黄高预录数学试题

黄高预录数学试题 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020

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湖北省黄冈中学理科实验班预录考试数学试卷

一．选择题（共11小题）

1.记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且

．则（）

A．I＞0 B．I＜0 C．I=0 D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现

2.对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．若[]=3有正整数解，则正数a的

取值范围是（）

A．0＜a＜2或2＜a≤3 B．0＜a＜5或6＜a≤7

C．1＜a≤2或3≤a＜5 D．0＜a＜2或3≤a＜5

个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有（）

A．4种 B．6种 C．10种D．12种

4.有甲、乙、丙三位同学每人拿一只桶同时到一个公用的水龙头去灌水，灌水所需的时间分别为分钟、分钟和1分钟，若只能逐个地灌水，未轮到的同学需等待，灌完的同学立即离开，那么这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是（）A．3分钟B．5分钟C．分钟D．7分钟

5.已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）

A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1

6．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠

AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）

A．B．C．D．

7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）

A．2 B．4 C．6 D．8

8．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（） A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1=∠2 D．无法确定9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．B．3π C．D．6π

10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3

11．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题（共4小题）

12．已知x为实数，且，则x2+x的值为．

13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．

14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．

15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．

三．解答题

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P 的运动时间为x（秒）．

（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；

（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．

17．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．

请你回答：AP的最大值是．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）

18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．了望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在了望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE 长为30米．

（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；

（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米（

参考数据：tan31°≈，sin31°≈）

19．已知关于x的方程，

（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；

（2）若，求m的值．

20.当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM 上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积．

21.设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；

（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．

22.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费．若每月用水量不超过最低限量a立方米时，只付基本费8元和每月的定额损耗费c元；若用水量超过a 立方米时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额费不超过5元．

（1）当月用水量为x立方米时，支付费用为y元，写出y关于x的函数关系式；（2）该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中数据求a、b、c．

月份用水量

（m3）水费（元）

1 9 9

2 15 19

3 22 33

23.某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染．为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．

经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y（元）与废气处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=，且每处理1吨工业废

气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理．

（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？

（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为x吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求x的取值范围；

（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为x（40≤x≤80）吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂a元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求a的值．

24.如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；

（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；

（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．

参考答案与试题解析

一．选择题

1.∴等式成立，

∴I=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，

故选A．

2.解：∵[]=3有正整数解，

∴3≤＜4，

即6≤3x+a＜8，6﹣a≤3x＜8﹣a，

∴≤x＜，

∵x是正整数，a为正数，

∴x＜，即x可取1、2；

①当x取1时，

∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，

∴3≤a＜5；

②当x取2时，

∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，

∴0＜a＜2；

综上可得a的范围是：0＜a＜2或3≤a＜5．

故选D．

3.解：∵6个相同的球，放入四个不同的盒子里，

∴若有三个盒子里放了1个，一个盒子里放了3个，这种情况下的方法有4种；

若有两个盒子里放了2个，两个盒子里放了1个，这种情况下：设四个盒子编号为①②③④，可能放了两个小球的盒子的情况为：①②，①③，①④，②③，②④，③④，所以有6种情况；

∴6个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有：4+6=10．

故选C．

4. 这道题可以采用逆推法，我们可以先分析最后一位会用多长时间，很显然不管是谁最后灌水都得用3分钟，所以只需考虑前两个接水的，怎样能够更加节省时间，显然乙第一个灌水会最省时，因为只需分钟．接着是丙，丙灌水的时间加上等乙的时间，也就是分钟，最后是甲．所以只有按乙，丙，甲安排灌水才最省时．

【解答】解：按乙，丙，甲安排灌水最省时，这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是+（+1）+（+1+）=5分钟．

故选B．

【点评】考查了应用类问题，运用了逆推法，按照灌水所需的时间由少到多的顺序安排灌水花费的时间的总和最少．

5．已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）

A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1

【分析】利用完全平方公式可把原式变为（x﹣）2+x﹣﹣2=0，用十字相乘法可得x﹣的值．

【解答】解：x2+﹣2+x﹣﹣2=0

∴（x﹣）2+（x﹣）﹣2=0

解得x﹣=﹣2或1．

故选D

【点评】本题的关键是把x﹣看成一个整体来计算，即换元法思想．

6．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）

A．B．C．D．

【分析】作DK∥BC，交AE于K．首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设

BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK∥EC，可得=，推出=，即a2+ab﹣b2=0，可得（）2+（）﹣1=0，求出即可解决问题．

