复旦大学 数学模型 张云新

期末考试复习张云新1. 抽屉原理or 容斥原理：a) 容斥原理：i. 核心：从1ni i A =⋂入手考虑问题ii.基本定理：①1~n 中能被k 整除的个数：n k ⎛⎫⎪⎝⎭ ②1212111nn i i j i j k n i i j n i j k nA A A A A A A A A A A A =≤<≤≤<<≤⋃⋃⋃=-⋂+⋂⋂-+⋂⋂⋂∑∑∑③11nni i i i A A ==⋂=⋃iii.例1：（欧拉函数()n ϕ）①()n ϕ：≤n 且与n 互质的正整数的个数，其中,1n N n ∈> ②解：将n 作质因数分解：1212m kkkm n p p p =令全集{1,2,,}S n = ，{|},1,2,,i i A x S p x i m =∈= 则1()mii n Aϕ==⋂，再用iii ，ii ，i 即可求解③结论：12111()111m n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭iv.例2：~a f 做全排列，不出现abd 与ce 的排列种数注意捆绑法：出现abd 的种数为4!，ce 的种数为5!，同时出现的种数为3!v.例3：求不超过120的素数的个数①不超过120的合数必是2、3、5、7的倍数11<，而11以内的素数只有2、3、5、7 ②令全集{1,2,,120}S = ，{|},2,3,5,7i A x S i x i =∈=则用iii ，ii ，i 即可求2357A A A A ⋂⋂⋂③注意 1）虽然2、3、5、7本身是其倍数，但是素数2）虽然1不是2、3、5、7的倍数，但既不是素数也不是合数综上，结果为2357A A A A ⋂⋂⋂+4-1vi.例4：（错排数n D ）①n D ：对n 个元素重新排列，所有元素都不在原来的位置上的个数 ②记i A 为数i 在第i 个位置上的全体排列的集合，则1nn ii D A==⋂③结果： 1）1111!1(1)1!2!3!!n n D n n ⎛⎫=-+-++-⋅ ⎪⎝⎭2）1212(1)(),0,1n n n D n D D D D --=-+==理解：情况一：第一位排2，第二位不排1，则可将第二位看作新的第一位，对1,3,4,,n 作1n - 错排情况二：第一位排2，第二位排1，对剩下的做3,4,,n 的2n -错排 （当然，也可以考虑第一位排k ，第k 位排不排1的情况，故乘以1n -） ④应用：1）1~9中所有偶数都在原来位置上，而奇数不在的错排数：5D2）1~9中所有奇数都在原来位置上，而偶数不在的错排数：4D 3）1~9中所有奇数都不在原位置的错排数：13579A A A A A ⋃⋃⋃⋃ 注意，若用n D 做，应小心分类讨论：奇数和所有偶数都不在原位置+奇数和1个偶数不在原位置+奇数和2个偶数不在原位置+奇数和3个偶数不在原位置+偶数固定，奇数不在原位置 =012344946474845C D C D C D C D C D ++++（4）也是同样的）4）1~9中所有偶数都不在原位置的错排数：2468A A A A ⋃⋃⋃ vii.例5：()n Q①:n Q 1~n 的排列中没有12,23,,(1)n n - 的形式的个数②1223(1)n n n Q A A A -=⋂⋂⋂③应用：8名学生排成一排跑步，后一天与前一天相比，没有一个学生的前面的人与前一天相同，排法有几种：8Qb) 抽屉原理：i. 核心：造n 个抽屉和1n +个/组元素，这样必有2个以上元素放在同一抽屉里 ii. 构造方法：①分割图形成目标数据：1）在边长为1的正方形内任意放置五个点，则其中必有两个点距离≤证：将正方形等分成4个正方形2）在边长为1的正方形中，任意放入9个点，则在以这些点为顶点的三角形中，必有一个面积不超过1/8 证：将正方形等分成4个长方形 ②根据认识与不认识划分：1）n 位代表参加会议，每位至少认识其他一位，则至少两位认识人一样多 证：1n -个抽屉，每个抽屉里代表认识人数相同 2）6个人中必有3个人互相认识或互相不认识证：选定一个人，则与他认识的和与他不认识的人中必有一组有3个 ③从头开始求和：（特点：若干连续问题）1）m 个整数中必存在连续若干连续个数之和能被m 整除 证：令1,1ii k k S a i m ==≤≤∑，根据m 的同余类作抽屉2）一个棋手下11个星期的棋，每天至少一盘，每周不超过12盘， 则存在连续的若干天该棋手恰好下了21局棋 证：作1,21ii k ii k x a yx ===+∑，其中i a 为第i 天下的盘数根据条件估计i x 的范围来构造抽屉④奇数的技巧：从1~2n 中取1n +个数，则其中至少有一对数，其中一个是另一个的倍数 证：任何一个数可以表示成2,ka ⋅其中a 是奇数，但1~2n 中就n 个奇数 ⑤找严格单调子列：从21n +个不同的数中一定可以找到1n +个数称为严格单增/减的子列 证：令i N 为以i a 开始能找到的最长的严格单减/增的子列长度只要讨论1,i N n i ≤≤∀的情况，这样至少有1n +个i N 一样则这1n +个数构成一个严格单减的子列 ⑥模m 的剩余类：1）*m N ∀∈一定存在完全由0,1构成数是其倍数证：构造111,11,111,,1111m + 个作模m 的剩余类2）1,,,,..:,0b R n N a b N s t a n a naββ**∀∈∈∃∈-<<≤， 证：构造(),0,1,,i m i i n β== ，注意到01i i m β≤-<将[0,1)n 等分，则1n +个i m 必有两个在一个小区间中2. 