特征值不为0，因此根据特征值两两相 除(消去标量k),则得到两个不变量。可见同 一平面两个非退化二次曲线有两个绝对不 变量，当存在退化情况时，有一个特征值 为0，因此只有一个不变量。
第三讲 射影几何与几何元素表达
在计算机视觉中需要一些几何方面的知识，包 括欧几里德几何(或欧氏几何)，仿射几何，射 影几何与微分几何.
基本概念
• 映射（1-1对应关系，重要。射影几何关注 的是点、线、面等几何元素组成的集合之 间的对应，有时也考察其他对应，包括几 何元素与数的对应、几何元素与字母的对 应） • 思考题：自然数集合： N = {1, 2, 3, 4, 5,…} 与自然数对(i,j)，i,j=1,2,3,... 的集合：N2 = {(1,1),(1,2),(1,3),…,(2,1),(2,2),(2,3),…,(3,1) ,(3,2),(3,3),…} 为1-1对应的集合。（求解， 对角线次序法）
' ' ' '
线束的射影变换
• 平面上两个线束的射影变换及线束的交比。 如下图所示，平面上有两个线束O,O’，若 它们所有对应线的交点共线，则称这两个 线束的对应为中心射影。类似点列的射影 变换，有限次中心射影的积称为线束间的 射影变换。
Def 3.4 （线束的交比） 线束O中任意 四条直线的交比 R(l1 , l2 , l3 , l4 )
AC AD R( A, B, C, D) : BC BD
• Th3.1 射影变换保持点列的交比不变。
仿射变换
• 仿射变换是射影变换的特殊情况，当定义中心射影 的线束为互相平行的直线时，变换称为仿射变换， 由于线束中的直线互相平行，显然，仿射变换保持 AC AC 简比( BC B C position ratio)不变。
• 定义3. 8 一组几何元素由k个参数组成的向 量P1表示，若T为某一变换，T∈G,G为某 一变换群，这组几何元素经T变换后，其参 数组成的向量由P1变为P2(P1与P2均为k维 向量)，则函数I(P)称为在变换群G下的绝对 不变量，假如I(P1)=I (TP1)=I(P2)
consider a transform of two ics
y M .x t
空间点的非齐次坐标有如上公式的变 换称为仿射变换，其中M为n维满秩矩 阵，x,y,t为n维向量，当M为单位正交 矩阵时，即是所谓的旋转平移变换。
不变量
• Th. 3. 5 射影变换保持直线，直线与点的接 合性以及直线上点列的交比不变.仿射变换 除具有以上不变性外，还保持直线与直线 的平行性、直线上点列的简比不变.欧氏变 换除具有仿射变换的不变性外，还保持两条 相交直线的夹角不变，任意两点的距离不 变
Def 3.5 非齐次坐标：在n维射影空 间中，若某点的非齐次坐标
x ( x1 , x2 ,....xn ), then x ( x1 , x2 ,..xn , X n 1 ) if xi xi / X n 1
且称x为齐次坐标
一维射影中 二维射影中
E (1,1), O (0,1), I (1,0)
1 T
1
1 T
1
if A1 is invertable matrix , A1 M MA I , then k2 .B2 ( M ) B1 M k1 A2 .MA B M , so MA B M
1 1 1 1 1 1 1 1 1 T 1
( M ) A1 M .MA B M
1 : X T A1 X 0, X T B1 X 0 Y MX
( M is sysmetric matrix, x is homegenious coordinates)
2 : Y T ( M 1 )T A1 M 1Y 0, Y T (M 1 )T B1M 1Y 0
仿射坐标系：0点，单位点E点，方 向
OA OA x ,y OEx OE y
Ix
• 射影变换保持交比不变，射影坐标系定义如下，直 线L上的一维射影坐标系由原点O，单位点E与无穷 远点I定义任意一点A的坐标由交比x=R(A,E,O,I)定 义。由交比定义得，E,O,I点的坐标分别为1,0, 。 • 二维平面上的射影坐标系由不共线的四点定义，即 O(原点),E(单位点),Ix(x轴上的无穷远点)与Iy(y轴上 的无穷远点)定义，平面上任意一点A的射影坐标由 两个交比定义，
• 由有限次中心射影的积定义的两条直线间 的一一对应变换称为一维射影变换.
