勾股定理2
勾股定理(2)勾股定理的逆定理
勾股定理逆定理一． 知识归纳８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴ 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵ 已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶ 已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB A。
第3章《勾股定理》 ：3.1 勾股定理(2)(含答案)
23 ．据我国古代《周髀算经》记载，公元前 1120 年商高对周公说，将一根直尺 折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等 于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”． （1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；„，发现这些勾股数的勾都是奇 数， 且从 3 起就没有间断过． 计算 1 1 1 1 （9-1） 、 （9+1） 与 （25-1） 、 （25+1） ， 2 2 2 2
17 ． 如图所示， 折叠长方形的一边 AD， 使点 D 落在边 BC 的点 F 处， 已知 AB=8cm， BC=10cm，则 EC 的长为 cm．
18 ． 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC＜BC，D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于 点 E，DF 交 BC 于点 F，且 DE⊥DF，过 A 作 AG∥BC 交 FD 的延长线于点 G． （1）求证：AG=BF； （2）若 AE=9，BF=18，求线段 EF 的长．
6 ．小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以 求出其它各边的长，若已知 CD=2，求 AC 的长．
7．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为 AB 边 上一点，求证： （1）△ACE≌△BCD； （2）AD2+DB2=DE2．
8 ．如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B′处，点 A 落 在点 A′处； （1）求证：B′E=BF； （2）设 AE=a，AB=b，BF=c，试猜想 a，b，c 之间的一种关系，并给予证明．
S = l （3）说出（2）中结论成立的理由． （2）如果 a+b-c=m， 观察上表猜想：
18.1勾股定理【2】-基本计算
基础练习： 基础练习：
2、在Rt∆ABC中，∠C=90 ，AB=2.5，BC=1.5，
0
求AC的长。 3、在Rt∆ABC中，∠C=90 ，AC=24，BC=7，
0
求AB的长。
基础练习： 基础练习：
4、在Rt∆ABC中，∠C=90 ，若a:b=3:4，c=50，
0
求a、b的长。
解：设a = 3 x, b = 4 x 0 在Rt∆ABC中，∠C=90 ，
2 2
( 2 ) 斜边和一条直角边长分别为7 2 = 527
所以第三边长为25或 527
6、在Rt∆ABC中，∠C=90 ，∠A = 45 ，AC= 2，
0 0
求AB和BC的长。
A
解：在Rt∆ABC中， Q ∠C=90 ，∠A = 45 ，
0 0
∴∠A=∠B=45
C B
2
0
∴ BC =AC = 2
2
∴ AB= AC + BC =
( 2) +( 2)
2
2
= 4=2
7、在Rt∆ABC中，∠C=90 ，∠A = 30 ，BC=1，
0 0
求AB和AC的长。
A
解：在Rt∆ABC中， Q ∠C=90 ，∠A = 30 ，
0 0
∴ AB = 2 BC = 2
C B
∴ AC = AB − BC
∴ ( 3x ) + ( 4 x ) = 50
2 2
∴a + b = c
2 2
2
2
∴ x = 10, ∴ a = 30, b = 40
5、在直角三角形中，有两条边分别为 24和7， 求第三边长。 解：分两种情况讨论： (1) 两条直角边长为 24和7
勾股定理(2)
3.1勾股定理（2）【学习目标】1．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的水平，体会数形结合思想．2．经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的水平，感受勾股定理的文化价值．3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．【学习重点】1．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的水平，体会数形结合思想．2．经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的水平，感受勾股定理的文化价值．【学习难点】通过拼图验证勾股定理的过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
【自主预习】P80【合作探究】实践探索一1．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图（1）称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在《周髀算经》中给出的．图（2）是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗？图（1）图（2）2．剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如下图的图形．大正方形的面积能够表示为_______，又能够表示为____________.比照两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还能够拼成如下列图所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是准确的方法（请逐一说明）．归纳其共有的证明思路：利用图形的割补，借助前后的面积相等形成关于三边的数量关系．3．大家能够在课后继续研究更多的证明方法，自己阅读课本88页“勾股定理的证明”．实践探索二P81，如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理吗？把你的想法与大家交流一下．,实践探索三1．观察下列图的△ABC 和△DEF ，它们是直角三角形吗？2．观察图，并分别以△ABC 和△DEF 的各边为边向外作正方形，其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？【课堂检测】1．如图，长2.5m 的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m ，求梯子的顶端与地面的距离h .2．完成课本P82的练习．3.课本 P82/3.44.补充习题 P47h 2.51.5A B CD E F。
勾股定理2
7cm
课 堂 随 练
◆请说出下列直角三角形中未知的边长. 请说出下列直角三角形中未知的边长.