交通路口的红绿灯问题：a) 假设：①十字路口忽略黄灯、转弯②一个周期取单位时间 ③东西方向先开 ④车流量稳定、均匀单位时间内从东西方向到达路口的车辆数为H ， 单位时间内从南北方向到达路口的车辆数位V ，一个周期内，东西方向开红灯、南北方向开绿灯的时间为R ， 一个周期内，东西方向开绿灯、南北方向开红灯的时间为1R - 停车后司机见到绿灯重新发动到开动的时间为S确定R （一个周期内东西方向红灯比率）：【即使总滞留时间最小】 一辆车在路口的滞留时间通常包括两部分： 一部分是遇红灯后的停车等待时间：即一个周期内平均被拦下的车辆*拦下车辆平均等灯时间∴东西方向2R HR ⋅，南北方向1(1)2R V R --⋅ 另一部分是重新启动的时间：[(1)]S HR V R ⋅+-∴即求1()(1)[(1)]22R R T R HR V R S HR V R -=⋅+-⋅+⋅+-的最小值 结论：若忽略启动时间S ，则两个方向开绿灯时间之比应等于两个方向车流量之比b) 红绿灯管理下的十字路口，若绿灯亮15秒，问最多可有多少汽车通过此交叉路口？ 假设：①十字路口不发生阻塞 ②所有车辆直行，不拐弯，且为单行道 ③所有车长均为定值L 米，且均从静止开始匀加速 ④红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，为D 米 ⑤前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，为T 秒用()n S t 来表示第n 辆车在t 秒时的位置，记原点为交通灯的位置（1(0)0S =） 用n t 来表示第n 辆车的启动时间，n t *来表示第n 辆车的加速时间，v *为限速则22(0)(1)()(1)/(0),0()(0)()/2,(0)/2(),n nn n n n n n n n n n n n S n L D t n T t v a t S t t S t S a t t t t t S v a v t t t t *******=--+⎧⎪=-⎪⎪=+⎪⎨⎧≤<⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪++-≤⎪⎩⎩3. 双层玻璃的隔热问题：a) 物理定律：单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量：TQ k d∆= 其中k 为热传导系数，T ∆为两侧温差，d 为玻璃厚度 b) 假设：①室内温度1T ，室外温度2T 保持不变②热量传播过程只有传导，没有对流，即两层玻璃之间的空气是不流动的 ③玻璃材料均匀，热传导系数是常数，玻璃的为1k ，空气为2k c) 单层玻璃：（厚度为2d ）12212T T Q k d-= d) 双层玻璃：（每层厚度均为d ，中间夹的空气厚度为l ）记双层玻璃内层玻璃外层温度为u T ，外层玻璃内层温度为b T121211121112,,(2)u u b b T T T T T T T T k lQ k k k Q k s h h d l d d s k d----===⇒==⋅=+ 求解过程注意先用一三式解,u b T T 的关系，再用一二式解u T 与12,T T 的关系 e) 结论：①12Q Q <，即双层玻璃隔热效果比单层玻璃好！②代入12,k k 做最保守估计，当4h >后12/Q Q 下降变缓（约为0.03）4. 变分法：a) 最简泛函：被积函数F 包含,,t x x ∙b) 无约束条件的泛函极值，即求泛函0,(),()ft t J F t x t x t dt ∙⎛⎫=⎪⎝⎭⎰的极值，此类问题中 端点固定的情况，即()x t 满足边界条件00(),()f f x t x x t x ==且二次可微：核心公式：Euler0x t x x x x x F F F x F x ∙∙∙∙∙∙∙---=c) 几种特殊情形：i.(,)F F t x =：(,)0x F t x =，一般不满足边界条件⇒无解ii.(,)F F t x ∙=：(,)0x d F t x dt ∙∙⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边积分求出11(,)(,)x t c x t c dt ϕϕ∙=⇒=⎰iii. ()F F x ∙=：0x xx F ∙∙∙∙=（无论哪一项为0）12x c t c ⇒=+iv.