二维（高维）射影变换
Def3.2 由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对 应变换称为二维射影变换.
交比不变量
• Def 3.3 (交比）若A,B,C,D为直线L上任意四 点，则下式定义的R称为交比(cross ratio)
• Th3.3 一维射影变换保持直线上点列的交比 不变，即
x1 x3 x1 x4 y1 y3 y1 y4 R( A, B, C , D) : R( A ', B ', C ', D ') : x2 x3 x2 x4 y2 y3 y2 y4
对比定理3.3与交比的定义，发现定理3.3表 述更一般和准确，事实上，交比中的每一 项应的是两点间非齐次射影坐标的差，只 有当直线上的坐标系为欧氏坐标系时，才 等于两点间的距离
由对应点求射影变换
• 由前可知，射影变换由M矩阵唯一确定，而由于 M与kM表示同一变换，因此，独立参数为 (n 1) 2 1, and yi M .xi ( xi and yi are known ,and they are n+1 dimensions,for eliminating the scalar , the projection transform can decide n equations about the M matrix elements) so m points can decide the elements of matirx M), if
来表示，如果d原来为有穷小数，改为等价的无穷循环小数（如0.4改为0.39999…），这样，（0,1） 间的每一个数都有一个且仅有一个实数与它对应；现令 x = 0.a1 a3 a5 a7…, y = 0.a2 a4 a6 a8… 也就是说，用d的奇数位小数作为x的小数，d的偶数位小数作为y小数，那么，对任意一个直线点d， 就有一个对应的平面点P（x,y）。且反之，有一个平面点P（x,y），其中 x = 0.a1 a2 a3 a4…, y = 0.b1 b2 b3 b4… 那么也有唯一的直线点 d = 0.a1 b1 a2 b2 a 3.b3… 与它对应。因此，单位平面点P（x,y）就和单位直线点d建立了1-1对应。这样就证明了(2)。
sin(l1 , l3 ) sin(l1 , l4 ) R(l1 , l2 , l3 , l4 ) : sin(l2 , l3 ) sin(l2 , l4 )
且容易证明
R(l1 , l2 , l3 , l4 ) R( A, B, C, D)
• Th3.2 射影变换保持线束的交比不变.
代数方法处理几何问题，欧氏坐标 系 定义了0点及单位长度、正交
x 0
一般地，n维仿射变换其矩阵形式 （特征）
mn 1,i 0, i 1, 2,...n
二维
m11 m 21 0
m12 m22 0
m13 m23 m33
y1 m11 y2 m21 y3 0 so
• 定理3. 4 保持点列的交比不变是射影变换的 充分必要条件
仿射变换的代数表达
• 一维 仿射变换是射影 变换的特例，在射影 2 几何中已证明，如果 y1 m11 m12 x1 射影变换使无穷远点 . 0 , so 仍变换为无穷远点， 0 m21 m22 m21 0 则变换为仿射变换， 在上述一维变换中， 若x为无穷远点，则
无穷直线上的点的集合与无穷平面上点的集合可以 建立1-1对应
• • • • • • •
• • • • • • •
我们需要用以下三步来证明整个结论： （１）无穷直线与单位直线（0,1）中点可以建立1-1对应； （２）单位直线（0,1）与单位平面（0,1）×（0,1）中点可以建立1-1对应； （３）单位平面（0,1）×（0,1）与无穷平面的点可以建立1-1对应。 然后，根据1-1对应关系的传递性，就证明了无穷直线上的点与无穷平面上点也可以建立1-1对应。 其中（1）是明显的，我们只证（2）和（3）。先证（2）。 因(0,1)中点是小于１的数d，可以用一个无穷小数d=0.a1a2a3a4a5a6a7a8…
空间几何的射影变换
空间几何的射影变换在日常生活中，我们经常面对空间的变换，如照相机拍摄的照片、镜子中的影像等。
这些现象都与几何变换密切相关，其中，射影变换是其中一个重要的变换类型。
在本文中，我们将讨论空间几何的射影变换及其应用。
一、射影变换的基本概念射影几何是解决欧几里德几何中所无法解决的问题的一种方法，它不要求平行线有相交点，也不要求垂直线相交成直角。
在射影几何中，平行线也可能相交，万物是相互联系的，没有孤立的存在。
被称为射影变换的变换是由一组变换组成的，这些变换可以通过投影、切比雪夫变换和对合来定义。
它们可以将几何图形中的点、直线和平面进行映射，并保持它们的基本性质。
射影变换也被称为单个射影坐标系到另一个射影坐标系的变换。
二、射影变换的应用射影变换在计算机视觉、计算机图形学、航空航天技术和游戏开发等领域中经常被使用。
它是许多计算机视觉算法的重要组成部分，如物体检测、目标跟踪和姿态估计等。
在游戏开发中，射影变换用于创建虚拟世界中的相机视图，使玩家可以观察到游戏场景中的不同角度和位置。
另一个重要的应用是医学成像，如CT和MRI。
这些成像技术可以创建三维图像，从而更好地诊断疾病和故障。
射影变换在这些成像技术中扮演着重要的角色，因为它可以将成像平面与三维物体之间建立对应关系，从而实现准确的成像。
