第2课时—二次根式的性质
二次根式的性质
二次根式的性质二次根式是数学中的一个重要概念，也是代数学中的一个常见表达式。
它们具有一些特殊的性质，我们来详细探讨一下。
一、定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
这里√称为根号，a称为被开方数。
当然，a可以是一个整数、小数或者分数。
二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数a必须是非负实数，即a≥0。
因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。
2. 唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。
这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。
例如，√9=3，√25=5，√36=6，等等。
3. 运算性质：（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。
当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。
例如，√a + √a = 2√a，√25 - √16 = √9 = 3。
（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。
两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。
例如，√a × √b = √(ab)，2√3 × 3√5 = 6√15。
（3）除法：二次根式可以进行除法运算。
两个二次根式相除时，被开方数相除，根号下的系数也可以相除。
例如，√a ÷ √b = √(a/b)，6√15 ÷ 3√5 = 2√3。
4. 化简与整理：（1）化简：有时候二次根式可以化简为更简单的形式。
例如，√4 = 2，√9 = 3，等等。
化简的关键是找到被开方数的平方因子，然后将依次提取出来。
（2）整理：有时候需要将二次根式按照一定的规则整理，使得表达式更具可读性。
例如，将√3 × 2√5整理为2√15，将5√a + 3√a整理为8√a，等等。
3. 近似值：对于无理数的二次根式，我们可以用近似值来表示。
这里的近似值可以使用小数形式或者分数形式。
四、应用二次根式是数学中广泛应用的一个概念，它在几何、代数、物理等领域都有重要作用。
1. 几何：二次根式在几何中常常用来表示线段的长度。
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
北师版八年级数学上册第二章 实数7 二次根式
二次根式
乘、除法
运算
最后结果
加、减法
C. 2 2
D. 2
感悟新知
知识点 4 二次根式的乘除法
语言叙述
知4－讲
符号表示
a · b= ab ( a ≥
乘法 两个二次根式相乘，把被开
法则 方数相乘，根指数不变
0，b ≥ 0)
a
a
除法 两个二次根式相除，把被开
= (a≥0，
b
b
法则 方数相除，根指数不变
b ＞ 0)
感悟新知
知4－讲
法则
推广
9
9
9 3
122×(32＋中，正确的是(
A. ( － 6) 2= － 6
B.
4
9
3
=2
16
4
C. 21 ÷ 7 =3
D. 25a4 =5a2
D )
感悟新知
知识点 3 最简二次根式
概念
满足的条件
知3－讲
化简二次根式的一般方法
(1)如果被开方数是分数
(包括小数和分式)，先利
A. － 1
B.0
C.2
D.6
知1－练
例2
9
若y＝ x－3＋ 3－x＋2， 则xy＝________.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性“a ≥ 0，
a ≥ 0”进行解答.
知1－练
解：由二次根式的被开方数的非负性，
得 x － 3 ≥ 0，且3 － x ≥ 0，所以 x=3.
又因为y＝ x－3＋ 3－x ＋2，所以y＝2，
行运算 . 例如： m a ·n b =mn ab
感悟新知
知4－讲
特别提醒
16.1二次根式2课时
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用a (a≥0)表示.
求下列各数的平方根和算术平方根. 9的平方根 3 ，算术平方根
方法构想
X ≠－ 1
3 2
一个式子中： 若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 (a≥0) 2 3 a 3 （a取任意实数）
方法构想
1 1 2 (a ) 1 2a 2
0.64的平方根 0.8 ，算术平方根
3
0.8 0
0的平方根
0 ，算术平方根
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2
2
x 2 x 1，其中x=- 3
2
m4 思考：若 ( m 4 ) 2 m 4, 则 m 的取值范围是 _________ m4 思考：若 ( m 4 ) 2 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
想一想： 甲、乙两人计算当a = - 1.5时 a -
1 ）也 3, 2
且根号内含有字母的代数式叫做二次根式，为了方便起
见，我们把一个数的算术平方根（如其中 叫做二次根式，
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》(第2课时)说课稿
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》（第2课时）说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》（第2课时）是在学生已经掌握了二次根式的概念、性质和运算法则的基础上进行的一节内容。
本节课的主要内容是进一步探讨二次根式的性质，包括二次根式的乘除运算、合并同类二次根式等。
通过本节课的学习，使学生能够灵活运用二次根式的性质进行各种运算，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经对二次根式有了初步的认识和了解，能够进行一些基本的二次根式运算。
但是，对于一些复杂的二次根式运算，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，采取有效的教学方法，引导学生逐步掌握二次根式的性质，提高他们的运算能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的性质，能够熟练地进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索二次根式的性质，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们克服困难的勇气和自信心，培养他们的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握二次根式的性质，能够进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.教学难点：二次根式的乘除运算和合并同类二次根式的方法。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主探索、合作交流的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法自主学习二次根式的性质。
同时，利用多媒体教学手段，展示二次根式的运算过程，帮助学生更好地理解和掌握二次根式的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次根式的概念和性质，为学生进入本节课的学习做好铺垫。
2.自主探索：引导学生观察、分析、归纳二次根式的性质，使学生能够自主掌握二次根式的性质。
3.合作交流：学生进行小组讨论，分享他们在自主探索过程中得到的二次根式的性质，培养学生团队协作精神。
《二次根式》第2课时示范课教学设计【数学八年级上册北师大】
《二次根式》教学设计
第2课时
一、教学目标
1.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
3.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围内正确计算，培养类比学习的能力.