(,)0x x x x x F F x x F x F x F ∙∙∙∙∙∙∙=⇒--=d) 例题：①最速降线问题：212ds m mgy dt dt ds ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⇒=⎝⎭⎨⎪=⎩()2220(),(0)0,()x J y x y y x y ⇒===⎰用c)/iv ：21()0(1)y dF y F y y c dt'''-=⇒+=用参数法解这个常微分方程：令2y ctgθ'=，这样dydx y ='就可直接积分 用(0)0y =可以得到参数解：11(sin )2(1cos )2c x c y θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩常数1c 由另一个边界条件22()y x y =确定 ②最小旋转面问题：()211122()2(,(),()x x J y x y x y x y y x y π===⎰用c)/iv：()0y dF y F y c dt''-=⇒=用参数法解这个常微分方程：令y sht '=，这样dydx y='就可直接积分得到参数解：121x c t c y c cht=+⎧⎨=⎩（注意：()cht sht '=）5. 动态规划：a) 核心：用逆序法递归穷举，后一步的最优方案一定是前一步最优方案的一部分（事实上，顺序法也是一样的）b) 例1（最短路线问题）：题型：求铺设一个线路网络使得总长度/费用最小解：设()i j f Λ：从j Λ出发到目的地的最短距离，下标i 表示正在经过第i 个结点 c) 例2（高低负荷有折损率生产）：解：设()k k f x ：第k 年初从k x 台出发到最后一年结束产品产量的最大值 不妨设总共n 年，则11()0n n f x ++=，11()max{()}kk k k k u f x f x ++=+当年产量注意：①k x 根据折损率有一个状态转移方程，1(,)k k k x g x u +=与第k 年投入高负荷生产的台数k u 有关 ②k u 的范围在[0,]k x 内③当终端固定，即结束时要求有一定量机器时，最后一年的生产分配事 实上是由n x 固定的d) 例3：已经4季度的交货量，每季度开工固定成本（不开工为0），单位产品生产成本，工厂每季度最大生产能力，每季度单位产品库存费用（按每季度初库存量计算），且年初年末无库存，求各季度产量如何分配使得全年费用最小？解：①k x ：每阶段初库存量，有状态转移方程，且150x x ==②k u ：每阶段生产量，从0~规定的最大值 ③k d ：每阶段交货量④k v ：每阶段总费用，(,)k k k v x u⑤()k k f x ：第k 阶段从k x 状态出发到第四季度末的总费用最小值，55()0f x = ⑥从最后一个季度开始对最后一个季度初的储存量分类讨论， 对每个季度列表，111,,,,(),k k k k k k x u x v f x +++∑，在∑中确定最优解注意每年的,k k x u 除了定义域外，还有实际意义的限制，即：k x 不会超过 前1k -个季度均满负荷生产扣除需求量后带来的库存，也不会超过以后所有季度生产要求的总和，k u 同样要使下一个季度k x 满足上面两条6. 指派问题（必考，最小/大值的优化）：a) 假设：每一个人做一项任务（人与任务个数相同）b) 定理：系数矩阵每一行、每一列减去相同的值不改变可行解矩阵 c) 做法：Step1：每一行、每一列减去该行、列最小的元素，凑出尽可能多的零 Step2：只有一个零的行/列画◎，并将相应列/行的其他零画∅ Step3：如果◎的个数小于总人数（也即总任务数），则①在没有◎的行打√号，②对打√号行中所有的∅所在的列打√号， ③对打√号的列中含◎的行打√号 ④重复②、③，直到打不出√号为止 ⑤用直线划出没有打√号的行和已经打√号的列可以覆盖所有0Step4：在没有被直线覆盖的元素中取最小，对没有打√号各行减去这个值，对已经打√号各列加上这个值Step5：重复Step2 d) 推广①上面的做法求最小值，若求最大值，则用系数矩阵中最大元减去所有元素，构成 新的系数矩阵，这样就转化为求最小值了 ②当任务多人少时，可以复制一个人的数据③当人多任务少时，可以加一个所有人都费时为0的任务 ④当某个人不能去完成某项任务时，将其记为无穷大7. 网络模型（必考最短路or 最大流）：a) Euler Thm ：在连通多重图中能找到一条回路，过每边一次且仅一次⇔图中无奇点 b) 例：节目安排，每位演员需要参加两个以上节目，相邻两个节目不能有相同演员：解：将没有相同演员的节目连线，找到从头到尾的一笔画 c) 最小树求法：i. 避圈法：任取一点打包，记为A ，将剩余点也打包，记为B ，找到权数最小的边，将这边相连的结点也打包入A ，剔除出B 重复此过程ii. 