三、空间几何的射影变换实现在实现空间几何的射影变换时，需要使用矩阵变换来表示变换矩阵。
通常使用4×4的矩阵表示射影变换，其中前三行表示旋转和缩放，第四行表示平移和尺度变化。
假设有一个点(x,y,z,1)在进行变换时，只需将其分别乘以变换矩阵的每一行即可得到变换后的坐标。
在实际应用中，常用的射影变换包括投影变换、剪裁变换、变换到相机坐标系等。
投影变换用于将三维场景投影到一个二维平面上，常用于计算机图形学和计算机视觉中。
剪裁变换用于筛选出场景中实际可见的区域，同时去掉不必要的区域。
变换到相机坐标系用于将物体的坐标与相机的坐标建立对应关系，从而计算其在视角下的表现形式。
第二章 射影变换-第四节 一维射影变换课件ppt课件
一、一维射影变换
1、定义 一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换. [π'], 且[π]=[π']. 则φ称为一维基本形[π]上的 即若φ: [π] 一个射影变换. 注：为方便理解, 常把一个 一维基本型看作两个“重叠” 的一维基本形. 据Steiner作图法, 一个一维 射影变换可由3次透视对应得 到.
a11 a12 0,
a21 a22
0
(2.10)
其中对应点的坐标是关于一维基本形[π]上的同一坐标系取得的.
(ad bc 0)
§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示 定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素 的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a 'b c 'd 0 (ad bc 0) (2.13) 证 “=>”. 见教材, 略. “<=”. 设一维基本形(P)上的一个变换φ使得任一对对应元素的 参数λ,λ' 满足双线性方程(2.13). 显然φ是一个双射,只要证φ保交比. 设λi ,λi' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数. 则 b1 d b3 d (ad bc)(1 3 ) 1 '3 ' . a1 c a3 c (a1 c)(a3 c) 同法可以求出λ2'–λ4', λ2'–λ3', λ1'–λ4', 得到 (1 '3 ' )(2 '4 ' ) (1 3 )(2 4 ) . (2 '3 ' )(1 '4 ' ) (2 3 )(1 4 )
图像的等距变换,相似变换,仿射变换,射影变换及其matlab实现
图像的等距变换，相似变换，仿射变换，射影变换及其matlab实现第二次写CSDN文档，上一篇的排版实在太烂了，于是决定认真学习一下markdown的语法。
好了，废话不多说，今天，我们学习一下图像（2维平面）到图像（2维平面）的四种变换，等距变换，相似变换，仿射变换，投影变换首先介绍它的原理，最后介绍matlab的实现1.数学基础射影变换矩阵H属于射影群PL(n)中的一个，仿射群是由PL(3)中最后一行为(0,0,1)的矩阵组成的子群，包括仿射群，欧式群，其中欧式群是仿射群的子群，其左上角的矩阵是正交的，当它的行列式为1是称为定向欧式群，距离是欧式群的不变量，但不是相似群的不变量，而夹角是这两个群的不变量。
听了这么多群，不变量的数学概念，可能有点晕，下面我用最直观的语言解释。
线性空间中的线性变换可以用矩阵来描述，因此我们用矩阵来刻画这四种变换。
我们以数学系的经典代数入门教材北大版的《高等代数》为例，研究这些变换是如何进行的2. 等距变换等距变换（isometric transform），保持欧式距离不变，当图像中的点用齐次坐标表示时，变换矩阵如下所示：???x′y′1???=???εcos(θ)εsin(θ)0?εsin(θ)?εcos(θ)0txty1??? ???xy1???当ε=1是保向的，ε=?1是逆向的，等距变换可以更简单的写成x′=HEx=(R0t1)x其中R是旋转矩阵。
t是平移矢量，有3个自由度（1旋转角θ+两个平移tx,ty），需要2组点4个方程求解，等距变换的不变量是:长度，角度，面积。
用matlab实现等距变换如下：clear;close all;clcI=imread('book1.jpg');figure,imshow(I);[w,h]=size(I);theta=pi/4;t=[100,100];s=0.5;% test Eucludian transformH_e=projective2d([cos(theta) -sin(theta) t(1);sin(theta) cos(theta) t(2);0 0 1]');newimg=imwarp(I,H_e);figure,imshow(newimg); 12345678910111213141234567891011121314可以看出，等距变换就是对图像的旋转+平移3. 相似变换相似变换（similarity transform）：等距变换+均匀缩放，当图像中的点用齐次坐标表示时，变换矩阵如下所示：???x′y′1???=???scos(θ)ssin(θ)0?ssin(θ)?scos(θ)0txty1?? ????xy1???当s=1是保向的，s=?1是逆向的，相似变换可以更简单的写成x′=HSx=(sR0t1)x其中R是旋转矩阵。
高等几何讲义(第3章)