【解答】解：作DK∥BC，交AE于K．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，

∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，

∵∠ABM+∠CBD=60°，

∴∠BAE=∠CBD，

在△ABE和△BCD中，

，

∴△ABE≌△BCD，

∴BE=CD，CE=AD，

∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，

∴△MBE≌△MDK，

∴BE=DK=CD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，

∵DK∥EC，

∴=，

∴=，

∴a2+ab﹣b2=0，

∴（）2+（）﹣1=0，

∴=或（舍弃），

∴==，

故选B．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想，属于中考选择题中的压轴题．

7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】作AH⊥BC，根据折叠的性质得到BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，则∠DEB=90°，再根据等腰梯形的性质得到BH=CE，可计算出CE=2，DE=BE=4，然后根据三角形面积公式进行计算．

【解答】解：作AH⊥BC，如图，

∵翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F，

∴BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，

∴∠DEB=90°，

∴DE⊥BC，

∵梯形ABCD为等腰梯形，

∴BH=CE，

而AD=HE，AD=2，BC=6，

∴CE=（6﹣2）=2，

∴DE=BE=4，

∴△ADB的面积=×2×4=4．

故选B．

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰梯形的性质．

8．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）

A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1=∠2 D．无法确定

【分析】易证△ADE∽△ECF，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF 的长，即可判定△ADE∽△AEF，即可解题．

【解答】解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，

∴∠DAE=∠CEF，

∵∠ADE=∠ECF=90°，

∴△ADE∽△ECF，且相似比为2，

∴AE=2EF，AD=2DE，

又∵∠ADE=∠AEF，

∴△ADE∽△AEF，

∴∠1=∠2．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ADE∽△AEF是解题的关键．

9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．B．3π C．D．6π

【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．

【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图

所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．

故选B．

【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．

10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】求方程x2+2x+1=的解，可以理解为：二次函数y=x2+2x+1与反比例函数

y=的图象交点的横坐标．

【解答】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，

反比例函数y=的图象在第一、三象限，

∴这两个函数只在第一象限有一个交点．

即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．

故选B．

【点评】本题利用了二次函数的图象与反比例函数图象来确定方程的交点的个数．

11．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】首先过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上，然后设OB=y，AB=x，由勾股定理即可求得：y2

﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，整理可得x2﹣（y﹣4）2=48，然后将原方程转为 X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，继而可求得答案．

