正方体截面问题

正方体截面问题
课题:正方体截面问题
班级:高二(2)班
小组:数学兴趣小组
指导老师:王长喜
组员:崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇
组长:张皓楠
课题目的:探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特
例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。

探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方
法证明猜想得正确与否。

再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。

大题小做:
:什么叫几何板的截面, 问题1
答:一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 (包含它的内部)，叫做几何体的截面。

问题2:截面的边是如何得到的,
答:截面的边是平面和几何体各面的交线。

问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。

如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢,截面图最多有几条边,
答:因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最都有六条边。

所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

探究1:截面图为三角形时，有几种情况, 1.是否可以截出等腰三角形:
(1)解析:
A’
a
C
c
B bA
如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc
若截面三角形abc是
以为bc底的等腰三角形，
那么只要三角形Aba全等于三角形Aca就可以截到。

所以，截到等腰三角形的情况存在。

(2)做法:
在一棱AA’上取a
在棱AB.AC上取Ab.等于Ac.
就可得到以bc为底的等腰三角abc。

(3)证明:因为角bAa等于角cAa， Aa边公用，
Ab等于Ac，
所以三角形全等于三角形。

所以ba等于ca,
所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。

2.是否可以截出等边三角形: (1)解析
A’
a
C
c
bBA
一正方体被一平面截后得到三角形abc，若三角形abc是等边三角形，
只要三角形aAb,aAc, bAc两两全等就可以得到。

所以，截到等边三角形的情况存在。

(2)做法:
在棱AA’,AB.AC上分别取Aa等于Ab等于Ac 就可以得到三角形abc为等边三角形。

(3)证明:
因为Aa等于Ab等于Ac，
角bAa等于角cAa,
所以，三角形bAa全等于三角形cAa。

所以ab等于ac。

同理可证ba等于bc,ca等于cb。

所以三角形是等边三角形。

3.是否可以截出直角三角形:
A’
a
C
c
B bA
解析:若一正方体被一平面截后角acb是直角，那么就有:ac2+cb2=ab2.
因为角adb是直角，所以ab2=db2+ad2; 因为角adc是直角，所以
ac2=ad2+cd2; 因为角bdc是直角，所以bc2=db2+cd2. 所以
ad2+cd2+db2+cd2=db2+ad2.
化简后得2cd2=0.
所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。

小结:用以平面去截正方体只能截到三边形: (1)等腰三角形，
(2)等边三角形，
(3)普通三角形;
(4)不能截出直角三角形。

探究2:如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.是否可以截出长方形:
分析:过一正方体的一棱有无数个矩形，只要长宽不等，就是长方形。

所以，存在这一情况。

a b
c
d 做法:
如上图;取正方体一棱，
过棱沿一个不与原表面重合的平面截下，就可以得到一个矩形。

证明:
设原棱长为a，
因为过棱沿一不与原表面重合的平面截下，所以bd大于ab，
因为过一正方体的一棱有无数个矩形，而截面不是正方形，
所以截面是矩形。

2.是否可以截出正方形:
分析:正方体六个表面都
是正方形只要用一垂直于
原表面的平面去截正方体，
就可以得到正方形。

做法:
用一垂直于原表面的平面去截
正方体，就可以得到正方形。

证明:因为垂直于原表面
的在正方体的截图都是正方形，所以截到得垂直于原表面的平面
就是正方形。

3.是否可以截出梯形:
分析:用一平面从一上正方体表面斜截下去交与底面，因为上下两底面平行，斜截下去截
距不等，所以可截到梯形。

C
A
B
F
D E
做法:
用一平面从一上正方体表面
斜截下去交与底面就可截到
梯形。

证明:
平面ABC平行于DEF,
所以AC平行于DE;
斜截下去截距不等，
所以AC不等于DE;
所以DECA是梯形。

小结:用以平面去截正方体只能截到四边形:
(1.)长方形;
(2.)正方形;
(3.)梯形。

探究3:截面多边形的边数最多有几条,
解析:
因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，
即所截到得截面图最都有六条边。

所以截图可能是三角
形，四边形，五边形,六边形。

探究4:截面可能是正多边形吗,可能有几种, 答:截面是正多边形有可能。

可能有正三角形，正方形，正五边形，
和正六边形。

(如下图)
探究5:如果截面可能是三角形，其面积最大是什么?
如下图:
解析:
截面为三角形，面积是底乘高。

底和高最大是连接正方体的三个顶点，所以这时三角形面积最大。

总结;
A.用以平面去截正方体只能截到三边形: (1)等腰三角形，
(2)三角形，
(3)普通三角形;
(4)不能截出直角三角形。

B.用以平面去截正方体只能截到四边形: (1.)长方形;
(2.)正方形;
(3.)梯形。

C. 用以平面去截正方体还能截到五边形,六边形。

课后反思:
1:截图有可能是等腰梯形吗,
2:截到五边形,六边形有哪几类, 3:从这个课题还可以延伸到什么, 探究启示: 创新所带给人的精神愉悦是
任何物质享受和感官享乐所无法比拟的，那是灿烂的生命之花最深沉、最辉煌、最恣意的绽放，从某种意义上说，创新是自我实现的最高表现形式，教育作为人道主义的事业，
理所当然应该关注个人生的提升。