a12 a22
12，det(aij)
0．
反之，也可证明(3.1)必为射影对应．
在 (3.1) 中令 1/2，/ /1//2，a a21，b
a11，c a22，d a12，则可得
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
δ/ d/
§1 一维射影变换
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
例4 已知两射影点列的三对对应点
{a, b, c} /{a/, b/, c/}， 求作 上任意点 d 在 /上的对应点．
作法见下图：
a
bc
dδ
a/
b/
c/
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
的线性变换：
T:
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)
0．
(3.1)
证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列．
在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依
次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点．
21．
解法三：(交比法) 设 上任意点 x( )对应于 / 上
的点 x/(/ )，则
(0,1; 2, ) (1,0; 2, / )，即
(02)(1)/(0)(12) (12)(0/)/(1 /)(02)，
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0．
由以上三式联立求解，得
a: b: c: d 3 : 4 : 4: 4，
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0．
射影几何几何运算
几何运算
1.引言
几何运算与点运算不同，它可改变图象中物体（像素）之间的空间关系。这种运算可以看成将各像素 在图像内移动的过程。 几何变换是图像处理和图像分析的重要内容，按照变换性质可以分为位置变换、形状变换以及复合变 换。图像几何变换是指用数学建模的方法来描述图像位置、大小、形状等变化的方法。 几何变换常用于摄像机的几何校正过程，这对于利用图象进行几何测量的工作是十分重要的。在实际
3.几何变换基础
2.欧式几何是几何学的一门分科。又称欧几里德几何。公元前3世纪，古希腊数学家欧 几里德（英文Euclid，希腊文Ε'νκλειδη）把人们公认的一些几何知识作为定义和公理， 在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》， 形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认 识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何” 与“立体几何”。欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。欧式 几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧式几何通常叫做立体几何。 数学上，欧式几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这 一术语表示具有相似性质的高维几何。
称为旋转变换矩阵（因子），θ 为旋转角度。
cos sin 0 sin cos 0 0 1 0
ห้องสมุดไป่ตู้
图像旋转变换程序
void RotIamge(const Mat &srcImage, Mat &dstImage, double angle) { //弧度 double sita = angle * CV_PI / 180; double a = (srcImage.cols - 1) / 2.0; double b = (srcImage.rows - 1) / 2.0; int srcRow = srcImage.rows; int srcCol = srcImage.cols; double x1 = -a * cos(sita) - b * sin(sita); double y1 = -a * sin(sita) + b * cos(sita); double x2 = a * cos(sita) - b * sin(sita); double y2 = a * sin(sita) + b * cos(sita); double x3 = a * cos(sita) + b * sin(sita); double y3 = a * sin(sita) - b * cos(sita); double x4 = -a * cos(sita) + b * sin(sita); double y4 = -a * sin(sita) - b * cos(sita); int w1 = cvRound(max(abs(x1 - x3), abs(x4 - x2))); int h1 = cvRound(max(abs(y1 - y3), abs(y4 - y2))); dstImage.create(h1, w1, srcImage.type()); ...... }