4.增强学生的符号、应用意识，培养学生合作交流、合情推理、表达能力。
二、教学重难点
重点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
难点：会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
a a
(a≥0，b>0)
=
b b
思考长方形的面积是20，它的长是5，宽是多少？
教师追问：该怎么计算呢？
教师提示：这一节我们根据之前学过的二次根式的性质来解决二次根式的四则运算问题吧.
a b=a b(a≥0
a
(a≥0，b>0)
=
b
加法、减法法则：
先化为最简二次根式.
35
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。
3.1 二次根式(第2课时)
第2课时 课题：二次根式的性质教学目标:(1) (0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩。
. (2) 会用二次根式的性质进行根式的化简.．教学重点：二次根式的性质的掌握.教学难点：二次根式的性质的应用.．教学方法：讨论法教学过程：一.情景创设1.在化简时,李明同学的解答过程是4==;张后同学的解答过程是4=-. 谁的解答正确?为什么?2(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ ？ 二、探索活动1．请同学们观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律,再和同学们进行交流.2;2;3;3========; ……让学生通过观察,提出发现的猜想,并进行交流.2．发现：当a ≥0((a a a a ⎧==⎨-⎩ a,当a ＜(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ - a 3．明确 师生共同归纳可得(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩4．(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩与()2a 的区别 三、实际应用，巩固新知1．尝试练习：化简（1）=-2)7( （22(2)69(3)x x x ++≤- 讨论交流后,推选代表板演2．讨论. 计算：（1）=4 （2）=-2)5.1(（3）=-2)1(x （x ≥1）四、练习1.P60 练习 1，22. 计算：（1）=25 （2）=-2)7(（3） =2)32( （4）=+-442x x （2≥x ） 五、你的收获(1)内容总结二次根式的性质20(0)(0)(0)(0)a a a a a a a a ≥≥⎪=≥⎨≥⎧==⎨-<⎩(2)方法归纳正确地理解二次根式的性质是进行化简或运算二次根式的关键.六、作业P60 习题 3.1 3、4教后感：。
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第十六章二次根式
第2课时二次根式的性质知识点1：（√a）2=a（a≥0）
【例1】计算：
（1）（√5）2=____；
（2）（√1.2）2=____；
（32=____；
（4）（2√2）2=____.
同步练习
1.计算：
（1）（√3）2=____；
（2）（√3.6）2=____；
（32=____；
（4）（3√7）2=____.
知识点2：√a2=|a|
【例2】利用√a2=|a|的性质化简：
（1）√82=_____；
（2）√（−2）2
=_____；
（3；
（4）√（x2+1）2
=_____.
同步练习
2.化简：
（1）√22=_____；
（2）√（−0.5）2
=_____；
（3）√（3−π）2
=_____.
【例3】使√（x−1）2=1-x成立的x的取值范围是______.
同步练习
3. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√a2−|a-b|的结果为_____.
【课时过关】
4.计算：（1）（√7）2=_____；
（2）
2
7
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=_____；
（3）√（−4）2
=_____.
5. 利用a=(√a)2(a≥0),把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式:（1）9=____；
（2）5=____；
（3）2.5=____；
（4）0.25=____；
（5）1
2
=____；
（6）0=____.
6.若a ＜2,化简√（a −2）2-3=___________.
7.若√a +1+√b −1=0，a 2021+b 2022的值.
8.化简：√1−2a +a 2（a ＜1）.
【课时提升】
9. 若a 为正数，则有（ ） A.a ＞√a B.a ＜√a
C.a=√a
D.a 与√a 的大小无法确定
10. 已知a 为实数，若√−a 2在实数范围内有意义，那么√−a 2=_____. 11. 实数a 、b 在数轴上对应的如图所示，化简：√a 2-√b 2+√（a −b ）2
.
12.若|b-1|+√b 2−10b +25=4，求b 的取值范围.。