破圈法：任取一个圈，去掉权数最大边，直到无圈可去 d) 最短路问题：i. 狄克斯屈标号法：适用于所有权数非负的网络！初始：始点标(0)，其余均为∞ 标与确定点相邻点的数字（取小），在最小的数字上打括号 重复上述步骤直到最后一个点注：这里可能出现要标的与待定的数字相同的情况，此时两条路都要画箭头， 表示均可以走例：设备更新问题 ii. 距离矩阵摹乘法：①距离矩阵(),ij n n a ⨯其中ij a 表示从第i 点到第j 点的距离，且第i 点到第i 点的距离记为0；若不能直接到达或方向不对，则记为∞②摹乘：d W d '=* ：d '中第i 个元素为W 中第i 行元素加上d 列元素取最小一个 或d d W '=*：d '中第i 个元素为d 行元素加上W 中第i 列元素取最小一个 或W W W '=*（与上面类似）③求各点至某点的最短路：● 把各点到该点的距离写成列向量，作为初始的d ● 做摹乘d W d '=*，一直做到d d '=为止● 看最后d W d =*中d 各个元素的由来，若有非0i i x x +=的形式，则将对应W 中那一个元素画圈，若没有就对0画圈● 最短路即从i v 出发，到画圈的点，再继续这样找下去直到目的点● 最短路的长度即列向量中的数值④求某点至各点的最短路：● 把该点到各点的距离写成行向量，作为初始的d ● 做摹乘d d W '=*，一直做到d d '=为止 【以后步骤与③相同】⑤求各点至各点的最短路：● 做摹乘W W W '=*，一直做到W W '=为止● 这样至多做lg(1)lg 2n ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥次 e) 网络的中心和重心：i. 中心：①做法：11min{max{}},ij i n j nd ≤≤≤≤其中ij d 表示从i 到j 的最短路程即：最终的距离矩阵中最后加一列，该列中的元素为每一行的最大，然后再求最后一列中最小的值对应的行指标②例：商店建在哪里，使得到各村都较近 ii.重心：①做法：11min n i ij j ni g d ≤≤=⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑，其中i g 表示点i v 的权重即：将距离矩阵中元素乘以相应的权数，在距离矩阵中最后加一行，该行中的元素为每一列的和，然后再求这行最小值对应的列指标 ②例：各村小学生人数不同，小学应建在哪里 f)最大流问题：福特—富尔克逊标号法：①从零流或者随意一个可行流开始②对始点标(0,)∞并打√号，并找与始点相连的结点，若道路方向同向，则标上(,)s v x ；若道路方向反向，则标上(,)s v x -其中min(,),x y y =∞为该道路剩余流量注意：1）标过的点不再标注 2）同向时0x =不标注，返向时道路流量为0不标注③若能标注到t v ，且标注值为(,)i v q 则在能标注到t v 的路上 对正向加上q ，反向减去q ， ④反复前三步，直到标注不到t v 结束，最大流即与始点相连的线上的数值之和 注：最大流的线路可根据上述步骤中每次标到t v 的路来确定例：甲乙丙工作指定个数的零件，尽量平均解：将甲乙丙看成一组点、四种零件看成另一组点，找平均时能否达到最大流8. 决策问题：每一种方案i d 都有相应的多种可能性j sa) 乐观法（最大最大决策准则）：取每种方案最好可能性的最大值 b) 悲观法（最大最小决策准则）：取每种方案最坏可能性的最大值 c) 折衷法（乐观系数法）：加权最好、最坏可能性（乐观系数）后再取最大值 d) 平均法（等可能准则）：对每种方案所有情况取平均值，再取最大值 推广：也可对每种情况加权平均 e) 最小遗憾法（后悔值法）：找出每列中的最大值，再用这个值减去这一列其他值得到后悔损失阵， 再取每行最大值的最大值 f) 最大可能法则：只考虑概率最大的情况（当一组自然状态的概率比其他状态明显大时效果较好） g) 期望值方法（EMV ）：按概率算每个方案的数学期望，再取最大值 h) 最小机会损失决策准则（EOL ）：对机会损失值（不仅仅是亏的情况）做期望，再取最小值 例：日生产多少产品损失最小，列表求机会损失的期望 i) 后验概率方法（贝叶斯决策）：适用于有自然概率，后验概率两个概率存在的时候①全概率公式：1()()(/)nk iki i P P s P s θθ==∑（证明：()(/)i k i P s P s θ为,k i s θ同时发生的概率，而对于任何一个k θ，它必与某个i s 同时发生）②贝叶斯公式：()(/)(/)()P s P s P s P θθθ=（证明：若记11(,)P s θ为1s 、1θ同时发生的概率，11(/)P s θ表示1θ发生的情况下1s 发生的概率，则11111(,)(/)()P s P s P θθθ=，同理：11111(,)(/)()P s P s P s θθ=）例：某石油公司考虑钻井，出现无油、少油、富油的概率为0.5、0.3、0.2，钻井费用7万元。