高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 例1 设 abcd 为平行四边形，过顶点 a 作直线
ae 与对角线 bd 平行．证明：直线 ab、ad
与直线 ac、ae 成调和共轭．
证明：因 ae 与 bd 平行，故 a
设二者交点为无穷远点 p．
o
p e
d
记(ac)(bd) o．则
的线性变换：
T:
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)
0．
(3.1)
证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列．
在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依
Hale Waihona Puke 次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 同类一维基本形间的透视：
若两个点列是同一线束的 若两个线束是同一点列的
截影，则称这两个点列是 投影，则称这两个线束是
透视的．
透视的．
线束的心称为透视中心． 点列的底称为透视轴．
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得
11 0 0 11
射影变换
射影变换4.1 点列和线束点列和线束定义．两个矢量),,(321a a a 和),,(321b b b 表示不同的点当且仅当这两个矢量线性无关． 在两点A ),,(321a a a 与B ),,(321b b b 的连线上任意一点),,(321x x x X 满足0321321321=b b b a a a x x x即，三点A ),,(321a a a ，B ),,(321b b b 与),,(321x x x X 共线的充分必要条件是0321321321=b b b a a a x x x以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=；以m l ,为基线的线束中，任何一直线p 都可以表示为m l p μλ+=，用齐次坐标可以表示为m l m l p λλμ'+=+=．练习4－1１．已知A 和B 的齐次坐标分别为)1,1,5(和)1,0,1(-，求直线AB 上一点C ，使1)(-=ABC ，若B A C λ+=，求出λ．解利用非齐次坐标),(y x 与齐次坐标),,(321x x x 之间的关系31x x x =，32x xy =．这时，)1,5(),(=y x A ，)0,1(),(-=y x B ，再利用BC AC ABC =)(．115-=+-x x ，解得2=x，101-=--y y ，解得21=y ．即)21,2(=C ，C 点的齐次坐标为)1,21,2(． 因为B A C 2121+=，所以 1=λ． 注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=． ２．试证明：三点),,(321x x x ，),,(321y y y ，),,(321z z z 共线的充分必要条件为0321321321=z z z y y y x x x 证明三点),,(321x x x ，),,(321y y y ，),,(321z z z 共线的充分必要条件为λ=--=--=--333322221111y z x z y z x z y z x z所以0332211321332211321321321=-------=y z y z y z y y y x z x z x z z z z y y y x x x４．已知直线0143=++y x 与02=+y x ，求过两直线的交点与点)0,1,2(的直线方程．解两直线0143=++y x 与02=+y x 的交点为)5,1,3(112143321--=x x x 于是点)5,1,3(--与点)0,1,2(的直线方程为05105012513321321=+-=--x x x x x x即05105321=+-x x x ．4.2 点列和线束的交比定义4.2设D C B A ,,,为点列上共线的四点，则这四点的交比为ADBC BDAC CD AB ⋅⋅=),(．定理 4.１取A 和B 为基点，将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ，b ，b a 1λ+，b a 2λ+，则四点的交比为21),(λλ=CD AB ． 定理4.２若D C B A ,,,四点的坐标为)4,3,2,1(21=+i P P i λ，21,P P 点列上两个基点，则),(),(432124142313λλλλλλλλλλλλ=----=CD AB定理4.３将某两点互换，同时互换其余两点，则交比不变．即),(),(),(),(BA DC AB CD DC BA CD AB ===定理4.４只在一对点中互换，交比转为其倒数．即),(1),(CD AB DC AB =，),(1),(CD AB CD BA =定理4.５交换中间两点，则交比为１与原值的差，即),(1),(CD AB BD AC -= 定义4.３当1),(-=CD AB 时，称D C ,调和分割线段AB ．