【解答】解，过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上．

设OB=y，AB=x，

∵∠AOM=60°，

∴OC=OB?cos60°=y，

∴AC=OA﹣OC=8﹣y或AC=OC﹣OA=y﹣8，

∵BC2=OB2﹣OC2，BC2=AB2﹣AC2，

∴y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，

∴x2﹣（y﹣4）2=48，

∵x与y是正整数，且y必为正整数，x﹣4为大于等于﹣4的整数，

将原方程转为 X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，

∵（X+Y）和（X﹣Y）同奇同偶，

∴（X+Y）和（X﹣Y）同为偶数；

∴X2﹣Y2=48可能有几组正整数解：

，，，

解得：，，，

∴x的可能值有3个：x=7，x=8或x=13，

当x=7时，y﹣4=±1，y=3或y=5；

当x=8时，y﹣4=±4，y=8或y=0（舍去）；

当x=13时，y﹣4=±11，y=15或y=﹣7（舍去）；

∴共有4组解：或或或．

故选D．

【点评】此题考查了勾股定理的应用以及整数的综合应用问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．

二．填空题（共4小题）

12．已知x为实数，且，则x2+x的值为1．

【分析】本题用换元法解分式方程，由于x2+x是一个整体，可设x2+x=y，可将方程转化为简单的分式方程求y，将y代换，再判断结果能使x为实数．

【解答】解：设x2+x=y，则原方程变为﹣y=2，

方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，

整理得：y2+2y﹣3=0，

（y﹣1）（y+3）=0，

∴y=1或y=﹣3．

当x2+x=1时，即x2+x﹣1=0，△=12+4×1=5＞0，x存在．

当x2+x=﹣3时，即x2+x+3=0，△=12﹣4×3=﹣11＜0，x不存在．

∴x2+x=1．

【点评】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．需注意换元后得到的根也必须验根．

13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．

【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．

【解答】解：从三种情况考虑：

第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；

第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；

第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；

所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．

【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．

14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．

【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣

6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．

【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，

=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，

=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），

=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），

=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），

=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．

【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．

15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．

【分析】首先将方程组5x2﹣5ax+26a﹣143=0左右乘5得25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．

【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=025x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，

即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，

∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，

而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，

①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=不符合，

②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，

③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=不符合，

④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=不符合，

∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．

故答案为：18．

【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．

三．解答题（共4小题）

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P 的运动时间为x（秒）．

（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；

（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．

【分析】（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设

AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；

（2）由二次函数最值的求法得到两种情况下的△PBQ的面积最大值，进行比较即可得到答案；

（3）根据三角形的面积公式得到符合条件的点应该是：到三边的距离之比为12：15：20．

【解答】解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

即：（4x）2+（3x）2=102，

解得：x=2，

∴AC=8cm，BC=6cm；

分两种情况：

①如图1，当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H．

∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，

∵△QHB∽△ACB，

∴=，

∴QH=x，

y=BP?QH=（10﹣x）

x

=﹣x2+8x（0＜x≤3），

②如图2，当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，

∵AP=x，

∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，

∵△AQH′∽△ABC，

∴=，

即：=，

解得：QH′=（14﹣2x），

∴y=PB?QH′=（10﹣x）

（14﹣2x）

=x2﹣x+42（3＜x＜7）；

（2）①当0＜x≤3时，y=﹣（x﹣5）2+20．

∵该抛物线的开口方向向下，对称轴是x=5，

=．

∴当x=3时，y取最大值，y

最大

当3＜x＜7时，y=x2﹣x+42=（x﹣）2+（3＜x＜7）；

∵该抛物线的开口方向向上，对称轴是x=，

∴当x=3时，y取最大值，

但是x=3不符合题意．

综上所述，△PBQ的面积的最大值是．

（3）存在．理由如下：

设点T到AB、AC、BC的距离分别是a、b、c．

∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，

∴AB?a=AC?c=BC?c，即5a=4b=3c，

故a：b：c=12：15：20．

∴当满足条件的点T到AB、AC、BC的距离之比为12：15：20时，△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

17．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．

请你回答：AP的最大值是6．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）

【分析】（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；

（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知

PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．

【解答】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，

∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C

∴△A′BA是等边三角形，

∴A′A=AB=BA′=2，

在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，

则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；

故答案是：6．

（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．

以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，

∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．

∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，

∴A'C=PA+PB+PC，

∴A'C长度即为所求．

过A'作A'D⊥CB延长线于D．

∵∠A'BA=60°（由旋转可知），

∴∠1=30°．

∵A'B=4，

∴A'D=2，BD=2，

∴CD=4+2．

在Rt△A'DC中A'C====2+2；

∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．

故答案是：2+2（或不化简为）．

【点评】本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．

18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．了望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在了望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE 长为30米．

（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；

（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？

（参考数据：tan31°≈，sin31°≈）

【分析】（1）根据已知求出EN，根据正切的概念求出EM，求差得到答案；

（2）根据坡度和锐角三角函数的概念求出截面积和土石方数，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．

【解答】解：（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE=45°，

∴EN=PE=30米，

在Rt△PEM中，∠PME=31°，tan∠PME=，

∴ME=≈50（米），

∴MN=EM﹣EN=20米，

答：两渔船M，N之间的距离约为20米；

（2）过点F作FK∥AD交AH于点K，过点F作FL⊥AH交直线AH于点L，

则四边形DFKA为平行四边形，

∴∠FKA=∠DAB，DF=AK=3，

由题意得，tan∠FKA=tan∠DAB=4，tan∠H=，

在Rt△FLH中，LH==36，