A
16
C
x
x
E
15
D
12
B
39
F
课 堂 随 练
判断： 判断：
■若a、b、c是三角形的三边长,则a2+b2=c2 . 是三角形的三边长, (×) ■在直角三角形中,两边的平方和等于第三边 在直角三角形中, 的平方. 的平方. （× ） ■在Rt△ABC中,若∠B=900,则a2+b2=c2.(×) Rt△ABC中
◆一个三角形的三边有怎样的数量 关系时,这个三角形是直角三角形. 关系时,这个三角形是直角三角形. ◆了解勾股定理的逆定理,并能进行 了解勾股定理的逆定理, 简单的运用. 简单的运用.
A D E B F C
课 堂 随 练
的三边为直径的3 ◆如图,以 RtABC 的三边为直径的3个 如图, 半圆的面积有什么关系?请你说明理由. 半圆的面积有什么关系?请你说明理由.
C
A
B
◆运用勾股定理时该注意些什么? 运用勾股定理时该注意些什么? ◆在学习过程中你还存在哪些问题? 在学习过程中你还存在哪些问题?
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方. 斜边的平方.a2+b2=c2 ∵ △ABC为直角三角形, ABC为直角三角形 为直角三角形, ∴
2+b2=c2. a
B
（勾） C （ b 股） A
a
（ c 弦）
勾
B C
股 定 理 的 验 证
A
勾股定理: 勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
《勾股定理》 教案 2
勾股定理（2）第二课时一、引入回顾上节课所学习的勾股定理的验证方法。
二、动手操作，合作探究1．利用五巧板拼“青朱出入图”（教师利用课件介绍“青朱出入图”的历史）。
你能利用“青朱出入图”验证勾股定理吗？（给学生提供充分实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的方法，并与他人进行合作与交流。
）2．教师可以利用课件介绍一些国外的勾股定理验证方法，重点介绍意大利文艺复兴时代著名画家达·芬奇对勾股定理的验证方法。
步骤：（1）在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a 、b 的正方形，并连结BC 、FE 。
（2）沿ABCDEF 剪下，得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ。
（3）将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其它的图形。
（4）比较两个多边形ABCDEF 和F E D C B A ''''''的面积，你能验证勾股定理吗？（给学生充足的时间，进行独立思考，鼓励学生交流合作，教师巡视帮助，引导学习困难的学生。
最后，验证方法让学生进行讲解、板演、叙述，教师做简单的总结。
）你还想了解其他的验证方法吗？三、课堂总结1．从两节课的课题学习中你有哪些收获？2．你学到了哪些数学方法和数学思想？（给出学生两个问题，让学生充分讨论、交流，得出结论，最后教师小结本课题。
）四、巩固教科书第179页，习题第2题。
勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和中国人看出了这个关系，古希腊毕达哥拉斯学派首先验证了这个关系。
同学们，你们对勾股定理感兴趣吗？你想尝试自己验证勾股定理吗？请发挥你的才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理吧！。
勾股定理知识讲解2
全章要点勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2、勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13勾股定理的逆定理：：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
3、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段例题讲解例1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。
解：30cm，300cm2例2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=32cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。
解：90，60，30，4，23例3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = 。
2勾股定理2(经典题型)
（7）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=8，则BC边上的中线AD的长为。
3、解答：
（1）如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的长。
（2）A、B、C、D四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短，
(2). 求证：
11、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗
杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子
下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，
你能帮它计算一下旗杆的高度．
12、有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．
6、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5。
求证：△ABC是直角三角形．
7、如右图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
课堂训练
1、如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点，
请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。
2、如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD，
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c
b
（1）当b 10，a 6时， c b2 a2 102 62 8
B
a
C
（2）当c 5，a 12时， b a2 c2 52 122 13
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米 和4 厘米,那么 这个三角形的周长是多少厘米?
A
3
C
4
A
解：在RtABC中，C=90，
（1）当AC 3，BC 4时，
2 运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
1
1பைடு நூலகம்
美丽的勾股树
再见
二
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜
边为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
学以致用
如果知道了直角形任意两边的长度，能 不能利用勾股定理求第三边的长度呢？
1. 如图，你能解决这个问题吗？
x 2
1
5 3
┓ x
AB AC2 BC2 32 42 5
B
RtABC的周长 3 4 5 12
3
4
（2）当AC 3，AB 4时
C
B BC AB2 AC2 42 32 7
RtABC的周长 3 4 7 7 7
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
解：连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
AC 2 AB2 BC2 12 22 5 D C
因此，AC＝ 5≈2.236
2m
因为AC_大__于___木板的宽,
AB
所以木板__能__ 从门框内通过. 1m
小 结：
1这节课你学到了什么知识？
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
运定 用理
的
在直角三角形中,已知两边, 求第三边
cb
a
1.在RtABC中，AB=c，BC=a，AC=b，
B=90
(1)已知a=6,b=10,求c; (2)已知a=5,c=12,求b.
解：在RtABC中，B=90，
A
a2+c2=b2