调和分割的关系是对等的．因为1),(),(-==CD AB AB CD ，所以，B A ,也调和分割线段CD ，有时也称D C B A ,,,为调和点列．定义4.４称21λλ为四直线d c b a ,,,的交比，记为),(cd ab ．即 =),(cd ab 21λλ．注意：用齐次坐标之间的关系定义交比，点列的交比与线束的交比在形式上完全一致．定理4.６设四直线d c b a ,,,，若b a c 1λ+=，b a d 2λ+=，则=),(cd ab 21λλ． 定理4.7若四直线q p a 1μ+=，q p b 2μ+=，q p c 3μ+=，q p d 4μ+=，则 424132314321),(),(μμμμμμμμμμμμ----==cd ab ．这个比值也称为数4321,μμμμ的交比．定理4.８两个点列经过中心投影，交比不变．练习4－2１． 设E D C B A ,,,,是同一直线上的五点，求证1),)(,)(,(=EC AB DE AB CD AB ．证明由交比定义ADBC BDAC CD AB ⋅⋅=),(，1),)(,)(,(=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ACBE BCAE AE BD BE AD AD BC BD AC EC AB DE AB CD AB ．２．设C B A ,,三点的坐标分别为)1,1,1(，)1,1,1(-，)1,0,1(，且2),(=CD AB ，求点D 的坐标．解)1,1,1(=A ，)1,1,1(-=B ，则C B A ==+)1,0,1(2121，于是12=λ．设B A D 1λ+=，由2),(21==λλCD AB 可知，21=λ，所以)3,1,3(2-=+=B A D ．注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=． ３．求四点)1,1,2(-A ，)1,1,1(-B ，)0,0,1(C ，)5,5,1(-D 的交比),(CD AB ．解利用定理 4.1，取A 和B 为基点，将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ，b ，b a 1λ+，b a 2λ+，则四点的交比为21),(λλ=CD AB ． 这里B AC +=，于是11=λ， B AD 32-=，于是232-=λ，由21),(λλ=CD AB 可知，32),(21-==λλCD AB ． 注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=． ７．试证：02321=+-x x x ，023321=-+x x x ，0721=-x x ，0531=-x x 所表示的四直线共点，并求这四直线的交比．解直线0721=-x x 与0531=-x x 的交点为)5,7,1(15017321=--x x x 点)5,7,1(满足四直线，所以，此四直线共点． 四直线与x 轴的交点分别为211-=x ，322=x ，03=x ，514=x ，所以，21),(4321=l l l l ．4.3 完全四点形和完全四线形完全四点形和完全四线形定义．定理4.6完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这个对角点的两边和对角三角形的两边．定理4.10完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个顶点．练习4－3２．设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形，XY 分别交BD AC ,于M L ,，不用笛沙格定理，证明CM BL YZ ,,共点．证明由四点形ABCD ，根据定理可知，在AC 边上的四点L Y C A ,,,调和共轭， 即1),(-=YL AC ．在四点形YBZL 中，LB 与YZ 交于N ，MN 与YL 交于C '，由定理可得),(-='YL CA 所以，点C 应与点C '重合，即CM BL YZ ,,共点．4.4 一维基本图形的射影对应两个点列成射影对应的定义． 两个线束成射影对应的定义． 点列与线束成射影对应的定义．定理4.11 设两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比相等． 定理4.12 若两个一维基本图形对应四个元素的交比相等，则必成射影对应． 定理 4.13 如果已知两个一维图形的任意三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应．练习4－4５． 若三角形ABC 的三边AB 、BC 、C A 分别通过共线的三点P ，Q ，R ，二顶点B 与C 各在定直线上，求证顶点A 也在一条直线上．证明根据图形(见第４题图)可知，题图）（第2Λ),,,(21ΛB B B ),,,(21ΛC C C ，则Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R在这两个射影线束中，PR是自对应元素，所 以Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R两透视对应的线束对应直线的交点Λ,,,21A A A 共线． 4.5 透视对应定义4.8点列和线束成射影对应，如果对应直线过对应点，这种特殊的射影对应称为透视对应，这时也这两个一维图形处于透视状态．定义4.9两个点列和同一个线束成透视对应，也就是说两个点列成中心射影对应，则称这两个点列成透视对应．定义4.10两个线束和同一个点列成透视对应，则称这两个线束成透视对应． 定理4.14两个射影对应的点列成透视的充要条件是：两个点列的公共点自对应． 定理4.15两个射影对应的线束成透视的充要条件是：两个线束的公共点自对应． 定理4.16(巴卜斯定理)设C B A ,,是直线l 上互异的三点，C B A ''',,是l '上互异的三点，那么三个交点C B C B L '⨯'=，B A B A N '⨯'=，A C A C M '⨯'=共线．定理4.17对于两个不共底的且不成透视对应的射影对应点列，用两次透视对应，可把第一个点列变成第二个点列．也就是说，射影对应是两个透视对应的复合．定理4.18设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，那么用三次透视就可以彼此转换．即，这时的射影对应是三个透视对应的复合．题图）（第5A１．如图四边形ABCD 被EF 分成两个四边形AFED 和FBCE ，求证三个四边形ABCD ，AFED ，FBCE 的对角线交点H G K ,,共线．证明因为D ，E ，C 直线l 上互异的三点，A ，F ，B 是直线m 上互异 的三点，由定理4.16（巴卜斯定理），三个交点AE DF G⨯=，AC DB K ⨯=， FC EB H ⨯=共线．4.6 对合对应对合对应定义．定理4.19两个重叠的一维图形（点列、线束）q p μ+，q p μ'+成为对合对应的充分必要条件是：对应元素的参数μ和μ'满足0)(=+'++'d b a μμμμ其中02≠-b ad ．定理4.20不重合的两对对应元素，确定唯一一个对合对应．１．求参数为21→，20→的两对对应元素所确定的对合对应． 解利用定理 4.19，这里两对对应元素的参数μ和μ'分别为21,1='=μμ和2,0='=μμ，设0)(=+'++'d b a μμμμ为所求的对合对应，把两对对应参数值代入得）题图（第1DAFBCEGKHlm⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0202321d b d b a 解得2:1:1::-=d b a ，因此，这两对对应元素所确定的对合对应为02=-'++'μμμμ．。
第三章射影变换
第三章 射影变换与射影坐标本章首先引入射影不变量——交比。
然后在此基础上，讨论了一维基本形之间的射影对应与射影变换，以及二维射影对应和射影变换，还定义了一维和二维射影坐标。
§1 交比与调和比点列中四点的交比与调和比定义1.1 共线的四个不同点A ，B ，C ，D 的交比等于单比（ABC ）与单比（ABD ）的比，记作：（AB ，CD ），即（AB ，CD ）=)()(ABD ABC其中A ，B 叫基点偶，C ，D 叫分点偶。
交比又称交叉比和复比。
由交比和单比的定义，我们可AD BC BDAC BDAD BC ACABD ABC CD AB ⋅⋅===)()()(， 其中AC ，BC ，AD ，BD 是有向线段的数量。
我们不难得出：（1） 点偶C ，D 不分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹥0； （2） 点偶C ，D 分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹤0； （3） 当C ，D 重合时，（AB ，CD ）=1； （4） 当A ，C 重合时，（AB ，CD ）=0。
定理1.1 基点偶与分点偶交换，交比值不改变，即 （AB ，CD ）=（CD ，AB ） 证明 由定义1.1，（CD ，AB ）=),(CD AB BCAD BDAC CB DA DB CA =⋅⋅=⋅⋅ 定理1.2 基点偶的两个字母交换或分点偶的两个字母交换，交比的值变成原来的交比值的倒数，即（BA ，CD ）=（AB ，DC ）=),(1CD AB证明（AB ，DC ）=),(1)()(1)()(CD AB ABD ABC ABC ABD == 又（BA ，CD ）=（CD ，BA ）=),(1),(1CD AB AB CD =推论 同时交换每个点偶里的字母，交比的值不改变，即 （AB ，CD ）=（BA ，DC ） 定理1.3 交换中间的两个字母或两端的两个字母，交比的值等于1减去原来的交比值，即（AC ，BD ）=（DB ，CA ）=1－（AB ，CD ）证明（AC ，BD ）AD CB CD AB ⋅⋅=AD CB BD CB BC AC ⋅++=))(( AD CB BDAC CB BD CB AC ⋅⋅+++=)(AD CB BD AC ⋅⋅+=1=1+)(ADBC BDAC ⋅⋅-=1－（AB ，CD ）共线四点1，2，3，4一共有4！=24中不种的排列，所以有24个交比，根据交比的运算性质，它们只有6个不同的交比值，即（12，34）=（34，12）=（21，43）=（43，21）=m（21，34）=（34，21）=（12，43）=（43，12）=m1（13，24）=（24，13）=（31，42）=（42，31）=1－m（13，42）=（42，13）=（31，24）=（24，31）=m-11（14，23）=（23，14）=（41，32）=（32，41）=1－m 1（14，32）=（32，14）=（41，23）=（23，41）=1-m m例1 已知（P 1P 2，P 3P 4）=3，求（P 4P 3，P 2P 1）和（P 1P 3，P 2P 4）的值解 （P 4P 3，P 2P 1）= （P 2P 1 ，P 4P 3）=（P 1P 2，P 3P 4）=3 （P 1P 3，P 2P 4）=1－（P 1P 2，P 3P 4）=1－3=－2下面研究交比的代数表示定理1.4 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1。
任意三角形的射影定理(3篇)
第1篇在几何学中，射影定理是一个重要的定理，它描述了三角形在射影变换下的性质。
射影变换是指将一个几何图形通过一定的方式映射到另一个几何图形上，而保持其某些性质不变。
本文将详细介绍任意三角形的射影定理，包括其定义、证明方法以及在实际应用中的重要性。
一、射影定理的定义射影定理是指在任意三角形中，从一个顶点到对边上的任意点作垂线，那么这个垂线段的长度与这个顶点到对边中点的距离之比等于从该顶点到对边另一端点的距离与从该顶点到对边中点的距离之比。
设三角形ABC，其中点D是BC边上的任意一点，点E是AD的垂足，点F是AC的中点。
根据射影定理，我们有：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}$$二、射影定理的证明证明射影定理有多种方法，以下介绍两种常见的证明方法：1. 构造辅助线法（1）作辅助线：在三角形ABC中，作辅助线DE，使得DE垂直于BC，交BC于点D。
（2）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。
根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。
（3）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。
（4）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。
（5）根据射影定理的定义，得到：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}2. 利用相似三角形法（1）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。
根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。
（2）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。
（3）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。
（4）根据相似三角形的性质，我们有：$$\frac{AE}{AF} = \frac{DE}{FC}$$（5）由于DE=BC，FC=AC/2，代入上式得到：$$\frac{AE}{AF} = \frac{BC}{AC/2} = \frac{AB}{AF}$$三、射影定理的应用射影定理在几何学、工程学、物理学等领域都有广泛的应用。
射影几何三大入门定理
射影几何三大入门定理1. 定理一：射影平面的基本性质射影几何是研究投影关系的一门数学分支，它研究的对象是射影空间和射影平面。
在射影几何中，有三个重要的入门定理，这些定理对于理解和应用射影几何具有重要意义。
首先，我们来讨论第一个定理：射影平面的基本性质。
1.1 射影平面的定义在介绍定理之前，我们需要先了解什么是射影平面。
射影平面是指一个由点和直线构成的集合，满足以下条件：•任意两条直线有且只有一个交点；•任意两个不同的点确定一条直线。
1.2 定理一的表述定理一指出，在射影平面中，存在以下基本性质：•任意两个不同的直线交于唯一一点；•任意两个不同的点确定唯一一条直线。
1.3 定理一的证明第一个性质：任意两个不同的直线交于唯一一点假设在射影平面中存在两个不同的直线L1和L2，在L1上取两个不同的点A和B，在L2上取两个不同的点C和D。
我们需要证明线段AB和CD的交点是唯一的。
根据射影平面的定义，任意两个不同的点确定唯一一条直线，所以线段AB确定了一条直线L3，线段CD也确定了一条直线L4。
由于L3和L4都与L1和L2相交，所以它们一定有一个公共交点P。
假设还存在另一个不同于P的交点Q，那么根据射影平面的定义，线段PQ也应该与直线L1相交。
但是根据前面的假设，A、B、C、D四个点在射影平面中是不共面的，所以直线PQ与直线L1没有交点。
这与假设矛盾，因此我们得出结论：任意两个不同的直线在射影平面中交于唯一一点。
第二个性质：任意两个不同的点确定唯一一条直线假设在射影平面中存在两个不同的点A和B，在A上取两条不同的直线L1和L2，在B上取两条不同的直线L3和L4。
我们需要证明直线AB和CD（其中C为L1与L3的交点，D为L2与L4的交点）是唯一相交的。
根据射影平面的定义，任意两条直线有且只有一个交点，所以线段AB与L1和L2分别有唯一的交点C和D。
假设还存在另一条直线EF与A、B两点相交，并且E和F分别是直线EF与L1和L2的交点。